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黑龙江绥化市第七中学2025-2026学年高一下学期期中测试数学试题
一、单选题
1．
A． B． C． D．
2．在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字，该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面 后面 上面 下面 左面 右面”表示.如图是该正方体的展开图.若图中“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是（ ）

A．最 B．美 C．逆 D．敬
4．已知函数，若把的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于点对称，则ω的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知为棱长4的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知圆锥的轴截面是一个面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为 B．为纯虚数
C． D．在复平面内对应的点位于第一象限
10．如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（ ）
A．外接圆的半径为 B．
C．的最大值为3 D．的最大值为
11．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．棱柱的侧面一定是平行四边形
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．棱锥的各侧面一定有一个公共点
D．棱台各侧棱的延长线交于一点
三、填空题
12．复数 ______ ．
13．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶 石瓢壶 潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的侧面积约为__________.

14．已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．
四、解答题
15．已知复数，为虚数单位．
(1)若，求实数的值；
(2)若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．
16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，，求b，c的值．
17．如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为，
(1)若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）
(2)求证:山高.
18．如图，一块扇形铁皮，半径厘米，圆心角，现剪下一个扇环做圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台下底面大于上底面）．
(1)应取多少厘米？
(2)制作这样一个没有上底的圆台形容器需要多少平方厘米的铁皮？（不计连接处损耗）
19．已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
(1)若，且，求坐标；
(2)若为单位向量，且，求与的夹角.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A A C D C C BCD BC
题号 11
答案 ACD
1．D
根据复数的运算法则进行计算即可．
【详解】 ，
故选D.
2．B
先应用余弦定理得出，再应用同角三角函数关系计算求解.
【详解】由余弦定理得，
，
故选：B.
3．A
利用正方体及其表面展开图的特点以及题意，把“行”放到正方体的左面，然后把平面展开图折成正方体，看“行”的相对面，即可判断.
【详解】把正方体的表面展开图再折成正方体，如图，“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是“最”．

故选：A．
4．A
根据平移写出函数解析式，可得，运算得，得解.
【详解】由题意，平移后函数解析式为，
由题意得，，
解得，，且，
当时，.
故选：A.
5．C
通过补形的方法求得正确答案.
【详解】将正四面体补形成正方体如下图所示，
正四面体的棱长为，所以正方体的边长为，
所以正方体的对角线长为，
所以正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为，
所以外接球的表面积为.
故选：C

6．D
根据条件，利用向量的中线公式及“爪子”定理，得，从而有，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】因为点是的中点，则，又，则，
又三点共线，则，所以，得到，
由，得到，所以，
又，则，
当且仅当，即时取等号，
所以.
7．C
运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解.
【详解】由题意知.
故选：C.
8．C
设该圆锥的底面半径为，则该圆锥的高为，该圆锥母线长为，根据轴截面面积求出，从而求出锥体的表面积.
【详解】设该圆锥的底面半径为，则该圆锥的高为，该圆锥母线长为，
所以，解得或（舍去），
所以该圆锥的表面积为.
故选：C.
9．BCD
由复数的四则运算得，由虚部的定义判断A；求得，即可判断B；求得，即可判断C；求得，由复数几何意义判断D.
【详解】因为，
则的虚部为，故A错误；
因为，为纯虚数，故B正确；
因为，
所以，故C正确；
因为，
所以，在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，故D正确．
10．BC
对于选项A，根据正弦定理可求出三角形外接圆半径；对于选项B，在两个小三角形中，分别运用正弦定理，结合中线的定义进行判断即可；对于选项C，运用余弦定理和基本不等式可验证其正确；对于选项D，结合选项C的结论，然后根据向量的模可求出其最小值为.
【详解】对于选项A：根据正弦定理可得，解得，
所以外接圆的半径为，A错误；
对于选项B：在中，，所以.
在中，，所以.
因为，
所以， B正确；
对于选项C： 根据余弦定理得，
可得，
所以，当且仅当时等号成立，此时的最大值为3，C正确；
对于选项D：因为，
所以
因为，所以，
所以，
当时，，所以，此时取最小值.
所以的最小值为，D错误.
11．ACD
根据棱柱的几何特征可判断AB选项；利用棱锥的定义可判断C选项；利用棱台的几何特征可判断D选项.
【详解】对于A选项，由棱柱的定义知，棱柱各侧面一定为平行四边形，故A正确；
对于B选项，如图，平面平面，
但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不互相平行，故不是棱柱，故B错误；
对于C选项，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，
即必须是有一个公共顶点的几何体，故C正确；
对于D选项，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D正确．
故选：ACD.
12．
【详解】因为，且，，所以
．
13．
把石瓢壶的壶体近似看成一个圆台，可根据条件求出母线长，利用圆台侧面积公式计算即可.
【详解】根据题意，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图为该圆台的轴截面，

上底面半径为下底面半径高
则该圆台的母线长为
故圆台的侧面积
故答案为：.
14．
建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可.
【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设点，则，，，
所以，
则，
当且仅当，时，取最小值．
15．(1)4；
(2).
（1）由两复数相等，实部和虚部分别相等求解即可；
（2）结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
【详解】（1）若，
则，
解得；
（2），
若在复平面内所对应的点位于第四象限，
则，解得，
故的取值范围为．
16．(1)
(2)，
（1）由正弦定理角化边得，由余弦定理边化角即可求解；
（2）直接由余弦定理列方程组即可求解.
【详解】（1）由正弦定理及，得．
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）由（1）知，又，，
由余弦定理可得，，即，
解得，．
17．(1)
(2)
在中,
.
在中,根据正弦定理
，
所以山高为.
【详解】（1）坡面的坡比为
.
（2）略.
18．(1)
(2)
【详解】（1）连接并延长交于点，过点作交于点，
因为，所以的长度为，所以的周长为，
所以，所以，
在中，，所以，
所以，
所以应取厘米.
（2）设圆台上、下底面的半径分别为，母线长为，
因为，所以的长度为，所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以需要的铁皮为：平方厘米，
故需要平方厘米的铁皮.
19．(1)或者
(2)
【详解】（1）设，由已知可得，
解得或，
所以或者.
（2）由已知，.
由得，
即，即，所以，
所以.
因为，，故.

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