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得分
评卷人
2026年宜宾市高中数学竞赛试题
二、（本大题满分16分）
(高一组)
(考试时间120分钟
试卷满分120分)
9.在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量a=(xy),b=(xy),定义这两个向量的“相离度”为
题号
二
三
四
合计
d(a,b)=-
xy2-2
,容易知道a,b平行的充要条件为d(a,b)=0.
++y月
得分
(1)已知向量a=(5,2,b=(1,-45,求d(a,b);
(2)(i)设向量a,b的夹角为0，证明：d(a,b)=sin9;
复核人
(i)在△ABC中，AB=4,AC=8,D为BC的中点，且AD=2万，若AD=2P而，求AP,BP)
得分
评卷人
一、
填空题（本题满分64分，每小题8分）
毁
1.已知在平行四边形ABCD中，BE=-}AB,BF=BC,CE和DF交于点0，若AB=aAD=b,则向
量A0=
a+b.
2已知正实数m,a满足m2+1,则m+n的最小值为
1
3.已知任意平面向量AB=(xy),把向量A亚绕其起点沿逆时针方向旋转0角，可以得到向量AP=
(xcos6-ysin8,xsin9+ycos),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转0角得到点P.已知平面
内点4(1,1)，点B←1+3,0)，把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P,则向量B在向
量AP上的投影向量为
(用坐标作答)
4.已知函数f)=cnx+罗@<0)在区间（受元内单调递减，则实数u的取值范围是一
5.已知P是△ABC的外心，且3P丽+4PB-2PC=0,则c0sC=
6设y为实数.且满足-：？025204则x+y:
(y-1)+2025y=2026,
7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的1（←0,0），)->0（六恒
成立.设a=3yb=-f(》,c=f0,则a,bc的大小关系是
8对于非空集合M,定义P)=分，x业若A,B是两个非空集合，且ACB,则P,([P()
0,xM.
P(x)]=
:若集合A=从snx≤-号xe02m,B=(a3刘.且存在6eR,使得P(十
P(xo)=4,则实数a的取值范围是
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得分
评卷人
得分
评卷人
三、（本大题满分20分）
四、（本大题满分20分）】
10.若函数y=f)满足：对于任意正数x,x2,都有f(x)>0,f(x)>0,且f(x)+f(x)11.16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和
则称函数y=fx)为“W函数
差化积恒等式
(1)若f:)=x,判断函数y=e)是否为“P函数”，并证明你的结论：
积化和差：sina sin=os(a-)-cns(a+B=ns(a-B)+o(a+P以
(2)若函数y=f()为“W函数”，且f1)=1,求证：对任意x∈(2-，2)(k为正整数)，都有
..0.…
cossinB-sin(@+B)-sin(a-B)]sinccB-sin(@+B)+sin(a-B)
fw-f9)>5-是
和差化积：ina+snB=2 in“,na-sinB=2oms+PnE
2
2
om2mnBmom-2sin
运用上面的公式解决下列问题：
(1)证明：csa-sinB=cos(a+B)cos(a-B):
(2)若a+B+y+w=T,证明：sin(a+β)sin(a+y）=sinasin+sinBsiny;
(3)若函数f)=四++。++器，xe(0.2m).判断f的零点个数，并说明
6
理由
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