资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 平面向量的线性运算、基本定理及坐标运算
题型1 平面向量的有关概念（易错点） 题型5 平面向量基本定理的应用（重点）
题型2 向量加、减、数乘运算及几何意义 题型6 平面向量线性运算的坐标表示
题型3 向量线性运算的几何应用（难点） 题型7 向量模的坐标运算
题型4 已知向量共线（三点共线）求参数（常考点） 题型8 向量共线（三点共线）的坐标表示（常考点）
题型一 平面向量的有关概念（共5小题）
1．（25-26高一下·上海浦东新·期中）是或的（　　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若或，则必有，故必要性成立；
若，不一定有或，例如方向不同但模相等的向量，故充分性不成立；
因此是或的必要非充分条件．
2．（25-26高一下·福建龙岩·期中）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量有且仅有一个 B．零向量的模长为零，方向任意
C．模长为的两倍的向量是 D．相反向量是与原向量方向相反的向量
【答案】B
【详解】对于A，单位向量方向不确定故有无数个，故A错误；
对于B，零向量的模长为0，方向任意，故B正确；
对于C，模长为的两倍的向量可以是，故C错误；
对于D，相反向量是与原向量方向相反且长度相等的向量，故D错误.
3．（多选）（25-26高一上·福建莆田·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】BD
【详解】对于A，向量的模可以比较大小，而向量无法比较大小，故A错误；
对于B，若，根据向量相等的定义，这意味着它们大小相等且方向相同，所以一定满足，故B正确；
对于C，当时，满足，，不一定满足，故C错误；
对于D，若，则与大小相等且方向相同；
又因为，则与大小相等且方向相同；
所以，与大小相等且方向相同，所以，故D正确.
4．（多选）（25-26高一下·广东广州·期中）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同
B．若，，则
C．若为非零向量，则与同向
D．已知，为实数，若，则与共线
【答案】BD
【详解】选项A：相等向量可以通过平移重合，因此若两个相等向量起点相同，其终点必然相同，A正确；
选项B：当时，和可以是任意向量，不一定平行，B错误；
选项C：是与同向的单位向量，C正确；
选项D：当时，恒成立，此时和可以是任意向量，不一定共线，D错误.
5．（多选）（25-26高一下·广东深圳·期中）下列命题中，不正确的有（ ）
A．有相同起点的两个非零向量不共线
B．“”的充要条件是且
C．若与共线，与共线，则与共线
D．向量与不共线，则与都是非零向量
【答案】ABC
【详解】对于A，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线，故A错误；
对于B，充要条件是且方向相同，故B错误；
对于C，当时，与共线不一定成立，故C错误；
对于D，向量与不共线，则与都是非零向量，故D正确．
题型二 向量加、减、数乘运算及几何意义（共5小题）
6．（25-26高一下·江西抚州·期中）化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.
7．（25-26高一下·广东深圳·月考）下列向量关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，，故错误；
根据向量加法的平行四边形法则可知B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
8．（25-26高一下·广东中山·阶段检测）如图所示，在正六边形中，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在正六边形中，且，
所以，
因为，
所以.
9．（25-26高一下·河南南阳·期中）＝（ ）
A． B． C． D．
E．
【答案】C
【详解】
．
10．（多选）（25-26高一下·广西钦州·期中）下列结论恒为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】选项A：；
选项B：；
选项C：；
选项D：.
题型三 向量线性运算的几何应用（共8小题）
11．（25-26高一下·云南楚雄·阶段检测）已知在中，是线段上靠近的四等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知.
12．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，是上一点，满足是的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【详解】是的中点，，
又，
从而得到，进而可知.
13．（25-26高一下·湖北·期中）在平行四边形ABCD中，是BC上的点，且交BD于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在平行四边形中有，
因为，所以，
所以.
14.（25-26高一下·山东淄博·阶段检测）已知为所在平面内的一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，作出符合题意的图形，
所以.
15．（25-26高三下·江苏连云港·月考）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】连接，由题意可知，，所以，则，
所以，所以，
则，故，
又，所以，则.
16．（多选）（25-26高一下·河南·月考）在中，点M，N满足，，P为直线MN上一点，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【详解】对于A，易知M为AC的中点，故，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，易得，可得，，，故C正确；
对于D，当P与M重合时，，，这与矛盾，故D错误．故选BC．
17．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）是所在平面内一点，动点满足，则的轨迹一定通过的（ ）
A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心
【答案】A
【详解】因为是与，同方向的单位向量的和向量，
所以向量所在的直线平分，
所以向量终点在的角平分线上，
则的轨迹一定通过的内心.
18．（25-26高一下·浙江·期中）已知在所在平面内，满足，若，，则的面积是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【详解】因为满足，
所以分别是的外心与重心，即是各边中垂线的交点，是中线的交点，
设的中点为，连接，
因为是的外心，所以
因为，所以三点共线，即是边上的中线，
因为重心在中线上，且，
所以，
因为是中线，，三点共线，
所以，
所以的面积是
题型四 已知向量共线（三点共线）求参数（共6小题）
19．（25-26高一下·河北保定·期中）已知是同一平面内的两个不共线的向量，若，且，则（ ）
A．. B．
C． D．
【答案】A
【详解】由，设，则，
故，消去得.
20．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知向量不共线，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为向量不共线，且，
那么存在实数，使得，
则有，解得.
21．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【详解】因为，，
所以，又，
所以，又，，三点共线，
所以，
解得，故选A．
22．（25-26高一下·河北·期中）如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，所以，
显然，又三点共线，所以，
由基本不等式得，所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最大值为．
23．（多选）（25-26高一下·黑龙江·期中）已知向量不共线，，若三点共线，则的可能的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为三点共线，所以.
所以，即，解得或.
24．（25-26高一下·黑龙江绥化·月考）若向量，不共线，且向量，同向共线，则______
【答案】/
【详解】因为向量，同向共线，
所以，，即，.
所以，整理得，即，
解得或.
又，即，所以.
题型五 平面向量基本定理的应用（共8小题）
25．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因点E是的中点，点D是的中点，
所以.
26．（2026·辽宁盘锦·二模）在平行四边形中，点满足，与交于点.若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】由题意，作图如下：
因为三点共线，所以可设
又，可得；
所以；
又因为三点共线，可设，
因此可得，解得；
所以
可得.
27．（多选）（25-26高一下·宁夏银川·期中）如图，在等边中，，点在边上，且．过点的直线分别交射线，于不同的两点，，，．则以下选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值是
【答案】ACD
【详解】对于A，由，得，则，A正确，B不正确；
对于C，由选项A知，，而，，
则，而共线，因此，即，C正确；
对于D，由选项C知，，
，当且仅当时取等号，D正确.
28．（25-26高一下·广东惠州·期中）在平行四边形中，点在线段AC上，且.若，其中，，则_________
【答案】
【详解】由，
又，则，故.
29．（25-26高一下·广西河池·期中）如图所示，D，E分别为AB，CD的中点，若向量，用表示向量．

【答案】
【详解】

由D，E分别为AB，CD的中点，利用中线向量公式可得：，
则，
因为，，所以，，
则代入可得：.
30．（25-26高一下·海南海口·阶段检测）如图，在等边中，，点在边上，且.过点的直线分别交射线于不同的两点.
(1)设，试用表示：
(2)设，求的最小值.
【答案】(1)；(2)4
【详解】（1）由，得，
所以.
（2）由（1）知，，而，
因此，而共线，则，
又，于是，
由于
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是4.
31．（25-26高一下·贵州遵义·期中）如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，其中，.
(1)当时，用向量表示与；
(2)求证：为定值.
【答案】(1)，；(2)证明见解析
【详解】（1）因为AQ为边BC的中线，
所以，
当时，，所以；
（2）由（1）可知，
所以，
而，
所以
又因为M，P，N三点共线，
所以 ，可得（定值）.
32．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P．
(1)求中线BN的长；
(2)若，，、，求的值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由题意得，，
∵ 是边上的中线，
∴ 为的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
代入已知数值得 ，
∴ ，即中线 的长为.
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ①，
∵ ，
∴ ②，
∵ 不共线，根据平面向量基本定理，①②中的对应系数相等，
∴ ，
解得 ，
∴ .
题型六 平面向量线性运算的坐标表示（共5小题）
33．（25-26高一下·河南驻马店·期中）已知向量，，那么向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】向量，，.
34．（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）已知，，，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，，可知， 即，
即，令，而，，
所以，故点P的坐标为.
35．（25-26高一下·山东聊城·期中）已知平行四边形中，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为平行四边形中，
则.
36．（25-26高一下·上海宝山·期中）已知点，，若点满足，则点的坐标为______．
【答案】
【详解】由题意，，，
设点的坐标为，
∴，，
∵点满足，
∴，解得，
∴.
37．（24-25高一下·湖北·阶段检测）已知，，，且，，，若，．
(1)求；
(2)求满足的实数m，n的值；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
【答案】(1)；(2)；(3)，，．
【详解】（1）由题意得，
，，
所以；
（2）因为，
又，
所以，
解得，即；
（3）设为坐标原点，∵，
∴，即，
又，
∴，即，
∴．
题型七 向量模的坐标表示（共7小题）
38．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知点与点，则（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【详解】因为，，所以，
所以.
39．（25-26高一下·山东济南·月考）与向量同向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】与向量同向的单位向量是．
40．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知平行四边形中，．则对角线的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】设，由，得
所以,解得
所以点坐标为.
所以 .
41．（25-26高一上·北京西城·期末）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（ ）

A． B． C．5 D．
【答案】B
【详解】如图，以的起点为原点建立直角坐标系，

则，，
，
．
故选：B．
42．（2023·河南·模拟预测）已知向量，，且，则实数______．
【答案】±1
【详解】由题意，得，所以，解得．
故答案为：±1.
43．（25-26高一下·甘肃兰州·月考）已知，，，设，，.
(1)求；
(2)若，求实数，的值；
(3)若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标.
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）因为，，所以，
由模长公式得.
（2）因为，且，
所以，所以，
因为，所以可得，解得.
（3）因为线段的三等分点为（点靠近点），
所以，设，即，
得到，解得，即点的坐标为.
44．（25-26高一下·浙江嘉兴·阶段检测）已知点，，，．
(1)若，，求的值；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）因为，，
，则，，
由，可得，解得.
（2）因为，，则，
所以，
则，
所以当时，.
题型八 向量共线（三点共线）的坐标表示（共6小题）
45．（25-26高一下·山东临沂·期中）已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【详解】由向量平行的坐标表示，结合题意得，解得.
46．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，，得，
因为，所以，解得，
所以，则.
47．（25-26高一下·北京·期中）已知，，三点共线，那么c的值是（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【详解】由题可得，，
因为三点共线，所以，
所以，解得.
48．（25-26高二上·河北·期中）已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设点的坐标为，
因为，.
因为是平行四边形，所以，
即，解得，所以点的坐标为.
故选：A
49．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知向量，，且与共线，则______．
【答案】/
【详解】由题意得，
因为与共线，则，
即，解得.
50．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______.
【答案】
【详解】因为，，，
所以，
因为三点共线，所以，
所以，解得.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 平面向量的线性运算、基本定理及坐标运算
题型1 平面向量的有关概念（易错点） 题型5 平面向量基本定理的应用（重点）
题型2 向量加、减、数乘运算及几何意义 题型6 平面向量线性运算的坐标表示
题型3 向量线性运算的几何应用（难点） 题型7 向量模的坐标运算
题型4 已知向量共线（三点共线）求参数（常考点） 题型8 向量共线（三点共线）的坐标表示（常考点）
题型一 平面向量的有关概念（共5小题）
1．（25-26高一下·上海浦东新·期中）是或的（　　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（25-26高一下·福建龙岩·期中）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量有且仅有一个 B．零向量的模长为零，方向任意
C．模长为的两倍的向量是 D．相反向量是与原向量方向相反的向量
3．（多选）（25-26高一上·福建莆田·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
4．（多选）（25-26高一下·广东广州·期中）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同
B．若，，则
C．若为非零向量，则与同向
D．已知，为实数，若，则与共线
5．（多选）（25-26高一下·广东深圳·期中）下列命题中，不正确的有（ ）
A．有相同起点的两个非零向量不共线
B．“”的充要条件是且
C．若与共线，与共线，则与共线
D．向量与不共线，则与都是非零向量
题型二 向量加、减、数乘运算及几何意义（共6小题）
6．（25-26高一下·江西抚州·期中）化简：（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高一下·广东深圳·月考）下列向量关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（25-26高一下·广东中山·阶段检测）如图所示，在正六边形中，设，则（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26高一下·河南南阳·期中）＝（ ）
A． B． C． D．
E．
10．（多选）（25-26高一下·广西钦州·期中）下列结论恒为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 向量线性运算的几何应用（共8小题）
11．（25-26高一下·云南楚雄·阶段检测）已知在中，是线段上靠近的四等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，是上一点，满足是的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
13．（25-26高一下·湖北·期中）在平行四边形ABCD中，是BC上的点，且交BD于，则（ ）
A． B． C． D．
14.（25-26高一下·山东淄博·阶段检测）已知为所在平面内的一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（25-26高三下·江苏连云港·月考）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
16．（多选）（25-26高一下·河南·月考）在中，点M，N满足，，P为直线MN上一点，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
17．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）是所在平面内一点，动点满足，则的轨迹一定通过的（ ）
A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心
18．（25-26高一下·浙江·期中）已知在所在平面内，满足，若，，则的面积是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
题型四 已知向量共线（三点共线）求参数（共6小题）
19．（25-26高一下·河北保定·期中）已知是同一平面内的两个不共线的向量，若，且，则（ ）
A．. B．
C． D．
20.（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知向量不共线，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
21．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
22．（25-26高一下·河北·期中）如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．
23．（多选）（25-26高一下·黑龙江·期中）已知向量不共线，，若三点共线，则的可能的取值为（ ）
A． B． C． D．
24．（25-26高一下·黑龙江绥化·月考）若向量，不共线，且向量，同向共线，则______
题型五 平面向量基本定理的应用（共8小题）
25．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
26．（2026·辽宁盘锦·二模）在平行四边形中，点满足，与交于点.若，则（ ）
A． B． C． D．1
27．（多选）（25-26高一下·宁夏银川·期中）如图，在等边中，，点在边上，且．过点的直线分别交射线，于不同的两点，，，．则以下选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值是
28．（25-26高一下·广东惠州·期中）在平行四边形中，点在线段AC上，且.若，其中，，则_________
29．（25-26高一下·广西河池·期中）如图所示，D，E分别为AB，CD的中点，若向量，用表示向量．

30．（25-26高一下·海南海口·阶段检测）如图，在等边中，，点在边上，且.过点的直线分别交射线于不同的两点.
(1)设，试用表示：
(2)设，求的最小值.
31．（25-26高一下·贵州遵义·期中）如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，其中，.
(1)当时，用向量表示与；
(2)求证：为定值.
32．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P．
(1)求中线BN的长；
(2)若，，、，求的值．
题型六 平面向量线性运算的坐标表示（共5小题）
33．（25-26高一下·河南驻马店·期中）已知向量，，那么向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
34．（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）已知，，，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
35．（25-26高一下·山东聊城·期中）已知平行四边形中，则为（ ）
A． B． C． D．
36．（25-26高一下·上海宝山·期中）已知点，，若点满足，则点的坐标为______．
37．（24-25高一下·湖北·阶段检测）已知，，，且，，，若，．
(1)求；
(2)求满足的实数m，n的值；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
题型七 向量模的坐标表示（共7小题）
38．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知点与点，则（ ）
A． B． C． D．5
39．（25-26高一下·山东济南·月考）与向量同向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
40．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知平行四边形中，．则对角线的长为（ ）
A． B． C． D．3
41．（25-26高一上·北京西城·期末）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（ ）

A． B． C．5 D．
42．（2023·河南·模拟预测）已知向量，，且，则实数______．
43．（25-26高一下·甘肃兰州·月考）已知，，，设，，.
(1)求；
(2)若，求实数，的值；
(3)若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标.
44．（25-26高一下·浙江嘉兴·阶段检测）已知点，，，．
(1)若，，求的值；
(2)求的最小值．
题型八 向量共线（三点共线）的坐标表示（共6小题）
45．（25-26高一下·山东临沂·期中）已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C．2 D．4
46．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
47．（25-26高一下·北京·期中）已知，，三点共线，那么c的值是（ ）
A． B．1 C． D．3
48．（25-26高二上·河北·期中）已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
49．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知向量，，且与共线，则______．
50．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑