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专题02 解三角形
知识点1 正弦定理
定理内容（为外接圆半径）
边角互化
(1)
(2)
(3)
常用推论
知识点2 余弦定理
定理内容
推论求角
边角判定三角形形状
为锐角
为直角
为钝角
知识点3 三角形面积公式
核心公式
拓展公式
（为内切圆半径）
海伦公式其中
知识点4 射影定理
在中
知识点5 中线与角平分线结论
1中线结论
设中为中点三边
①向量形式
②中线长公式
中线平方关系
2角平分线结论
平分
①内角平分线定理
②角平分线长公式
知识点6 三角形内角基础关系
互补诱导公式
互余诱导公式
知识点7 三角恒等变换（解三角形高频）
和差公式
和差化积
二倍角公式
降幂公式
辅助角公式
知识点8 三角形最值与范围常考结论
1同边对角大边对大角大角对大边
2锐角三角形任意两角和大于
3
4已知两边一角三角形解的个数判定
两解
一解
零解
知识点9 外接圆内切圆半径公式
外接圆半径
内切圆半径
题型1 正弦定理解三角形（求边长或夹角）
【例1】（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）记的内角，，的对边分别是，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】中，由正弦定理，即，解得，
又，所以 ，所以为锐角，故．
【变式1-1】（25-26高一下·广西河池·期中）解下列三角形：
(1)，，；
(2)，，．
【答案】(1)，，
(2)共两组解：
① ， ，
② ，，
【分析】（1）由余弦定理可求得，由等腰三角形的性质求得，进而可求；
（2）由正弦定理可得，可求得或，进而分类讨论可解三角形.
【详解】（1）在中，，，，
由余弦定理可得，
所以，所以，所以，所以；
（2）在中，由正弦定理得，又因为，，
所以，解得，
又因为，所以或，
①，当时，所以，由，
所以；
②，当时，所以，由，
所以；
综上所述：① ， ，；② ，，.
【变式1-2】（25-26高三·全国·一轮复习）在中，已知，，，求c．
【答案】
【分析】先根据正弦和角公式求出，再利用正弦定理求边长即可．
【详解】，
，
，
由正弦定理得．
题型2 余弦定理解三角形（求边长或夹角）
【例2】（25-26高一下·陕西渭南·期中）在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】展开原式得，移项整理得.
根据余弦定理，代入得，
因为是三角形内角，范围为，故满足的角为.
【变式2-1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）在中，已知，，，则_________．
【答案】或
【分析】利用余弦定理建立关于边的一元二次方程，求解方程得到的可能值后验证是否符合三角形的构成条件.
【详解】对于，由余弦定理得：，
代入已知条件，，，，
可得：，
整理为一元二次方程：，解得：，
故为或.
【变式2-2】（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理求解即可.
【详解】由，得，即.
由余弦定理得.
中，，所以.
题型3 三角形解的个数问题
【例3】（2026·四川广安·模拟预测）（多选）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则使此三角形只有唯一解的的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理得到，三角形只有唯一解等价于角仅有唯一解，分（直角三角形唯一解）、且（即，仅存在锐角解）两种情况推导的取值范围，再逐一判断选项.
【详解】对于A：当时，，结合得，三角形只有唯一解，A正确；
对于B：当时，，由于，此时可取锐角也可取钝角，对应两个不同的三角形，B错误；
对于C：当时，，由等边对等角得，，三角形只有唯一解，C正确；
对于D：当时，，又，由大边对大角得，即只能取锐角，对应一个三角形，D正确.
【变式3-1】（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理得到边与角的关系，再结合三角形有两解的条件来确定b的取值范围.
【详解】在中，，，
由正弦定理可得： ，
因为，且时，时，
要使有两解，
则的取值有两个，一个锐角，一个钝角，
由于，且为三角形内角，
所以的取值范围是，
同时有两解时的取值要满足，
由，可得，
又因为，可得，
综上，的取值范围为.
【变式3-2】（25-26高一下·河北唐山·期中）（多选）在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】BD
【分析】对各选项，先用正弦定理计算 ，再结合边的大小关系判断角的范围与解的个数；钝角选项直接由大边对大角排除矛盾情况；等腰选项直接由等边对等角求出唯一解，从而筛选出恰有一解的选项．
【详解】对于A，由，得，
因为为锐角，且，，即，
所以三角形有两解，A错误；
对于B，由，得，
因为，所以，故必为锐角，所以只有一解，B正确；
对于C，因为，则是的最大内角，
又由，得，所以无解，C错误；
对于D，由，得，，恰有一个解，D正确．
题型4 判断三角形的形状
【例4】（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是锐角三角形
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则是锐角三角形
【答案】ACD
【详解】三角形中，大角对大边，若，则，由正弦定理，
则，即，故A正确；
由正弦定理，
已知，则，
由余弦定理，说明是锐角，无法确定是否是锐角，
故三角形不一定是锐角三角形，故B错误；
已知，，，则，
，
，，
可能是大于的锐角或钝角，即符合条件的有两个，C正确；
，
，由大角对大边可知为最大角，
要证是锐角三角形，只需证，
由三角形的性质知，
，
，令，则，，
，
即，
，
，故是锐角三角形，故D正确．
【变式4-1】（25-26高一下·重庆·期中）在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．有一个角是的直角三角形 D．有一个角是的等腰三角形
【答案】B
【分析】由三角形面积公式和余弦定理化简可得，由正弦定理化简得，结合平面向量线性运算、数量积运算和平面几何知识可得，从而可得是等腰直角三角形.
【详解】根据余弦定理，则.
根据三角形面积公式，则，
化简得，即.因为是三角形内角，所以.
又，由，可得.
则.
如图所示，在边上分别取点，使，
以为邻边作平行四边形，则四边形为菱形，
连接，且，，
.
又，且，，即.
又，所以，进而，所以是等腰直角三角形.
【变式4-2】（25-26高一下·福建莆田·期中）（多选）在中，角所对的边分别为，以下说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若是锐角三角形，则．
C．若，则为钝角
D．若，则为直角三角形
【答案】BCD
【分析】对于A，利用余弦三角函数的性质即可求解；对于B，利用锐角三角形的定义及正弦函数的性质，结合诱导公式即可求解；对于C，根据余弦定理可判断C；对于D，利用射影定理计算判断选项.
【详解】对于A，在中，因为，所以，又在上单调递减，
所以，故A错误；
对于B，因为为锐角三角形，可得,则,
因为，所以，
又在上单调递增，所以，故B正确；
对于C，若，则，而，
所以角C为钝角，故C正确；
对于D，在中，由射影定理及得：，
则，而，解得，即为直角三角形，D正确.
题型5 三角形面积公式应用
【例5】（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______．
【答案】
【分析】由余弦定理先求得，根据求得，进而求得，再根据正弦定理得出，设，由三角形面积公式列出方程即可求解．
【详解】由和余弦定理，可得，
因，则，
又由可得，
因，则
，
由正弦定理得，，设，
则，解得（负值舍去），
所以．
【变式5-1】（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解．
【详解】在△ABC中，，而，
由，得，又，，则，
由正弦定理得，解得，由，得，
所以．
【变式5-2】（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，则____________，的面积为____________．
【答案】
【分析】先利用三角形内角和求出角，通过角度恒等变换关联，结合和差角公式得到正切乘积，再结合正弦定理与面积公式求解三角形面积.
【详解】由，，可得，即，故.
则，，所以，
因此.
又，
联立,
解得，，
则.
由，结合正弦定理与三角形面积公式，
.
题型6 求三角形的周长
【例6】（25-26高三下·江苏淮安·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数的性质求出角的大小；（2）根据面积公式求出，由余弦定理求出，进而得到三角形的周长.
【详解】（1）由及正弦定理，得.
因为，
所以，
整理得.
因为，所以，即.
又，所以.
（2）由，且，得.
由余弦定理，及，
得.
所以（负值舍去）.故的周长为.
【变式6-1】（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）在三角形中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，三角形的面积为，求三角形的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理边角转化可求得的值，进而求得的大小；
（2）利用余弦定理和三角形的面积公式求解可得的值，进而求得三角形周长.
【详解】（1）因为，由余弦定理可得，
整理可得，则，
且，所以.
（2）因为，，且，即，则
又因为的面积为，即，则，
可得，即，
所以周长.
【变式6-2】（2026·河南许昌·三模）的内角A，B，C的对边分别为．已知，．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用平方差公式化简已知等式,结合三角形面积公式进行边角替换,再借助余弦定理把边的关系转化为角的正余弦关系式,通过三角恒等变形求出角,接着代入条件求出,结合三角形内角范围舍去不合理解,最终确定角的值.
（2）由三角形面积公式结合已求角算出关系式,设正弦定理比值为参数,利用内角和与两角和正弦公式求出,用表示出后代入等式解出,进而求出三边边长,最后相加得到三角形周长.
【详解】（1）由，
又，所以．即，
由余弦定理得，得，即 ．
因为，所以，所以，所以．
所以．
因此或（舍去），所以．
（2）因为的面积为，所以．
所以①
由正弦定理设，因为.
所以．
所以，，．
代入①式，解得，所以，，．
所以的周长为．
题型7 求周长面积的最值
【例7】（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理求角；
（2）根据（1）和余弦定理可得 ，再利用三角形的面积公式和基本不等式求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理，得
，整理得，
由余弦定理，得，
又，所以．
（2）由（1）及余弦定理知，，
故，当且仅当时等号成立，
即面积的最大值为．
【变式7-1】（2026·广西桂林·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，条件①，条件②，条件③.
(1)求角A的大小；
(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择条件①：利用正弦定理和正弦的半角公式进行求解；选择条件②：利用正弦定理和正弦的和角公式进行求解；选择条件③：利用正弦定理和余弦定理进行求解.
（2）利用三角形面积公式和正弦定理，结合锐角三角形角度的大小进行求解.
【详解】（1）选条件①：
由正弦定理得，
又，
所以 ，
又，所以，
解得，或，
因为，所以，即.
选条件②:
由正弦定理得，
所以，
因为在中，，
所以，即，
则，因为，所以.
选条件③：
，
整理得，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）已知，，则面积，
由正弦定理得，其中.
化简得： ，
为锐角三角形，且，
所以，得，
所以，，即，
因此
所以面积的取值范围是.
【变式7-2】（25-26高一下·浙江杭州·月考）在中，角的对边分别为，满足.
(1)若，求周长的最小值；
(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对进行变形，结合基本不等式进行求解即可；
（2）先使用余弦定理把角C计算出来，再运用正弦定理把锐角三角形面积表示成关于角A的三角函数, 通过是锐角三角形计算角A的取值范围再计算面积的取值范围.
【详解】（1）解：因为,
，
由基本不等式可知,当且仅当时等号成立,
所以,，,即,
,
所以,当时，周长有最小值为；
（2）因为，所以，
由余弦定理可得，
因为，所以，
由正弦定理可得，所以，，
因为，所以，
则
，
因为是锐角三角形，有，即，
所以，，，
因为，
所以，即面积的取值范围是.
题型8 求边长夹角的最值
【例8】（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知的内角所对的边分别为，且，．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长；
(3)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简原式，再用和角公式求解即可；
（2）根据三角形面积公式求出的值，再根据余弦定理求出，进而求出，最后求出周长；
（3）根据正弦定理表示出，根据三角函数值的范围求解.
【详解】（1），且.
整理得
由正弦和角公式：，
由正弦定理，代入得
两边除以得
整理得
即，即
因为，所以，
故，得.
（2）已知面积，且，.
由面积公式
故，得.
由余弦定理
代入，：
整理得
而，
因为，故.
因此周长为
（3）由正弦定理：，
故，.
又，，故，其中.
因为，所以，
则，
故.
【变式8-1】（2026·江西·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求角；
(2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两角和差的正切公式展开化简即可求解；
（2）由三角形面积公式和余弦定理得到 ，再结合正弦定理边化角，辅助角公式，转换成三角函数求值域即可.
【详解】（1）
且，
，整理得
即．
或．
，，
．，．
（2）
由余弦定理可得，
即．
，即．
，
由正弦定理可得，
则
，
，．
【变式8-2】（25-26高一下·江苏·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为．
(1)求；
(2)若，求内切圆面积的最大值；
(3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对已知条件进行化简，再根据角的范围，判断方程可能得解，求出结果；
（2）根据余弦定理解三角形，判断的具体结果，再根据余弦定理和基本不等式求出三角形周长的范围，进而根据内切圆半径的性质求出半径的范围，进而求出面积的最大值；
（3）根据三角形形状，判断角的范围，再根据正弦定理和三角形中线的向量性质，进而根据向量的数量积运算率，表示出模长的表达式，进而求出线段长度的范围.
【详解】（1）由题意可知，化简得，
可得，因为，所以，
可得或，解得或.
（2）由题意可得，化简得，
所以，所以由（1）可知，可得，
可知，化简得，即，可得.
由基本不等式可知，即，当且仅当时取等号，
所以，由，解得.
设内切圆半径为，则，
可得，因为，
所以，
因为，所以，
当时，内切圆半径为取得最大值，此时内切圆面积的最大值为.
（3）可知，所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，
可知，可得，所以，
因为，所以，
则，
化简得，
因为，由，可得，解得，
所以，可得，所以，即
所以线段的取值范围为.
题型9 几何图形中的计算
【例9】（25-26高一下·山东济南·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______.
【答案】
【分析】在中，利用余弦定理，求得和，得到，再由两角差的正弦公式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】在中，，，且，
由余弦定理得，
可得,
又由，
可得
因为，
则 ，
所以,
，
所以四边形的面积为.
【变式9-1】（2026·河南·三模）在平面四边形中，已知，，.
(1)求；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） 在中，由余弦定理得：，
因为，所以．
（2） 因为，，所以，
在四边形中，，
设，在中，，
在中，，
因为，所以。
即
整理得，解得
在中，．
【变式9-2】（25-26高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，且.
(1)求；
(2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积；
(3)若是的角平分线，，，求的长.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得；
（2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可；
（3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以，又因为，所以，
所以，故；
（2）解：因为是边上靠近的三等分点，
所以，
所以，
又因为，，，
所以，化简得，
即，解得或（舍去），
所以；
（3）解：已知平分，且，故，
由 得；
将 ，代入得 ，解得
∵
∴
【变式9-3】（25-26高三上·山东德州·期中）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，．
(1)求角的大小；
(2)若，求；
(3)若，求
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）首选由，得：，将角化边可得：，将其代入中并利用余弦定理可求得角，进而求解角；
（2）首先设，在中，由正弦定理得，然后根据同角三角函数的基本关系求角的正切值；
（3）首先，在中，由余弦定理得：即得：，然后解方程求得的值，进而求得.
【详解】（1）因为，所以，
即.
又因为，所以
由余弦定理，
所以，又，所以.
（2）在中，因为，
所以，，设，易知,故，
在中，由正弦定理得，
化简得，
所以，即.
（3）设，
在中，由余弦定理得：
即，所以，
由，得：，
解得：或，
若，得：，由，则，所以
若，得：，由，则，所以.
【变式9-4】（24-25高一下·河南漯河·月考）已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.
(1)求的值；
(2)求的长；
(3)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）因为，利用二倍角公式直接求解即可；
（2）在中，由余弦定理先求出，再求出，再把分成两个三角形，即和，利用三角形的面积公式列出等式，即可求出；
（3）方法一，在中，利用正弦定理先求出，的正弦及余弦值，利用差角的正弦公式求出，在中，由余弦定理求出，再利用求面积即可；方法二，在等腰中，由去求，得到与的比例关系，从而得到与及与的比例关系，即可求出的面积.
【详解】（1）因为，对角线为钝角的平分线，
所以，
解得或（舍），
所以；
（2）由题意，在中，由余弦定理可得
，
即，
整理可得，解得或（舍去），
因为，所以，
又因为，
所以，
所以，
解得；
（3）方法一：在中，由正弦定理可得，
即，所以，
因为为钝角，所以，
因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得
，
解得，
因为
，
所以；
方法二：在中，由，
可得，所以，
所以，所以，
又由于，从而，即，
所以，
，
所以.
题型10 综合复杂三角恒等变换的计算
【例10】（25-26高一下·重庆·期中）（多选）已知的内角满足，且（为的面积），记分别为所对的边，则下列结论正确的是（ ）
A．不可能为直角三角形 B．若，则
C． D．
【答案】BD
【分析】由正切函数的定义域分析出，将题干等式利用恒等变换化简得，考虑的情况判断A选项；利用和三角形面积公式可判断其余选项.
【详解】由正切函数的定义域可知，，
由两角和差的余弦公式展开可得，
，
，
而，
等式右边 ，
等式左边，
于是，
由于，则，
整理可得.
A选项，由于，
考虑若，则，且，
于是，
即，由于为锐角，则，可得或，
则或，或，
即可以为直角三角形，其中三个角分别为，A选项错误；
B选项，时，，解得，B选项正确；
C选项，由三角形面积公式，正弦定理（为外接圆半径），
，
由题知，，解得，
又，
由于，，则，C选项错误；
D选项，由三边关系和C选项可知，，则，D选项正确.
【变式10-1】（2026·河南·模拟预测）（多选）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，外接圆的直径为1，若，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理进行边角互化，化简后得到两条边之间的比例；结合外接圆直径条件，将边长用角的正弦表示，代入面积公式建立方程，解出角的正弦值；再通过半角公式和三角恒等变换，逐项验证选项的真伪，最终确定正确选项.
【详解】对于A，因为外接圆的直径为1，
所以由正弦定理
得，，，
因为，所以，
即，所以，
因为，，所以，故A正确；
对于B，因为，又，
所以，解得，故B正确；
对于C，由A知，所以，则，
所以，所以，所以，
又由得，所以，
所以，故C不正确；
对于D，因为，所以，所以，，
所以，因为，
所以，
所以
，
故D正确.
【变式10-2】（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）（多选）已知对任意角恒成立．设的内角满足的面积满足，记分别为角所对的边，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．外接圆面积的最大值为
C．
D．的最小值为64
【答案】BC
【分析】根据三角形的内角和及题目所给公式计算并判断选项A；根据面积公式结合正弦定理可判断选项B、C；根据三角形三边的性质可判断选项D．
【详解】因为，
所以，
因为，所以，则，
所以，
即，
得，即，故A错误；
设外接圆的半径为，由正弦定理得，
所以，则，
故的外接圆面积的最大值为，故B正确；
由，
因为，故C正确；
因为，所以，由上述结论可知，
所以，故D错误．
题型11 解三角形的实际应用
【例11】（25-26高一下·宁夏·期中）为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（ ）米．
A．80 B．120 C． D．
【答案】C
【分析】先求，再利用余弦定理求得.
【详解】由题得到米，米，
所以由余弦定理得到，
即，
所以米.
【变式11-1】（25-26高一下·江苏淮安·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．

【答案】
【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可.
【详解】由题意知，平面，，，，.
因为平面，所以，.
在中，，所以.
在中，，所以.
在中，由余弦定理得，，
即，整理得，
即，解得或.
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
故.
【变式11-2】（25-26高一下·福建厦门·期中）（多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里
C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南
【答案】BCD
【分析】作出示意图，利用正弦定理、余弦定理解三角形，结合方向角的概念逐项判断即可.
【详解】作出示意图如下图所示：
对于A选项，由题意可知，故处在灯塔的西偏北，A错；
对于B选项，在中，，，，故，
由正弦定理得，故，
即处与处之间的距离是海里，B对；
对于C选项，在中，，，，
由余弦定理可得，
故，即灯塔与处之间的距离是海里，C对；
对于D选项，因为，则，故灯塔在处的西偏南，D对.
易错点1 边角互化中的“齐次”
【例1】（25-26高一下·上海浦东新·阶段检测）在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______.
【答案】1
【详解】∵，，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
设该三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，∴.
【变式1-1】（25-26高一下·江苏·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，．已知 ， ，则的面积为______．
【答案】
【分析】利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
由正弦定理得，
所以，
由于，
所以为钝角，故，
所以，
所以.
【变式1-2】（25-26高三上·河北衡水·期末）在中，内角所对边分别是，若，且，则外接圆的面积为__________.
【答案】
【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理求出外接圆半径即可.
【详解】由且，可得，
则由正弦定理可得，，
则，
因为，所以，则，
设外接圆半径为，则，得，
则外接圆的面积为.
故答案为：
易错点2 忽略锐角三角形这个条件
【例1】（25-26高一下·天津南开·期中）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________．
【答案】
【分析】利用正弦定理，得出关于角的三角等式，进而可求得的值即可；根据为锐角三角形求得角的取值范围，结合三角形的面积以及正弦函数的性质求面积取值范围.
【详解】已知，根据正弦定理，.
因为，且，化简得.
因为是锐角三角形，所以.
因为，所以，即.
因为为锐角三角形，故，解得.
由正弦定理，所以，.
因此面积.
由，得，故，
因此.
【变式2-1】（25-26高一下·福建南平·期中）已知锐角的内角所对的边为，向量，，且；
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量共线的坐标表示列式，再利用正弦定理边化角求解.
（2）由（1）的结论及正弦定理表示出，再利用和差角的正弦及余弦函数性质求解.
【详解】（1）由，，且，得，
由正弦定理得，而，则，
，又，所以.
（2）在中，，，由正弦定理得，
由，设，又为锐角三角形，则，
而，
因此
所以周长的取值范围是.
【变式2-2】（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC中点， ， ，求边a；
(3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式可得；
（2）利用以及余弦定理可得；
（3）利用正弦定理得，结合三角函数求值域.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，
在中， ，
所以，
即，
因为，所以，
因为，所以；
（2）因为，
所以，
，
又，所以，所以，
又因为，所以．
（3）由正弦定理得，可得， ，
，
，
因为是锐角三角形，且，则，
得，得，，， 故的周长最大值为6．
方法1 射影定理的应用
【例1】（25-26高一下·重庆·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，若，则__________.
【答案】
【详解】由正弦定理可得，
展开可得，
即，而为三角形内角，
所以或（舍，因为与题设矛盾），
所以，
所以
【变式1-1】（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为，则的最小值为__________
【答案】12
【详解】已知，
由正弦定理边化角得.
由于，
因此.
又，，所以，则.
因为的面积为，
所以，解得，
所以，当且仅当时等号成立，
因此的最小值为12.
【变式1-2】（25-26高三下·安徽合肥·月考）在中，角A，B，C的对边，b，c，且，则的值为_______.
【答案】2
【详解】根据余弦定理可得，
则即
再由正弦定理原式可化为，故.
方法2 基本不等式求最值
【例2】（25-26高一下·重庆·期中）如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（ ）

A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形面积公式化简得到，再利用向量的运算表示出，再利用基本不等式求解即可.
【详解】已知，，所以，化简得.
由是中点，，所以，
化简得，进而.
因为，所以.
由基本不等式，且，所以，当且仅当，
即，最小值为.
【变式2-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且满足，．
(1)若，求的值；
(2)求角的最大值，并判断此时的形状．
【答案】(1)
(2)，等腰直角三角形
【分析】（1）由正弦定理可得，从而求得；
（2）根据余弦定理及基本不等式分析可得，从而求得角的最大值，并判断的形状．
【详解】（1）中，由正弦定理得，
，．
（2）中，由余弦定理得，
当且仅当时，等号成立，
的最大值为，此时上式等号成立，
即，所以为等腰直角三角形．
【变式2-2】（25-26高一下·上海普陀·期中）在中，，则的最大值为________.
【答案】
【分析】先用正弦定理角化边，找到与之间的关系，再用表示，最后求函数的最大值.
【详解】由正弦定理得
因为，
所以
，
即，
则同号，与不能同时为钝角，所以，
，
因为，所以，当且仅当时取等
所以，则的最大值为.
方法3 利用三角函数的值域求范围
【例3】（25-26高一下·上海·期中）设向量，，函数.
(1)求的单调减区间；
(2)在中，若角满足，且边，求周长的取值范围.
【答案】(1)的单调减区间为，.
(2)
【分析】（1）先利用向量数量积坐标运算求出表达式，再用三角恒等变换把式子化成的形式再结合正弦函数单调递减区间列不等式，解出的范围即可得到单调减区间.
（2）先代入求出角的大小，再由已知边结合正弦定理把另外两边转化为角的正弦形式，将周长整理为单一三角函数形式，最后根据角的范围求出三角函数值域，进而得到三角形周长的取值范围.
【详解】（1） .
由，，解得，.
所以的单调减区间为，.
（2）由，得，即.
因为，所以，即.
已知，由正弦定理.
所以，.
又，，
则周长
.
由，得，所以.
即周长的取值范围是.
【变式3-1】（25-26高三下·河北保定·阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求b，c；
(3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解；
（2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解；
（3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解.
【详解】（1），
由正弦定理可得，
∴，
即，，
因为，所以，所以，
即，即，
又，∴，则．
（2）由（1）及题设可得，即，
整理得，解得（负值舍去），故．
（3）因为D为BC的中点，所以，
两边平方得，
在中，由余弦定理得，即，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，，
则，解得，
所以，所以，则，
即，
所以，所以中线AD的取值范围是．
【变式3-2】（2026·安徽合肥·三模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用正弦定理对已知边角关系式化角，约去后展开两角差余弦公式，化简求得角；
（2）由正弦定理把转化为正弦形式，将用代换，经三角恒等变换化简得；根据锐角三角形求出的范围，进而即得.
【详解】（1）由正弦定理， 为外接圆半径.
因为，所以，
即，化简为，
即，因为，所以．
（2）因为，所以，
又，
所以．
又是锐角三角形，则，解得，
所以，.
所以的取值范围为．
方法4 爪形结构中平面向量共线定理的应用
【例4】（25-26高一下·黑龙江·期中）在中，内角的对边分别为，且，锐角满足．
(1)求的值；
(2)若是线段的中点，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】(1)已知两边及其夹角，利用余弦定理计算边即可；
(2)求中线的值利用向量的平行四边形法则，将中线表示为相邻两边的向量和，利用向量模长的计算方法计算即可
【详解】（1）因为，且为锐角，所以，
又因，由余弦定理，．
（2）因为是线段的中点，所以，
则，
即，即的值为．
【变式4-1】（25-26高一下·重庆·期中）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，，.
(1)若，求的值；
(2)若的面积为，点满足，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理列式即可求出答案；
（2）根据求出，进而求得，再将两边同时平方，即可求出答案.
【详解】（1）在中，由余弦定理可得，
即，即，
解得或（舍去），
经检验，当时，为锐角三角形，符合题意，
所以；
（2）由，
得，
所以或，
因为为锐角三角形，故，
又因为点满足，所以，
，
得.
【变式4-2】（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）已知中，.
(1)如果，求的值；
(2)若，求边的长度.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）先根据余弦定理求出边长，再用余弦定理求.
（2）利用三角形中线长公式，结合已知条件求出边长.
【详解】（1）已知，由余弦定理和可得：
，即，
所以，
（2）由题意可得：，
又因为，所以是的中点，是边上的中线，
所以由三角形中线长公式可得：
，化简得，解得，
因为边长为正，故.
方法5 角平分线中等面积法和角平分线定理
【例5】（2026·四川成都·三模）已知的面积为，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，的角平分线交于点，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式对已知条件进行转化，进而求出角.
（2）先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理求出b，最后利用三角形面积公式求出线段的长.
【详解】（1）因为，，
所以 ，
即，所以.
又，所以.
（2）因为，所以，
所以
.
由正弦定理可得，，，
又，
所以，解得.
所以线段的长为.
【变式5-1】（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用同角三角函数平方关系化简三角等式，得到，再由正弦定理把角的关系转化为边的关系式，接着代入余弦定理求出，结合角的范围即可求得角的值为.
（2）由角平分线得两角均为，利用三角形面积拆分相等建立等式，化简推出，再将乘上定值式子展开，用基本不等式放缩求出最小值并验证等号成立条件.
【详解】（1）；
根据正弦定理化简得：，再由余弦定理，
代入上式得：，因为，所以.
（2）因为的角平分线与交于点，
所以，因为，
所以，
得，故；
所以 ，
当且仅当，即，时，等号成立；
故的最小值为.
【变式5-2】（2026·河南·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且.
(1)求角的大小；
(2)若点是上一点，且平分
①用，表示的长；
②求的取值范围.
【答案】(1)
(2)①②
【分析】（）由已知条件，利用正弦定理边角互化及两角和的正弦公式化简即可；
（2）①利用 化简即可求得；② 由①可得，根据角平分线的性质求得，利用三角恒等变换将转化为正切型函数，结合正切函数单调性即可求得.
【详解】（1）由和正弦定理，可得，
又，所以 ，
代入式得，因为，所以，
可得，即，又，所以；
（2）如下图：①因为平分，则，
由，可得
化简得，则；
②因为平分，所以，即，解得，
则由正弦定理，
，
因，则，，则，即，
故的取值范围是.
方法6 解三角形中的二倍角模型
【例6】（2026高三·全国·专题练习）分别为内角所对的边，并满足，，则________．
【答案】
【分析】利用余弦定理及正弦定理边化角，再利用和差角的正弦公式化简即得．
【详解】在中，由，得，
由余弦定理得，则，
由正弦定理得
则，由，得为锐角，
而，因此，解得，
所以．
【变式6-1】（25-26高二下·贵州遵义·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，且．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合正弦二倍角公式化简即可证明；
（2）由题意可得，根据三角恒等变换化简结合正弦函数性质计算求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可得，即，
所以或，
因为，若，则，不符合题意，
所以；
（2）因为，所以，
因为，且，
所以，
则
，
当时，，
由正弦函数性质可知，，
所以的取值范围.
【变式6-2】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，三个内角分别为，，，所对的三边长分别为，，，若，并且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目考查解三角形的综合应用，重点考查余弦定理，正弦定理，三角恒等变换与三角形内角和定理.解题关键是通过余弦定理的代入运算，利用正弦定理将边的关系转化为角的三角函数关系，再利用三角恒等式化简，得到内角之间的数量关系，进而求出未知角.
【详解】中，因为，由，，
所以，；
又因为，(为的外接圆的半径)，
，，，得，
又，，，
所以，
两角和的正弦公式，得，，，
中，，当时，所以，.
当时，矛盾，不存在，故选项D正确.
方法7 两次正弦定理
【例7】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度；
（2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：，
即，
因为，则，故，则为锐角，
所以，
因为，则，
在中，由正弦定理得，
所以，解得．
（2），则
由，得，.
由余弦定理可得：
.
在中，由正弦定理可得，
故，
在中，由正弦定理可得，
故，
因为，
所以．
【变式7-1】（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形，，，，.
(1)若，，求；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理证得为等腰直角三角形，再由余弦定理求即可；
（2）设，在与中利用正弦定理结合可得，展开化简即可得其正切值.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
即，
解得，所以，
则为等腰直角三角形，所以，
则．
在中，由余弦定理得
，
所以．
（2）设，则由题意可知，．
在中，由正弦定理得，即，
即，
在中，由正弦定理得，即，即，
又，所以，
所以，解得，所以．
【变式7-2】（2026·湖南怀化·二模）在中，为边上一点，．
(1)若，，求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，，，
根据余弦定理，，
故.
（2）因为，
所以，，．
设，则，，，
在中，由正弦定理可得，
即，
在中，由正弦定理可得，
即，
则 ，
化简可得，
则．
方法8 两次余弦定理
【例8】（2026·河南郑州·二模）如图，在中，为边上的一点，满足，且．
(1)求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦定理可得、，由可得，再结合即可得的值；
（2）设，利用余弦定理可表示出、，再利用（1）中所得即可得解.
【详解】（1）在中，由正弦定理可得，则，
在中，由正弦定理可得，则，
故，
由，则，
则，故；
（2）设，则，，
在中，由余弦定理可得
，
在中，由余弦定理可得
，
由（1）知，则，
故，
解得.
【变式8-1】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
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专题02 解三角形
知识点1 正弦定理
定理内容________（为外接圆半径）
边角互化
(1)________________
(2)________________________
(3)________
常用推论________
知识点2 余弦定理
定理内容
________
________
________
推论求角
________
________
________
边角判定三角形形状
为________
为________
为________
知识点3 三角形面积公式
核心公式________
拓展公式
________（为内切圆半径）
海伦公式________其中
知识点4 射影定理
在中
________
________
知识点5 中线与角平分线结论
1中线结论
设中为中点三边
①向量形式________
②中线长公式________
中线平方关系________
2角平分线结论
平分
①内角平分线定理________
②角平分线长公式________
知识点6 三角形内角基础关系
________
互补诱导公式
________
________
________
互余诱导公式
________
________
知识点7 三角恒等变换（解三角形高频）
和差公式
________
________
________
和差化积
________
________
________
________
二倍角公式
________
________$=$________$=$________
________
降幂公式
________
________
辅助角公式
________
知识点8 三角形最值与范围常考结论
1同边对角大边对________大角对________
2锐角三角形任意两角和________
3________
4已知两边一角三角形解的个数判定
________解
________解
________解
知识点9 外接圆内切圆半径公式
外接圆半径________
内切圆半径________
题型1 正弦定理解三角形（求边长或夹角）
【例1】（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）记的内角，，的对边分别是，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（25-26高一下·广西河池·期中）解下列三角形：
(1)，，；
(2)，，．
【变式1-2】（25-26高三·全国·一轮复习）在中，已知，，，求c．
题型2 余弦定理解三角形（求边长或夹角）
【例2】（25-26高一下·陕西渭南·期中）在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）在中，已知，，，则_________．
【变式2-2】（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ）
A． B． C． D．
题型3 三角形解的个数问题
【例3】（2026·四川广安·模拟预测）（多选）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则使此三角形只有唯一解的的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【变式3-1】（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（25-26高一下·河北唐山·期中）（多选）在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
题型4 判断三角形的形状
【例4】（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是锐角三角形
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则是锐角三角形
【变式4-1】（25-26高一下·重庆·期中）在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．有一个角是的直角三角形 D．有一个角是的等腰三角形
【变式4-2】（25-26高一下·福建莆田·期中）（多选）在中，角所对的边分别为，以下说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若是锐角三角形，则．
C．若，则为钝角
D．若，则为直角三角形
题型5 三角形面积公式应用
【例5】（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______．
【变式5-1】（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，则____________，的面积为____________．
题型6 求三角形的周长
【例6】（25-26高三下·江苏淮安·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【变式6-1】（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）在三角形中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，三角形的面积为，求三角形的周长.
【变式6-2】（2026·河南许昌·三模）的内角A，B，C的对边分别为．已知，．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长．
题型7 求周长面积的最值
【例7】（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值．
【变式7-1】（2026·广西桂林·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，条件①，条件②，条件③.
(1)求角A的大小；
(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分.
【变式7-2】（25-26高一下·浙江杭州·月考）在中，角的对边分别为，满足.
(1)若，求周长的最小值；
(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
题型8 求边长夹角的最值
【例8】（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知的内角所对的边分别为，且，．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长；
(3)求的取值范围．
【变式8-1】（2026·江西·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求角；
(2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围．
【变式8-2】（25-26高一下·江苏·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为．
(1)求；
(2)若，求内切圆面积的最大值；
(3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围．
题型9 几何图形中的计算
【例9】（25-26高一下·山东济南·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______.
【变式9-1】（2026·河南·三模）在平面四边形中，已知，，.
(1)求；
(2)若，，求.
【变式9-2】（25-26高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，且.
(1)求；
(2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积；
(3)若是的角平分线，，，求的长.
【变式9-3】（25-26高三上·山东德州·期中）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，．
(1)求角的大小；
(2)若，求；
(3)若，求
【变式9-4】（24-25高一下·河南漯河·月考）已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.
(1)求的值；
(2)求的长；
(3)若，求的面积.
题型10 综合复杂三角恒等变换的计算
【例10】（25-26高一下·重庆·期中）（多选）已知的内角满足，且（为的面积），记分别为所对的边，则下列结论正确的是（ ）
A．不可能为直角三角形 B．若，则
C． D．
【变式10-1】（2026·河南·模拟预测）（多选）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，外接圆的直径为1，若，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-2】（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）（多选）已知对任意角恒成立．设的内角满足的面积满足，记分别为角所对的边，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．外接圆面积的最大值为
C．
D．的最小值为64
题型11 解三角形的实际应用
【例11】（25-26高一下·宁夏·期中）为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（ ）米．
A．80 B．120 C． D．
【变式11-1】（25-26高一下·江苏淮安·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．

【变式11-2】（25-26高一下·福建厦门·期中）（多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里
C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南
易错点1 边角互化中的“齐次”
【例1】（25-26高一下·上海浦东新·阶段检测）在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______.
【变式1-1】（25-26高一下·江苏·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，．已知 ， ，则的面积为______．
【变式1-2】（25-26高三上·河北衡水·期末）在中，内角所对边分别是，若，且，则外接圆的面积为__________.
易错点2 忽略锐角三角形这个条件
【例1】（25-26高一下·天津南开·期中）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________．
【变式2-1】（25-26高一下·福建南平·期中）已知锐角的内角所对的边为，向量，，且；
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围．
【变式2-2】（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC中点， ， ，求边a；
(3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值．
方法1 射影定理的应用
【例1】（25-26高一下·重庆·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，若，则__________.
【变式1-1】（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为，则的最小值为__________
【变式1-2】（25-26高三下·安徽合肥·月考）在中，角A，B，C的对边，b，c，且，则的值为_______.
方法2 基本不等式求最值
【例2】（25-26高一下·重庆·期中）如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（ ）

A．4 B．2 C． D．
【变式2-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且满足，．
(1)若，求的值；
(2)求角的最大值，并判断此时的形状．
【变式2-2】（25-26高一下·上海普陀·期中）在中，，则的最大值为________.
方法3 利用三角函数的值域求范围
【例3】（25-26高一下·上海·期中）设向量，，函数.
(1)求的单调减区间；
(2)在中，若角满足，且边，求周长的取值范围.
【变式3-1】（25-26高三下·河北保定·阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求b，c；
(3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围．
【变式3-2】（2026·安徽合肥·三模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
方法4 爪形结构中平面向量共线定理的应用
【例4】（25-26高一下·黑龙江·期中）在中，内角的对边分别为，且，锐角满足．
(1)求的值；
(2)若是线段的中点，求的值．
【变式4-1】（25-26高一下·重庆·期中）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，，.
(1)若，求的值；
(2)若的面积为，点满足，求线段的长.
【变式4-2】（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）已知中，.
(1)如果，求的值；
(2)若，求边的长度.
方法5 角平分线中等面积法和角平分线定理
【例5】（2026·四川成都·三模）已知的面积为，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，的角平分线交于点，求线段的长.
【变式5-1】（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值.
【变式5-2】（2026·河南·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且.
(1)求角的大小；
(2)若点是上一点，且平分
①用，表示的长；
②求的取值范围.
方法6 解三角形中的二倍角模型
【例6】（2026高三·全国·专题练习）分别为内角所对的边，并满足，，则________．
【变式6-1】（25-26高二下·贵州遵义·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，且．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
【变式6-2】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，三个内角分别为，，，所对的三边长分别为，，，若，并且，则（ ）
A． B． C． D．
方法7 两次正弦定理
【例7】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，的面积为，求的值．
【变式7-1】（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形，，，，.
(1)若，，求；
(2)求的值.
【变式7-2】（2026·湖南怀化·二模）在中，为边上一点，．
(1)若，，求的长；
(2)求的值．
方法8 两次余弦定理
【例8】（2026·河南郑州·二模）如图，在中，为边上的一点，满足，且．
(1)求；
(2)若，求的值．
【变式8-1】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
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