资源简介

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专题02 平面向量的数量积及其应用
题型1 数量积的基本运算（重点） 题型7 向量中的垂直关系（常考点）
题型2 数量积的几何意义（难点） 题型8 向量在几何和物理上的应用
题型3 已知数量积求夹角（重点） 题型9 向量中的锐角、钝角问题（易错点）
题型4 已知数量积求模（重点） 题型10 数量积多选题汇编（重点）
题型5 求投影向量（常考点） 题型11 数量积解答题汇编（重点）
题型6 已知模、投影向量求数量积或夹角（常考点）
题型一 数量积的基本运算（共8小题）
1．（坐标法）（25-26高一下·重庆渝北·期中）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．8
2．（坐标法）（25-26高一下·河南漯河·期中）已知在矩形ABCD中，，分别为的中点，则（ ）
A． B． C．0 D．
3．（定义法）（25-26高一下·浙江·期中）已知与的夹角为，则（ ）
A．2 B． C． D．3
4．（定义法）（25-26高一下·四川成都·期中）在平行四边形中，，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．（基底法）（25-26高一下·江苏·期中）在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______．
6．（定义法）（25-26高一下·黑龙江·期中）如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
7.（基底法）（25-26高一上·江苏无锡·期末）如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______.
8．（基底法）（25-26高一下·山东淄博·期中）在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则_________．
题型二 数量积的几何意义（共6小题）
9．（25-26高一下·北京朝阳·期中）在Rt中，是斜边上的高，如图，则下列等式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，圆为的外接圆，，，则（ ）
A．10 B．20 C．26 D．52
11．（24-25高一下·山东威海·期末）已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（ ）
A． B．12 C． D．18
12．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知中，，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（25-26高一下·浙江·期中）已知中，，，为所在平面内一点，且，则_____．
14．（2026高一下·广东深圳·专题练习）已知的外接圆圆心为O，，则________.
题型三 已知数量积求夹角（共5小题）
15．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
16．（坐标法）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
17．（坐标法）（25-26高三上·江西鹰潭·月考）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2026·陕西铜川·一模）已知向量为单位向量，，则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
19．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知向量，满足，向量的夹角为．
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
题型四 已知数量积求模（共5小题）
20．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知向量，，则（ ）
A． B．3 C． D．4
21．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
22．（25-26高一下·河南驻马店·期中）如图，在正六边形中，若，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
23．（25-26高三上·北京昌平·期末）在中，，，则_______.
24．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，与的夹角是．计算
(1)；(2)．
题型五 求投影向量（共6小题）
25．（25-26高一下·四川成都·期中）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
26．（2026·湖南浙江·模拟预测）若向量满足，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
27.（25-26高一上·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
28．（2026·山东菏泽·一模）已知向量，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
29．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
30．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
题型六 已知模、投影向量求数量积或夹角（共9小题）
31．（25-26高一下·广东佛山·期中）已知向量在向量上的投影向量为，，则（ ）
A． B．4 C． D．8
32．（25-26高一下·新疆喀什·期中）已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
33．（25-26高一下·广西河池·期中）已知单位向量满足,（ ）
A．2 B． C． D．
34．（25-26高一下·河南开封·阶段检测）设，，是单位向量，且，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
35．（2026·云南昆明·二模）若平面内的两个向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
36.（25-26高一下·广东深圳·期中）已知向量，（），若在上的投影向量为，则与的夹角为__________.
37．（25-26高一下·天津·月考）已知非零向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
38．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知向量，满足，则在（为非零向量）上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
39．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知平面向量、、满足，且，则向量和向量的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
题型七 向量中的垂直关系（共4小题）
40．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．1
41．（25-26高一下·四川南充·期中）已知平面向量，，若，则________．
42．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________．
43．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知向量，的夹角为，，，则___________．
题型八 向量在几何和物理上的应用（共4小题）
44.（24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（ ）．
A． B． C． D．
45．（多选）（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（ ）

A．越大越费力，越小越省力 B．当时，
C．当时， D．当时，
46．（25-26高一下·重庆开州·月考）开中冯大师健身塑形取得阶段性成就，引体向上成绩尤为出色，经测试，当两臂夹角为身体处于平衡状态时，动作效果最佳.在此状态下，他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人.已知冯大师的体重为 62.5 kg，重力加速度取 10 m/s .此时平均每只胳膊的最大拉力大小约为多少.（ ）
A．N B．2500N C．1250N D．N
47．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（ ）
A． B． C． D．
题型九 向量中的锐角、钝角问题（共5小题）
48．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知向量，的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
49．（25-26高一下·河北廊坊·阶段检测）已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
50．（25-26高一下·山西·期中）已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.
51．（25-26高一下·北京·期中）已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________．
52．（25-26高一下·全国·课后作业）在中,,若为锐角,则实数的取值范围是____．
题型十 数量积多选题汇编（共8小题）
53．（多选）（25-26高一下·辽宁·期中）已知平面向量满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若＝5，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为2，则
D．若在上的投影向量为，则
54．（多选）（25-26高一下·宁夏·期中）已知平面向量，满足，，，则（ ）
A． B．与的夹角的余弦值为
C． D．在上的投影向量的坐标为
55．（多选）（25-26高一下·江苏·期中）已知向量满足，则（ ）
A．当时，与的夹角为 B．当时，在上的投影向量为
C．当与的夹角为时， D．的最大值为
56．（多选）（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，，均为单位向量，则（ ）
A． B．的最小值为
C．向量在向量上的投影向量为 D．
57．（多选）（25-26高一下·重庆万州·阶段检测）已知，，均为单位向量，则（ ）
A． B．
C．向量在向量上的投影向量为 D．的最小值为
58．（多选）（25-26高一下·海南海口·期中）下列选项中，正确的是（ ）
A．在平行四边形中，
B．在中，若，则为钝角三角形
C．若是的重心，则
D．若与的夹角为，则在方向上的投影向量为
59．（多选）（25-26高一下·广西南宁·期中）已知的外接圆圆心为，且，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．向量在向量上的投影向量为
60．（多选）（25-26高一下·江苏苏州·月考）下列说法正确的是（ ）
A．已知，，则的最小值为6
B．在中，若，则为钝角三角形
C．在中，已知，则向量在上的投影向量为
D．在中，若点满足，则为的垂心
题型十 数量积解答题汇编（共10小题）
61．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知向量．
(1)若与垂直，求的值；
(2)若向量，若与共线，求．
62．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知向量，，．
(1)当时，求k的值；
(2)当时，求k的值；
(3)若向量且，求实数x，k的值．
63．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）（1）已知平面向量，，，.
（i）若，求和的值；
（ii）在（i）的条件下，若，求实数的值；
（2）已知，若，求的最小值.
64．（25-26高一下·广西河池·期中）已知为平面向量，且．
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，且，求实数的值．
65．（25-26高一下·江苏苏州·期中）已知，，，.
(1)求实数的值；
(2)求和夹角的余弦值.
66．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）已知向量，．
(1)若向量在向量上的投影向量为，求实数的值；
(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围；
(3)对，求证：当取得最小值时，．
67．（25-26高一下·贵州遵义·期中）如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，其中，.
(1)当时，用向量表示与；
(2)求证：为定值.
68．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点.
(1)若，求实数，的值；
(2)若，且满足，
①求实数的值；
②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值.
69．（25-26高一上·浙江金华·期末）如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，.
(1)用向量、表示；
(2)若，，，求向量、夹角的余弦值.
70．（25-26高一下·湖北武汉·月考）对于平面向量，定义“变换”：，（）
(1)若向量，，求；
(2)已知，，且与不平行，，，证明：；
(3)若向量，求．
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专题02 平面向量的数量积及其应用
题型1 数量积的基本运算（重点） 题型7 向量中的垂直关系（常考点）
题型2 数量积的几何意义（难点） 题型8 向量在几何和物理上的应用
题型3 已知数量积求夹角（重点） 题型9 向量中的锐角、钝角问题（易错点）
题型4 已知数量积求模（重点） 题型10 数量积多选题汇编（重点）
题型5 求投影向量（常考点） 题型11 数量积解答题汇编（重点）
题型6 已知模、投影向量求数量积或夹角（常考点）
题型一 数量积的基本运算（共8小题）
1．（坐标法）（25-26高一下·重庆渝北·期中）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【详解】因为向量，，所以.
2．（坐标法）（25-26高一下·河南漯河·期中）已知在矩形ABCD中，，分别为的中点，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【详解】如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则.
∵分别为的中点，∴，
，
.
3．（定义法）（25-26高一下·浙江·期中）已知与的夹角为，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【详解】因为与的夹角为，
所以，
所以
4．（定义法）（25-26高一下·四川成都·期中）在平行四边形中，，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【详解】由向量的加法法则可知,
在平行四边形中，，，，
所以，,
故.
5．（基底法）（25-26高一下·江苏·期中）在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______．
【答案】1
【详解】如图所示,在边长为2的菱形中，，E为中点，
所以 ，
，
，
，
.
6．（定义法）（25-26高一下·黑龙江·期中）如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【详解】在梯形中，令，由，得，
由，得，所以
.
7.（基底法）（25-26高一上·江苏无锡·期末）如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______.
【答案】
【详解】因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以，
因为，所以，
所以.
因为，，，
所以
.
8．（基底法）（25-26高一下·山东淄博·期中）在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则_________．
【答案】
【详解】由为中线可得，.

又点为中线的三等分点，所以.
因为点为的中点，所以，
又，
所以.
题型二 数量积的几何意义（共6小题）
9．（25-26高一下·北京朝阳·期中）在Rt中，是斜边上的高，如图，则下列等式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：由，则，
又，，
则，故D正确.
10．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，圆为的外接圆，，，则（ ）
A．10 B．20 C．26 D．52
【答案】C
【详解】取、中点、，连接、，
由垂径定理可知，、，
则
.
11．（24-25高一下·山东威海·期末）已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（ ）
A． B．12 C． D．18
【答案】B
【详解】设是的中点，由，则，
所以，又，
则.
故选：B

12．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知中，，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】设，，
则，
从而三点共线.
当时，最小，
则时，，又，从而
，又三点共线，则，故，
所以.
13．（25-26高一下·浙江·期中）已知中，，，为所在平面内一点，且，则_____．
【答案】
【详解】由可知为的外心，
故.
14．（2026高一下·广东深圳·专题练习）已知的外接圆圆心为O，，则________.
【答案】
【详解】 .
如图，过点O作于点E，于点F.
根据数量积的几何定义，得
.
题型三 已知数量积求夹角（共5小题）
15．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可得，，代入数据得，则夹角为
16．（坐标法）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，，
所以，又因为，
所以.
故选：B.
17．（坐标法）（25-26高三上·江西鹰潭·月考）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，，
所以.
故选：A
18．（2026·陕西铜川·一模）已知向量为单位向量，，则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由可得，
解得，因，则.
故选：C.
19．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知向量，满足，向量的夹角为．
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由题意可得，，
则；
（2）由已知，，
，
则向量与的夹角的余弦值为.
题型四 已知数量积求模（共5小题）
20．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知向量，，则（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【详解】因为向量，，
所以，
所以.
21．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】解：由数量积的定义，
所以，
因此.
22．（25-26高一下·河南驻马店·期中）如图，在正六边形中，若，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】根据图知，，.
则，
所以.
故选：B.
23．（25-26高三上·北京昌平·期末）在中，，，则_______.
【答案】4
【详解】因为，，所以，
可知，
，
即.
故答案为：4.
24．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，与的夹角是．计算
(1)；(2)．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由已知，．
，
．
（2）
．
题型五 求投影向量（共6小题）
25．（25-26高一下·四川成都·期中）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意， 且 ；
根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为.
26．（2026·湖南浙江·模拟预测）若向量满足，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得.
27.（25-26高一上·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，化简得，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
28．（2026·山东菏泽·一模）已知向量，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以在上的投影向量为：.
29．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，，可得，
．而向量在向量上的投影向量为，
因，
故在上的投影向量为．
30．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，
是的外接圆圆心，是中点，
又，所以是等边三角形，，
设，则，作于H，则，
所以，
即为向量在向量上的投影向量，，
题型六 已知模、投影向量求数量积或夹角（共9小题）
31．（25-26高一下·广东佛山·期中）已知向量在向量上的投影向量为，，则（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】D
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，
所以.
32．（25-26高一下·新疆喀什·期中）已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】已知单位向量，满足，设与的夹角为
则，解得，
因为，故.
33．（25-26高一下·广西河池·期中）已知单位向量满足,（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】因为是单位向量，且，
所以，所以，
所以.
34．（25-26高一下·河南开封·阶段检测）设，，是单位向量，且，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】由，，得，，．
35．（2026·云南昆明·二模）若平面内的两个向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】因为，所以
所以，所以.
36.（25-26高一下·广东深圳·期中）已知向量，（），若在上的投影向量为，则与的夹角为__________.
【答案】/
【详解】由向量，，得，
由在上的投影向量为，
得，解得，因此，
而，则，
所以与的夹角为.
37．（25-26高一下·天津·月考）已知非零向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
所以两边平方得
将代入上式可得，
可得，又因为，
所以，
将，代入上式可得，
设，，
即，因此.
38．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知向量，满足，则在（为非零向量）上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由得，化简得，
在上的投影向量为：．
39．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知平面向量、、满足，且，则向量和向量的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为平面向量、、满足，且，
由题意可得，则，即，可得，
同理可得，，
所以，
，同理可得，
所以，
故向量和向量的夹角的余弦值为.
题型七 向量中的垂直关系（共4小题）
40．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】，
若，则，
即，解得.
故选：B.
41．（25-26高一下·四川南充·期中）已知平面向量，，若，则________．
【答案】1
【详解】因为，，所以，
又因为，所以，即，
解得.
42．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________．
【答案】4
【详解】由是夹角为的两个单位向量，得，
由，得，即，所以.
43．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知向量，的夹角为，，，则___________．
【答案】
【详解】由，得，即，所以.
又，所以，即.
所以.
题型八 向量在几何和物理上的应用（共4小题）
44.（24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设航船方向与河岸夹角为，所以，所以，
，分钟.
故选：C.
45．（多选）（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（ ）

A．越大越费力，越小越省力 B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】AD
【详解】对于A，由为定值，
所以，
解得；
由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增，
即越大越费力，越小越省力，故A正确；
对于B，当时，，故B错误
对于C，当时，，所以，故C错误；
对于D，当时，，所以，故D正确.
故选：AD.
46．（25-26高一下·重庆开州·月考）开中冯大师健身塑形取得阶段性成就，引体向上成绩尤为出色，经测试，当两臂夹角为身体处于平衡状态时，动作效果最佳.在此状态下，他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人.已知冯大师的体重为 62.5 kg，重力加速度取 10 m/s .此时平均每只胳膊的最大拉力大小约为多少.（ ）
A．N B．2500N C．1250N D．N
【答案】D
【详解】设两只胳膊的拉力分别为，，重力为，
则，
因为他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人，
所以，解得，
所以平均每只胳膊的最大拉力大小约为.
47．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短，
则，
又，故，.
题型九 向量中的锐角、钝角问题（共5小题）
48．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知向量，的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为向量，的夹角为钝角，
所以，解得.
49．（25-26高一下·河北廊坊·阶段检测）已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，.
由题意知，且与不反向共线，
当时，即，整理得，解得.
当与反向共线时，令，即，解得.
综上，的取值范围是.
50．（25-26高一下·山西·期中）已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.
【答案】且
【详解】由题设，又与的夹角为锐角，
所以，则，
所以，可得且.
51．（25-26高一下·北京·期中）已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________．
【答案】
【详解】向量，可得。
由, 得，所以 或，
若两向量共线，可得，即，解得或,
因为夹角为钝角时两向量不能共线，所以且，
所以的取值范围是.
综上，的取值范围是.
52．（25-26高一下·全国·课后作业）在中,,若为锐角,则实数的取值范围是____．
【答案】
【详解】三点组成三角形，则，即：，
据此可得：，且：，
则满足题意时有：，
即，解得：.
综上可得，实数的取值范围是或.
题型十 数量积多选题汇编（共8小题）
53．（多选）（25-26高一下·辽宁·期中）已知平面向量满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若＝5，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为2，则
D．若在上的投影向量为，则
【答案】ABC
【详解】对于A，因为，
所以，即与同向，所以，故A正确；
对于B，，则，
所以，故B正确；
对于C，由题，则，
由，得，故C正确；
对于D，由题，则，
由得，D错误．
54．（多选）（25-26高一下·宁夏·期中）已知平面向量，满足，，，则（ ）
A． B．与的夹角的余弦值为
C． D．在上的投影向量的坐标为
【答案】AC
【详解】对于A项，，因为，所以，
即，得到，故A正确；
对于B项，设与的夹角为，则，故B错误；
对于C项，因为，所以，故C正确；
对于D项，在上的投影向量为 ，故D错误.
55．（多选）（25-26高一下·江苏·期中）已知向量满足，则（ ）
A．当时，与的夹角为 B．当时，在上的投影向量为
C．当与的夹角为时， D．的最大值为
【答案】BCD
【详解】对于A，设向量的夹角为，由向量夹角公式，由于,所以，故A错误；
对于B，由，两边平方化简得：，因为在上的投影向量为，代入数据可得，故B选项正确；
对于C，由当与的夹角为，，，故C正确；
对于D，，令，，这里，当时，取最大值，故的最大值为，故D正确；
56．（多选）（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，，均为单位向量，则（ ）
A． B．的最小值为
C．向量在向量上的投影向量为 D．
【答案】ACD
【详解】已知，，均为单位向量，则，
对其展开得：，
代入模长得，解得，
选项A：，两向量垂直，A正确；
选项B：，
这是开口向上的二次函数，最小值在处取得，最小值为，
因此的最小值为，B错误；
选项C：向量在向量上的投影向量为，C正确；
选项D：，夹角范围为，因此，D正确.
57．（多选）（25-26高一下·重庆万州·阶段检测）已知，，均为单位向量，则（ ）
A． B．
C．向量在向量上的投影向量为 D．的最小值为
【答案】ABC
【详解】因为，
故，故A正确；
因为，
所以，
又，所以，故B正确；
向量在向量上的投影向量为，故C正确；
，
当时，取得最小值，取得最小值，故D 错误.
58．（多选）（25-26高一下·海南海口·期中）下列选项中，正确的是（ ）
A．在平行四边形中，
B．在中，若，则为钝角三角形
C．若是的重心，则
D．若与的夹角为，则在方向上的投影向量为
【答案】ACD
【详解】在平行四边形中，与 方向相同，长度相等，所以，所以A正确；
在中，与的夹角为，若，则，
所以为锐角，不能说明为钝角三角形，所以B错误；
若是的重心，记的中点为，
则，
即，所以C正确；
若与的夹角为，
则在方向上的投影向量为，
所以D正确.
59．（多选）（25-26高一下·广西南宁·期中）已知的外接圆圆心为，且，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．向量在向量上的投影向量为
【答案】ABD
【详解】由 可得，
整理得，A正确．
为的直径，，设，则，
所以为等边三角形，，B正确．
，C错误.
向量在向量上的投影向量为，D正确．
60．（多选）（25-26高一下·江苏苏州·月考）下列说法正确的是（ ）
A．已知，，则的最小值为6
B．在中，若，则为钝角三角形
C．在中，已知，则向量在上的投影向量为
D．在中，若点满足，则为的垂心
【答案】ACD
【详解】对于A选项，因为，
又，所以，
所以，当且仅当时等号成立，故A正确；
对于B选项，，故， 所以为锐角， 故不能判断为钝角三角形，故B错误；
对于C选项，如图设线段的中点为，
则，，
所以，所以，
设，则.在上的投影向量为,故C正确；
对于D选项，因为，所以
故，同理可得，故为的垂心，故D正确．
题型十 数量积解答题汇编（共10小题）
61．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知向量．
(1)若与垂直，求的值；
(2)若向量，若与共线，求．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1），
，
由垂直关系：，
解得：.
（2），
，
若与共线，则，
所以.
，
所以.
62．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知向量，，．
(1)当时，求k的值；
(2)当时，求k的值；
(3)若向量且，求实数x，k的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）由，可得，解得．
（2）因为，所以，解得．
（3）因为，
所以，解得．
63．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）（1）已知平面向量，，，.
（i）若，求和的值；
（ii）在（i）的条件下，若，求实数的值；
（2）已知，若，求的最小值.
【答案】（1）（i）， ；（ii）；（2）最小值为
【详解】（1）（i）由，代入向量坐标得，
可得方程组，解得，.
（ii）由（i）得，故，则，，
由两向量平行的坐标关系得，
化简得，解得.
（2）由，，得，
则，
令，其对称轴为，
当时，，
因此，的最小值为.
64．（25-26高一下·广西河池·期中）已知为平面向量，且．
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，且，求实数的值．
【答案】(1)或；(2)或
【详解】（1）设，由，所以，又，
所以，解得或，
所以或；
（2）由，所以，
，
又，
所以，解得或.
65．（25-26高一下·江苏苏州·期中）已知，，，.
(1)求实数的值；
(2)求和夹角的余弦值.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1），解得，
由，则，解得；
（2）由，则，，
，则，，
故.
66．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）已知向量，．
(1)若向量在向量上的投影向量为，求实数的值；
(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围；
(3)对，求证：当取得最小值时，．
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析．
【详解】（1）向量在向量上的投影向量为，
因为，，代入可得：；
故，化简得：，解得；
（2）因为向量与的夹角为锐角，等价于，且向量与不共线，
故需满足：，解得：；
故的取值范围为；
（3）为关于的二次函数，
因为，所以时，取到最小值，
即在时取最小值；
此时；
故．
67．（25-26高一下·贵州遵义·期中）如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，其中，.
(1)当时，用向量表示与；
(2)求证：为定值.
【答案】(1)，；(2)证明见解析
【详解】（1）因为AQ为边BC的中线，
所以，
当时，，所以；
（2）由（1）可知，
所以，
而，
所以
又因为M，P，N三点共线，
所以 ，可得（定值）.
68．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点.
(1)若，求实数，的值；
(2)若，且满足，
①求实数的值；
②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值.
【答案】(1)，；(2)①；②
【详解】（1）因为，所以，所以，
又，且与不共线，由平面向量基本定理得，.
（2）①因为，，三点共线，所以存在实数使得，
所以，
因为，所以，所以.
又，所以.
因为与不共线，所以，解得，.
②由①可知，，且，，
所以，
因为，，三点共线，所以，且，，
所以
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
69．（25-26高一上·浙江金华·期末）如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，.
(1)用向量、表示；
(2)若，，，求向量、夹角的余弦值.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由题意可得.
（2）解法一：由（1）得
，
因为为的中点，所以，
从而，
，
所以，
故向量、夹角的余弦值为；
解法二：因为，
又因为，所以，
所以为等腰直角三角形，
如图，以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.
可得、、、、，
则，，
所以，
故向量、夹角的余弦值为；
解法三：因为，
又因为，所以，
所以为等腰直角三角形，
如图，以为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.
可得、、、、、
，
从而，，
所以，
故向量、夹角的余弦值为.
70．（25-26高一下·湖北武汉·月考）对于平面向量，定义“变换”：，（）
(1)若向量，，求；
(2)已知，，且与不平行，，，证明：；
(3)若向量，求．
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)
【详解】（1）根据题意可得，，，
代入变换可得，即；
（2），
得，同理可得，
；
所以，
则，，
所以；
（3）因为
；
且
所以
；
因此
由，
可得，
即，又，解得．
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