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北京市东直门中学2025-2026学年高一第二学期6月阶段考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.在中，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线下列四个命题：
若，，，则
若，，，则
若，，，则
若，，则或
其中所有真命题的序号是( )
A. B. C. D.
4.设甲：，乙：，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的值为
B. 若与夹角为钝角，则的取值范围是
C. 若在方向上的投影向量的模为，则
D. 若，则与夹角为
6.函数是( )
A. 奇函数，且最小值为 B. 奇函数，且最大值为
C. 偶函数，且最小值为 D. 偶函数，且最大值为
7.在锐角中，，则( )
A. B. C. D.
8.在所在平面内一点满足：，则点是的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
9.如图，矩形中，分别为边上的动点，且则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.如图，正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，为正方形边上的动点不与重合，则下列结论正确的个数是( )

平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形
存在点，使得直线与平面垂直
平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等
点到平面的距离不超过
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.某中学高三学生有人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，若抽到的女生有人，则该校高三男生人数为 ．
12.已知，则 ．
13.已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是 ．
14.已知函数的部分图象如图所示则 ， ．
15.如图，在三棱锥中，，，，为的中点，是棱上的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ，点到平面的距离为 ．
16.在中，，，．为所在平面内的动点，且，若，给出下面四个结论：
的最大值为； 的最小值为；
的最小值为； 的最大值为．
其中正确命题的序号是 写出所有正确命题的序号
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.在平面直角坐标系中，已知点，点满足．
当时，求点的坐标；
若，求的值．
18.在中，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．
条件：；
条件：；
条件：．
19.已知函数的一个零点为．
求；
当时，若的值域为，求的取值范围．
20.小明利用地图软件统计出他近期次早上从家到公司的导航过程中的红灯等待时间，他将数据分成了，，，，单位：秒这组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．
Ⅰ求图中的值；
Ⅱ估计小明红灯等待时间的第百分位数结果精确到；
Ⅲ根据以上数据，估计小明在接下来的次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于秒的次数．
21.如图，在四棱锥中，平面，，．
求证：平面；
求证：平面平面；
设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值．
22.已知行列的数表的分量都是非零整数．若数表满足如下两个性质，则称数表为规范表：
对任意，，，，中有个，个；
存在，使得，，，都是正整数．
分别判断数表，是否为规范表；直接写出结论
当时，是否存在规范表满足？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由；
当时，是否存在规范表满足？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.解：因为点，所以．
又因为点满足，所以．
当时，，所以，
所以点的坐标为．
由点，可得，
因为，且，
所以，
所以．

18.Ⅰ；Ⅱ选择条件不符合题意；选择条件或：．
19.；
．
20.Ⅰ；
Ⅱ；
Ⅲ．
21.解：因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面．
因为，，所以，
因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
因为平面，平面平面，
平面，所以，因为点为的中点，
所以点为的中点，所以．

22.数表，，
当时，，，中有个，个；
当时，，，中有个，个；
满足条件；
，当时，，，均为正整数，满足条件，
综上是规范表；
数表，，
当时，，，中有个，个；不满足条件，
则不是规范表．
不存在．用反证法．
假设存在规范表满足，
令，则；
另一方面，根据性质：，
即对任意；
另一方面，由条件，存在，使，矛盾．
所以假设不成立，即不存在符合题意的规范表．
存在符合题意的规范表．
构造：考虑满足如下条件的数表，
其中，
并且当时，相邻两列与，
满足对成立，
则数表为符合题意的规范表；
估值：以下证明，当为偶数且时，
规范表满足．
事实上，用表示规范表第行中的个数，
其中为偶数，令，则，
从而，据此可知为偶数，为奇数．
设为规范表，则为奇数．
另一方面，由条件知相邻两行有个分量符号相反，
据此可知第行与第行至多有个分量符号相反，即，
所以，，
，
这表明综合所述，的最小值是．
因为，所以的最小值是．

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