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专题03 复数
知识点1 复数的基本概念
核心知识填空
1复数的定义形如________的数为虚数单位
2实部与虚部________为实部________为虚部虚部不含
3虚数单位基本规定________
4复数分类
实数________
虚数________ 纯虚数________且________
5复数相等条件________
6复数大小规则________不能比较大小只有________可以比较大小
7虚数单位幂次规律周期为________________________________________
8通用幂次公式________________________________
知识点2 复数的几何意义、模长与轨迹问题
核心知识填空
1复平面定义横轴为________纵轴为________
2一一对应关系
复数 复平面点________
复数 平面向量________
3复数的模向量模长________模为________实数
4模长核心性质
________即________
________
________
________
________
三角不等式________________
复数轨迹模型
1轨迹为以________对应点为圆心________为半径的________
2轨迹为________
知识点3 共轭复数
核心知识填空
1共轭复数定义则________
2几何意义与对应点关于________对称
3基础运算性质
________结果恒为________
________结果为________或0
________$=$________
4复数类型判定
为________
且为________
5共轭运算通用性质
________
________
________
知识点4 复数四则运算
核心知识填空
设
1加法________
2减法________
3乘法________
4除法分母实数化________
方法技巧填空
1加减运算________分开运算
2乘法运算多项式展开后替换________
3除法运算分子分母同乘________实现分母实数化
知识点5 复数范围内一元二次方程的根
核心知识填空
1实系数一元二次方程
当方程有________
当方程有________
当方程________有________
2共轭虚根定理实系数一元二次方程若存在虚根虚根必定________
3虚根求根公式________
4韦达定理复数范围________实系数方程根与系数关系________
5虚系数一元二次方程________共轭虚根成对定理
知识点6 复数常见易错点总结
1虚部是________不是________
2纯虚数必须同时满足________且________
3只有________可以比较大小________无大小关系
4复数的模恒为________
5实数范围内在复数范围内________
题型1 复数的相等
【例1】（25-26高一下·天津河北·期中）已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（ ）
A．1 B．1或-4 C． D．0或
【变式1-1】（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）已知，（i为虚数单位），则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式1-2】（25-26高三下·陕西榆林·阶段检测）设，，则（ ）
A．－1 B． C． D．1
题型2 复数的类型求参数
【例2】（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）复数z满足（其中）.
(1)若复数z为实数，求m的值；
(2)若复数z为纯虚数，求m的值.
【变式2-1】（25-26高一下·安徽合肥·期中）若复数是纯虚数，则实数__________.
【变式2-2】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值.
(1)实数；
(2)纯虚数；
(3)零.
题型3 复数的四则运算
【例3】（江西九江市共青城博雅学校等校高三5月高考适应性检测数学试题）已知复数满足，则的实部为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2026·重庆·三模）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2026·上海·三模）已知复数（i为虚数单位），则______．
题型4 判断复数所在的象限及求参数
【例4】（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式4-1】（25-26高一下·贵州贵阳·期中）已知复数．
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围．
【变式4-2】（25-26高一下·重庆·期中）已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型5 复数对应点的特征及向量运算
【例5】（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内的长方形的四个顶点中，点，，对应的复数分别是，，，则点对应的复数为________．
【变式5-1】（2025高三·全国·专题练习）（1）已知，，，，为复平面的原点，试写出所表示的复数；
（2）已知复数，在复平面内画出这些复数对应的向量；
（3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点对应的复数分别是，
求点D对应的复数．
【变式5-2】（25-26高一下·山西大同·阶段检测）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
题型6 求复数的模长
【例6】（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）已知复数，则（ ）
A． B．5 C．3 D．
【变式6-1】（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点坐标为，为的共轭复数，则=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式6-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）若复数Z满足：，则__________．
题型7 由复数的模型求参数
【例7】（25-26高一下·山西晋中·期中）（多选）在复平面内，复数对应点分别为.已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（2024·吉林·模拟预测）复数满足，则________.
【变式7-2】（25-26高三上·广东·阶段检测）已知复数，其中，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型8 复数范围内方程的根
【例8】（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知复数，其中是正实数，是虚数单位.
(1)如果，求实数的值；
(2)如果，是关于的方程（）的一个复根，求，的值.
【变式8-1】（25-26高一下·重庆江北·期中）设，已知是关于的方程的两个虚根.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的值.
【变式8-2】（25-26高一下·天津南开·期中）已知复数，其中为虚数单位，．
(1)若是纯虚数，求实数的值；
(2)当时，复数是关于的方程的一个根，求的值；
(3)当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
题型9 复数的乘方运算
【例9】（25-26高一下·河南商丘·期中）已知复数满足（i为虚数单位），则（ ）
A．1 B． C．i D．
【变式9-1】（25-26高一下·陕西咸阳·期中）（ ）
A．1 B． C． D．
【变式9-2】（2026·新疆·二模）（多选）已知复数z满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型10 共轭复数
【例10】（25-26高一下·山东临沂·期中）已知复数满足，则___________．
【变式10-1】（2026·江西·模拟预测）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（25-26高二下·安徽·期中）若复数，满足，则（ ）
A．-1 B．1 C． D．
题型11 复数的三角表示
【例11】（25-26高一下·江苏南京·期中）任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】（2026·山东滨州·一模）（多选）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为
B．在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为
【变式11-2】（2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（ ）
A． B． C． D．
易错点1 求复数的虚部
【例1】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知复数，则复数的虚部为（ ）
A．i B． C．1 D．
【变式1-1】（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知复数，则复数的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式1-2】（25-26高一下·广西南宁·期中）若复数，则z的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．2
易错点2 复数不能比较大小
【例1】（25-26高一下·上海普陀·期末）若复数，则实数的取值为__________.
【变式2-1】已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（25-26高一上·四川绵阳·期中）（多选）已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若z为纯虚数，则复数z在复平面内对应的点在虚轴上
C．若复数z满足，则复数z的虚部为
D．若，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为
方法1 复数的模长对应的轨迹与最值
【例1】（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）已知且，则的最大值是______________．
【变式1-1】（25-26高一下·浙江·期中）若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（ ）
A．[4，6] B． C． D．
【变式1-2】（24-25高一下·河南郑州·期末）（多选）设，在复平面内z对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（ ）．
A．若，则点Z的集合是圆
B．若，则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界）
C．若，则点Z的集合是y轴所在的直线
D．若，则点Z的集合是一、三象限角平分线
方法2 复数范围内方程的根互为共轭复数
【例2】（25-26高一下·湖南益阳·期中）（多选）关于的方程的复数解为，，则（ ）
A．
B．与互为共轭复数
C．设，在复平面内对应的点在实轴上
D．若复数满足，则的最小值是3
【变式2-1】（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）对于实系数一元二次方程，在复数范围内的解是，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则，且 B．若，则，，且
C．一定有， D．一定有
【变式2-2】（25-26高一下·上海普陀·期末）已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________.
方法3 复数的复杂运算时先设复数一般形式列方程
【例3】（25-26高一下·山东济宁·期中）若复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【变式3-1】（2026·山东青岛·一模）（多选）已知复数均不为0，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2026·四川遂宁·模拟预测）设、为共轭复数，若，，则__________ .
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专题03 复数
知识点1 复数的基本概念
核心知识
1复数的定义形如的数为虚数单位
2实部与虚部为实部为虚部虚部不含
3虚数单位基本规定
4复数分类
实数
虚数
纯虚数且
5复数相等条件
6复数大小规则虚数不能比较大小只有实数可比较大小
7虚数单位幂次规律周期为4
8通用幂次公式
知识点2 复数的几何意义、模长与轨迹问题
核心知识
1复平面定义横轴为实轴纵轴为虚轴
2一一对应关系
复数 复平面点
复数 平面向量
3复数的模向量模长模为非负实数
4模长核心性质
即
三角不等式
复数轨迹模型
1轨迹为以对应点为圆心为半径的圆
2轨迹为两点连线的垂直平分线
知识点3 共轭复数
核心知识
1共轭复数定义则
2几何意义与对应点关于实轴对称
3基础运算性质
结果恒为实数
结果为纯虚数或0
4复数类型判定
为实数
且为纯虚数
5共轭运算通用性质
知识点4 复数四则运算
核心知识
设
1加法
2减法
3乘法
4除法分母实数化
方法技巧
1加减运算实部虚部分开运算
2乘法运算多项式展开后替换
3除法运算分子分母同乘分母共轭复数实现分母实数化
知识点5 复数范围内一元二次方程的根
核心知识
1实系数一元二次方程
当方程有两个不相等实数根
当方程有两个相等实数根
当方程无实数根有一对共轭虚根
2共轭虚根定理实系数一元二次方程若存在虚根虚根必定成对互为共轭复数
3虚根求根公式
4韦达定理复数范围仍成立实系数方程根与系数关系不变
5虚系数一元二次方程无共轭虚根成对定理根可以为单个虚根
知识点6 复数常见易错点总结
1虚部是实数不是
2纯虚数必须同时满足实部为0且虚部不为0
3只有实数可以比较大小任意虚数无大小关系
4复数的模恒为非负实数
5实数范围内在复数范围内不成立
题型1 复数的相等
【例1】（25-26高一下·天津河北·期中）已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（ ）
A．1 B．1或-4 C． D．0或
【答案】C
【分析】根据复数相等公式，列式求解.
【详解】由条件可知，，解得.
【变式1-1】（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）已知，（i为虚数单位），则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【详解】解：由题可得，
解得．
【变式1-2】（25-26高三下·陕西榆林·阶段检测）设，，则（ ）
A．－1 B． C． D．1
【答案】C
【详解】由题意得，解得，所以
题型2 复数的类型求参数
【例2】（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）复数z满足（其中）.
(1)若复数z为实数，求m的值；
(2)若复数z为纯虚数，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】由复数的分类，写出满足题意的条件，即可求得实数的值.
【详解】（1）若复数（其中）为实数，
则其虚部，解得.
（2）若复数（其中）为纯虚数，
则其实部为零，且虚部不为零，
即，解得.
【变式2-1】（25-26高一下·安徽合肥·期中）若复数是纯虚数，则实数__________.
【答案】0
【详解】因为为实数，且复数是纯虚数，
所以，且，解得（舍去）.
【变式2-2】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值.
(1)实数；
(2)纯虚数；
(3)零.
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数为实数的定义可得；
（2）根据复数为纯虚数的定义可得；
（3）根据复数为零的定义可得.
【详解】（1）因为，所以复数的实部为，虚部为，
若复数为实数，
则，解得或.
因此，或时，复数为实数.
（2）若复数为纯虚数，
则，解得；
因此，时，复数为纯虚数.
（3）若复数为零，
则，解得；
因此，时，复数为零.
题型3 复数的四则运算
【例3】（江西九江市共青城博雅学校等校高三5月高考适应性检测数学试题）已知复数满足，则的实部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，，
，，
故的实部为.
【变式3-1】（2026·重庆·三模）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的乘法法则运算求解.
【详解】．
【变式3-2】（2026·上海·三模）已知复数（i为虚数单位），则______．
【答案】
【详解】由题意可得.
题型4 判断复数所在的象限及求参数
【例4】（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限
【变式4-1】（25-26高一下·贵州贵阳·期中）已知复数．
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用纯虚数的定义求解a的值；
（2）利用复数的几何意义表示z＋2i对应的点，再求出a的取值范围.
【详解】（1）由已知得：，解得：；
（2）复数在复平面内对应的点的坐标为 ，
则，解得：．
【变式4-2】（25-26高一下·重庆·期中）已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数的模的公式结合可求出的取值范围，确定复数实部和虚部的符号，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】由，则，得，
复数化简得，
由可得，，
则复数对应的点在第三象限.
题型5 复数对应点的特征及向量运算
【例5】（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内的长方形的四个顶点中，点，，对应的复数分别是，，，则点对应的复数为________．
【答案】
【分析】设，根据列方程组即可求解.
【详解】记为复平面的原点，由题意得，，．
设，则，．
由题意知，，所以，解得，
故点对应的复数为．
故答案为：.
【变式5-1】（2025高三·全国·专题练习）（1）已知，，，，为复平面的原点，试写出所表示的复数；
（2）已知复数，在复平面内画出这些复数对应的向量；
（3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点对应的复数分别是，
求点D对应的复数．
【答案】（1）答案见解析；（2）图象见解析；（3）
【分析】（1）由复数的向量表示可得；（2）由复数的坐标表示可得；（3）设，由复数的向量和坐标表示计算可得.
【详解】（1）表示的复数为；表示的复数为；表示的复数为；表示的复数为．
（2）设复数1对应的向量为，其中；
复数对应的向量为，其中；
复数对应的向量为，其中；
复数对应的向量为，其中．
如图所示：
（3）记为复平面的原点，由题意得．
设，则，．
由题意知，，所以即
故点D对应的复数为．
【变式5-2】（25-26高一下·山西大同·阶段检测）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】向量对应的复数为，点A的坐标为，
点A关于y轴的对称点为B，点B的坐标为
向量对应的复数为．
题型6 求复数的模长
【例6】（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）已知复数，则（ ）
A． B．5 C．3 D．
【答案】A
【详解】由题设 .
【变式6-1】（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点坐标为，为的共轭复数，则=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由复平面内点的坐标可得复数，进而表示出共轭复数，最后利用模长公式求出.
【详解】解：由复数z在复平面内对应的点坐标为，则，
所以，因此.
【变式6-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）若复数Z满足：，则__________．
【答案】
【详解】对等式两边同时取模，可得.
题型7 由复数的模型求参数
【例7】（25-26高一下·山西晋中·期中）（多选）在复平面内，复数对应点分别为.已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】设，根据题设条件列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】设，
因为，可得，
解得或，
所以或.
【变式7-1】（2024·吉林·模拟预测）复数满足，则________.
【答案】
【分析】设，结合复数的几何意义，列出方程组即可求解.
【详解】设复数，
由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，
由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，
联立，解得，所以，
经检验，满足，
则.
故答案为：.
【变式7-2】（25-26高三上·广东·阶段检测）已知复数，其中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的模计算公式解得答案.
【详解】因为，所以，化简得，
解得.
故选：B.
题型8 复数范围内方程的根
【例8】（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知复数，其中是正实数，是虚数单位.
(1)如果，求实数的值；
(2)如果，是关于的方程（）的一个复根，求，的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复数共轭相乘的运算规则，算出化简后为，结合已知等式列方程求解，再根据为正实数确定的取值.
（2）先把代入求出，再通过分母实数化化简得到复根，将其直接代入一元二次方程，展开分离实部与虚部，利用复数相等条件列方程组，进而解出和的值.
【详解】（1）复数的共轭复数，
所以
由题设，故，解得.
因为是正实数，所以.
（2）当时，，化简.
因为是方程的根.
所以将直接代入方程：.
展开计算得
整理得.
所以解得
【变式8-1】（25-26高一下·重庆江北·期中）设，已知是关于的方程的两个虚根.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)32
【分析】（1）利用实系数一元二次方程的韦达定理，由求出，再结合虚根条件，即可求得的取值范围；
（2）先通过韦达定理和求出和，再解方程求出两个虚根，最后通过利用的周期性即可求得结果.
【详解】（1）（1）对于实系数一元二次方程，有，
又因为，所以，即，
因为是关于的方程的两个虚根，
所以，即，
所以的取值范围为.
（2）由韦达定理知，，即，，
因为，所以，
因为方程有虚根，所以，所以，即.
所以方程为，解得，即，
所以，
故.
【变式8-2】（25-26高一下·天津南开·期中）已知复数，其中为虚数单位，．
(1)若是纯虚数，求实数的值；
(2)当时，复数是关于的方程的一个根，求的值；
(3)当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用纯虚数的概念即可求解；
（2）实系数一元二次方程虚根的共轭性结合韦达定理即可求解；
（3）根据向量夹角为钝角进而得，且与不共线，解出即可.
【详解】（1）由题意得：，所以；
（2）当时，，由复数是关于的方程的一个根，
所以是方程的另一个根，
所以，
所以；
（3）当时，，所以复数所对应的平面向量为，
当时，，所以复数所对应的平面向量为，
所以，，
因为向量与的夹角为钝角，
所以，且与不共线，
所以，
所以.
题型9 复数的乘方运算
【例9】（25-26高一下·河南商丘·期中）已知复数满足（i为虚数单位），则（ ）
A．1 B． C．i D．
【答案】D
【分析】根据的计算公式化简求，再化简求.
【详解】因为，所以，所以，
所以.
【变式9-1】（25-26高一下·陕西咸阳·期中）（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】
【变式9-2】（2026·新疆·二模）（多选）已知复数z满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】因式分解求解判断A；利用实系数一元二次方程韦达定理判断B；变形判断C；利用等式性质推理判断D.
【详解】对于A，由，得，而，因此，A正确；
对于B，由，得，
则方程的两个虚根互为共轭复数，因此，B正确；
对于C，由，得，因此，C错误；
对于D，由，得，因此，
则，D正确.
题型10 共轭复数
【例10】（25-26高一下·山东临沂·期中）已知复数满足，则___________．
【答案】
【详解】设，则，
，
代入原式得，
，即，解得，
．
【变式10-1】（2026·江西·模拟预测）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的模、复数的乘法、共轭复数求解即可.
【详解】设（），则，，所以.
所以，
解得，代入中，解得，
故.
【变式10-2】（25-26高二下·安徽·期中）若复数，满足，则（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】A
【详解】由和，得是方程的两个根，
解得，它们互为共轭复数，设，
所以.
题型11 复数的三角表示
【例11】（25-26高一下·江苏南京·期中）任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的三角形式表示，再应用复数的乘方计算结合诱导公式及特殊角三角函数求解.
【详解】由题意可得，
故
，
即的虚部为.
【变式11-1】（2026·山东滨州·一模）（多选）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为
B．在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为
【答案】ABC
【分析】对于A，根据题意可得，即可得虚部；对于B，根据题意可得，结合复数的几何意义分析判断；对于C，根据题意结合诱导公式分析判断；对于D，由题意可得，结合面积公式分析判断.
【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故A正确；
对于B，因为，
所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确；
对于C，因为，，
所以，即，故C正确；
对于选项D：因为，，
则在复平面内分别对应点，
可得，，
则面积为，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为，故D错误.
【变式11-2】（2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由棣莫弗公式，.
易错点1 求复数的虚部
【例1】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知复数，则复数的虚部为（ ）
A．i B． C．1 D．
【答案】C
【分析】利用虚数单位的幂次周期性化简复数，再根据复数虚部的定义确定结果.
【详解】虚数单位的幂次具有周期性，周期为4，对任意，
满足： ，，，，
则，故，因此，
根据复数虚部的定义：形如的复数，虚部为实数，可得的虚部为1.
【变式1-1】（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知复数，则复数的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】求得，即可得答案.
【详解】因为，
所以复数z的虚部为1.
【变式1-2】（25-26高一下·广西南宁·期中）若复数，则z的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】，所以z的虚部是1．
易错点2 复数不能比较大小
【例1】（25-26高一下·上海普陀·期末）若复数，则实数的取值为__________.
【答案】
【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可.
【详解】，
，解得，
故实数的取值为.
【变式2-1】已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以，所以，所以，
解得或，所以实数a的取值范围是.
【变式2-2】（25-26高一上·四川绵阳·期中）（多选）已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若z为纯虚数，则复数z在复平面内对应的点在虚轴上
C．若复数z满足，则复数z的虚部为
D．若，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为
【答案】BC
【分析】根据复数的性质逐一判断选项.
【详解】对于A，复数无法比大小，复数的模可以比大小，A选项错误；
对于B，纯虚数时，在复平面内对应的点在虚轴上，B选项正确；
对于C，，则，
复数的虚部为，C选项正确；
对于D，，
即复数在复平面内对应的点所构成的图形是一个半径为的圆，
则圆的面积，D选项错误.
故选：BC
方法1 复数的模长对应的轨迹与最值
【例1】（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）已知且，则的最大值是______________．
【答案】
【分析】利用复数模的几何意义，将问题转化为圆上动点到定点的距离最大值问题，即圆心到定点的距离与半径之和.
【详解】由可知，复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆；
表示点到定点的距离；
因为；
所以的最大值为.
【变式1-1】（25-26高一下·浙江·期中）若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（ ）
A．[4，6] B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数及复数模的几何意义求解即可.
【详解】在复平面内，设对应的点为，
则表示到点的距离为，
表示动点到点的距离，
因为，
所以．
【变式1-2】（24-25高一下·河南郑州·期末）（多选）设，在复平面内z对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（ ）．
A．若，则点Z的集合是圆
B．若，则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界）
C．若，则点Z的集合是y轴所在的直线
D．若，则点Z的集合是一、三象限角平分线
【答案】ABC
【分析】根据各项复数模的关系式，确定对应点轨迹，即可得.
【详解】A：表示以原点为圆心，1为半径的圆，对；
B：表示以原点为圆心，半径分别为1、2的两个圆所成圆环（含边界），对；
C：表示到两点距离相等的点，即为轴所在直线，对；
D：表示到两点距离相等的点，即为二、四象限的角平分线，错.
故选：ABC
方法2 复数范围内方程的根互为共轭复数
【例2】（25-26高一下·湖南益阳·期中）（多选）关于的方程的复数解为，，则（ ）
A．
B．与互为共轭复数
C．设，在复平面内对应的点在实轴上
D．若复数满足，则的最小值是3
【答案】BCD
【分析】借助韦达定理与求根公式得到复数根，结合共轭复数定义、复数幂运算、复数模的几何意义逐一检验选项.
【详解】对于方程，由韦达定理得，，
由求根公式得，.
对于选项A：，故A错误.
对于选项B：与实部相等、虚部互为相反数，因此二者互为共轭复数，故B正确.
对于选项C：由 ，
得 ，
在复平面内对应点，在实轴上，故C正确.
对于选项D：由，得 ，
表示复平面内以原点为圆心、为半径的圆，
表示圆上点到的距离，
因此最小值为，故D正确.
【变式2-1】（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）对于实系数一元二次方程，在复数范围内的解是，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则，且 B．若，则，，且
C．一定有， D．一定有
【答案】AC
【分析】借助复数范围内一元二次方程根的判别式与根与系数的关系及求根公式，逐项计算并判断即可得.
【详解】对于A，当时，，故A正确；
对于B，当时，则，，
则，，但，故B错误；
对于C，由一元二次方程根与系数的关系可得，，故C正确；
对于D，，故D错误.
【变式2-2】（25-26高一下·上海普陀·期末）已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________.
【答案】或
【分析】根据一元二次方程是否有根，结合一元二次方程的判别式、根与系数的关系分类讨论进行求解即可.
【详解】关于x的方程的两个根分别为，，
当时，即当时，方程有两个实数根分别为，，
有，
由
，显然满足，因此.
当时，即当时，方程有两个虚数根分别为，，
根据一元二次方程虚数根的特点，设，则，
由，
由，
由，显然满足，
综上所述：实数 ，或.
方法3 复数的复杂运算时先设复数一般形式列方程
【例3】（25-26高一下·山东济宁·期中）若复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可.
【详解】设，则，
所以，
因为，所以
，即，
则
.
【变式3-1】（2026·山东青岛·一模）（多选）已知复数均不为0，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】设复数，
对于A，易知，
所以，可得A正确；
对于B，易知，
由可得，所以，即B正确；
对于C，，
而，所以，即C错误；
对于D，根据C中分析可知，即可得，所以D正确.
【变式3-2】（2026·四川遂宁·模拟预测）设、为共轭复数，若，，则__________ .
【答案】
【分析】设，则，进而可得，得到，可得，再结合模长公式求解．
【详解】设，则，
所以，则，可得，
因为，且，
所以，故，故，则．
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