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专题01 平面向量
知识点1 平面向量基本概念
1.数学中，把既有大小又有方向的量叫做向量
2.向量不可以（可以/不可以）比较大小，向量的模可以比较大小
3.向量几何表示：用有向线段表示，有向线段的长度表示向量大小，有向线段的方向表示向量方向
4.向量两种表示：有向线段表示、字母表示
5.零向量：长度为0的向量，记作，方向任意
6.单位向量：长度等于1个单位长度的向量
7.非零向量同向单位向量：，反向单位向量：
8.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
9.规定：零向量与任意向量平行
10.相等向量：长度相等且方向相同的向量
11.结论：相等向量一定共线，共线向量不一定相等
12.相反向量：大小相等、方向相反的向量；的相反向量为，满足
知识点2 平面向量线性运算
1.向量加法两大法则：三角形法则、平行四边形法则
2.三角形法则：向量首尾相连；平行四边形法则：向量起点相同
3.加法交换律：
4.加法结合律：
5.向量减法：
6.减法几何法则：三角形法则，差向量终点指向被减向量终点
7.实数与向量的积记作，结果仍为向量
8.数乘模长：
9.数乘方向：，方向相同；，方向相反；，结果为
10.数乘分配律：；
11.数乘结合律：
12.中点向量公式：为中点，
13.重心向量公式：为重心，
14.定比分点：，则
15.封闭多边形向量和为
知识点3 向量共线定理与三点共线
1.向量共线定理：向量与非零向量共线存在唯一实数，使得
2.共线定理关键前提：向量不能为零向量
3.零向量与任意向量共线
4.三点共线结论：若，则A、B、C共线
5.若，则三点不共线
知识点4 平面向量基本定理
1.基底条件：是同一平面内不共线的两个向量
2.基本定理：平面内任意向量，存在唯一的一对实数，使得
3.基底不唯一（唯一/不唯一），同一基底下分解系数唯一
4.正交基底：基底两向量互相垂直
5.正交分解：向量在正交基底下的分解
6.标准正交基底：互相垂直且为单位向量的基底
7.分解唯一性：若且不共线，则
知识点5 平面向量坐标运算
设
1.
2.
3.
4.，口诀：终点减起点
5.向量共线坐标条件：
6.向量共线不能（能/不能）写分式形式
7.（）
8.向量垂直坐标条件：
知识点6 平面向量数量积
1.两非零向量夹角为，范围
2.向量同向夹角，反向夹角，垂直夹角
3.数量积定义：
4.在上投影：；在上投影：
5.投影取值：正数、负数、零
6.数量积几何意义：一个向量模长乘以另一向量在该向量方向上的投影
7.交换律：
8.数乘结合律：
9.分配律：
10.数量积不满足结合律
11.模长公式：
12.数量积坐标公式：
13.夹角公式：
14.向量垂直：
15.模积不等式：
16.模长平方公式：
17.锐角条件：且两向量不共线同向
18.钝角条件：且两向量不共线反向
知识点7 极化恒等式
1.通用公式：
2.三角形中点模型：中为中点，
3.任意中点模型：为中点，为任意点，
知识点8 等和线（最值专题）
1.，满足的点轨迹为等和线
2.所有等和线互相平行
3.时，等和线为直线
4.，在原点与直线之间；或，在直线外侧
知识点9 奔驰定理与三角形四心
1.若，则
2.面积占比：，，
3.重心向量：，面积比
4.内心向量：
5.外心向量：
6.垂心向量：
题型1 平面向量的概念辨析
【例1】（24-25高一下·山西·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式1-1】（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系
D．向量的模是一个非负实数
题型2 平面向量的简单线性运算
【例2】（24-25高一下·陕西西安·期末）（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（24-25高一下·安徽淮北·期末）（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（25-26高一上·安徽·期末）（多选）下列向量运算正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3 平面向量在几何图形中的线性运算
【例3】（25-26高二上·贵州遵义·期末）在平行四边形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（24-25高一下·河北唐山·期末）（多选）在中，为边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
题型4 平面向量中三点共线与向量共线问题
【例4】（24-25高二下·福建福州·期末）已知向量，不共线，若与共线，则实数k的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（24-25高一下·湖北孝感·期末）已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（ ）
A．1 B．
C． D．-2
【变式4-2】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为________．
题型5 平面向量的基底辨析
【例5】（24-25高一下·福建泉州·期中）（多选）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式5-1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）（多选）设，是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式5-2】（23-24高一下·上海·期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
题型6 由平面向量基本定理求参数
【例6】（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式6-1】（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______.
【变式6-2】（25-26高一上·北京西城·期末）在中，E，F为BC边的两个三等分点，若，则______．
题型7 平面向量的共线定理及其推论
【例7】（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为________.
【变式7-1】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，．设，，，．

(1)化简：；
(2)求证：为定值；
【变式7-2】（24-25高一下·天津和平·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，记（），则______．

题型8 求平面向量的数量积
【例8】（25-26高三上·湖北襄阳·期末）已知和的夹角为，且，则（ ）
A．1 B． C．3 D．-1
【变式8-1】（25-26高二上·云南昆明·期末）已知空间单位向量的夹角为，则（ ）
A． B． C．1 D．
【变式8-2】（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（ ）．
A．7 B．1 C． D．
题型9 由平面向量数量积模长与夹角
【例9】（2026·湖北十堰·二模）已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（25-26高一上·安徽·期末）已知，且.
(1)求向量与的夹角；
(2)求.
【变式9-2】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知与是非零向量，，且．
(1)求与的夹角；
(2)求．
题型10 投影向量
【例10】（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为________.
【变式10-2】（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
题型11 平面向量数量积的最值与范围
【例11】（25-26高三上·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【变式11-1】（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】（24-25高一下·福建莆田·期末）已知点是的重心，过点的直线分别交边于点，设，，则__________；若，则的最小值是__________.
题型12 平面向量的坐标线性运算
【例12】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则________．
【变式12-1】（25-26高一上·北京·期末）如图，在正方形中，点在上，且，若，则__________；__________．

【变式12-2】（24-25高三上·湖南·月考）已知点为扇形的弧上任意一点，且，若，则的取值范围是__________.
题型13 平面向量的数量积坐标运算
【例13】（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，四边形中，为等边三角形，，则______
【变式13-1】（2024·浙江·二模）在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______．
题型14 平面向量坐标表示平行与垂直
【例14】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）向量，且，则（ ）
A． B．3 C． D．
【变式14-1】（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式14-2】（25-26高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，，设．
(1)若，求的值；
(2)若向量满足，且，求向量的坐标．
【变式14-3】（25-26高三上·黑龙江大庆·期中）（多选）已知向量，，则（ ）
A．向量的夹角为
B．若，则
C．向量在向量上的投影向量为
D．若，则
题型15 平面向量在物理中的应用
【例15】（24-25高二下·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　）
A． B． C． D．
【变式15-1】（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么__________ N.（）

【变式15-2】（25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力
易错点1 向量夹角为锐角/钝角
【例1】（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知平面向量，满足：，，与的夹角为.
(1)求；
(2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【变式1-1】（24-25高一下·福建福州·期末）已知，，与的夹角为.
(1)求，并表示出在方向上的投影向量；
(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【变式1-2】（24-25高一下·上海·期末）已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________．
易错点2 数量积的夹角，共起点
【例2】等边三角形中，与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（24-25高一下·云南昭通·期末）在中，，则（ ）
A．9 B．18 C． D．
【变式2-2】（24-25高一下·河北保定·期末）在中，若，则（ ）
A． B． C． D．0
易错点3 数量积不满足结合律
【例3】（25-26高三上·江苏盐城·期中）（多选）若、、是非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【变式3-1】（24-25高一下·湖北黄冈·期末）（多选）关于平面向量，下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则存在，使得
B．向量与不共线，则与都是非零向量
C．若，则
D．若向量与同向，且，则
【变式3-2】（24-25高一下·河南周口·阶段检测）（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C．若，且，则 D．
方法1 用基底法求向量的数量积
【例1】（25-26高一上·浙江台州·期末）在中，点为上一点且满足，设，，，.
(1)用、表示向量；
(2)若，求边的长度.
【变式1-1】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接.
(1)试用和表示；
(2)若，，.
①求；
②求.
【变式1-2】（24-25高一下·广东茂名·期末）已知是边长为6的等边三角形，D是上靠近A的三等分点，点E在边上.
(1)用、表示；
(2)若，求的值；
(3)设与交于点，且，求.
方法2 特殊几何图形用建系的方法求数量积/最值
【例2】（24-25高三上·福建泉州·期中）（多选）已知扇形的半径为1，，点在弧上运动，，下列说法正确的有（ ）
A．当位于点时，的值最小 B．当位于点时，的值最大
C．的取值范围为 D．的取值范围
【变式2-1】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12
【变式2-2】已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________；最小值是__________．

方法3 极化恒等式求共起点数量积问题
【例3】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【变式3-1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，已知正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________.
【变式3-2】（25-26高三上·江西抚州·期末）已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（ ）
A．1 B．4 C．9 D．15
方法4 平面向量的四心向量表示
【例4】（23-24高二下·安徽宣城·期末）（多选）中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．若为重心，则
C．若点满足，则
D．若，则点的轨迹一定通过的内心
【变式4-1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知O为△ABC外心，，，若，其中，，则的最小值为__________.
【变式4-2】（24-25高一下·湖南长沙·期末）（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点为的外心（外接圆圆心）
B．若，则动点的轨迹一定通过的重心
C．若，，分别表示，的面积，则
D．若，则点是的内心
方法5奔驰定理
【例5】（23-24高一下·福建莆田·期中）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心 内心 外心 垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是:已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【变式5-1】（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（ ）

A． B． C． D．
【变式5-2】（24-25高一下·广东·阶段检测）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）

A．
B．O有可能是的重心
C．若O为的外心，则
D．若O为的内心，则为直角三角形
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专题01 平面向量
知识点1 平面向量基本概念
1.数学中，把既有大小又有方向的量叫做向量
2.向量不可以（可以/不可以）比较大小，向量的模可以比较大小
3.向量几何表示：用有向线段表示，有向线段的长度表示向量大小，有向线段的方向表示向量方向
4.向量两种表示：有向线段表示、字母表示
5.零向量：长度为0的向量，记作，方向任意
6.单位向量：长度等于1个单位长度的向量
7.非零向量同向单位向量：，反向单位向量：
8.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
9.规定：零向量与任意向量平行
10.相等向量：长度相等且方向相同的向量
11.结论：相等向量一定共线，共线向量不一定相等
12.相反向量：大小相等、方向相反的向量；的相反向量为，满足
知识点2 平面向量线性运算
1.向量加法两大法则：三角形法则、平行四边形法则
2.三角形法则：向量首尾相连；平行四边形法则：向量起点相同
3.加法交换律：
4.加法结合律：
5.向量减法：
6.减法几何法则：三角形法则，差向量终点指向被减向量终点
7.实数与向量的积记作，结果仍为向量
8.数乘模长：
9.数乘方向：，方向相同；，方向相反；，结果为
10.数乘分配律：；
11.数乘结合律：
12.中点向量公式：为中点，
13.重心向量公式：为重心，
14.定比分点：，则
15.封闭多边形向量和为
知识点3 向量共线定理与三点共线
1.向量共线定理：向量与非零向量共线存在唯一实数，使得
2.共线定理关键前提：向量不能为零向量
3.零向量与任意向量共线
4.三点共线结论：若，则A、B、C共线
5.若，则三点不共线
知识点4 平面向量基本定理
1.基底条件：是同一平面内不共线的两个向量
2.基本定理：平面内任意向量，存在唯一的一对实数，使得
3.基底不唯一（唯一/不唯一），同一基底下分解系数唯一
4.正交基底：基底两向量互相垂直
5.正交分解：向量在正交基底下的分解
6.标准正交基底：互相垂直且为单位向量的基底
7.分解唯一性：若且不共线，则
知识点5 平面向量坐标运算
设
1.
2.
3.
4.，口诀：终点减起点
5.向量共线坐标条件：
6.向量共线不能（能/不能）写分式形式
7.（）
8.向量垂直坐标条件：
知识点6 平面向量数量积
1.两非零向量夹角为，范围
2.向量同向夹角，反向夹角，垂直夹角
3.数量积定义：
4.在上投影：；在上投影：
5.投影取值：正数、负数、零
6.数量积几何意义：一个向量模长乘以另一向量在该向量方向上的投影
7.交换律：
8.数乘结合律：
9.分配律：
10.数量积不满足结合律
11.模长公式：
12.数量积坐标公式：
13.夹角公式：
14.向量垂直：
15.模积不等式：
16.模长平方公式：
17.锐角条件：且两向量不共线同向
18.钝角条件：且两向量不共线反向
知识点7 极化恒等式
1.通用公式：
2.三角形中点模型：中为中点，
3.任意中点模型：为中点，为任意点，
知识点8 等和线（最值专题）
1.，满足的点轨迹为等和线
2.所有等和线互相平行
3.时，等和线为直线
4.，在原点与直线之间；或，在直线外侧
知识点9 奔驰定理与三角形四心
1.若，则
2.面积占比：，，
3.重心向量：，面积比
4.内心向量：
5.外心向量：
6.垂心向量：
题型1 平面向量的概念辨析
【例1】（24-25高一下·山西·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【分析】由向量既有大小又有方向判断选项A；由相等向量的定义判断选项B；分析当为零向量时的情况判断选项C；根据相等向量的传递性判断选项D.
【详解】向量不能比较大小，A错误；
表示向量大小相等，方向相同，所以，B正确；
若是零向量，零向量平行于任意向量，此时即使满足、，但和也可以不平行，C错误；
由得、与同向；由得、与同向，因此、与同向，即，D正确.
【变式1-1】（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解.
【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立；
反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立，
故“”是“且”的充分不必要条件，
故选：A.
【变式1-2】（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系
D．向量的模是一个非负实数
【答案】D
【分析】根据相等向量的概念判断A；根据共线向量的定义判断B；由向量的性质判断C；根据空间向量模的定义判断D.
【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确；
对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，
若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误；
对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确；
对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确.
故选：D.
题型2 平面向量的简单线性运算
【例2】（24-25高一下·陕西西安·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：．
【变式2-1】（24-25高一下·安徽淮北·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】利用平面向量加减运算求解即可．
【解答】
．
【变式2-2】（25-26高一上·安徽·期末）（多选）下列向量运算正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据平面向量的加减法法则，结合具体选项，逐一分析即可.
【详解】对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：，故D正确.
故选：ABD.
题型3 平面向量在几何图形中的线性运算
【例3】（25-26高二上·贵州遵义·期末）在平行四边形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先得到即为的中点，，从而得到.
【详解】，故，
即为的中点，所以与相交于点，
又，，所以，，
故.
故选：B
【变式3-1】（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作出符合题意的图形，结合平面向量的加法和减法法则求解即可.
【详解】因为，所以是的中点，，
因为，所以是上靠近的三等分点，，
如图，连接，，作出平行四边形，

由题意得
，故C正确.
故选：C
【变式3-3】（24-25高一下·河北唐山·期末）（多选）在中，为边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据平面向量的加减法运算法则及数乘运算计算求解.
【详解】在中，，A选项正确；
，B选项正确；
在中，为边的中点，则，C选项错误；
，所以D选项错误；
故选：AB.
题型4 平面向量中三点共线与向量共线问题
【例4】（24-25高二下·福建福州·期末）已知向量，不共线，若与共线，则实数k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量平行得到，得到方程组，求出答案.
【详解】因为与共线，所以存在实数x使，
故，解得，.
故选：A.
【变式4-1】（24-25高一下·湖北孝感·期末）已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（ ）
A．1 B．
C． D．-2
【答案】B
【分析】存在实数k使（），化简得到方程组，舍去不合要求的根，求出.
【详解】与反向共线，则存在实数k使（），
于是，
由于，不共线，所以有，整理得，解得或.
又因为，所以，故.
答案：B
【变式4-2】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为________．
【答案】3
【分析】由平面向量减法运算得出，再由三点共线得，列出方程组求解即可．
【详解】由已知得，，
若，，三点共线，则，即，
所以，解得，
故答案为：3．
题型5 平面向量的基底辨析
【例5】（24-25高一下·福建泉州·期中）（多选）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】BC
【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，假设，则使得，
因为不共线得且，则无解，
故，不共线可作为一组基底；
对于B，因为，所以，不能作为基底；
对于C，因为，所以，不能作为基底；
对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底.
故选:BC.
【变式5-1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）（多选）设，是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】ABD
【分析】根据基底的概念只需要判断各选项的向量是否共线即可.
【详解】不共线的向量可以作为一组基，所以不能作为一组基的便是共线向量，
对于A，因为，所以和不共线，可以作为基底；
对于B，因为，所以和不共线，可以作为基底；
对于C，因为，所以和共线，不可以作为基底；
对于D，因为，所以和不共线，可以作为基底．
故选：ABD．
【变式5-2】（23-24高一下·上海·期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【分析】利用向量共线的判断方法来推理，即可得到选项．
【详解】对于A，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项A中两个向量能作为基底，故A错误；
对于B，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项B中两个向量能作为基底，故B错误；
对于C，因为，所以与共线，即选项C中两个向量不能作为基底，故C正确；
对于D，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项D中两个向量是能作为基底，故D错误；
故选：C．
题型6 由平面向量基本定理求参数
【例6】（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用共线定理即可求出.
【详解】由题意得三点共线，则，
又，，则，
，.
故选：D.
【变式6-1】（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______.
【答案】/0.25
【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值．
【详解】由题意及图，，
又，所以，
所以，
又 ，所以，解得m，t．
故答案为：．
【变式6-2】（25-26高一上·北京西城·期末）在中，E，F为BC边的两个三等分点，若，则______．
【答案】
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，求得和，得到，结合，求得的值，即可求解.
【详解】因为为边上的两个三等分点，可得，
则，
，
所以.
又因为，所以，
所以，所以.
故答案为：.
题型7 平面向量的共线定理及其推论
【例7】（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为________.
【答案】
【分析】先根据平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算，得到的关系，再利用基本不等式，求和的最小值.
【详解】因为点在上，所以，
因为是的中点，所以，
又因为，（，），
所以，
所以，，计算可得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
【变式7-1】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，．设，，，．

(1)化简：；
(2)求证：为定值；
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）利用向量的运算法则求解；
（2）由题意求得，结合三点共线，得到，即可求解.
【详解】（1）因为是的中点，所以，
又是的中点，所以，
所以.
（2）由题，可得，，
，
因为三点共线，所以，
所以.
【变式7-2】（24-25高一下·天津和平·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，记（），则______．

【答案】
【分析】根据向量的线性运算和共线定理求解即可.
【详解】根据题意可知，，
因为三点共线，所以存在实数使得，
又因为三点共线，所以存在实数使得，
所以，解得，
所以，
所以，，，
故答案为：
题型8 求平面向量的数量积
【例8】（25-26高三上·湖北襄阳·期末）已知和的夹角为，且，则（ ）
A．1 B． C．3 D．-1
【答案】D
【分析】利用向量数量积的运算律及数量积的定义即得.
【详解】因为和的夹角为，，，
所以.
故选：D.
【变式8-1】（25-26高二上·云南昆明·期末）已知空间单位向量的夹角为，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解.
【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，
则，
所以.
故选：A.
【变式8-2】（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（ ）．
A．7 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可.
【详解】因为.
故选：B.
题型9 由平面向量数量积模长与夹角
【例9】（2026·湖北十堰·二模）已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，而，则，
因此，又，所以与的夹角为．
【变式9-1】（25-26高一上·安徽·期末）已知，且.
(1)求向量与的夹角；
(2)求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据向量数量积运算，结合已知条件，直接计算即可；
（2）由（1）中所求数量积，结合数量积运算律，求解即可.
【详解】（1）由，得，
即，解得，又，所以.
（2）由（1）得，，故可得：，
则.
【变式9-2】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知与是非零向量，，且．
(1)求与的夹角；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量垂直得，然后由向量夹角公式计算可得结果；
（2）利用数量积的运算律先求，即可得到的值.
【详解】（1）因为，所以，即，
又，所以，所以，
又，可得与的夹角为．
（2）因为，，
所以，
所以．
题型10 投影向量
【例10】（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可知，向量，满足，，，
所以 ，
则在上的投影向量为 .
【变式10-1】（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为________.
【答案】
【分析】由题可得是直角三角形，解三角形可得，由投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，所以，即.
所以圆心为的中点，即是圆的直径，所以，且.
因为，即，所以，所以.
又向量方向上的单位向量为，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
【变式10-2】（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由可得，再利用投影向量的公式求解即可．
【详解】，两边平方得，解得，
向量在向量上的投影向量为.
故选：D
题型11 平面向量数量积的最值与范围
【例11】（25-26高三上·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可．
【详解】设，因为四边形是菱形，
所以，
由点是的中点，得，
由题意得，，
所以
，
因为，所以的取值范围是．
故选：D．
【变式11-1】（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据题意可得与的夹角，然后表示，利用二次函数的性质计算即可.
【详解】由题可知：设，则，
，
又的最小值为，则的最小值为3，
所以当时，有，又，所以.
设，则，
所以，
当时，有最小值为.
故选：C
【变式11-2】（24-25高一下·福建莆田·期末）已知点是的重心，过点的直线分别交边于点，设，，则__________；若，则的最小值是__________.
【答案】 3 /
【分析】根据重心性质得到，进而，由共线定理得推论得到，并由余弦定理得到，，表达出，由基本不等式求出最小值.
【详解】点是的重心，故，
又，，所以，
又三点共线，故，解得，
，由余弦定理得
，
故，
由余弦定理得，
因为，，
所以，
又，且，
由基本不等式得，解得，
所以.
故答案为：3，
题型12 平面向量的坐标线性运算
【例12】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则________．
【答案】4
【分析】结合图象建立直角坐标系，得出向量，，坐标，利用向量关系列方程组求出，进而求解．
【详解】设图中方格单位为1，建立下图所示直角坐标系，
则，，
，
，
，解得，
．
故答案为：4．
【变式12-1】（25-26高一上·北京·期末）如图，在正方形中，点在上，且，若，则__________；__________．

【答案】
【分析】建立直角坐标系，利用正方形的性质结合已知条件求出相关点坐标，进而得出相关向量坐标，利用构造方程组求解．
【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示坐标系，

设正方形边长为3，则，，
，，
，
，
，解得．
故答案为：；．
【变式12-2】（24-25高三上·湖南·月考）已知点为扇形的弧上任意一点，且，若，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.
【详解】方法一：设圆的半径为1，由已知可设为轴的正半轴，为坐标原点，过O点作x轴垂线为y轴建立直角坐标系，
其中，其中，
由，
即，整理得，
解得，
则，
所以.
方法二：设，如图，当位于点或点时，三点共线，所以；
当点运动到的中点时，，所以
故答案为：
题型13 平面向量的数量积坐标运算
【例13】（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，四边形中，为等边三角形，，则______
【答案】/
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解即可.
【详解】因为，
所以，即，
如图，建立平面直角坐标系，
又为等边三角形，所以，
则，
所以，
则.
【变式13-1】（2024·浙江·二模）在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】根据题意建立直角坐标系，把转化为，利用二次函数求最值即可.
【详解】
如图所示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则：、
不妨设
则
∴，
∴的最小值为，当且仅当时取得.
题型14 平面向量坐标表示平行与垂直
【例14】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）向量，且，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】先由向量的平行可得，再由向量的垂直可得，再根据向量的模的计算公式可得.
【详解】因为，所以，得，所以，
因为，所以，得，所以，
所以，故.
故选：B.
【变式14-1】（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由得，再结合模长公式及数量积的坐标表示即可求解.
【详解】由得，即，又，，所以，解得
故选：C
【变式14-2】（25-26高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，，设．
(1)若，求的值；
(2)若向量满足，且，求向量的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出的坐标，再根据向量的坐标运算求出，最后根据可得；
（2）设，根据模长以及向量平行的坐标运算列出方程组求解.
【详解】（1）由题意得，，
则，
又，所以，得；
（2）设，则，即，
因为，，所以，即，
故或，
故向量的坐标为或.
【变式14-3】（25-26高三上·黑龙江大庆·期中）（多选）已知向量，，则（ ）
A．向量的夹角为
B．若，则
C．向量在向量上的投影向量为
D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据向量夹角的坐标运算、向量垂直的坐标表示、投影向量的求法、向量平行的坐标表示依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，，
，又，
，A正确；
对于B，，，解得：，B正确；
对于C，向量在向量上的投影向量为，C错误；
对于D，，，
，，解得：，D正确.
故选：ABD.
题型15 平面向量在物理中的应用
【例15】（24-25高二下·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出合力的坐标，结合平面向量数量积可得到共点力对物体做的功.
【详解】由题意得，共点力的合力为，
对物体做的功为.
故选：B.
【变式15-1】（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么__________ N.（）

【答案】100
【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案.
【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，设，，
所以，，，
由题意可得，
所以，即，
解得，.
故答案为：100
【变式15-2】（25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力
【答案】A
【分析】根据平行四边形法则，结合合力与分力的关系、余弦函数的单调性逐一判断即可.
【详解】设，，，

由题意可得：四边形为菱形且，，
因为与的夹角为，，
则，
即.
对于，当时，，
则，即正确；
对于，当时，，
则，即错误；
对于，，当取最大值时，有最小值，
又，即当时，取不到最小值，即错误；
对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误．
故选：
易错点1 向量夹角为锐角/钝角
【例1】（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知平面向量，满足：，，与的夹角为.
(1)求；
(2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量数量积的定义求解即可；
（2）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不同向共线，再利用向量积的运算和共线运算即可.
【详解】（1）因为，，与的夹角为，
所以；
（2）因为向量与的夹角为锐角，
所以且与不同向共线.
可得：，
将，，代入上式可得：，
整理得：，可得.
若两向量同向共线，则存在实数，使得，即.
所以，解得.
所以当两向量不同向共线时，.
综合以上两个条件，实数的取值范围是.
【变式1-1】（24-25高一下·福建福州·期末）已知，，与的夹角为.
(1)求，并表示出在方向上的投影向量；
(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）由数量积的定义、投影向量的定义即可求解；
（2）由题意当且仅当向量与的数量积大于0且不共线，进一步列不等式即可求解.
【详解】（1）由题意，解得，
所以在方向上的投影向量为；
（2）若向量与的夹角为锐角，
则当且仅当向量与的数量积大于0且不共线，
而与的夹角为，即与可以视作平面内的一组基底向量，
所以，且，
解得或，
故所求为.
【变式1-2】（24-25高一下·上海·期末）已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________．
【答案】
【分析】根据条件转化为数量积小于0，以及两向量不平行，列式求解.
【详解】若和的夹角为钝角，则 ，且不平行，
所以 ，
解得：，
若向量和平行，则，得，
综上可知，取值范围为.
故答案为：
易错点2 数量积的夹角，共起点
【例2】等边三角形中，与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量夹角的定义可得结果.
【详解】解：延长到，则为与的夹角，所以，与的夹角为．

故选：C．
【变式2-1】（24-25高一下·云南昭通·期末）在中，，则（ ）
A．9 B．18 C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系确定三角形的形状，然后根据向量数量积的定义求其值即可.
【详解】因为中，，
所以，所以，且.
所以.
故选：D．

【变式2-2】（24-25高一下·河北保定·期末）在中，若，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律，可得，再根据向量的加法运算数量积运算计算即可.
【详解】因为，所以，
即，故，
所以.
故选：C
易错点3 数量积不满足结合律
【例3】（25-26高三上·江苏盐城·期中）（多选）若、、是非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】ABD
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A选项；利用平面向量数量积的定义可判断B选项；利用垂直的向量关系可判断C选项；利用向量模的三角不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，若，则，
所以或当时，，C错；
对于D选项，，当且仅当、方向相反时，等号成立，D对.
故选：ABD.
【变式3-1】（24-25高一下·湖北黄冈·期末）（多选）关于平面向量，下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则存在，使得
B．向量与不共线，则与都是非零向量
C．若，则
D．若向量与同向，且，则
【答案】AB
【分析】对于A，根据向量共线的充要条件即可判断；对于B，由零向量与任何向量共线即可判断；对于C，取即可排除；对于D，根据向量有方向即可判断.
【详解】对于A，根据向量共线的充要条件即可得到A正确；
对于B，因为零向量与任何向量共线，所以由向量与不共线，可得与都是非零向量，故B正确；
对于C，当时，恒成立，但的关系不确定，故C错误；
对于D，因向量有方向，故不能比较大小，故D错误.
故选：AB.
【变式3-2】（24-25高一下·河南周口·阶段检测）（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C．若，且，则 D．
【答案】CD
【分析】利用数量积的运算律判断AB；利用数量积推理判断C；由共线向量的意义判断D.
【详解】对于A，由向量的运算法则，得A正确；
对于B，向量数量积满足分配律，B正确；
对于C，由，得，当时，满足题设，C错误；
对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，而与无任何关系，D错误.
故选：CD
方法1 用基底法求向量的数量积
【例1】（25-26高一上·浙江台州·期末）在中，点为上一点且满足，设，，，.
(1)用、表示向量；
(2)若，求边的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式；
（2）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，再利用平面向量数量积的性质可求得的值.
【详解】（1）.
（2）因为，
；
由题意得，解得，
所以
.
【变式1-1】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接.
(1)试用和表示；
(2)若，，.
①求；
②求.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据向量基本定理得到，结合，，从而得到；
（2）①由题知，由（1）知，，然后根据数量积运算性质结合条件即得；
②，在（1）基础上，利用向量数量积运算律计算出和，利用向量夹角余弦公式进行计算即可.
【详解】（1）在四边形中，.
在四边形中，.
又因为，分别是，的中点，所以，.
所以，即，
又因为，，所以，.
所以.
（2）①由题知.
又由（1）知，.
因此.
所以.
②因为.
所以.
，
所以.
【变式1-2】（24-25高一下·广东茂名·期末）已知是边长为6的等边三角形，D是上靠近A的三等分点，点E在边上.
(1)用、表示；
(2)若，求的值；
(3)设与交于点，且，求.
【答案】(1)
(2)24
(3)
【分析】（1）根据向量的线性运算求解即可；
（2）由向量的线性运算及数量积的定义、运算律计算即可得解；
（3）利用向量的线性运算求出，再由数量积的运算律及向量模的概念求解.
【详解】（1）
（2）因为，
故,
所以.
（3）由三点共线，可设，
由D是上靠近A的三等分点，
可得，
所以，解得，
所以，
又，
所以
.
方法2 特殊几何图形用建系的方法求数量积/最值
【例2】（24-25高三上·福建泉州·期中）（多选）已知扇形的半径为1，，点在弧上运动，，下列说法正确的有（ ）
A．当位于点时，的值最小 B．当位于点时，的值最大
C．的取值范围为 D．的取值范围
【答案】ACD
【分析】以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，设，进而可得，据此得到的最值并判断AB；由数量积得坐标运算及恒等变形可得，，再求取值范围即可．
【详解】以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则，
其中，，．
因为，所以，即，
所以．
所以当时，取得最大值2，此时点为的中点，
当或时，取得最小值1，此时点为或点，故A正确，B错误，
，，
所以，
．
因为，所以，故，
因此，所以的取值范围为，故C正确，
因为，
因为，所以，故，
所以，所以，所以D正确．
故选：ACD．
【变式2-1】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围．
【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
，，
设，则（其中），
，
，
所以，当时，取得最小值11.
故选：C
【变式2-2】已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________；最小值是__________．

【答案】
【分析】构建直角坐标系且，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求的最大值，应用数量积的坐标表示及三角恒等变换及三角函数的性质求的最小值.
【详解】由题设，构建如下图示的直角坐标系，且，
若，则，
，，，
由，得，
即，，解得，
故，
所以，当时，，

所以时，取得最小值是.
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：根据题设构建合适坐标系，应用坐标法及三角恒等变换、三角函数的性质求对应表达式的最值.
方法3 极化恒等式求共起点数量积问题
【例3】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法，化简得到，即可求得的最小值.
【详解】连接，如图，
，
根据图形知，当点位于正六边形各边的中点时，此时最小值为，的最小值为，
所以的最小值是.
故选：B
【变式3-1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，已知正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】连接，根据向量的线性运算（或极化恒等式）可得，故可求的取值范围.
【详解】
正六边形的内切圆半径为，
外接圆的半径为.
，
因为，即，所以，可得．
故答案为：.
【变式3-2】（25-26高三上·江西抚州·期末）已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（ ）
A．1 B．4 C．9 D．15
【答案】D
【分析】由向量的线性运算及数量积运算即可求解.
【详解】
.
故选：D.
方法4 平面向量的四心向量表示
【例4】（23-24高二下·安徽宣城·期末）（多选）中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．若为重心，则
C．若点满足，则
D．若，则点的轨迹一定通过的内心
【答案】ABD
【分析】根据可确定角为钝角，则一定为钝角三角形，可判定A；
根据向量的加法运算可确定B；根据向量的数量积以及向量模的运算可判断C;
根据单位向量、共线向量的概念可判断D．
【详解】选项A：若，则，因此角为钝角，但一定为钝角三角形，故A正确；
选项B：若为的重心，设边的中点为，
则，故B正确；
选项C：如图所示，设的中点为，若点满足，则点为外心，
于是有．又，
则
，故C错误；
选项D：因为分别表示方向上的单位向量，
所以的方向与的角平分线一致．
若，则的方向与的角平分线一致，
所以点的轨迹一定通过的内心，故D正确；
故选：ABD．
【变式4-1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知O为△ABC外心，，，若，其中，，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】利用平面向量的数量积可得出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值,
【详解】设，则，
如下图所示：
取线段的中点，连接，由垂径定理可知，
所以，，
同理，
因为，则，
即，所以，，①
，即，
所以，，②
联立①②可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
【变式4-2】（24-25高一下·湖南长沙·期末）（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点为的外心（外接圆圆心）
B．若，则动点的轨迹一定通过的重心
C．若，，分别表示，的面积，则
D．若，则点是的内心
【答案】BCD
【分析】A选项，计算出，⊥，同理可得⊥，⊥，则点为的垂心；B选项，作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心；C选项，作出辅助线，得到，从而得到所以，故；D选项，作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上.
【详解】A选项，，即，故⊥，
同理可得⊥，⊥，则点为的垂心，A错误；
B选项，过点作⊥于点，取的中点，连接，
则，，
则，
故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确；
C选项，如图，分别为的中点，
，
则，故，
所以，
故，C正确；
D选项，分别表示方向上的单位向量，
故，
，故⊥，
由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上，
则点是的内心，D正确.
故选：BCD
【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心，
点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，
点为所在平面内的点，且，则点为的外心，
点为所在平面内的点，且，则点为的内心，
方法5奔驰定理
【例5】（23-24高一下·福建莆田·期中）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心 内心 外心 垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是:已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABC
【分析】对A，根据面积关系可得，再结合重心的概念即可得解；对B，内心为内切圆圆心，是角平分线的交点，利用面积公式即可得解；对C，外心为外接圆圆心，是三角形各边垂直平分线的交点，利用垂直关系即可得解；对D，根据奔驰定理结合面积关系即可得解.
【详解】对于A，取的中点，连接，如图所示
由，则，所以，所以三点共线，且，设分别为得中点，同理可得，所以为的重心，故A正确；
对于B， 由为的内心，则可设内切圆半径为，如图所示
则，
所以，即，故B正确；
对于C ，如图所示，
因为为的外心，所以，
所以，即，即，
所以，同理可得，
所以，故C正确；
对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点，如图所示，
由为的垂心，，则，
又，则，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D错误.
故选：ABC.
【变式5-1】（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解.
【详解】

如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点.
由为的垂心，，且，
得，所以，
又，则，同理可得，所以，
设，，则，，
所以，即，，
所以，
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用“奔驰定理”得到，从而利用对顶角相等得到，由此得解.
【变式5-2】（24-25高一下·广东·阶段检测）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）

A．
B．O有可能是的重心
C．若O为的外心，则
D．若O为的内心，则为直角三角形
【答案】ACD
【分析】由奔驰定理可判断A，利用重心结论可判断B，由外心可知，即可判断C，由内心可知，满足勾股定理，从而可判断D.
【详解】对于A，由奔驰定理得，
因为，，不共线，所以，故A正确；
对于B，若O是的重心，，因为，
所以，即O，B，C共线，故B错误；
对于C，当O为的外心时，，
所以，即 ，故C正确；
对于D，当O为的内心时， （r为内切圆半径），
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
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