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北京交通大学附属中学2025-2026学年第二学期5月月考高二数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知为等差数列，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
3.用，，，组成没有重复数字的四位偶数的个数为( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.函数的极小值点是( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.“函数在区间上单调递减”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.若直线与曲线相切，则( )
A. B. C. D.
9.设函数若在上恒成立，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.在的展开式中，所有的二项式系数之和为 ．
12.函数的单调递减区间是 ．
13.一个袋子里放有除颜色外完全相同的个白球、个红球，若采取有放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为 ；若采取不放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的概率为 ．
14.牛顿在流数法一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法牛顿迭代法，这种方程求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用如图，设是方程的根，选取作为的初始近似值过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的一次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的两次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列这就是所谓的“牛顿迭代法”．
当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系： ；若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程正实根的两次近似值为 用分数表示．
15.已知数列的各项均为非负数，前项和为，给出下列四个结论：
当时，为常数列；
对于，存在常数，使得恒成立；
当时，为递增数列；
对于，．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列．
求数列的通项公式；
设数列满足，求数列的前项和．
17.已知．
求与轴的交点的坐标；
若的图象在点处的切线斜率为，求的极值．
18.某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通过专用系统进行综合评分满分为分，得到如下频率分布表．
综合得分 频数 频率
求的值；
现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取人若从这名员工中随机选取人进行座谈，设为选取的名员工中综合得分不低于分的人数，求的分布列和数学期望；
该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训该机构给出了以下两个方案：
方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高分；
方案二：只对该公司综合得分低于分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高分，原综合得分在的员工人均综合得分提高分．
用样本估计总体为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？结论不要求证明
19.已知函数．
当时，求在点处的切线方程；
讨论的极值；
已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由．
20.对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，．
设集合，直接写出，，的值；
设集合，中所有元素的和记为，求数列的通项公式；
设集合与同时满足下列两个性质：
，且；
且，其中．
求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.、
13.

14.
15.
16.解：设的公比为，
因为，且，，成等差数列，
所以，即，解得，
所以；
由，
．

17.解：，
与轴的交点的坐标为；
，且曲线在点处的切线斜率为．
，，
，，
由，得，
由，得，
由，得，
所以，函数在单调递减，在单调递增．
当时，函数的极小值为无极大值．
18.解：因为在内频数为，频率为，则，
且在内频数为，则，
则在内频数为，频率．
因为综合得分为和的人数比为：：，
则在综合得分为内抽取人数为，
在综合得分为内抽取人数为，
可知随机变量的可能值为，，，
则，，，
所以的分布列为：
的期望为．
方案一：该公司员工的人均综合得分；
方案二：该公司员工的人均综合得分．
因为，所以应选择方案二．
19. 时，无极值；时，的极大值为，无极小值
20.解：；；．
由，得．
，
若，则．
当时，；同理，当时，即与同时成立．
当与都不成立时，必有或两者之一成立
不妨设则．
所以且．
所以且．
所以
所以所求数列的通项公式为
．
设集合，，其中，，
则．
所以
式与式中均有个不同的数，这些数都是集合中的元素．
因为，所以中有且仅有个不同元素．
所以式与式中的数对应相等，即．
所以．
所以数列是公差为，项数为的等差数列
同理，数列是公差为，项数为的等差数列．
所以数列与是两个公差相等公差，项数为的等差数列．
设，，其中．
则，
则，且．
因为，所以．
当时，设，，
．
所以，，且或．
所以，解得．
当时，，，．
经检验符合题意
当时，因为，
所以，．
所以．
综上，的最大值为

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