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浙江省新昌中学、新昌澄潭中学2025-2026学年高一下学期5月知识技能竞赛数学试卷
一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是( )
A. 平面内的所有直线与是异面直线 B. 平面内不存在与平行的直线
C. 平面内存在唯一一条直线与平行 D. 平面内的所有直线与都相交
3.在下列各组向量中，不可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.如图，在梯形中，，，分别为，的中点，为线段的四等分点靠近点，记，，则( )
A. B. C. D.
5.已知空间内三点、、，满足，在空间内取不同两点不计顺序使得这两点与、、可以组成正四棱锥，则方案数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
6.已知点，，，若点与点，，四点构成平行四边形，则点的坐标可能是( )
A. B. C. D.
7.下列命题正确的是( )
A. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直
B. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行
C. 过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直
D. 过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行
8.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点已知平面内点，点，将点绕点沿顺时针方向旋转得到点，将点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则下列说法正确的是( )
A. 向量
B. 向量在上的投影向量为
C. 若动点满足且，则的最小值为
D. 若是外接圆上的动点，则
9.在棱长为的正方体中，是棱的中点，点在线段，满足，点为侧面内的一动点，则下列说法正确的为( )
A. 直线与直线所成角为
B. 若，则点的轨迹是线段
C. 若平面，则点的轨迹长度为
D. 若点在线段上，则的最小值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
10.在中，已知，，，则 ．
11.若满足，则的最大值是 ．
12.如图，在中，已知，，，边上的中线与的角平分线相交于点，则 ．
13.在三棱锥中，，，棱上分别存在点包含端点，直线与平面，平面所成角分别为和，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知．
求与垂直的单位向量的坐标；
设，若向量，共线，求的值．
15.本小题分
如图，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形．
16.本小题分
如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
17.本小题分
如图，是正三角形，和都垂直于平面，且，是的中点．
求证：平面；
求异面直线与所成的角的大小；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
已知，
(ⅰ)若的面积为，求，；
(ⅱ)求的面积的最大值．
19.本小题分
如图，直四棱柱的所有棱长均为，，，分别为，的中点．
求证：平面平面；
若动点满足，且．
(ⅰ)若，为上一动点，且平面，求的最小值；
(ⅱ)若，点为三棱锥外接球的球心，求的取值范围．
参考答案
1.
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14.解：设单位向量，由且可得： ，
将代入第二个方程得，解得，对应，
故所求单位向量坐标为或．
，，
由两向量共线的坐标条件得：，化简得，解得．

15.证明：如图，设，，则，
，于是．
．
因为，
所以．
因为，，
所以．
因此．
于是是直角三角形．

16.解：在中，．
由正弦定理得．
所以．
在中，．
17.解：证明：取的中点，连接，
因为是的中点．
所以，，
因为和都垂直于平面，
所以，又，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
，平面，
所以平面．
因为，
所以即为异面直线与所成的角或补角，
是正三角形，是的中点，
所以，
异面直线与所成的角为．
因为是的中点．
所以，
是正三角形，是的中点，
所以，，
因为平面，平面，
所以，
，所以平面，
因为，
所以平面，，
．

18.解：由正弦定理将已知等式边化角得： ，
代入，
消去得： ．
因为，两边同除以得，
用辅助角公式化简为，
即又，故，解得．
已知，，
代入得：，解得．
由余弦定理，
代入数据得，
将代入得，
联立得，故．
(ⅱ)由余弦定理得，由基本不等式得：
，当且仅当时取等号，
则，故面积最大值为．

19.解：如图，设，连接，
因直四棱柱的所有棱长均为，且，分别为，的中点，
则，，又因，则，
，易得，则，
故是二面角的平面角．
又因，可得，故平面平面．
当时，，即点为线段上的一个动点，
如图连接，并在其上任取点，分别作，交于点，作交于点，连接，
因，平面，平面，则平面，同理可得平面，
因平面，故平面平面，又平面，则平面，
因，则，，则，
易得，，则，，
由两边取平方，
可得，
因，故当时，，此时取得最小值；
(ⅱ)分别取的中点，连接，则，
当时，，则点在射线上，
设，易得点为的外心，作平面于，则，且点在射线上
三棱锥外接球的球心满足平面，则，连接，
设三棱锥外接球半径为，因，则，，
则，在中，，
于是有，化简得，
因，该函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值，此时取得最小值；
当时，取得最大值，此时取得最大值，故的取值范围为．

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