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专题04 正弦定理、余弦定理及面积公式的应用
题型1 正、余弦定理解三角形（常考点） 题型7 求三角形周长的最值（取值范围）（难点）
题型2 正弦定理判断解的个数（易错点） 题型8 三角形面积公式的应用（常考点）
题型3 正弦定理求外接圆半径 题型9 求三角形面积的最值（范围）（难点）
题型4 边角互化（重点） 题型10 解三角形的实际应用
题型5 判断三角形的形状 题型11 解三角形与向量的融合
题型6 求三角形的周长（常考点） 题型12 解三角形与不等式的融合
题型一 正、余弦定理解三角形（共6小题）
1．（25-26高一下·湖南株洲·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）记的内角，，的对边分别是，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（25-26高一下·重庆·阶段检测）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高一下·广东广州·期中）在三角形中，为边上的一点，若，，，，则__________.
题型二 正弦定理判断解的个数（共4小题）
7．（25-26高一下·重庆·期中）的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．（25-26高一下·广东江门·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________.
题型三 正弦定理求外接圆半径（共4小题）
11．（25-26高一下·广东江门·期中）在△ABC中，，，则△ABC的外接圆半径为（ ）
A．6 B．12 C． D．
12．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角，，所对的边为，，.若，，则外接圆的面积为____________.
13．（25-26高一下·上海浦东新·阶段检测）在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______.
14．（25-26高一下·宁夏银川·期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则其外接圆的半径为__________.
题型四 边角互化（共6小题）
15．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
16．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为，且，则一定为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
17．（25-26高一下·四川内江·期中）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（ ）
A． B． C． D．
18．（多选）（25-26高一下·四川绵阳·期中）在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．是的充要条件
B．若，则
C．若，则
D．若，则为等腰三角形
19．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）中，，则________．
20．（25-26高一下·江苏盐城·期中）在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________．
题型五 判断三角形形状（共5小题）
21．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，若，则此三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
22．（25-26高一下·上海浦东新·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
23．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
24．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形
25．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
题型六 求三角形的周长（共5小题）
26．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）在三角形中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，三角形的面积为，求三角形的周长.
27．（25-26高一下·广西河池·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
28．（2026·河南许昌·三模）的内角A，B，C的对边分别为．已知，．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长．
29．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的值.
(2)设的外接圆半径为，内切圆半径为.若，，求的周长；
30．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的值.
(2)设的外接圆半径为，内切圆半径为.若，，求的周长；
题型七 求三角形周长的最值（范围）（共4小题）
31．（25-26高一下·广东深圳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
32.（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
33．（25-26高一下·福建南平·期中）已知锐角的内角所对的边为，向量，，且；
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围．
34．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC中点， ， ，求边a；
(3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值．
题型八 三角形面积公式的应用（共6小题）
35．（25-26高一下·贵州毕节·期中）在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
36.（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
37．（25-26高一下·广东珠海·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
38．（多选）（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，，的面积为，则（ ）
A．外接圆的面积为 B．
C．是等边三角形 D．的周长是
39．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______．
40．（25-26高一下·四川内江·期中）在中，所对的边分别为，已知且，若面积为4，则__________.
题型九 三角形面积的最值（范围）（共5小题）
41．（25-26高一下·青海海东·期中）已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为( )
A． B．2 C． D．
42．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．或
C．面积的最大值为 D．周长的取值范围为
43．（25-26高一下·天津南开·期中）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________．
44．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
45．（25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)若，的周长等于6，求a，b．
(2)若为锐角三角形，且的面积满足.
（ⅰ）求；
（ⅱ）求面积的取值范围．
题型十 解三角形的实际应用（共5小题）
46．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）如图，位于点A处的渔船观测到点C处的灯塔在渔船的北偏东53°方向上，当渔船沿着正东方向航行14海里后，观测到灯塔在渔船的北偏东37°方向上，则此时渔船与灯塔的距离为（参考数据：取）（ ）
A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．45海里
47．（25-26高一下·四川资阳·期中）数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（ ）
A． B．
C． D．
48．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（ ）
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
49．（25-26高一下·重庆·期中）云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭广场，登顶后可以俯瞰长江和铜锣峡的壮丽景色．我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则云外楼的高度（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
50．（25-26高一下·山东滨州·期中）如图，在海岸处发现北偏东方向，距处海里的处有一艘故障船．在处北偏西75°方向，距处2海里的处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从处向北偏东30°方向行驶．救援船最快追上故障船需要（ ）（精确到1分钟，）
A．12分钟 B．15分钟 C．16分钟 D．19分钟
题型十一 解三角形与向量的融合（共4小题）
51．（25-26高一下·重庆·期中）在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．有一个角是的直角三角形 D．有一个角是的等腰三角形
52．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（ ）

A．4 B．2 C． D．
53．（多选）（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）“费马点” 指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点， 在 中，当最大内角小于 时，费马点 满足，当最大内角不小于 时，最大内角的顶点为费马点. 已知在 中，角所对的边分别为，且 ，，，点 为 的费马点，则（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
54．（25-26高一下·上海奉贤·期中）如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，，设，．
(1)当时，请用与表示；
(2)求证：为定值；
(3)设的面积为，的面积为，求的最小值．
题型十二 解三角形与不等式的融合（共3小题）
55．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知锐角三角形中角的对边分别为，且，不等式对于任意满足条件的此三角形恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．不存在 B． C． D．
56．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
57．（25-26高一下·山西长治·期中）在中，内角的对边分别为，已知 .
(1)求角的值；
(2)若为锐角三角形，，求的面积的取值范围；
(3)若恒成立，求实数的最小值.
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专题04 正弦定理、余弦定理及面积公式的应用
题型1 正、余弦定理解三角形（常考点） 题型7 求三角形周长的最值（取值范围）（难点）
题型2 正弦定理判断解的个数（易错点） 题型8 三角形面积公式的应用（常考点）
题型3 正弦定理求外接圆半径 题型9 求三角形面积的最值（范围）（难点）
题型4 边角互化（重点） 题型10 解三角形的实际应用
题型5 判断三角形的形状 题型11 解三角形与向量的融合
题型6 求三角形的周长（常考点） 题型12 解三角形与不等式的融合
题型一 正、余弦定理解三角形（共6小题）
1．（25-26高一下·湖南株洲·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】在中由正弦定理，可得：
已知，则，且，
代入上式：，解得.
2．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）记的内角，，的对边分别是，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】中，由正弦定理，即，解得，
又，所以 ，所以为锐角，故．
3．（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，即.
由余弦定理得.
中，，所以.
4．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【详解】设，由余弦定理得： .
代入已知条件： .
化简计算，整理得.
解得或（边长为正，舍去负根），故.
5．（25-26高一下·重庆·阶段检测）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在中，把，代入中化简，
，
，
结合基本不等式，
，
即，当且仅当时，取等号，
又，所以，为钝角，.
，,，
由二倍角公式，得，即.
6．（25-26高一下·广东广州·期中）在三角形中，为边上的一点，若，，，，则__________.
【答案】2
【详解】在中，，所以.
在中，，所以.
所以
.
因为为边上的一点，所以，
即，
则，
整理得，解得.
题型二 正弦定理判断解的个数（共4小题）
7．（25-26高一下·重庆·期中）的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】方法一：
已知是锐角，固定角、边，画：
把角固定，一边固定射线，另一边为线段且.
过点向作高， ，这是点到直线的最短距离，
边是的长， ：以为圆心、为半径画圆，
和射线交于两个不同点，能构成两个不同三角形，两解，
即三角形有两解的条件为 ，
计算 ，
所以 的取值范围为 .
方法二：
已知，，由余弦定理：，
代入得，整理为：，
有两解等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，
设方程两根为，满足：，
解得: .
两根之和：，恒成立，
两根之积： ，
综上所述，的取值范围：.
8．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在中，，，
由正弦定理可得： ，
因为，且时，时，
要使有两解，
则的取值有两个，一个锐角，一个钝角，
由于，且为三角形内角，
所以的取值范围是，
同时有两解时的取值要满足，
由，可得，
又因为，可得，
综上，的取值范围为.
9．（多选）（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】BD
【详解】对于A，由，得，
因为为锐角，且，，即，
所以三角形有两解，A错误；
对于B，由，得，
因为，所以，故必为锐角，所以只有一解，B正确；
对于C，因为，则是的最大内角，
又由，得，所以无解，C错误；
对于D，由，得，，恰有一个解，D正确．
10．（25-26高一下·广东江门·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________.
【答案】
【详解】在中，由正弦定理及有两解，
得且，解得，
所以所求的取值范围是.
题型三 正弦定理求外接圆半径（共4小题）
11．（25-26高一下·广东江门·期中）在△ABC中，，，则△ABC的外接圆半径为（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】A
【详解】因为，，
所以.
设外接圆的半径为，，
则，
所以外接圆的半径为.
12．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角，，所对的边为，，.若，，则外接圆的面积为____________.
【答案】
【详解】设外接圆的半径为，
由正弦定理可得，故，
则外接圆的面积.
13．（25-26高一下·上海浦东新·阶段检测）在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______.
【答案】1
【详解】∵，，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
设该三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，∴.
14．（25-26高一下·宁夏银川·期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则其外接圆的半径为__________.
【答案】
【详解】由可得，
因为，所以，
所以，解得，
所以，即，
由正弦定理知，，即.
题型四 边角互化（共6小题）
15．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【详解】由正弦定理将边化为角可得，
又，
故，故，
由，故，则，故，
即的形状为直角三角形.
16．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为，且，则一定为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【详解】由正弦定理得，所以.
由，两边同除以，得.
两边同乘，得.
因为，所以，故，即.
所以一定为直角三角形.
17．（25-26高一下·四川内江·期中）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，
则，
所以，
在中，有，
故．
18．（多选）（25-26高一下·四川绵阳·期中）在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．是的充要条件
B．若，则
C．若，则
D．若，则为等腰三角形
【答案】ACD
【详解】选项A，在中，根据大边对大角和正弦定理（为外接圆半径）：，
因此是的充要条件.
选项B，若，结合内角和，得.
由正弦定理，B错误.
选项C，由正弦定理，将化边为角：
左边，
因此原式得，
中，故，又，得.
选项D，由正弦定理，，交叉相乘得，结合余弦定理化简因式分解得：，
因此，即，为等腰三角形.
19．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）中，，则________．
【答案】
【详解】根据题意，，
由正弦定理得，
即，
则，
因为，则，
所以，则，
因为，则.
20．（25-26高一下·江苏盐城·期中）在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________．
【答案】
【详解】因为，所以
所以
因为，，为外接圆半径，
所以
因为，
所以，
题型五 判断三角形形状（共5小题）
21．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，若，则此三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
【详解】因为，由余弦定理得，整理得，
因为，所以，所以为等腰三角形.
22．（25-26高一下·上海浦东新·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【详解】在中，由正弦定理，为外接圆半径.
得，.
将其代入已知条件，可得.
化简得，因为，所以.
因此有两种情况：
①，即，此时为等腰三角形；
②，即，则，此时为直角三角形.
综上，的形状为等腰三角形或直角三角形.
23．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【详解】由三角形内角和 ，得 ，
因此原方程等价于 ，即 ，
，
则或，则是等腰或直角三角形．
24．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形
【答案】B
【详解】因为，所以，
即，
所以，
即，
整理得，
角为直角，为直角三角形.
25．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【详解】，由正弦定理得，
故，
又，
，
所以，
所以，
即，所以或，
由得或（舍去），
由得，
故这个三角形一定是等腰或直角三角形
题型六 求三角形的周长（共5小题）
26．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）在三角形中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，三角形的面积为，求三角形的周长.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）因为，由余弦定理可得，
整理可得，则，
且，所以.
（2）因为，，且，即，则
又因为的面积为，即，则，
可得，即，
所以周长.
27．（25-26高一下·广西河池·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）因为，可得，
因为，所以，所以，故.
（2），解得，
由余弦定理可得，
解得，故的周长为.
28．（2026·河南许昌·三模）的内角A，B，C的对边分别为．已知，．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由，
又，所以．即，
由余弦定理得，得，即 ．
因为，所以，所以，所以．
所以．
因此或（舍去），所以．
（2）因为的面积为，所以．
所以①
由正弦定理设，因为.
所以．
所以，，．
代入①式，解得，所以，，．
所以的周长为．
29．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的值.
(2)设的外接圆半径为，内切圆半径为.若，，求的周长；
【答案】(1)；(2)30
【详解】（1）因为，即，
整理可得，即，
因为，则，，
则或或，
即或（舍去）或（舍去），
且，解得.
（2）由题意可知：，
则，可得，
又因为，则，
由余弦定理可知，
整理可得，
可得，解得或（舍去），
所以的周长.
30．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的值.
(2)设的外接圆半径为，内切圆半径为.若，，求的周长；
【答案】(1)；(2)30
【详解】（1）因为，即，
整理可得，即，
因为，则，，
则或或，
即或（舍去）或（舍去），
且，解得.
（2）由题意可知：，
则，可得，
又因为，则，
由余弦定理可知，
整理可得，
可得，解得或（舍去），
所以的周长.
题型七 求三角形周长的最值（范围）（共4小题）
31．（25-26高一下·广东深圳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为是锐角三角形，所以，
又，所以，所以，由，得，
所以，所以，解得，所以.
由，，，得，
，
所以的周长为．
令，则，
则，
函数在上单调递增，
当时，；当时，，
所以，
所以周长的取值范围为．
32.（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，即.
而，
所以，即.
由于为锐角，所以，，
所以与异号或，
若，即，
又，，则，，
所以，即，此不等式组无解，所以不成立.
同理可得不成立.
所以，
即，所以，，即为直角三角形.
由题意知，，即，所以.
所以的周长，
当且仅当时，等号成立.
所以周长的最小值为.
33．（25-26高一下·福建南平·期中）已知锐角的内角所对的边为，向量，，且；
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由，，且，得，
由正弦定理得，而，则，
，又，所以.
（2）在中，，，由正弦定理得，
由，设，又为锐角三角形，则，
而，
因此
所以周长的取值范围是.
34．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC中点， ， ，求边a；
(3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值．
【答案】(1)；(2)；(3)6
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，
在中， ，
所以，
即，
因为，所以，
因为，所以；
（2）因为，
所以，
，
又，所以，所以，
又因为，所以．
（3）由正弦定理得，可得， ，
，
，
因为是锐角三角形，且，则，
得，得，，， 故的周长最大值为6．
题型八 三角形面积公式的应用（共6小题）
35．（25-26高一下·贵州毕节·期中）在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】在中，由及余弦定理，得，
则，所以的面积为.
36.（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在△ABC中，，而，
由，得，又，，则，
由正弦定理得，解得，由，得，
所以．
37．（25-26高一下·广东珠海·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在中，由正弦定理得，
即，解得，而为三角形内角，所以，
，，
所以。
则.故选：B.
38．（多选）（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，，的面积为，则（ ）
A．外接圆的面积为 B．
C．是等边三角形 D．的周长是
【答案】ABD
【详解】由三角形面积公式：，
代入得： ，解得，
由余弦定理，代入得： ，
结合得，
因此，得，
选项A： 由正弦定理（为外接圆半径），
代入得： ，得，外接圆面积，A正确，
选项B： 由正弦定理，，
得，代入，
，B正确，
选项C： 若为等边三角形，则边长为3，面积为，矛盾，C错误，
选项D： 周长为，D正确.
39．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______．
【答案】
【详解】由和余弦定理，可得，
因，则，
又由可得，
因，则
，
由正弦定理得，，设，
则，解得（负值舍去），
所以．
40．（25-26高一下·四川内江·期中）在中，所对的边分别为，已知且，若面积为4，则__________.
【答案】
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
由正弦定理可得：，又，所以，
因为面积为4，所以，①
由余弦定理可得：，
所以，②
①②可得：，即，
所以.
题型九 三角形面积的最值（范围）（共5小题）
41．（25-26高一下·青海海东·期中）已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为( )
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】由正弦定理，将角化边，
得，整理得.
由余弦定理，得，又，故.
将代入，得.
由基本不等式，得，解得，当且仅当时取等号.
又三角形面积，
因此，，即面积的最大值为.
42．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．或
C．面积的最大值为 D．周长的取值范围为
【答案】ACD
【详解】因为，且，
则，
由正弦定理得，
所以，
整理得，而，
故，故，
所以，而为三角形内角，
故，所以，故A正确，B错误.
而，则．
由基本不等式（当且仅当时取等号），已知，
故，解得（当且仅当时取等号）．
因此，故C正确
周长，由余弦定理，
故，而，故，
故．因此周长的取值范围为．
43．（25-26高一下·天津南开·期中）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________．
【答案】 ；
【详解】已知，根据正弦定理，.
因为，且，化简得.
因为是锐角三角形，所以.
因为，所以，即.
因为为锐角三角形，故，解得.
由正弦定理，所以，.
因此面积.
由，得，故，
因此.
44．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
，
因为，所以，
因为，所以；
（2），
由余弦定理得，
化简得，又因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
所以，故的面积最大值为.
45．（25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)若，的周长等于6，求a，b．
(2)若为锐角三角形，且的面积满足.
（ⅰ）求；
（ⅱ）求面积的取值范围．
【详解】（1）因为，且的周长等于6，所以，
因为，由余弦定理得，
将代入上式解得，所以，
则.
（2）（ⅰ）因为，所以，所以，
又是锐角三角形，所以，所以，
所以，又，所以；
（ⅱ）因为，所以，
又，所以，
所以.
由，解得，所以，
所以，
所以面积的取值范围是.
题型十 解三角形的实际应用（共5小题）
46．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）如图，位于点A处的渔船观测到点C处的灯塔在渔船的北偏东53°方向上，当渔船沿着正东方向航行14海里后，观测到灯塔在渔船的北偏东37°方向上，则此时渔船与灯塔的距离为（参考数据：取）（ ）
A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．45海里
【答案】B
【详解】设渔船航行路程为，所以海里，由已知，所以，
，延长，过点作延长线于，所以，
设，因为，所以，，，，
，所以，，所以，，所以，解得，
，所以（海里），此时渔船与灯塔的距离为海里.
47．（25-26高一下·四川资阳·期中）数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设，因为，所以，
又因为，所以，
所以，解得.
所以.
48．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（ ）
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
【答案】A
【详解】在中，，，则，
，
由正弦定理得
（海里）．
则B、C两点间的距离为海里.
49．（25-26高一下·重庆·期中）云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭广场，登顶后可以俯瞰长江和铜锣峡的壮丽景色．我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则云外楼的高度（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【详解】设，依题意，，，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由，
可得：
解得：
50．（25-26高一下·山东滨州·期中）如图，在海岸处发现北偏东方向，距处海里的处有一艘故障船．在处北偏西75°方向，距处2海里的处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从处向北偏东30°方向行驶．救援船最快追上故障船需要（ ）（精确到1分钟，）
A．12分钟 B．15分钟 C．16分钟 D．19分钟
【答案】B
【详解】如图，设救援船行驶小时在处最快追上故障船，
则救援船沿方向行驶，且，．
由题意，得，连接．
在中，由余弦定理，得
，
即．
由正弦定理，得，
则．
又因为，所以，即点在点的正东方向上，
则．
在中，由正弦定理，得，则．
又因为，则，所以救援船沿北偏东的方向行驶．
在中，，则，即，
所以，解得小时，所以分钟，
所以救援船应沿北偏东的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟．
题型十一 解三角形与向量的融合（共4小题）
51．（25-26高一下·重庆·期中）在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．有一个角是的直角三角形 D．有一个角是的等腰三角形
【答案】B
【详解】根据余弦定理，则.
根据三角形面积公式，则，
化简得，即.因为是三角形内角，所以.
又，由，可得.
则.
如图所示，在边上分别取点，使，
以为邻边作平行四边形，则四边形为菱形，
连接，且，，
.
又，且，，即.
又，所以，进而，所以是等腰直角三角形.
52．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（ ）

A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】已知，，所以，化简得.
由是中点，，所以，
化简得，进而.
因为，所以.
由基本不等式，且，所以，当且仅当，
即，最小值为.
53．（多选）（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）“费马点” 指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点， 在 中，当最大内角小于 时，费马点 满足，当最大内角不小于 时，最大内角的顶点为费马点. 已知在 中，角所对的边分别为，且 ，，，点 为 的费马点，则（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
【答案】ACD
【详解】因为，
由正弦定理得，
所以，因为，所以，
代入，解得，所以A正确；
在中，根据余弦定理，解得，
所以，所以，，
由于最大内角，所以费马点 满足，
如图所示，，，
，，，
，化简得，所以C正确；
设，则，,
中，由余弦定理得，
所以，解得（舍去负根）
则，，，
所以，所以B错误；
过点作，垂足为，在上的投影向量为，
，
所以，即，
所以在上的投影向量为，D正确.
54．（25-26高一下·上海奉贤·期中）如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，，设，．
(1)当时，请用与表示；
(2)求证：为定值；
(3)设的面积为，的面积为，求的最小值．
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)
【详解】（1）由可知为的三等分点，
．
，
，
，即，．
．
为中点，且E，O，F共线，
，则,
，解得．
．
（2），．
，，
是的中点，
．
．
，，三点共线，
．
整理得，即．
为定值3．
（3）．
由（2）知，
．
令，则，
，，．
．
，
当时，分母取最大值．
的最小值为．
题型十二 解三角形与不等式的融合（共3小题）
55．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知锐角三角形中角的对边分别为，且，不等式对于任意满足条件的此三角形恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．不存在 B． C． D．
【答案】B
【详解】，
在中，由正弦定理得
由题意，得
由，解得.
∵在上都是单调递减函数，
∴在上单调递减
故，即实数的最大值为.
56．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
，
因为，所以，
因为，所以；
（2），
由余弦定理得，
化简得，又因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
所以，故的面积最大值为.
57．（25-26高一下·山西长治·期中）在中，内角的对边分别为，已知 .
(1)求角的值；
(2)若为锐角三角形，，求的面积的取值范围；
(3)若恒成立，求实数的最小值.
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）在中，∵，∴．
∴
即，
∴，
∵，∴，
∵，∴.
（2）由正弦定理，.
由的面积为，
由为锐角三角形，得，解得，
则，那么，
从而.
（3）由恒成立，即，
由，，
即，
由，当且仅当，即时取等号，
所以.
所以由恒成立，知，
从而实数的最小值为.
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