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专题04 空间几何体的表面积与体积
知识点1 棱柱的结构特征及体积表面积公式
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
知识点2 棱锥的结构特征及体积表面积公式
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征
根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
V棱锥Sh．
知识点3 棱台的结构特征及体积表面积公式
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
知识点4 圆柱的结构特征及体积表面积公式
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
知识点5 圆锥的结构特征及体积表面积公式
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
知识点6 圆台的结构特征及体积表面积公式
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
知识点7 球的结构特征及体积表面积公式
1.球是所有距离球心相等的点组成的几何体．球的主要特征是半径r．
半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径．
2、球的相关概念：
（1）球心：半圆的圆心叫做球心．
（2）连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径．
（3）连结球面上两点并经过球心的线段叫做球的直径．
（4）球的体积：V球πR3．
（5）球的表面积：4πR2．
3、球的截面及其性质：
（1）截面的定义：用一个平面去截一个球，截面是圆面．
（2）球的截面的性质：
①球心和截面圆心的连线垂直于该截面；
②球心到截面的距离d与球的半径R，小圆半径r有下面的关系：d．
（3）大圆和小圆：
①球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆．
②球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆．
4、两点间的球面距离：
球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度．即：球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度．
知识点8 立体几何直观图
1．直观图：用来表示平面图形的平面图形叫做平面图形的直观图，它不是平面图形的真实形状．
2．斜二测画法画平面图形直观图的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
题型1 棱柱棱锥棱台的有关概念辨析
【例1】（25-26高一下·江苏·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的侧棱都互相平行且相等
B．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
C．棱台的所有侧棱所在直线交于同一点
D．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称为棱台
【变式1-1】（25-26高一下·河南·期中）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．棱柱的侧面一定是平行四边形
B．棱台的侧面一定不是平行四边形
C．棱锥的侧面是全等的三角形
D．圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图不一定是矩形
【变式1-2】（25-26高一下·湖南长沙·期中）下列命题错误的个数是（ ）
（1）有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥.
（2）正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.
（3）一个棱柱至少有6个面.
（4）平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型2 圆柱圆锥圆台的有关概念辨析
【例2】（25-26高一下·浙江·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
B．一个多面体至少有4个面
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D．矩形旋转一周一定形成一个圆柱
【变式2-1】（25-26高一下·四川绵阳·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．平行六面体的各个面都是平行四边形
B．圆柱的侧面展开图是一个正方形
C．将棱台的侧棱延长后必交于一点
D．将直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周形成的旋转体是圆锥
【变式2-2】（25-26高一下·福建莆田·期中）（多选）下列关于空间几何体的论述，不正确的是（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D．圆台的轴截面不可能为直角梯形
题型3 立体图形的直观图长度面积的计算
【例3】（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式3-1】（25-26高一下·天津南开·期中）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中．，，，则原四边形的面积为____________．
【变式3-2】（25-26高一下·上海·期末）（多选）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（ ）
A．是钝角三角形 B．的周长为
C．的面积为 D．的面积为
题型4 棱柱的表面积与体积
【例4】（25-26高一下·福建厦门·期中）已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形如图所示.若则该直四棱柱的表面积为（）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（25-26高二下·广西南宁·期中）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2026·湖南张家界·三模）（多选）在直四棱柱中，四边形是菱形，，则（ ）
A．四棱柱的体积为162
B．四棱柱的表面积为
C．点到平面的距离为
D．直线与所成角的余弦值为
题型5 棱锥的表面积与体积
【例5】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（ ）
A．12 B．15 C．48 D．60
【变式5-1】（25-26高一下·河北邢台·期中）若一个正三棱锥的高是，底面边长是3，则该正三棱锥的体积为_______．
【变式5-2】（2026·天津·模拟预测）如图，向一个高为3且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为1时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
题型6 棱台的表面积与体积
【例6】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正三棱台的高为，，则该棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（25-26高一下·广东惠州·期中）（多选）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）.
A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为
C．该三棱台的体积为 D．若点在棱上，则的最小值为
【变式6-2】（25-26高一下·山东临沂·期中）一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型7 圆柱的表面积与体积
【例7】（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，圆锥的底面半径为1，高为4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．
(1)求剩下几何体的体积；
(2)求剩下几何体的表面积．
【变式7-1】（2026·天津武清·模拟预测）已知圆锥的高是底面半径的2倍，且圆锥的底面半径、体积分别与圆柱的底面半径、体积相等，则圆锥与圆柱的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等.
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱的体积与表面积.
题型8 圆锥的表面积与体积
【例8】（24-25高三上·河北衡水·期末）已知圆锥，的底面半径之比为2，母线长之比为，则圆锥，的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．3
【变式8-1】（25-26高一下·天津滨海新区·期中）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（25-26高一下·四川资阳·期中）（多选）如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为
B．该圆锥的体积为
C．该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
D．三棱锥的体积的最大值为
题型9 圆台的表面积与体积
【例9】（25-26高一下·广东深圳·期中）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积和体积为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式9-1】（2026·山东济宁·三模）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（25-26高一下·河北·期中）（多选）如图为圆台的轴截面，其上底面直径为4、下底面直径为8，母线长为4，为边的中点，则（ ）

A．圆台的高为
B．圆台的侧面积为
C．圆台的体积是
D．在圆台的侧面上，从沿圆台侧面到的最短路径的长度为10
题型10 组合体的表面积与体积
【例10】（25-26高一下·天津滨海新区·期中）某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，，， 则该组合体的体积为_______________；
【变式10-1】（25-26高一下·广东佛山·期中）如图，某几何体上面部分是一个正四棱锥，下面部分是一个长方体，．
(1)若，该几何体的体积为192，求正四棱锥的高；
(2)若，求该几何体的表面积．
【变式10-2】（25-26高一下·福建三明·期中）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥．下部是正四棱柱(如图所示)，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．

(1)若求该几何体的体积．
(2)若正四棱锥的侧棱长为6，
①求正四棱锥的侧面积．
②若是线段上的动点，求的最小值．
题型11 球的表面积与体积
【例11】（25-26高一下·天津·期中）若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】（25-26高一下·新疆喀什·期中）直径为6的球的表面积与体积（ ）
A．36，36 B．144，36
C．36，144 D．144，144
【变式11-2】（25-26高一下·湖南永州·期中）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比是（ ）
A． B． C． D．
易错点1 棱柱棱锥的侧面积是所有侧面面积之和
【例1】（25-26高二上·上海·期末）已知正四棱锥的底面边长为6，高为4，则这个正四棱锥的侧面积为________.
【变式1-1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，则正四棱锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知正三棱锥底面的边长为6，高为3，则该正三棱锥的侧面积为_________．
易错点2 柱体的体积计算搞错底面
【例1】（25-26高一下·浙江·期中）如图，一个底面边长为的正三棱柱容器中盛有容器容积一半的水，若侧面水平放置时，水面分别过、、、的、、、点．
(1)几何体是否为棱台？请说明理由；
(2)求图中水面的高．
【变式2-1】（24-25高一下·浙江·期中）如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略）
(1)若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积；
(2)若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？
方法1 直棱柱外接球
方法技巧
1核心模型：直棱柱/圆柱的外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点
2半径公式：其中为底面外接圆半径为棱柱/圆柱的高
3底面处理：底面为三角形时先求三角形外接圆半径；底面为正多边形时利用中心到顶点距离求
4易错点：注意区分直棱柱与斜棱柱斜棱柱无通用中点模型需用空间坐标法求解
【例1】（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（25-26高一下·浙江温州·期中）已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______.
【变式1-2】（25-26高一下·广西南宁·期中）已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为______________．
方法2 正四面体外接球内切球
在棱长为a的正四面体中
【例2】（24-25高一下·广东惠州·月考）已知棱长为的正四面体的外接球表面积为，内切球表面积为，则（ ）
A．9 B．3 C．4 D．
【变式2-1】（24-25高一下·山西·阶段检测）设体积为的正四面体P-ABC的外接球和内切球的半径分别为和，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．1
【变式2-2】（24-25高一下·福建龙岩·期中）（多选）若正四面体外接球的表面积为，则（ ）
A．该正四面体的体积
B．该正四面体的表面积为
C．该正四面体内切球的半径为
D．该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为
方法3 长方体的两大外接球模型
（1）墙角模型
长方体的外接球（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出
（2）对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为，，，，
列方程组，，
补充：.
第三步：根据墙角模型，，，
，求出.
【例3】（25-26高一下·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（）
A．28π B．27π C．19π D．29π
【变式3-1】（2026·河北雄安·三模）在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（25-26高一下·贵州毕节·期中）（多选）长方体的长、宽、高分别为3，，，体积为6，外接球的表面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．长方体的长、宽、高分别为3，2，1
B．与这个长方体表面积相等的正方体的棱长为2
C．设与这个长方体体积相等的正四面体的棱长为，则
D．沿长方体的表面从到的最短路径长度为
方法4 正棱锥与圆锥的外接球
正棱锥，圆锥模型
题设：如图这七个图形，的射影是的外心三棱锥的
三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出
方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.
【例4】（2026·陕西咸阳·模拟预测）（多选）已知圆锥的底面半径等于，高等于1，则（ ）
A．圆锥的体积为π
B．过圆锥顶点的截面面积的最大值为2
C．圆锥外接球的表面积为16π
D．圆锥的母线与底面所成角大小为60°
【变式4-1】（2026·江苏·二模）一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2026·天津红桥·一模）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（ ）
A． B． C． D．
方法5 圆台，正棱台外接球模型
圆台，棱台外接球
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
注：若球心位置不确定，也可以直接设，若解出来为负数则说明球心在另一侧
方法技巧
1模型特征：球心在上下底面圆心的连线上利用球心到上下底面顶点距离相等列方程
2通用公式：设上下底面外接圆半径为台高为球心到下底面距离为则解方程求再得
3特殊情况：圆台可看作圆锥截去部分利用圆锥外接球模型推导简化计算
4注意事项：台体需满足上下底面平行且为相似正多边形否则无法用此模型
【例5】（25-26高一下·吉林·阶段检测）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，则外接球体积为________．
【变式5-1】（25-26高二上·云南保山·期末）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、，若该正三棱台的体积为，则它的外接球的体积为_________．
【变式5-2】（2026高一·全国·专题练习）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则该正四棱台的外接球的表面积为_____.
方法6 垂面型外接球模型
题设：如图，平面，求外接球半径.（一条侧棱垂直底面）
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②.
【例6】（25-26高一下·湖南株洲·期中）（多选）三棱锥的四个顶点都在球上，且底面，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．球心在三棱锥的内部
C．球心到底面的距离为1 D．球的表面积为
【变式6-1】（25-26高一下·新疆·阶段检测）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______．
方法7 面面垂直模型
方法技巧
1模型特征：两个互相垂直的平面分别取两个面内三角形的外心过外心作各自平面的垂线两垂线交点即为球心
2通用步骤：
分别求两个面内三角形的外接圆半径
过外心作各自平面的垂线利用面面垂直的性质确定球心位置
结合两平面交线长度用勾股定理求外接球半径
3关键应用：当棱锥有两个面互相垂直时优先使用此方法避免复杂计算
4坐标法辅助：建立空间直角坐标系设球心坐标为利用到各顶点距离相等列方程求解
【例7】（2026高一·全国·专题练习）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____.
【变式7-1】（2026·陕西咸阳·三模）已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为___________．
【变式7-2】（2026高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____.
方法8 棱锥，棱台圆锥圆台内切球问题
正棱锥的内切球
如图，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径
相似法（通法）
第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
等体积法（通法）
若三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法）
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为，建立等式：
第三步：解出
内切球之圆台，棱台模型
首先需要明确，并不是所有的圆台都有内切球，如果一个圆台又矮又胖，最多只能找到一个与上下底面相切的球，无法做到与所有母线相切，圆台内切球指的是与圆台上下底面和每条母线均相切的球。如下图所示：
此时圆台的上下底面圆的半径与圆台的高必须满足一定关系，下面进行详细分析，为了分析方便，采用平面辅助法，上图的轴截面如下：
假设上底面圆半径为r2，下底面圆半径为r1，内切球半径为R，圆台的高为h，母线长为l。上图轴截面是等腰梯形的内切圆，点E，F，G为切点，可得如下全等关系：
；
由射影定理可得：
【例8】（25-26高一下·全国·期末）已知圆台存在内切球，圆台的上底面半径为2，母线长为6，则该内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（25-26高一下·广东梅州·期中）设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
方法9 二面角模型
折叠模型（二面角模型）-由2个外心加“中垂线”确定球心
题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)
第一步：先画出如图6所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；
第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；
第三步：解，算出，在中，勾股定理：
注：易知四点共面且四点共圆，证略.
方法技巧
1模型特征：平面图形沿某条棱折叠成空间几何体形成二面角求外接球半径
2通用步骤：
分别求折叠前后两个面内三角形的外接圆半径
确定二面角的平面角
利用公式（为两外心连线长度）列方程求解
3关键技巧：折叠前后的边长不变二面角的平面角是关键参数需准确找到其位置与大小
4特殊情况：当二面角为时可简化为面面垂直模型用题型7的方法求解
【例9】（25-26高三上·山西太原·期末）已知四棱锥的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是______.
【变式9-1】（25-26高三上·湖南永州·开学考试）已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为___________．
【变式9-2】（24-25高一下·河南信阳·期末）在四棱锥中，平面平面，，，，，，若二面角为，则四棱锥外接球的表面积为_____．
方法10 祖庚原理
【例10】（25-26高二上·上海松江·期末）有趣的金马徐高想运用所学祖暅原理（如图1）解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为4的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为________．（结果保留）

【变式10-1】（24-25高一下·云南昆明·期中）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅在解决球体体积时，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，如图①所示．如图②是一个半径为3的球体，平面ABC与球相交，截面为圆B，延长BO，交球于点D，则BO垂直于圆B（BO垂直于圆B内的所有直线），．
(1)求圆锥DB的表面积和体积；
(2)如图平面ABC上方与球体之间的部分叫球冠，请利用祖暅原理求球冠的体积．
【变式10-2】（23-24高三上·四川·阶段检测）中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底而边长为2，下底而边长为4，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）

A． B．
C． D．
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专题04 空间几何体的表面积与体积
知识点1 棱柱的结构特征及体积表面积公式
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
知识点2 棱锥的结构特征及体积表面积公式
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征
根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
V棱锥Sh．
知识点3 棱台的结构特征及体积表面积公式
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
知识点4 圆柱的结构特征及体积表面积公式
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
知识点5 圆锥的结构特征及体积表面积公式
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
知识点6 圆台的结构特征及体积表面积公式
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
知识点7 球的结构特征及体积表面积公式
1.球是所有距离球心相等的点组成的几何体．球的主要特征是半径r．
半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径．
2、球的相关概念：
（1）球心：半圆的圆心叫做球心．
（2）连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径．
（3）连结球面上两点并经过球心的线段叫做球的直径．
（4）球的体积：V球πR3．
（5）球的表面积：4πR2．
3、球的截面及其性质：
（1）截面的定义：用一个平面去截一个球，截面是圆面．
（2）球的截面的性质：
①球心和截面圆心的连线垂直于该截面；
②球心到截面的距离d与球的半径R，小圆半径r有下面的关系：d．
（3）大圆和小圆：
①球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆．
②球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆．
4、两点间的球面距离：
球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度．即：球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度．
知识点8 立体几何直观图
1．直观图：用来表示平面图形的平面图形叫做平面图形的直观图，它不是平面图形的真实形状．
2．斜二测画法画平面图形直观图的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
题型1 棱柱棱锥棱台的有关概念辨析
【例1】（25-26高一下·江苏·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的侧棱都互相平行且相等
B．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
C．棱台的所有侧棱所在直线交于同一点
D．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称为棱台
【答案】ACD
【分析】结合棱柱、棱台、圆台的定义逐一判断各选项的正误
【详解】对于A，棱柱的侧面均为平行四边形，故侧棱互相平行且相等，故A对；
对于B，只有当以直角梯形垂直于两底的腰为旋转轴旋转时，所得旋转体才是圆台，若以上底、下底或斜腰为旋转轴，得到的几何体都不是圆台，故B错；
对于C，棱台是由平行于棱锥底面的平面截取棱锥得到的，所有侧棱延长后必然交于原棱锥的顶点，即侧棱所在直线交于同一点，故C对；
对于D，该表述是棱台的标准定义，截面与底面平行，满足棱台的结构特征，故D对；
故选：ACD
【变式1-1】（25-26高一下·河南·期中）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．棱柱的侧面一定是平行四边形
B．棱台的侧面一定不是平行四边形
C．棱锥的侧面是全等的三角形
D．圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图不一定是矩形
【答案】AB
【分析】利用棱柱，棱台，棱锥和圆柱的定义和结构特征逐一判断选项即可.
【详解】对于A，由棱柱的结构特征知，其侧面都是平行四边形，故A正确；
对于B，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故B正确；
对于C，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，故C错误；
对于D，因圆柱的母线垂直于两底面，故圆柱的侧面沿一条母线展开得到的一定是一个矩形，故D错误.
【变式1-2】（25-26高一下·湖南长沙·期中）下列命题错误的个数是（ ）
（1）有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥.
（2）正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.
（3）一个棱柱至少有6个面.
（4）平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】结合棱锥、棱柱、正棱锥、平行六面体的定义与性质，逐个判断四个命题的真假，统计错误命题的个数得到结果.
【详解】命题(1)：棱锥的所有侧面都是三角形，只有底面是多边形。平行四边形是四边形，因此若棱锥存在一个面是平行四边形，该面一定是底面，故这个棱锥一定是四棱锥，命题正确；
命题(2)：正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心，所有侧棱长度相等，因此侧面是全等的等腰三角形，命题正确；
命题(3)：棱柱底面边数最少为3（三棱柱），三棱柱有2个底面+3个侧面，共5个面，因此棱柱至少有5个面，命题错误；
命题(4)：平行六面体的所有面都是平行四边形，相对的面对应边相等、对应角相等，因此相对面是全等的平行四边形，命题正确；
错误的命题共1个.
题型2 圆柱圆锥圆台的有关概念辨析
【例2】（25-26高一下·浙江·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
B．一个多面体至少有4个面
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D．矩形旋转一周一定形成一个圆柱
【答案】B
【详解】用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故A错误；
多面体中面数最少为三棱锥，四个面，故B正确；
正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面投影落在底面正多边形的中心，故C错误；
矩形绕其一条对角线旋转一周，所形成旋转体不是圆柱，故D错误.
【变式2-1】（25-26高一下·四川绵阳·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．平行六面体的各个面都是平行四边形
B．圆柱的侧面展开图是一个正方形
C．将棱台的侧棱延长后必交于一点
D．将直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周形成的旋转体是圆锥
【答案】AC
【分析】根据平行六面体、棱台、圆锥的概念判断ACD；根据圆柱展开图的特征判断B.
【详解】平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，各个面都是平行四边形，A正确；
圆柱的侧面展开图是一个矩形，只有当底面周长和高相等时才是正方形，B错误；
棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是棱台，因此延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，C正确；
将直角三角形绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体不是圆锥，是两个共底面的圆锥，D错误.
【变式2-2】（25-26高一下·福建莆田·期中）（多选）下列关于空间几何体的论述，不正确的是（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D．圆台的轴截面不可能为直角梯形
【答案】ABC
【详解】对于A，如图1利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，
但该几何体不是棱柱，故A错误；
对于B，如图2该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，
但该几何体不是棱台，故B错误；
对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误；
对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形，
这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，
轴截面包含上下底面的直径和母线形成对称的等腰梯形，
故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确．
题型3 立体图形的直观图长度面积的计算
【例3】（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】斜二测画法画出的直观图中，已知中，，，
则，
还原直观图，则，
．
【变式3-1】（25-26高一下·天津南开·期中）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中．，，，则原四边形的面积为____________．
【答案】
【分析】先求出直观图为梯形的面积为，利用斜二测画法中，原图形面积是直观图面积的倍即可求解.
【详解】因为直观图为梯形且，，，，
所以，
所以直观图为梯形的面积为；
又因为斜二测画法中，原图形面积是直观图面积的倍
因此原四边形的面积为.
【变式3-2】（25-26高一下·上海·期末）（多选）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（ ）
A．是钝角三角形 B．的周长为
C．的面积为 D．的面积为
【答案】BC
【详解】作出如图所示，由图可得是等腰直角三角形，故A错误；
，，故的周长为，故B正确；
的面积为，故C正确；
的面积为，故D错误．
题型4 棱柱的表面积与体积
【例4】（25-26高一下·福建厦门·期中）已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形如图所示.若则该直四棱柱的表面积为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先得到底面四边形的平面图形，根据斜二测法及勾股定理求出线段的长度，即可求出底面积与底面周长，再根据表面积公式计算可得；
【详解】由直观图可得底面四边形的平面图形如下，由，
则，所以，
则，
所以直棱柱的底面周长，又直棱柱的高，
所以棱柱的侧面积，
所以棱柱的表面积.
【变式4-1】（25-26高二下·广西南宁·期中）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在图2中，水的体积是，
在图1中，设容器水面的高度为，则，所以.
【变式4-2】（2026·湖南张家界·三模）（多选）在直四棱柱中，四边形是菱形，，则（ ）
A．四棱柱的体积为162
B．四棱柱的表面积为
C．点到平面的距离为
D．直线与所成角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】记棱柱的高为,根据题意，列出方程组，求得，结合体积公式，可判定A正确；利用侧面积和三角形的面积公式，求得棱柱的表面积，可判定B正确；设点到平面的距离为，利用等体积法，列出方程，可判定C错误；结合异面直线所成角的定义，可判定D正确.
【详解】对于A，记棱柱的高为,即直四棱柱的侧棱长都为，
因为，
可得，
又因为是菱形，可得，所以是等边三角形，所以，
可得，联立方程组，解得，
故棱柱的体积，所以A正确；
对于B，棱柱表面积，所以B正确；
对于C，记点到平面的距离为，
由，可得，
由余弦定理得，
因为，可得，
所以，所以，所以C错误；
对于D，由，所以直线与所成角，即为直线与所成角，
即所求角为的补角，由C项知，
所以直线与所成角的余弦值为，所以D正确.
题型5 棱锥的表面积与体积
【例5】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（ ）
A．12 B．15 C．48 D．60
【答案】C
【分析】先根据正四棱锥的几何特征求出斜高，再代入侧面积公式计算即可。
【详解】正四棱锥的侧面为4个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长为侧棱长5，底边长为底面边长6。
设斜高，斜高、侧棱长、底面边长的一半构成直角三角形，
由勾股定理得：
单个侧面的面积为
则正四棱锥的侧面积
【变式5-1】（25-26高一下·河北邢台·期中）若一个正三棱锥的高是，底面边长是3，则该正三棱锥的体积为_______．
【答案】
【分析】因为正三棱锥底面为正三角形，根据三角形面积公式即可求出底面积，利用三棱锥体积公式即可计算体积．
【详解】因为底面边长是3，底面为正三角形，故底面面积为：
；
则该正三棱锥的体积为．
【变式5-2】（2026·天津·模拟预测）如图，向一个高为3且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为1时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设出未知数，根据棱台体积和棱锥体积公式得到方程，求出水面高度
【详解】设正四棱锥的下底面边长为，因注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为，
设注水四棱台的上底面边长为，则，解得，
注水四棱台的上底面的面积为，
注水四棱台的下底面的面积为，
则注水四棱台的体积为，
将此四棱锥容器倒置时，水的体积不变而且形成一个小四棱锥，
设水面高度为，底面边长为，
则，解得，且底面面积为，
设此四棱锥容器倒置后注水四棱锥的体积为，则，
又，则，解得，即，
即此四棱锥容器倒置后，水面高度为.
题型6 棱台的表面积与体积
【例6】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正三棱台的高为，，则该棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】不妨设上、下底面中心为，，，的中点分别为，，易知为斜高，
由，得，，
作于，所以，，
，
故所求棱台的侧面积为．
【变式6-1】（25-26高一下·广东惠州·期中）（多选）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）.
A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为
C．该三棱台的体积为 D．若点在棱上，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据正棱台的性质求侧面积、高、体积判断ABC，把等腰梯形与展开置于同一平面，用平面的性质求解判断D．
【详解】对于A，在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为E，
在中，
，
所以等腰梯形的面积为，
所以，所以A正确；
对于B，正三棱台中，取上、下底面的中心，，
连接，，，
则，，高，
所以B错误；
对于C，因为，，
所以三棱台的体积，所以C正确；
对于D，把等腰梯形与展开置于同一平面，连结，
易知，，，
而边的中点到点的距离，
因此当点为线段与的交点时，
的最小值为，所以D正确.
【变式6-2】（25-26高一下·山东临沂·期中）一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为，
正四棱台的侧面是等腰梯形，设斜高为，则
，
侧面积为：，
解得，或（舍去），
，
设棱台的高为，则，
上底面积，
下底面积，
该正四棱台的体积：
．
题型7 圆柱的表面积与体积
【例7】（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，圆锥的底面半径为1，高为4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．
(1)求剩下几何体的体积；
(2)求剩下几何体的表面积．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）根据给定条件，利用圆锥、圆柱的侧面积、表面积和体积公式求解.
【详解】（1）由圆柱上底面圆心为圆锥高的中点，得圆柱的底面圆半径，
圆柱母线长为2，而圆锥的母线长，
由圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积，
得．
所以剩下几何体的体积为.
（2）依题意，圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，
所以剩下几何体的表面积.
【变式7-1】（2026·天津武清·模拟预测）已知圆锥的高是底面半径的2倍，且圆锥的底面半径、体积分别与圆柱的底面半径、体积相等，则圆锥与圆柱的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆锥和圆柱的体积相等得到圆柱的母线和半径的关系，再利用侧面积公式求解.
【详解】设圆锥的高，底面半径，母线和体积分别为，
圆柱的高，底面半径，母线和体积分别为，
由题意知，，，
则，即，解得，
所以，
则，
故选：B
【变式7-2】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等.
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱的体积与表面积.
【答案】(1)3
(2)，
【分析】（1）根据圆柱的体积公式求圆柱的底面半径；
（2）根据三棱柱的体积和表面积公式求解即可.
【详解】（1）设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为.
由题意.
即圆柱的底面半径为3.
（2）因为为等边三角形，且其外接圆半径为3，
由正弦定理。，解得，则，
又三棱柱的高即圆柱的高为6，所以；
则三棱柱的表面积为.
题型8 圆锥的表面积与体积
【例8】（24-25高三上·河北衡水·期末）已知圆锥，的底面半径之比为2，母线长之比为，则圆锥，的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的底面半径、母线长分别为，，
设它们的侧面积分别为，.
【变式8-1】（25-26高一下·天津滨海新区·期中）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算出圆锥的母线长，从而计算出圆锥的表面积.
【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为，
由解得：，
所以圆锥的表面积为.
【变式8-2】（25-26高一下·四川资阳·期中）（多选）如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为
B．该圆锥的体积为
C．该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
D．三棱锥的体积的最大值为
【答案】ACD
【分析】将圆锥沿着展开，结合勾股定理判断A；利用扇形的侧面积公式求出圆锥的母线长，进而得出其高，结合锥体的体积公式判断B；由扇形的弧长公式判断C；求出面积的最大值，结合锥体的体积公式判断D.
【详解】对于C，由圆锥的侧面积为，得圆锥的母线长，侧面展开图弧长，
因此圆锥的侧面展开图的圆心角，C正确；
对于A，侧面展开图扇形圆心角，点在上且，则，
在展开后的扇形中，与（对应底面同一点）的圆心角为，
最短路径为线段，且，A正确；
对于B，设圆锥的高，该圆锥的体积为，B错误；
对于D，由圆的几何性质知，由勾股定理得，
由基本不等式得，则，
当且仅当，即当时取等号，
此时，因此，D正确.
题型9 圆台的表面积与体积
【例9】（25-26高一下·广东深圳·期中）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积和体积为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】先根据圆台的轴截面得出圆台的高及母线，最后应用圆台的表面积公式计算求解.
【详解】依题意，圆台的上、下底面半径分别为2和4，则，
由题意的正切值为2，
设圆台的高为，即该等腰梯形的高，
则母线，
所以圆台的表面积.
圆台的体积.
【变式9-1】（2026·山东济宁·三模）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件结合图形求出圆台母线长，再利用圆台侧面积公式计算即可.
【详解】设圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，高为，如图所示：
则，
所以圆台的侧面积为.
【变式9-2】（25-26高一下·河北·期中）（多选）如图为圆台的轴截面，其上底面直径为4、下底面直径为8，母线长为4，为边的中点，则（ ）

A．圆台的高为
B．圆台的侧面积为
C．圆台的体积是
D．在圆台的侧面上，从沿圆台侧面到的最短路径的长度为10
【答案】ABD
【分析】求出等腰梯形的高，进而求出面积判断A；利用圆台体积、侧面积公式求解判断BC；利用圆台侧面展开图求解判断D.
【详解】对于A，如图所示，过点作交于点，过点作交于点，

根据题意，在中，，，则，故A正确；
对于B，圆台的侧面积为，故B正确；
对于C，因为圆台上底面半径，下底面半径，高，
所以圆台的体积，故C错误；
对于D，圆台侧面展开为扇环，设扇环的圆心角为，将其补充为扇形，大扇形母线长为，小扇形母线长为，
根据弧长公式，，解得，其展开后的示意图如图所示，

在圆台的侧面上，从沿圆台侧面到的最短路径为，
由题意可得，
因为为中点，所以，所以，故D正确．
题型10 组合体的表面积与体积
【例10】（25-26高一下·天津滨海新区·期中）某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，，， 则该组合体的体积为_______________；
【答案】/
【分析】根据题意，利用锥体和柱体的体积公式，列式计算，即可求解.
【详解】因为该组合体的上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体，
正四棱锥的高为1， 且，
所以该组合体的体积为：.
【变式10-1】（25-26高一下·广东佛山·期中）如图，某几何体上面部分是一个正四棱锥，下面部分是一个长方体，．
(1)若，该几何体的体积为192，求正四棱锥的高；
(2)若，求该几何体的表面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用柱体和锥体的体积公式进行求解即可；
（2）利用柱体和锥体的表面积公式进行求解即可.
【详解】（1）设正四棱锥的高为，
因为该几何体的体积为192，
所以；
（2）在等腰三角形中，底边上的高为，
所以该几何体的表面积为：
.
【变式10-2】（25-26高一下·福建三明·期中）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥．下部是正四棱柱(如图所示)，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．

(1)若求该几何体的体积．
(2)若正四棱锥的侧棱长为6，
①求正四棱锥的侧面积．
②若是线段上的动点，求的最小值．
【答案】(1)312
(2)①；②
【分析】（1）根据求正四棱柱的高，分别计算正四棱柱和正四棱锥的体积，相加得到几何体体积；
（2）①利用勾股定理求底面边长和侧面斜高，计算正四棱锥的侧面积；
②将正四棱柱的侧面展开为平面图形，利用两点之间线段最短，计算的最小值.
【详解】（1）由条件可知，正四棱柱的高
所以正四棱柱的体积为，
正四棱锥的体积为
所以该几何体的体积为.
（2）①，所以，

正四棱锥侧面的高为
所以正四棱锥的侧面积为
②将正方形展开在一个平面，
，
当三点共线时，最短，
所以.
所以的最小值为.
题型11 球的表面积与体积
【例11】（25-26高一下·天津·期中）若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设球的半径为，则圆柱、圆锥的半径为，高为，
所以圆锥的体积，
圆柱的体积，
球的体积，
因此圆柱、圆锥、球的体积的比为.
【变式11-1】（25-26高一下·新疆喀什·期中）直径为6的球的表面积与体积（ ）
A．36，36 B．144，36
C．36，144 D．144，144
【答案】A
【详解】由题可知，球的半径为，
所以球的表面积为，体积为.
【变式11-2】（25-26高一下·湖南永州·期中）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，
所以，，
所以.
易错点1 棱柱棱锥的侧面积是所有侧面面积之和
【例1】（25-26高二上·上海·期末）已知正四棱锥的底面边长为6，高为4，则这个正四棱锥的侧面积为________.
【答案】
【分析】根据正四棱锥的结构特征及表面积的求法求其侧面积.
【详解】由题意，正四棱锥的底面是边长为6的正方形，且棱锥的高为4，
所以正四棱锥的侧面等腰三角形的高为，
由正四棱锥有4个侧面等腰三角形，所以其侧面积为.
故答案为：
【变式1-1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，则正四棱锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正四棱锥结构特征可求得侧面的高，由此可计算得到结果.
【详解】正四棱锥的底面边长为，高为，正四棱锥侧面的高为，
正四棱锥的侧面积.
故选：B.
【变式1-2】（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知正三棱锥底面的边长为6，高为3，则该正三棱锥的侧面积为_________．
【答案】
【分析】根据题意正三棱锥三个侧面全等，利用锥体的高及底边长求得斜高，即可得到侧面积.
【详解】
在正三棱锥中，底面边长为6，高，
且为的中心也是重心，所以，
则，所以，
即.
故答案为：.
易错点2 柱体的体积计算搞错底面
【例1】（25-26高一下·浙江·期中）如图，一个底面边长为的正三棱柱容器中盛有容器容积一半的水，若侧面水平放置时，水面分别过、、、的、、、点．
(1)几何体是否为棱台？请说明理由；
(2)求图中水面的高．
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据棱柱的定义判断即可得出结论；
（2）设正三棱柱的侧棱为，分析可知，可求出的高，进而可得出水面的高.
【详解】（1）不是，由图可知梯形梯形，且、、、平行且相等，
故几何体是四棱柱.
（2）设正三棱柱的侧棱为，
因为，即，
则得,易得与相似，
由，则，所以，
则的高为，
故图中水面的高为．
【变式2-1】（24-25高一下·浙江·期中）如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略）
(1)若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积；
(2)若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？
【答案】(1)表面积为，容积为
(2)6
【分析】（1）根据棱柱的表面积和体积公式求解即可；
（2）先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面水平放置时，液面高度.
【详解】（1）表面积，
体积；
（2）设的面积为，底面水平放置时，液面高为，
则水的体积为，
当底面水平放置时，水的体积为，解得，
即液面高为.
方法1 直棱柱外接球
方法技巧
1核心模型：直棱柱/圆柱的外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点
2半径公式：其中为底面外接圆半径为棱柱/圆柱的高
3底面处理：底面为三角形时先求三角形外接圆半径；底面为正多边形时利用中心到顶点距离求
4易错点：注意区分直棱柱与斜棱柱斜棱柱无通用中点模型需用空间坐标法求解
【例1】（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为，球心为O，一个顶点为A，可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积.
【详解】作出六棱柱的最大对角面与外接球的截面，如下图，
则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，
设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为，
则球心是的中点，
由正六棱柱底面边长为，侧棱长为，
所以中，，
可得，
因此，该球的体积为.
【变式1-1】（25-26高一下·浙江温州·期中）已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______.
【答案】
【详解】由为正四棱柱，且，
所以为正方形，则正四棱柱的外接球半径，
所以球的表面积为.
【变式1-2】（25-26高一下·广西南宁·期中）已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为______________．
【答案】
【详解】由题意，直三棱柱，，所以直三棱柱可以补成以、、为棱的长方体，
则球O为该长方体的外接球，设球O的半径为R，则，
所以球O的表面积为．
方法2 正四面体外接球内切球
在棱长为a的正四面体中
【例2】（24-25高一下·广东惠州·月考）已知棱长为的正四面体的外接球表面积为，内切球表面积为，则（ ）
A．9 B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】如图所示，设点是内切球的球心，设内切球半径为，外接球半径为．由题可知，在Rt△中，，即，又，化简可得：，即可得出答案.
【详解】如图所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为，由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．
在Rt△中，，即，
又，可得，.
故选：A．
【变式2-1】（24-25高一下·山西·阶段检测）设体积为的正四面体P-ABC的外接球和内切球的半径分别为和，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．1
【答案】B
【分析】设四面体棱长，通过作辅助线表示四面体的高，由体积可求出棱长，继而解直角三角形求得外接球半径，利用等体积法求得内切球半径，二者相减求得答案.
【详解】如图，设正四面体的下底面中心为，连接，则平面，
连接并延长，交于，设此正四面体的棱长为x，则，
，，即四面体的高．
由，解得.
设四面体外接球的球心为，连接，
则，解得；
四面体内切球半径为,由等体积可得，
即，
∴，
故选：B
【变式2-2】（24-25高一下·福建龙岩·期中）（多选）若正四面体外接球的表面积为，则（ ）
A．该正四面体的体积
B．该正四面体的表面积为
C．该正四面体内切球的半径为
D．该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于选项A：利用公式，求出半径，将正四面体放到正方体中考虑，即可快速求出答案；
对于选项B：利用体积差法，总体积减去四个规则小三棱锥的体积即可得解；
对于选项C：根据内切球和外接球球心重合，求出正四面体的高减去外接球的半径，即为内切球的半径；
对于选项D：外接球半径减去内切球的半径即可得解.
【详解】
设正四面体的外接球半径为R，则，
得.
把正四面体A－CFG补形为正方体ABCD－EFHG，
则，
得，AF＝3.
，A正确.
该正四面体的表面积为，B错误.
设正四面体的高为h，则，得，因为正四面体的外接球球心与内切球球心重合，所以内切球半径，C正确.
该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为，D正确.
故选：ACD.
方法3 长方体的两大外接球模型
（1）墙角模型
长方体的外接球（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出
（2）对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为，，，，
列方程组，，
补充：.
第三步：根据墙角模型，，，
，求出.
【例3】（25-26高一下·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（）
A．28π B．27π C．19π D．29π
【答案】D
【详解】如图,根据题意补全为长方体，三个长度为三个对面的对角线的长，设长、宽、高分别为,
则，所以，
所以，所以三棱锥的外接球的表面积为.
【变式3-1】（2026·河北雄安·三模）在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据长方体体对角线的长即为外接球的直径得出，然后再根据球的表面积公式即可求解 .
【详解】设外接球半径为，已知长方体长宽高为：，，.
根据长方体体对角线公式： ，
由体对角线长等于，得，即，
所以长方体外接球表面积.
【变式3-2】（25-26高一下·贵州毕节·期中）（多选）长方体的长、宽、高分别为3，，，体积为6，外接球的表面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．长方体的长、宽、高分别为3，2，1
B．与这个长方体表面积相等的正方体的棱长为2
C．设与这个长方体体积相等的正四面体的棱长为，则
D．沿长方体的表面从到的最短路径长度为
【答案】AC
【分析】借助体积公式与外接球表面积公式计算可判断A；计算该长方体表面积与棱长为2的正方体的表面积即可判断B；计算正四面体的体积可判断C；将长方体沿展开，计算可判断D.
【详解】对A：由该长方体体积为，可得，故，
由该长方体外接球的表面积为，设半径为，则，
即，即有，即，
则，，
即，，则、或、，
由，故、，故A正确；
对B：这个长方体的表面积，
棱长为的正方体的表面积为，故B错误；
对C：，
解得，故C正确；
对D：将长方体沿展开，则，
故不是沿长方体的表面从到的最短路径长度，故D错误.
方法4 正棱锥与圆锥的外接球
正棱锥，圆锥模型
题设：如图这七个图形，的射影是的外心三棱锥的
三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出
方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.
【例4】（2026·陕西咸阳·模拟预测）（多选）已知圆锥的底面半径等于，高等于1，则（ ）
A．圆锥的体积为π
B．过圆锥顶点的截面面积的最大值为2
C．圆锥外接球的表面积为16π
D．圆锥的母线与底面所成角大小为60°
【答案】ABC
【分析】对 A，圆锥体积公式直接代入已知的底面半径和高计算验证；对 B，设截面两母线夹角为 θ，利用三角形面积公式 结合三角函数有界性分析面积最大值；对 C，利用圆锥外接球球心在高所在直线上，由求解外接球半径 ，进而计算表面积；对 D，找出母线与底面所成角的平面角，在直角三角形中通过三角函数值计算角度判断.
【详解】整理已知条件可知：圆锥底面半径，高，母线长，逐一分析选项：
对于A：圆锥体积公式，代入得： ，A正确；
对于B：过圆锥顶点的截面为等腰三角形，两腰均为母线长，设两母线夹角为，则截面面积.
设轴截面顶角，则，得，
因此最大值为（当时），，B正确；
对于C：圆锥外接球球心在高所在直线上，设外接球半径为，由可得，
解得，外接球表面积，C正确；
对于D：圆锥母线与底面所成角为母线和其在底面投影（底面半径）的夹角，在直角三角形中，
得，D错误.
【点睛】本题综合考查圆锥的几何性质，涉及体积、截面面积、外接球表面积计算及空间线面角求解，核心运用数形结合思想与解直角三角形方法.
【变式4-1】（2026·江苏·二模）一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出示意图，确定球心的位置，设外接球的半径为，构造关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果.
【详解】在正六棱锥中，设点为正六边形的中心，连接、，
易知为等边三角形，所以，，
由正棱锥的几何性质可知，外接球球心在直线上，
设外接球的半径为，则，
由勾股定理可得，即，解得，
故该正六棱锥的外接球的表面积为.
【变式4-2】（2026·天津红桥·一模）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可知顶点在底面的投影为的外心（正三角形的中心），外接球的球心在过该中心且垂直于底面的直线上，通过勾股定理建立方程求解半径.
【详解】如图，设点为底面的投影，因为，
则为正三角形的中心，计算可得，
则平面，连接
在中，：
，
设外接球的球心为，半径为，则在直线上.
设，则，
在中：解得：，
所以，即.
所以三棱锥外接球的半径为.
方法5 圆台，正棱台外接球模型
圆台，棱台外接球
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
注：若球心位置不确定，也可以直接设，若解出来为负数则说明球心在另一侧
方法技巧
1模型特征：球心在上下底面圆心的连线上利用球心到上下底面顶点距离相等列方程
2通用公式：设上下底面外接圆半径为台高为球心到下底面距离为则解方程求再得
3特殊情况：圆台可看作圆锥截去部分利用圆锥外接球模型推导简化计算
4注意事项：台体需满足上下底面平行且为相似正多边形否则无法用此模型
【例5】（25-26高一下·吉林·阶段检测）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，则外接球体积为________．
【答案】
【分析】根据题意，求得圆台的高为，设圆台的外接球的半径为，球心到圆心的距离为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，求得，结合球的体积公式，即可求解.
【详解】设圆台的上底面圆的圆心为，半径为，下底面圆的圆心为，半径为，
圆台的母线为，圆台的高为，则
可得，
设圆台的外接球的球心为，半径为，球心到下底面圆心的距离为，
可得，即，
可得，解得，所以，
所以圆台的外接球的体积为.
【变式5-1】（25-26高二上·云南保山·期末）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、，若该正三棱台的体积为，则它的外接球的体积为_________．
【答案】
【分析】根据条件及三棱台的体积公式，可得正三棱台的高，根据正三棱台的性质及勾股定理，可得外接球的球心到下底面的距离，进而可得外接球的半径R，代入体积公式，即可得答案.
【详解】因为正三棱台的上、下底面边长分别为、，
所以上底面面积，下底面面积，
设正三棱台的高为h，则体积，
则，解得，
上底面的中心到顶点A的距离，
下底面的中心到顶点D的距离，
因为，所以外接球球心O位于底面DEF的下方，
设外接球球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为，设外接球的半径为，
则，即，解得，则，
所以外接球的体积
【变式5-2】（2026高一·全国·专题练习）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则该正四棱台的外接球的表面积为_____.
【答案】
【分析】根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解.
【详解】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为，
因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，
可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得，
根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在线段上或在其延长线上，
设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为，
因为正四棱台的高为，
所以若球心在线段上，则，解得，矛盾，
若球心在线段的延长线上，则，解得，
所以，所以外接球表面积为.
方法6 垂面型外接球模型
题设：如图，平面，求外接球半径.（一条侧棱垂直底面）
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②.
【例6】（25-26高一下·湖南株洲·期中）（多选）三棱锥的四个顶点都在球上，且底面，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．球心在三棱锥的内部
C．球心到底面的距离为1 D．球的表面积为
【答案】ACD
【分析】选项A，利用余弦定理计算的长度；选项B，结合底面外接圆圆心和球心关系判断即可；选项C，根据外接球的球心位置规律推导距离；选项D，利用外接球半径公式求出球的半径，再使用球的表面积公式计算.
【详解】底面，，，.
选项A：由余弦定理：
，得，A正确；
选项B：底面中，是钝角，钝角三角形的外心（外接圆圆心）在三角形外部，因此三棱锥外接球的球心在三棱锥外部，B错误；
选项C：侧棱垂直底面，外接球的球心在过底面外心且垂直于底面的直线上，
球心到底面的距离，C正确；
选项D：由正弦定理，底面外接圆半径满足：
，
外接球半径满足，
因此球的表面积：，D正确.
【变式6-1】（25-26高一下·新疆·阶段检测）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意三棱锥外接球等价于棱长为1，1，的长方体的外接球，即可求出球半径，求出表面积.
【详解】因为平面，，
可将三棱锥补形为长方体，
则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
则长方体的体对角线即为外接球的直径.
又，
故外接球的表面积为.
【变式6-2】（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______．
【答案】
【分析】先求出底面正三角形的外接圆半径，再结合侧棱垂直底面的几何特征计算外接球半径，最后代入球的表面积公式求解．
【详解】
设底面正的外接圆圆心为，外接圆半径为，
已知是正三角形，边长，
则其外接圆半径为，
平面，
三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上，
且球心到平面的距离，
外接球半径为：，
由球的表面积公式得．
方法7 面面垂直模型
方法技巧
1模型特征：两个互相垂直的平面分别取两个面内三角形的外心过外心作各自平面的垂线两垂线交点即为球心
2通用步骤：
分别求两个面内三角形的外接圆半径
过外心作各自平面的垂线利用面面垂直的性质确定球心位置
结合两平面交线长度用勾股定理求外接球半径
3关键应用：当棱锥有两个面互相垂直时优先使用此方法避免复杂计算
4坐标法辅助：建立空间直角坐标系设球心坐标为利用到各顶点距离相等列方程求解
【例7】（2026高一·全国·专题练习）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____.
【答案】
【分析】取的中点，由面面垂直的性质定理可得平面，可得，外接球的球心在上，设为，利用求出外接球的半径可得答案.
【详解】取的中点，连接，
因为，所以，
因为二面角为直二面角，
平面平面，平面，
所以平面，
因为，，所以，，
，所以，，
因为，所以外接球的球心在上，设为，连接，
则，
可得，其中，
解得，即外接球的半径为，
所以该球的体积为.
【变式7-1】（2026·陕西咸阳·三模）已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为___________．
【答案】/
【分析】本题首先可根据题意将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果．
【详解】因为平面平面，
所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，
如图所示：则四面体的外接球即直三棱柱的外接球，
因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为，
所以直三棱柱的外接球的半径，
则球的表面积.
【变式7-2】（2026高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____.
【答案】
【分析】分别求出和外接圆的圆心，利用几何关系寻找外接球球心和外接圆圆心的数量关系，即可得到外接球的半径.
【详解】
因为是等腰直角三角形，设的外接圆圆心为，因为，，则的外接圆半径，
因为侧面是等边三角形，设其外接圆圆心为，半径为，
由正弦定理可得，解得，
因为平面平面，
过作平面的垂线，过作平面的垂线，
两垂线的交点即为四面体外接球的球心，
设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离，
在等边三角形中，到的距离为，即，
所以外接球的半径，
所以.
方法8 棱锥，棱台圆锥圆台内切球问题
正棱锥的内切球
如图，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径
相似法（通法）
第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
等体积法（通法）
若三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法）
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为，建立等式：
第三步：解出
内切球之圆台，棱台模型
首先需要明确，并不是所有的圆台都有内切球，如果一个圆台又矮又胖，最多只能找到一个与上下底面相切的球，无法做到与所有母线相切，圆台内切球指的是与圆台上下底面和每条母线均相切的球。如下图所示：
此时圆台的上下底面圆的半径与圆台的高必须满足一定关系，下面进行详细分析，为了分析方便，采用平面辅助法，上图的轴截面如下：
假设上底面圆半径为r2，下底面圆半径为r1，内切球半径为R，圆台的高为h，母线长为l。上图轴截面是等腰梯形的内切圆，点E，F，G为切点，可得如下全等关系：
；
由射影定理可得：
【例8】（25-26高一下·全国·期末）已知圆台存在内切球，圆台的上底面半径为2，母线长为6，则该内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】圆台内切球的轴截面如图所示，由题意易知为等腰梯形，且，
取的中点 ，连接，因为圆台存在内切球，设内切球的半径为，
则易知球心在上，且，
过点作，交于，连接，
设，则由圆的切线性质可知，
所以，所以，
过点作，交于，
则,
由，得，解得，
所以，所以内切球的表面积为.
【变式8-1】（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出圆台及球的轴截面，从而可得等腰梯形及其内切圆，再结合勾股定理及条件解方程可得.
【详解】作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面的圆相切，如图：
所以圆台的母线长.
由勾股定理得：，化简得①.
又，代入①得：，，解得或.
若时，则，，所以圆台的侧面积；
若时，则，此时几何体是圆柱不是圆台，不符合题意，舍去.
因此，圆台的侧面积为.
【变式8-2】（25-26高一下·广东梅州·期中）设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】由球的体积公式求得球的半径，再通过正四面体体积确定棱长和半径的关系，即可求解.
【详解】球的体积公式为，
由题意内切球体积，
代入得： ，整理得：
设正四面体棱长为，高为
如图为正四面体，为的中心，
根据正弦定理知的外接圆半径，
所以，
设是正四面体PABC的内切球球心，内切球半径为，
则根据等体积法得：
．
故
对两边立方得：
将 代入上式，得：
因此该正四面体的棱长为.
方法9 二面角模型
折叠模型（二面角模型）-由2个外心加“中垂线”确定球心
题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)
第一步：先画出如图6所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；
第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；
第三步：解，算出，在中，勾股定理：
注：易知四点共面且四点共圆，证略.
方法技巧
1模型特征：平面图形沿某条棱折叠成空间几何体形成二面角求外接球半径
2通用步骤：
分别求折叠前后两个面内三角形的外接圆半径
确定二面角的平面角
利用公式（为两外心连线长度）列方程求解
3关键技巧：折叠前后的边长不变二面角的平面角是关键参数需准确找到其位置与大小
4特殊情况：当二面角为时可简化为面面垂直模型用题型7的方法求解
【例9】（25-26高三上·山西太原·期末）已知四棱锥的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是______.
【答案】
【分析】根据题意作出图形，根据外接球定义和几何体的特征作出外接球球心位置，由得到四点共圆且圆的直径为，由余弦定理求出外接圆半径即可求出外接球半径，可得外接球表面积.
【详解】如图，作出符合题意的图形，
取中点中点，连接，因为，所以
又四边形是正方形，所以因为平面平面，
所以为二面角的平面角，所以，
取上靠近点的三等分点的中点，分别过点作平面的垂线，
过点作平面的垂线，两垂线交点即为该四棱锥外接球球心，
因为，
所以，
则在中，，
所以三角形的外接圆半径满足 ，
因为，所以四点共圆，且圆的直径为，
所以，所以四棱锥的外接球半径满足，
所以外接球表面积为.
故答案为： .
【变式9-1】（25-26高三上·湖南永州·开学考试）已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为___________．
【答案】
【分析】根据二面角定义可得，求出的外接圆圆心和半径，找出外接球球心位置，利用勾股定理计算出三棱锥外接球的半径，可求出其表面积.
【详解】在三棱锥中，平面，
所以即为二面角的平面角，
由二面角为，可知；
又，所以是边长为4的正三角形，
令其外接圆圆心为，则，
令三棱锥外接球的球心为，球半径为，如下图所示：

则平面，即有，显然球心在线段的中垂面上，
令线段的中垂面交于，
则，显然，于是，四边形是平行四边形，且是矩形，
而，因此，
所以三棱锥外接球的表面积.
故答案为：
【变式9-2】（24-25高一下·河南信阳·期末）在四棱锥中，平面平面，，，，，，若二面角为，则四棱锥外接球的表面积为_____．
【答案】/
【分析】分别取，的中点，，连接，，，可证明平面，再由，从而得到平面，可得到，所以为二面角的平面角，即可求出，然后设球心为上的一点，列方程可以求出三棱锥的外接球半径，再由四点共圆，所以三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球，从而得解.
【详解】分别取，的中点，，连接，，，
，，因为平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
因为平面，．在中，，，，
，所以，，．
因为点，分别为，的中点，所以，．
平面，，
平面，又平面，
，所以为二面角的平面角，
，．因为为直角三角形的外接圆的圆心，
所以，三棱锥的外接球的球心在直线上，
由于，所以在线段的延长线上，
设外接球的半径为，则，．
所以三棱锥的外接球的表面积．
在四边形中，由于，四点共圆，
所以三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球，
故四棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：.

方法10 祖庚原理
【例10】（25-26高二上·上海松江·期末）有趣的金马徐高想运用所学祖暅原理（如图1）解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为4的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为________．（结果保留）

【答案】
【分析】根据条件和图1可得半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积，然后在图2中运用此原理可求得答案.
【详解】如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，设半球中阴影截面圆的半径，
球体半径为，则，截面圆面；
圆柱中截面小圆半径，大圆半径为，则截面圆环面积，
所以，又高度相等，
所以半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积.
同理，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积.

如图2，设球体和水接触的上部分为，没和水接触的下部分为，
小半球相当于图1半球的截面上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积.
已知球体半径为，为等边三角形，
，，
根据祖暅原理 ，
.
设图2中轴截面为梯形的圆台体积为，且，
.
故答案为：
【变式10-1】（24-25高一下·云南昆明·期中）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅在解决球体体积时，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，如图①所示．如图②是一个半径为3的球体，平面ABC与球相交，截面为圆B，延长BO，交球于点D，则BO垂直于圆B（BO垂直于圆B内的所有直线），．
(1)求圆锥DB的表面积和体积；
(2)如图平面ABC上方与球体之间的部分叫球冠，请利用祖暅原理求球冠的体积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求出圆锥高和母线，从而求其表面积和体积；
（2）如图构造一个与半球同底等高的圆柱，内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥．取同一高度h的截面．令球冠截面半径为，面积为，圆锥截面半径为，所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等，根据求解．
【详解】（1）因为，，
设，则，
圆锥高，母线长，
，
．
（2）如图构造一个与半球同底等高的圆柱，
内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥．
取同一高度h的截面．令球冠截面半径为，面积为，圆锥截面半径为，
面积为，．，
，
所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等．
所以．
依题意圆柱的高为2，半径为3．圆台的上底面半径为3，下底面半径为，
因为即为球冠的底面积，所以
由，得，所以
所以
【变式10-2】（23-24高三上·四川·阶段检测）中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底而边长为2，下底而边长为4，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由祖暅原理，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，根据棱台的体积公式计算可得.
【详解】由祖暅原理，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，
故
.
故选：B.
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