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2025-2026学年河北省唐山市第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是关于的方程的一个复数根，则( )
A. B. C. D.
2.一个圆台的上底面半径为，下底面半径为，轴截面的面积为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，若该三角形有两解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知单位向量，，满足，则向量，的夹角为( )
A. B. C. D.
7.记的内角的，，对边分别为，，，已知，，当的面积的最大值时，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，长方体的长、宽、高分别，且，分别为上底面、下底面含边界内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线长为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是复数，则下列命题中的真命题是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则( )
A. 不存在点，使得，，，四点共面
B. 存在点，使得平面
C. 三棱锥的体积为
D. 经过，，，四点的球的表面积为
11.如图，已知正方形的边长为，动点在以为直径的半圆弧上正方形内部，含边界，则下列结论正确的是( )
A.
B. 的最大值为
C. 若，则的最大值为
D. 若为图中半圆内含边界的动点，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若，则点坐标为 ．
13.已知直三棱柱的各顶点都在一个球面上，且，，，则这个球的表面积为 ．
14.设正实数，，满足，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
复数其中，复数满足，其中为虚数单位．
若为虚数，求的取值范围；
求与；
求的最小值．
16.本小题分
已知向量，满足，，且，的夹角为．
求；
求在上的投影向量；
若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，四棱锥，底面为平行四边形，、分别为 、的中点，面面．
证明：；
证明：平面．
在线段上是否存在一点，使面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足_____．
请从条件、条件中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：
条件：；．
证明：；
若的平分线交于，，，求的值；
求的取值范围．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
19.本小题分
在中，，，对应的边分别为，，，．
求；
奥古斯丁路易斯柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用已知三维柯西不等式：，，，，，，，当且仅当时等号成立．
在的条件下，若．
(ⅰ)求：的最小值；
(ⅱ)若是内一点，过作，，的垂线，垂足分别为，，，设的面积为，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.．
14.
15.解：令，解得，即的取值范围是．
因为，所以，
化简得，所以．
所以．
因为复数，，
所以．
，
又，所以，
所以的最小值为．
16.解：已知向量，满足，，且，的夹角为．
则，
则
；
在上的投影向量为；
若向量与向量的夹角为钝角，
则且量与向量不共线，
则，
即，
即，
设，
则，
则向量与向量的夹角为钝角时，实数的取值范围为．
17.证明：为平行四边形，
，又面，面，
面，面面，．
取中点，连接，，则，又，
，四边形为平行四边形，，
面，面，面．
取中点，连接，，则，面，面，
面，又面，，，面，
面面，且面面，面面，
，又为中点，为中点，
，又，
18.证明：若选：，由正弦定理得，
，
，
，
，或舍去，即；
若选：由正弦定理及，
得，
，
，
，，
或舍去，
；
，为锐角，
，，
，
，
，
，；
由是锐角三角形，，，，可得，
，
，
令，则，在上单调递增，
而，，
，
．
19.解：在中，，
由正弦定理得，，
又，，
整理得：，即，
又，
，，
，又，；
，
当且仅当为正三角形时取等号
即：的最小值为．
．
又，
，
，，，，，，，当且仅当时等号成立．
有，当且仅当，即时等号成立．
所以；
由余弦定理，得，
，即，
则，
令，则．
，
，当且仅当时等号成立，
，
令，则在上递减，
当即时，有最大值，
此时有最小值此时与可以同时取到．
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