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专题03 平面向量中的范围与最值问题
题型1 坐标法求数量积的最值（范围） 题型6 数形结合求模的最值（范围）
题型2 定义法求数量积的最值（范围） 题型7 坐标法求模的最值（范围）
题型3 数量积的几何意义求数量积的最值（范围） 题型8 求向量夹角的最值（范围）
题型4 极化恒等式求数量积的最值（范围） 题型9 求一个参数的代数式的最值（范围）
题型5 求模的最值（范围） 题型10 求含两个参数的代数式的最值（范围）
题型一 坐标法求数量积的最值（范围）（共4小题）
1．（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
，，
，设，
∴，
∴，
∴当时，·取得最小值.
故选：B.
2．（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】BCD
【详解】以为原点，分别为轴建立直角坐标系，
则，设，
，
所以，
又，当时取得最小值为，
因为，所以，
当时取得最大值为，
则的取值范围为，选项BCD符合.
3．（25-26高一下·安徽六安·月考）已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．
【答案】
【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设点，则，，，
所以，
则，
当且仅当，时，取最小值．
4．（25-26高一下·四川资阳·期中）边长为1的正方形ABCD上有一动点，则向量的范围是___________.
【答案】
【详解】如图，分别以,为建立平面直角坐标系，则，
设，则，，
当在边或边上时，，
所以，
当在边上时，，，
当在边上时，，，
所以的取值范围为，
题型二 定义法求数量积的最值（范围）（共5小题）
5．（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．－2
【答案】A
【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上，
令，由点在线段上， ，得，
则，
而，因此
，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
、
6．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】（为的中点），
则，要使最小，
则，的方向相反，即点在线段上，
则，即求的最大值，
因为，
所以，
当且仅当，即是的中点时，取等号．
故．
故选：B．
7．（25-26高一下·北京·期中）在中，，是边的中点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
设，则，，且，
则，
因为，所以，所以，即.
8．（25-26高一下·云南昆明·期中）在中，点满足，点是边上靠近的四等分点，与所成的夹角为，则的最大值为___________．
【答案】
【详解】由题意因为，所以
点是边上靠近的四等分点，故，
联立，解得
已知与所成的夹角为，可得，
这是关于的二次函数，开口向下，最大值在顶点处：，
此时，
故答案为：.
9．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在中，，在线段上，满足，在线段上，满足，为线段的中点，则的最大值为____________________．
【答案】
【详解】设，
，，
，
，
即，故，
，
，
由基本不等式得，
，故，当且仅当时取等号，
，故的最大值为．
题型三 数量积的几何意义求数量积的最值（范围）（共6小题）
10．（25-26高一下·广东中山·阶段检测）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
由投影的定义知，结合图形得，
当过P的直线与半圆弧相切于P点且平行于BC时，最大为，
此时；
当P与C或B点重合时，最小为，
此时，
∴.
11．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，已知是边长为2的正六边形内的一点（不含边界），为其中心，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由正六边形的对称性可知，易知正六边形的每个内角为.
设与的夹角为，则，
所以当最大时，取得最大值；
当最小时，取得最小值.
可知当与重合时，取得最大值，
，此时..
当与重合时，取得最小值，此时，
此时，故的取值范围为.
12．（25-26高三上·福建泉州·期中）如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一个动点（含边界），已知，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由正八边形的性质可知为的中点，
所以，
当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为，
所以的最大值为.
故选：D.
13．（多选）（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）美术课对于陶冶人的情操 发展学生的艺术兴趣和爱好 培养学生的艺术特长 提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的可能取值有（ ）
A．-10 B．-8
C．10 D．24
【答案】BCD
【详解】如图，作，垂足分别为，且与左半圆相切，
切点为与右半圆相切，切点为.
，其中为在上的投影，
因为，所以.
当与重合时，最大，最大值为，
此时取得最大值，最大值为；
当与重合时，最小，最小值为，
此时取得最小值，最小值为；
故的取值范围是.
14．（25-26高一下·广东东莞·期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，，
如图，由平面向量数量积的几何意义可知，等于与在方向上的投影的乘积，
当点在线段上时，在方向上的投影取最小值，
此时，，，，
故的最小值为.
15．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，为正六边形的顶点，是这个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为______________

【答案】
【详解】

如图，过作交延长线（或反向延长线）于点，
则，
因为个正六边形的边长均为，如图，当位于点时，取得最大值，
此时，，，
则此时，即.
题型四 极化恒等式求数量积的最值（范围）（共6小题）
16．（25-26高三上·安徽·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【详解】【解法一：坐标法+二次函数】以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：
，则 ，
设 ，其中 ，则 ，
，
当 时， 取得最小值为 .
【解法二：极化恒等式】设 的中点为 ，则 ，
当 为 中点时， 取得最小值为 .
故选：B.
17．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】取的中点，连接，如图所示，
所以的取值范围是，即，
又由，所以.
故选：B.
18．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设正六边形内切圆圆心为，
由题意可知内切圆半径为，，
又因为，所以的取值范围为．
故选：C．
19．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】如图，取的中点，，
而，所以．
20．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ．
【答案】1
【详解】由，
且，，，，
所以
，
当时，的最大值为1.
【解法二：】 （极化恒等式）取中点，连接，
由极化恒等式知，，
因为为定长，所以当最小，即点为中的时，取的最大值，
此时.
所以当时，的最大值为1.
21．（2025高一·全国·专题练习）已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】如图，取中点为，连结．
由条件可知，
．
因为点在劣弧上，当点在点处时取最小值，当点在点处时取最大值，
所以，所以．
题型五 求模的最值（范围）（共5小题）
22．（25-26高三上·云南普洱·期末）已知向量满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【详解】（+三角函数有界性）由，得，而，则，，
因此，
当且仅当时取等号，所以的最小值为2.
故选：C
23．（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【详解】（+二次函数）因为，在上的投影向量是，所以，则，
则，
因为，所以，
则的最小值为.
故选：A
24．（多选）（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，，均为单位向量，则（ ）
A． B．的最小值为
C．向量在向量上的投影向量为 D．
【答案】ACD
【详解】已知，，均为单位向量，则，
对其展开得：，
代入模长得，解得，
选项A：，两向量垂直，A正确；
选项B：，
这是开口向上的二次函数，最小值在处取得，最小值为，
因此的最小值为，B错误；
选项C：向量在向量上的投影向量为，C正确；
选项D：，夹角范围为，因此，D正确.
25．（25-26高一下·浙江·期中）已知向量，满足，，若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意知：,
,
当且仅当时，.
26．（25-26高一上·北京·期末）已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________．
【答案】
【详解】因为点是圆上一点，，所以，
因为，
所以，
设与的夹角为，，
则，所以，
又，所以，
又点是圆内部一点，所以，
综上；
，
因为，所以，则，
所以.
题型六 数形结合求模的最值（范围）（共6小题）
27．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________．
【答案】
【详解】由题意，均为单位向量，且，
则，
由，则，解得，
则的取值范围是.
28．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【详解】（向量的三角不等式）平方去绝对值号，由，则，
根据向量与的条件可得，
化简可得，
令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以.
观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解，
即，
又，
则的最小值为
29．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，已知正方形边长为4，为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为______．
【答案】
【详解】因为为的中点，则，则，
由题意可知：，，
设点到直线的距离为，
则，解得，
可得，所以的最小值为.
30．（25-26高一下·黑龙江·期中）已知平面向量满足，非零向量满足，向量满足，则的最小值是__________.
【答案】
【详解】因为非零向量满足.
所以向量与的夹角为，设，
则.
所以有，则，所以点的轨迹为以为圆心的圆.
过点，作，垂足为，交圆于点.
根据图象可得出即为的最小值.
在中，有，所以有.
又，所以.
31．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知点是半径为4的圆内一点，，，为圆上任意两点，当取得最大值时，______.
【答案】2
【详解】如图，
取中点为，连接，则，且，
设为和的夹角，则
，
且，
当且仅当时，即与反向时等号成立，
因，
，则当时，有最大值，
此时三点共线.
于是共线且点在点与之间，故.
32．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，为上的两个动点，为弦的中点，点的坐标为，.
(1)求；
(2)若，
（i）求；
（ii）求的取值范围.
【答案】(1)4；(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）解：因为为弦的中点，所以且，
所以
，
所以；
（2）（i）因为，，，
所以，所以.
（ii）由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上，
由，
，
所以
所以．
题型七 坐标法求模的最值（范围）（共3小题）
33.（2026高一下·全国·专题练习）已知向量满足，且，则的最小值为________．
【答案】
【详解】解法一：由，
即，
而（为与的夹角），
所以，
解得，
所以的最小值为．
解法二：设，由，得，
取线段上靠近的三等分点，则，且．
由，得．
如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则．
设，由，得，易得点的轨迹是圆，
所以的最小值为，所以的最小值为，
即的最小值为．
34.（2026高一下·全国·专题练习）已知向量满足，且，则的最小值为________．
【答案】
【详解】解法一：由，
即，
而（为与的夹角），
所以，
解得，
所以的最小值为．
解法二：设，由，得，
取线段上靠近的三等分点，则，且．
由，得．
如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则．
设，由，得，易得点的轨迹是圆，
所以的最小值为，所以的最小值为，
即的最小值为．
35．（25-26高一下·广东湛江·月考）已知平面内三个向量，，.
(1)若，求实数的值；
(2)已知，求的最小值.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）因为，，
又，
所以，即，解得.
（2）因为，
所以，
所以当时，取最小值.
题型八 求向量夹角的最值（范围）（共7小题）
36．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
，
所以，
，当且仅当，即时取等号，最小值为．
37．（25-26高一下·广东东莞·期中）已知，是两个单位向量，且，的夹角为，若，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，是两个单位向量，且夹角为，，
又因为，
所以
，
又，所以，所以.
38．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）在中，，，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以是的中点，
又因为，所以是上靠近的三等分点，
所以，
因为，且，
所以，化简得，
可得，当且仅当时，等号成立，
又因为，所以．
39.（25-26高一上·广东深圳·期末）若平面向量，满足，，则当最小时，______；记与的夹角为，则的最大值为______.
【答案】1 ；
【详解】因为平面向量，满足，所以等式两边平方得
，展开化简得.
因为，所以.
所以，
设向量的夹角为时，，
所以，所以.
由于取最小值时，取最大值，
所以此时，所以.
因为，所以.
所以.
令 ，则 ，令 ，则 .
由基本不等式，当 即 时， 取得最大值 .
40．（25-26高一下·福建·月考）已知平面单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则的最小值是______.
【答案】
【详解】设、的夹角为，由，为单位向量且满足，
可得，解得；
又，，所以，
，，
，的夹角为，则，
所以时，取得最小值为
41．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为___________.
【答案】
【详解】由，得 ，
依题意，不等式对任意实数恒成立，
则 ，解得，
而，则，
又，函数在上单调递减，因此，
所以向量，的夹角的取值范围为.
42．（25-26高一下·江苏盐城·期中）设非零向量，满足，，，设，夹角的最小值为，则______.
【答案】
【详解】当时，题中不等式自然满足，所以只要考虑的情形，
将不等式两边同时除以，
得，，，其中为单位向量，
因此题设不等式等价于，
记夹角为，
那么，
即，
从而，得，
由于，在上单调递减，
因此的最小值对应的最大值，
当时，二次函数有唯一零点，
此时，即，
满足不等式的等号条件，说明最小值是可取的，
则，夹角的最小值为时，则.
题型九 求含一个参数的代数式的最值（范围）（共4小题）
43．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】方法1、因为，所以，
因为，，所以，解得，
则或，解得，则的取值范围为．
［易错］容易忽略作为分式的分母不能为0以及，从而导致取值范围错误．
方法2、
如图，设，则，，
因为，则，
当时，，且；
当时，，所以的取值范围为．
故选：C
44．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知平面内两个不共线的向量和，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，又，且和的夹角为，
所以，
由题意可知，且与不共线，
由，得出，解得，
如果与反向共线，则，
综上所述.
45．（25-26高三上·上海徐汇·期中）在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图平面直角坐标系，
则，，，，，
为边上的点，，；
，，，，
，，
，，解得：，
又，，即的取值范围为.
故选：C.
46.（25-26高一上·江苏盐城·期中）设向量 ， 的夹角为θ，若 ，且存在θ使得 成立，则实数λ的取值范围为(　　)
A．[－7，-1] B．[5，7]
C． D．
【答案】C
【详解】∵ 非零向量 ， 的夹角为 ，
若 ，
∵ 存在θ使得 成立，
整理可得 ，即（其中不能为2）
，则，
移项并化简可得
由解得，由 解得
综上所述，所以λ的取值范围为 ．
故选：C
题型十 求含两个参数的代数式的最值（范围）（共6小题）
47．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为__________.
【答案】16
【详解】因为点共线，且在之间，所以存在实数使得，
则，整理得.
因为，所以.
所以根据基本不等式的性质可得.
当且仅当，即时等号成立，此时取最小值为16.
48．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在中，点是边上异于端点的一点，若，则的最小值为______．
【答案】
【详解】在中，点是边上异于端点的一点，，
根据向量共线定理，可知，，．
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
49．（25-26高一下·上海宝山·期中）在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点），若，则的最小值为______．
【答案】
【详解】

设（），
由图可得：
因为为线段靠近的三等分点，故，
代入得：
结合题意得：，，其中，因此.
由基本不等式，可得，
将代入得：,
当且仅当（对应，即为中点）时等号成立.
故的最小值为.
50．（25-26高一下·山东枣庄·期中）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______.
【答案】
【详解】如下图所示：

因为，易知，
又，所以，
易知三点共线，利用共线定理可得，
又，，
所以；
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
51．（25-26高一下·上海·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过的直线与边分别交于点，设，则的最小值为___________．
【答案】
【详解】由，得，因此： ，
因为是中点，所以： ，
已知，，代入得： ，
因为三点共线，根据向量共线性质，系数和为，
即 ，
，
当且仅当结合，即，时取等号.
所以的最小值为.
52．（24-25高一下·上海·期中）设与均为单位向量.
(1)若，求向量与的夹角；
(2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值.
【答案】(1)；(2)
（2）根据向量的模可得，利用重要不等式求解．
【详解】（1）因为与均为单位向量，，
所以，
又，
所以，
又，所以．
（2）因为，与的夹角为与均为单位向量，
所以，
即，所以，
解得，所以，
当且仅当时等号成立，即的最大值为
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专题03 平面向量中的范围与最值问题
题型1 坐标法求数量积的最值（范围） 题型6 数形结合求模的最值（范围）
题型2 定义法求数量积的最值（范围） 题型7 坐标法求模的最值（范围）
题型3 数量积的几何意义求数量积的最值（范围） 题型8 求向量夹角的最值（范围）
题型4 极化恒等式求数量积的最值（范围） 题型9 求一个参数的代数式的最值（范围）
题型5 求模的最值（范围） 题型10 求含两个参数的代数式的最值（范围）
题型一 坐标法求数量积的最值（范围）（共4小题）
1．（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．4
3．（25-26高一下·安徽六安·月考）已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．
4．（25-26高一下·四川资阳·期中）边长为1的正方形ABCD上有一动点，则向量的范围是___________.
题型二 定义法求数量积的最值（范围）（共5小题）
5．（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．－2
6．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高一下·北京·期中）在中，，是边的中点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高一下·云南昆明·期中）在中，点满足，点是边上靠近的四等分点，与所成的夹角为，则的最大值为___________．
9．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在中，，在线段上，满足，在线段上，满足，为线段的中点，则的最大值为____________________．
题型三 数量积的几何意义求数量积的最值（范围）（共6小题）
10．（25-26高一下·广东中山·阶段检测）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，已知是边长为2的正六边形内的一点（不含边界），为其中心，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（25-26高三上·福建泉州·期中）如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一个动点（含边界），已知，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
13．（多选）（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）美术课对于陶冶人的情操 发展学生的艺术兴趣和爱好 培养学生的艺术特长 提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的可能取值有（ ）
A．-10 B．-8
C．10 D．24
14．（25-26高一下·广东东莞·期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
15．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，为正六边形的顶点，是这个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为______________

题型四 极化恒等式求数量积的最值（范围）（共6小题）
16．（25-26高三上·安徽·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
17．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
18．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______．
20．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ．
21．（2025高一·全国·专题练习）已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为 ．
题型五 求模的最值（范围）（共5小题）
22．（25-26高三上·云南普洱·期末）已知向量满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
23．（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
24．（多选）（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，，均为单位向量，则（ ）
A． B．的最小值为
C．向量在向量上的投影向量为 D．
25．（25-26高一下·浙江·期中）已知向量，满足，，若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
26．（25-26高一上·北京·期末）已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________．
题型六 数形结合求模的最值（范围）（共6小题）
27．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________．
28．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
29．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，已知正方形边长为4，为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为______．
30．（25-26高一下·黑龙江·期中）已知平面向量满足，非零向量满足，向量满足，则的最小值是__________.
31．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知点是半径为4的圆内一点，，，为圆上任意两点，当取得最大值时，______.
32．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，为上的两个动点，为弦的中点，点的坐标为，.
(1)求；
(2)若，
（i）求；
（ii）求的取值范围.
题型七 坐标法求模的最值（范围）（共3小题）
33.（2026高一下·全国·专题练习）已知向量满足，且，则的最小值为________．
34.（2026高一下·全国·专题练习）已知向量满足，且，则的最小值为________．
35．（25-26高一下·广东湛江·月考）已知平面内三个向量，，.
(1)若，求实数的值；
(2)已知，求的最小值.
题型八 求向量夹角的最值（范围）（共7小题）
36．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
37．（25-26高一下·广东东莞·期中）已知，是两个单位向量，且，的夹角为，若，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
38．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）在中，，，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
39.（25-26高一上·广东深圳·期末）若平面向量，满足，，则当最小时，______；记与的夹角为，则的最大值为______.
40．（25-26高一下·福建·月考）已知平面单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则的最小值是______.
41．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为___________.
42．（25-26高一下·江苏盐城·期中）设非零向量，满足，，，设，夹角的最小值为，则______.
题型九 求含一个参数的代数式的最值（范围）（共4小题）
43．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
44．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知平面内两个不共线的向量和，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
45．（25-26高三上·上海徐汇·期中）在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
46.（25-26高一上·江苏盐城·期中）设向量 ， 的夹角为θ，若 ，且存在θ使得 成立，则实数λ的取值范围为(　　)
A．[－7，-1] B．[5，7]
C． D．
题型十 求含两个参数的代数式的最值（范围）（共6小题）
47．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为__________.
48．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在中，点是边上异于端点的一点，若，则的最小值为______．
49．（25-26高一下·上海宝山·期中）在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点），若，则的最小值为______．
50．（25-26高一下·山东枣庄·期中）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______.
51．（25-26高一下·上海·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过的直线与边分别交于点，设，则的最小值为___________．
52．（24-25高一下·上海·期中）设与均为单位向量.
(1)若，求向量与的夹角；
(2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值.
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