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专题05 解三角形中线、高线、角平分线专练
题型1 三角形中线问题（常考点） 题型4 求角平分线的最值（范围）（难点）
题型2 求中线长的最值（范围）（难点） 题型5 三角形高线问题
题型3 三角形角平分线问题（常考点） 题型6 多三角形或四边形问题
题型一 三角形中线问题（共6小题）
1．（25-26高一下·福建厦门·期中）在中，已知，，，D为BC的中点，则线段AD的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一下·福建厦门·期中）在中，已知，，，D为BC的中点，则线段AD的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高一下·安徽池州·期中）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且.
(1)求角C；
(2)若，的面积为，D为边的中点，求的长.
5．（25-26高一下·四川南充·期中）在中，角的对边分别为．已知，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，线段的中点为D，求的长．
6．（25-26高一下·福建三明·期中）已知，其内角的对边分别为，且 ．
(1)求；
(2)，D是BC的中点，求AD的长．
题型二 求中线长的最值（范围）（共4小题）
7．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且.
(1)求A；
(2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值.
8．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
9．（25-26高一下·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且．
(1)求角；
(2)求周长的取值范围；
(3)求边上的中线的取值范围．
10．（25-26高一下·江苏·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为．
(1)求；
(2)若，求内切圆面积的最大值；
(3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围．
题型三 三角形角平分线问题（共6小题）
11．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知的面积是，，，是的内角平分线，在边上，则（ ）
A．1 B． C． D．2
12．（多选）（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，，，则（ ）
A． B．边上的中线长
C．边上的角平分线长 D．外接圆的面积为
13．（多选）（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知的内角的对边分别为，且，为线段上的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的周长为
C．若为的中线，则
D．若为的角平分线，则
14．（25-26高一下·黑龙江绥化·期中）如图，已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求的大小；
(2)若，，设AD为三角形ABC的角平分线，求AD的长．
15．（25-26高一下·吉林·期中）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求该三角形的周长
(3)若，，为的平分线，求的长．
16．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，外接圆半径，且．
(1)求b；
(2)若 ，∠CBA的平分线交AC于D，求BD的长度．
题型四 求角平分线的最值（范围）（共4小题）
17．（25-26高一下·广西玉林·期中）已知的内角，，的对边为，，，且．
(1)求；
(2)若的面积为，求内角的角平分线长的最大值．
18．（25-26高一下·河南焦作·期中）在中，内角所对的边分别为,，，且．
(1)求角；
(2)若，是钝角三角形．
（ⅰ）求的范围；
（ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围．
19．（25-26高一下·河南郑州·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，.
(1)求角的大小；
(2)求边的值；
(3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围.
20．（25-26高一下·河南郑州·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，.
(1)求角的大小；
(2)求边的值；
(3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围.
题型五 三角形高线问题（共3小题）
21．（25-26高一下·山东滨州·期中）在中，，，，则边上的高为（ ）
A． B． C． D．
22．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）在中，，，，则边上的高为（ ）
A． B． C． D．
23．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，角的对应边分别是，且.
(1)求；
(2)若BC边上的高等于，求的值.
题型六 多三角形或四边形问题（共8小题）
24．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
25．（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知的三个内角所对的边分别是，且满足，，点是边上一点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
26．（25-26高一下·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（ ）
A． B． C． D．
27．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，D为边上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
28．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图，已知中，，延长至点，连接.
(1)求的长；
(2)若，求的长.
29．（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在平面四边形中，，．
(1)若，，，求的大小；
(2)若，，，求．
30．（25-26高一下·山西·期中）如图，在平面四边形中，，.
(1)若，，求的值；
(2)若，，求的面积.
31．（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，．
(1)若，，且，求；
(2)若，且，求的最大值．
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专题05 解三角形中线、高线、角平分线专练
题型1 三角形中线问题（常考点） 题型4 求角平分线的最值（范围）（难点）
题型2 求中线长的最值（范围）（难点） 题型5 三角形高线问题
题型3 三角形角平分线问题（常考点） 题型6 多三角形或四边形问题
题型一 三角形中线问题（共6小题）
1．（25-26高一下·福建厦门·期中）在中，已知，，，D为BC的中点，则线段AD的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是中点，由向量的中点公式可得：，
将上式两边平方得：
.
已知，，且，代入得：
，
对两边开平方得：.
2．（25-26高一下·福建厦门·期中）在中，已知，，，D为BC的中点，则线段AD的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是中点，由向量的中点公式可得：，
将上式两边平方得：
.
已知，，且，代入得：
，
对两边开平方得：.
3．（25-26高一下·安徽池州·期中）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知条件，化简得．
由正弦定理得，，
又，所以，
所以，由于为锐角三角形，所以．
边上的中线长为，
设边上的中线长为，则，
所以
，
所以，
所以．

4．（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且.
(1)求角C；
(2)若，的面积为，D为边的中点，求的长.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）因为,,且,
所以,
由正弦定理可得:，即,
由余弦定理得:，所以,
又,所以.
（2）因为,
由三角形面积公式得:，解得,
因为D为边的中点，所以，
在中，，
即，所以.
5．（25-26高一下·四川南充·期中）在中，角的对边分别为．已知，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，线段的中点为D，求的长．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由，
则,
结合余弦定理可得，
所以，
所以，
所以，
又，
所以．
（2）因为的面积为，，，
所以，
所以，
又，所以，
因为为线段的中点，所以，
所以
，
所以．

6．（25-26高一下·福建三明·期中）已知，其内角的对边分别为，且 ．
(1)求；
(2)，D是BC的中点，求AD的长．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由题意和正弦定理得 ，
且 ，
即 ，
得，且，则，
可得且，所以.
（2）如图：

因为
由 所以 解得，
在中，由余弦定理得
则又D为BC边上的中点，所以
在中，由余弦定理得，则
在中，由余弦定理得
所以
题型二 求中线长的最值（范围）（共4小题）
7．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且.
(1)求A；
(2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值.
【答案】(1)；(2)3
【详解】【小题1】因为，
由正弦定理得：，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
因为，所以，所以，所以.
【小题2】因为，，所以，
因为D是BC的中点，所以，所以
因为，所以，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以AD的最大值为3.
8．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由，得，
又，所以，
所以，.
（2）由，且可得，
又，为外接圆半径）
所以，又，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，.
由的中点为M，得，
所以
.
因为为锐角三角形，所以，得，
则，所以，，
则，
故的取值范围是.
9．（25-26高一下·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且．
(1)求角；
(2)求周长的取值范围；
(3)求边上的中线的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
又由余弦定理得，，故．
（2）由正弦定理得 ，
，
又因为是锐角三角形，故，解得，
，
周长的取值范围为 ．
（3）由余弦定理得，，即．
，两边平方得．
由正弦定理可知，，故，
因此
，
又因为是锐角三角形，故，解得，
故，，，
即，则．
10．（25-26高一下·江苏·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为．
(1)求；
(2)若，求内切圆面积的最大值；
(3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围．
【答案】(1)或；(2)；(3)
【详解】（1）由题意可知，化简得，
可得，因为，所以，
可得或，解得或.
（2）由题意可得，化简得，
所以，所以由（1）可知，可得，
可知，化简得，即，可得.
由基本不等式可知，即，当且仅当时取等号，
所以，由，解得.
设内切圆半径为，则，
可得，因为，
所以，
因为，所以，
当时，内切圆半径为取得最大值，此时内切圆面积的最大值为.
（3）可知，所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，
可知，可得，所以，
因为，所以，
则，
化简得，
因为，由，可得，解得，
所以，可得，所以，即
所以线段的取值范围为.
题型三 三角形角平分线问题（共6小题）
11．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知的面积是，，，是的内角平分线，在边上，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【详解】因为的面积是，所以，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，解得，
因为，所以，
又是的内角平分线，
所以，
所以，所以，所以.
12．（多选）（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，，，则（ ）
A． B．边上的中线长
C．边上的角平分线长 D．外接圆的面积为
【答案】BC
【详解】选项A：向量与的夹角为，
所以，A错误.
选项B：设中点为，则，则
，
故边上的中线长，B正确.
选项C：设角的角平分线交于，利用面积关系，
即，
也即，解得，C正确.
选项D：由余弦定理得，即，
设外接圆半径为，由正弦定理，则.
所以外接圆的面积，D错误.
13．（多选）（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知的内角的对边分别为，且，为线段上的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的周长为
C．若为的中线，则
D．若为的角平分线，则
【答案】ABD
【详解】因为，所以，A正确．
由，得．由余弦定理，得，
所以的周长为，B正确．
，得，C错误．
由，得，得，D正确
14．（25-26高一下·黑龙江绥化·期中）如图，已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求的大小；
(2)若，，设AD为三角形ABC的角平分线，求AD的长．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）由余弦定理可得，
又因为，故．
（2）因为，
所以，
又因为，，，
所以，
所以．
15．（25-26高一下·吉林·期中）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求该三角形的周长
(3)若，，为的平分线，求的长．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理，可得，
整理得，
所以，即，
又因为，可得，所以，
因为，可得，所以，即，
又因为，所以.
（2）解：由（1）知：且的面积为，
可得，可得，
因为，由余弦定理知，
可得，可得，
解得，所以的周长为.
（3）解：因为为的平分线且，可得，
由，可得，
又因为，可得，
整理得，所以.
16．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，外接圆半径，且．
(1)求b；
(2)若 ，∠CBA的平分线交AC于D，求BD的长度．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）因为，所以，
由余弦定理得 ，所以 ，
又，所以；又因为外接圆半径，
则由正弦定理可得.
（2）由（1）知，，，且，
由余弦定理可得，化简得，
所以，，
的平分线交AC于D，则，
在中，由等面积法得，
即，
即
所以.
题型四 求角平分线的最值（范围）（共4小题）
17．（25-26高一下·广西玉林·期中）已知的内角，，的对边为，，，且．
(1)求；
(2)若的面积为，求内角的角平分线长的最大值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因为，所以，所以.
（2）因为为角的角平分线，所以，
由于，所以，
所以，所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
18．（25-26高一下·河南焦作·期中）在中，内角所对的边分别为,，，且．
(1)求角；
(2)若，是钝角三角形．
（ⅰ）求的范围；
（ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）由，，且，
所以，，
化简整理得，再由正弦定理得，
因为，所以，且，所以.
（2）（i）由，结合正弦定理，得.
因此 ，且.
因为 为钝角三角形， ，故钝角只能是或，
所以或，所以.
由正弦定理得
，
因为，所以，，
所以
（ii）因为为的角平分线，且，如图：
由面积关系，，
所以 ，化简得.
又因为
，
由（i）知，
所以，
令，由（i）知，所以
所以，因为函数在是单调递增函数，
所以时，，当时，.
所以.
19．（25-26高一下·河南郑州·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，.
(1)求角的大小；
(2)求边的值；
(3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围.
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）由及正弦定理得：
，
因为，所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理，得，
由得：，
即，
由余弦定理得，，
联立解得.
（3）
如图所示，由（1）知，由于，
，
，
由（2）知，
因为，所以，
则
令，则，
因为是锐角三角形，则，
则，
令，由解析式可知在单调递增，
所以，即
即长度的范围为
20．（25-26高一下·河南郑州·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，.
(1)求角的大小；
(2)求边的值；
(3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围.
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）由及正弦定理得：
，
因为，所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理，得，
由得：，
即，
由余弦定理得，，
联立解得.
（3）
如图所示，由（1）知，由于，
，
，
由（2）知，
因为，所以，
则
令，则，
因为是锐角三角形，则，
则，
令，由解析式可知在单调递增，
所以，即
即长度的范围为
题型五 三角形高线问题（共3小题）
21．（25-26高一下·山东滨州·期中）在中，，，，则边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在中，，
由余弦定理，得，
则．
设边上的高为，由等面积法，得，则．
22．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）在中，，，，则边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在中，，，，
由余弦定理得，
则．设边上的高为，由等面积法可得，
则．
23．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，角的对应边分别是，且.
(1)求；
(2)若BC边上的高等于，求的值.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由及得，①
在中，有，②
由①②可知，
则有，
又，所以，由可得,
因此可得；
（2）如图所示，过作BC边上的高交BC于，
由题意可知，由（1）中可知是等腰直角三角形，
所以，.
在中，，
则有，所以，
则在中，由余弦定理可得.
题型六 多三角形或四边形问题（共8小题）
24．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】在中，设，则.
由余弦定理知.
中，.
又，为等边三角形.
所以,即
所以可通过判断和全等.
故.
所以当，即时，.
25．（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知的三个内角所对的边分别是，且满足，，点是边上一点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题结合正弦定理可得：，
因为，所以，
，为钝角，.
，，由爪型定理可得
两边平方可得：
，
，，
当时，取得最小值，即最小值为.
26．（25-26高一下·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在中，，
由余弦定理得
∴
整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）.
∵ ，∴ ，
∴ .
在中，，，，
由正弦定理得
∴ .
27．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，D为边上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则，，
由，则，，
在中，由正弦定理可得，
由，则，故，
由，故，故，即，
则
，
则，即．
28．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图，已知中，，延长至点，连接.
(1)求的长；
(2)若，求的长.
【答案】(1)2；(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
且.
所以.
（2）因为，则，
在中，由余弦定理得
29．（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在平面四边形中，，．
(1)若，，，求的大小；
(2)若，，，求．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）在中，由余弦定理得
，
所以.
由正弦定理得，所以，
因为，所以，，所以，
故.
（2）设，则，
因为，所以，则.
在中，，即.
在中，由余弦定理得，
即，整理得，解得或（舍去）.
当时，，，，能构成三角形，满足条件.
故.
30．（25-26高一下·山西·期中）如图，在平面四边形中，，.
(1)若，，求的值；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）在中，，，
由余弦定理得，
所以，
在中，，，，
所以由正弦定理得，得，
，得.
（2）在中，，
由余弦定理得，
在中，，，
则余弦定理得，
因为，所以，解得，
所以，
因为，所以，
所以的面积.
31．（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，．
(1)若，，且，求；
(2)若，且，求的最大值．
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）设，依题意，，
则，，
即，而，
所以.
（2）连接，中，，，

由余弦定理得，
则，即，设，在中，，
于是，在中，，
由余弦定理得：，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，，
所以AC的最大值是.
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