资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题05 点线面的位置关系，线面平行与垂直及夹角
知识点1 空间图形中的基本事实及推论
基本事实 内容 图形 符号 作用
基本事实1 过___的三个点，有且只有一个平面 ，，三点不共线 存在唯一的平面使 用来确定一个平面
推论1：一条直线和________确定一个平面
推论2：两条________直线确定一个平面
推论3：两条______直线确定一个平面
基本事实 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 _______，_ ___，且___ ____，_______，则 用来证明直线在平面内
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条_______ ____，_______，且 用来证明空间的点共线和线共点
（1）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相______．
（2）等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应_______，那么这两个角_______或_______
符号语言 ，或
图形语言
作用 判定两个角相等或互补
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”可得以下推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条________直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条________直线，有且只有一个平面．
知识点2 平面的概念及点线面位置关系
（1）平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是向四周______的.
（2）平面的画法
画法 我们常用矩形的直观图，即______表示平面
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成_____ 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成_______ 在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成_____
图示
常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系
文字语言 符号语言 图形语言
在上 _______
在外 _____
在内 ________
在外 _______
在内 _______
在外 _______ 或
相交于 ________
相交于 _______
相交于 ______
知识点3 直线与直线的位置关系
（1）从是否有公共点的角度来分：
（2）从是否共面的角度来分：
知识点4 直线与平面的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线在平面外
直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 _________ _________ _________
符号表示
图形表示
知识点5 平面与平面之间的位置关系
位置关系 图形 写法 公共点情况
两平面相交 ____________ 有一条公共直线
两平面平行 ___________ 没有公共点
知识点6 直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外的一条直线与________________的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行（线线平行 线面平行） 因为，，，所以
性质定理 如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面________，那么这条直线就与两平面的交线平行（简记为“线面平行 线线平行”） 因为，，，所以
知识点7 平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的________与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ，，，，，
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线________ ，，，
知识点8 两条异面直线所成的角(或夹角)
异面直线所成的角的定义 已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把直线________所成的角叫做异面直线与所成的角(或夹角)
异面直线互相垂直 如果两条异面直线所成的角是______，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线与直线垂直，记作____
范围 两条异面直线所成角的取值范围是
知识点9 直线与平面垂直及线面角
（1）定义
一般地，如果直线l与平面α内的_____直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. 直线l叫做平面α的_____，平面α叫做直线l的_____. 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做____. 过一点垂直于已知平面的直线__________
（2）判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的_____直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
图形语言
符号语言 .
（3）直线与平面所成角
平面的一条斜线和它在平面上的_____所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线与平面所成角的范围是______.
（4）性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行.
图形语言
符号语言
（5）空间距离
①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的_____，垂线段的长度叫做这个点到该平面的_____.
②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上_____到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都_ _____，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
知识点10 平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的__________，则这两个平面互相垂直
性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于________的直线垂直于另一个平面
知识点11 二面角与平面与平面所成的角
二面角：（1）定义：从一条直线出发的两个_______所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的_______，这两个半平面称为二面角的面；（2）二面角的平面角的取值范围：______；平面角是直角的二面角称为直二面角.（3）平面与平面所成的角范围为______.
题型1 四点共面
【例1】（2027高三·全国·专题练习）（多选）（多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点共线 B．，，，四点共面
C．，，，四点共面 D．，，，四点共面
【变式1-1】（24-25高一下·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（ ）
A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面
C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面
【变式1-2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，.
证明：四点共面.
题型2 三点共线
【例2】（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线．
【变式2-1】如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且．
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线．
【变式2-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．

题型3 三线共点
【例3】（25-26高一下·福建莆田·期中）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（ ）
A．EF与GH平行 B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点一定在直线AC上 D．EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
【变式3-1】（25-26高二上·四川内江·阶段检测）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)证明，，相交于一点．
【变式3-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点；
题型4 异面直线的判定
【例4】（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在下列各线段中，线段所在直线是异面直线的是（ ）
A．直线和直线 B．直线和直线
C．直线和直线 D．直线和直线
【变式4-1】（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．E、F、G、H四点共面 B．与是异面直线
C．、、三线共点 D．
【变式4-2】（25-26高二·全国·暑假作业）如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_______．
题型5 点线面位置关系的命题判定
【例5】（25-26高一下·吉林长春·期中）（多选）下列叙述错误的是（ ）
A．已知直线和平面，若有两个不同点，满足点，点且，则
B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C．如果直线，则平行于经过的任何平面
D．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
【变式5-1】（25-26高一下·四川成都·期中）已知点不在直线和平面上，若存在空间中过的直线和平面，则（ ）
A．由直线平面可唯一确定 B．由直线平面可唯一确定平面
C．由直线平面可唯一确定 D．由平面平面可唯一确定平面
【变式5-2】（25-26高一下·广东汕头·期中）（多选）设、是空间中的两条直线，、是空间中的两个平面，下列说法错误的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则与相交
C．若，，，则
D．若，，，则与没有公共点
题型6 等角定理
【例6】（2025高二·上海·专题练习）已知空间中的两个角和，若，则_____.
【变式6-1】（24-25高一下·上海嘉定·期末）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点.
(1)求异面直线与所成角的正切值；
(2)证明：
【变式6-2】（24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则______.
题型7 线面平行面面平行的概念辨析
【例7】（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若 ，则
C．若，则
D．若，则
【变式7-1】（25-26高一下·广东惠州·期中）设是两条不同的直线，是三个不同的平面 则下列选项正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式7-2】（25-26高一下·重庆渝北·期中）已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题：
①若，，则或；
②若，，则；
③若，，，，则；
④若，，，则或与异面
以上命题正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
题型8 线面平行的判定与性质
【例8】（25-26高一下·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：；
【变式8-1】（25-26高一下·江苏南京·期中）如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点.
(1)求证：；
(2)求证：平面.
【变式8-2】（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点．
(1)求证：平面；
(2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明．
题型9 面面平行的判定与性质
【例9】（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点.
(1)求证：点，，，四点共面
(2)求证：平面平面.
(3)在线段上是否存在一点，使得平面 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【变式9-1】（2026高三·全国·专题练习）（多选）（多选）已知正方体，下列结论中，正确的结论是（ ）
A． B．平面平面
C． D．平面
【变式9-2】（24-25高一下·河南焦作·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明：
(1)
(2)平面EFG∥平面PBC．
题型10 线面垂直面面垂直的概念辨析
【例10】（2026·山东泰安·模拟预测）已知直线，，平面，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【变式10-1】（2026·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【变式10-2】（2026·福建泉州·三模）（多选）已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
题型11 线面垂直与面面垂直的判定
【例11】（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面；
(3)若，，求直线与平面所成角的正弦值.
【变式11-1】（2026·河南开封·模拟预测）（多选）在正方体中，为的中点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
【变式11-2】（25-26高一下·北京·期中）如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．

(1)求证：平面；
(2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题：
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分．
题型12 求异面直线的夹角
【例12】（2026·福建泉州·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】（25-26高一下·湖南益阳·期中）在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】（25-26高一下·江苏·期中）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，与，分别垂直，垂足为，且，是侧棱的中点．
(1)求证： 平面；
(2)求直线与夹角的正弦值．
题型13 求线面角
【例12】（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点．
(1)求证：平面．
(2)求证：平面．
(3)求直线与平面所成角的大小．
【变式12-1】（2026·湖南株洲·模拟预测）在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点．
(1)求与面所成角的余弦值；
(2)证明：．
【变式12-2】（25-26高二下·江西南昌·期中）如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B．
C． D．
题型14 求二面角
【例12】（25-26高二上·上海·阶段检测）中，，平面，，，则二面角的大小为________．
【变式12-1】（24-25高一下·福建南平·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，过点作交于点．
(1)若是的中点，过点作一个截面，使得该截面与平面平行，请画出截面，并写出作图过程（无需证明）；
(2)证明：平面；
(3)求二面角的余弦值．
【变式12-2】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.
(1)证明：平面PAC；
(2)若，求二面角的平面角的正弦值.
易错点1 线面平行的判定
【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知直线直线b，直线c，平面，则（ ）
A． B．
C．a与相交 D．或
【变式1-1】（2025高三·江苏·专题练习）如图，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则直线与平面不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线 平面的是（ ）
A． B．
C． D．
易错点2 二面角与面面角的大小
【例1】（2025高三·全国·专题练习）二面角的大小为，点分别在平面内，点，在棱上的投影分别为点，已知，求的大小．
【变式2-1】（2025高三·全国·专题练习）已知平面和平面交于直线是空间一点，，垂足为，垂足为，且，若，则与所成二面角为______．
【变式2-2】（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（ ）
A． B． C． D．
方法1 作截面，求截面周长与面积
【例1】（24-25高一下·广东茂名·期末）已知三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交于E点，且，则_____.
【变式1-1】（24-25高一下·福建南平·期末）如图，在棱长为6的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则过M，N，B三点的平面截此正方体所得截面的周长是______．
【变式1-2】（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
方法2 线面面面平行的存在性
【例2】（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，M，N分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值.
【变式2-1】（24-25高一下·湖北·阶段检测）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点．
(1)求三棱锥的体积；
(2)证明：平面；
(3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【变式2-2】（24-25高一下·湖北荆州·阶段检测）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点．
(1)求证：平面.；
(2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
方法3 线面平行的轨迹问题
【例3】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ）
A．2 B． C． D．1
【变式3-1】（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为______．
【变式3-2】（24-25高一下·江苏淮安·阶段检测）如图，正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且∥平面，则线段MN的最大值为__________.

方法4 线面垂直面面的存在性
【例4】（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面.
【变式4-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）在长方体中，，，E为棱上一动点，
(1)当平面时，求线段的长度；
(2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度．
【变式4-2】（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段检测）如图，直三棱柱，，分别是，的中点，
(1)求证：平面；
(2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由.
方法5 等体积法求线面角
【例5】（25-26高一下·山西忻州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.

(1)求证：平面
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
【变式5-1】（25-26高一下·福建厦门·期中）（本题不可用建系方法做，否则不得分）如图，多面体是由直三棱柱截去一部分后而成，是的中点，且，.
(1)若为的中点，在上，且，证明：直线平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【变式5-2】（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，交于，，，，，为中点．

(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
方法6 三垂线法求二面角
【例6】（2026·河南开封·模拟预测）如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．
【变式6-1】（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连.
(1)证明：；
(2)求平面与底面所成角的余弦值.
【变式6-2】（2026高一下·全国·专题练习）如图，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，，是延长线上一点，且．
(1)求证：直线平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求三棱锥的体积．
方法7 投影面积法求二面角
【例7】（25-26高三·全国·一轮复习）在正方体中，，，求二面角的余弦值.
【变式7-1】（24-25高三·全国·三轮复习）正方体中，为棱的中点，求平面和平面夹角的余弦值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题05 点线面的位置关系，线面平行与垂直及夹角
知识点1 空间图形中的基本事实及推论
基本事实 内容 图形 符号 作用
基本事实1 过_不在一条直线__的三个点，有且只有一个平面 ，，三点不共线 存在唯一的平面使 用来确定一个平面
推论1：一条直线和___该直线外一点 _____确定一个平面
推论2：两条____相交____直线确定一个平面
推论3：两条____平行____直线确定一个平面
基本事实 如果一条直线上的__ 两个点______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ____ ____，_ __ _____，且___ _____，________，则 用来证明直线在平面内
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条__ 过该点的公共直线 ______ ________，________，且 用来证明空间的点共线和线共点
（1）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相_平行______．
（2）等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应_平行_______，那么这两个角__相等______或___互补_____
符号语言 ，或
图形语言
作用 判定两个角相等或互补
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”可得以下推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条____相交____直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条____平行____直线，有且只有一个平面．
知识点2 平面的概念及点线面位置关系
（1）平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是向四周_无限延展______的.
（2）平面的画法
画法 我们常用矩形的直观图，即___平行四边形____表示平面
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成___横向____ 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成__竖向_____ 在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成_虚线或不画______
图示
常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系
文字语言 符号语言 图形语言
在上 __ ______
在外 ________
在内 ___ _____
在外 __ ______
在内 ___ _____
在外 _ _______ 或
相交于 ___ _____
相交于 ___ _____
相交于 ________
知识点3 直线与直线的位置关系
（1）从是否有公共点的角度来分：
（2）从是否共面的角度来分：
知识点4 直线与平面的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线在平面外
直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 ___ 无数个______ ____1个_____ ___ 0个______
符号表示
图形表示
知识点5 平面与平面之间的位置关系
位置关系 图形 写法 公共点情况
两平面相交 ___ _________ 有一条公共直线
两平面平行 __ __________ 没有公共点
知识点6 直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外的一条直线与_____ 这个平面内___________的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行（线线平行 线面平行） 因为，，，所以
性质定理 如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面_ 相交_______，那么这条直线就与两平面的交线平行（简记为“线面平行 线线平行”） 因为，，，所以
知识点7 平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的__两条相交直线______与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ，，，，，
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线__平行______ ，，，
知识点8 两条异面直线所成的角(或夹角)
异面直线所成的角的定义 已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把直线___与______所成的角叫做异面直线与所成的角(或夹角)
异面直线互相垂直 如果两条异面直线所成的角是_直角______，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线与直线垂直，记作___ ____
范围 两条异面直线所成角的取值范围是
知识点9 直线与平面垂直及线面角
（1）定义
一般地，如果直线l与平面α内的_任意一条____直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. 直线l叫做平面α的__垂线___，平面α叫做直线l的垂面______. 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做_垂足____. 过一点垂直于已知平面的直线_有且只有一条_________
（2）判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的__两条相交____直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
图形语言
符号语言 .
（3）直线与平面所成角
平面的一条斜线和它在平面上的_射影_____所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线与平面所成角的范围是_ ______.
（4）性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行.
图形语言
符号语言
（5）空间距离
①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的_垂线段____，垂线段的长度叫做这个点到该平面的_距离____.
②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上_任意一点_____到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都_ 相等_____，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
知识点10 平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的___垂线_______ ，则这两个平面互相垂直
性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于_两平面交线________的直线垂直于另一个平面
知识点11 二面角与平面与平面所成的角
二面角：（1）定义：从一条直线出发的两个_半平面_______所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的_棱_______，这两个半平面称为二面角的面；（2）二面角的平面角的取值范围：_ _______；平面角是直角的二面角称为直二面角.（3）平面与平面所成的角范围为________.
题型1 四点共面
【例1】（2027高三·全国·专题练习）（多选）（多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点共线 B．，，，四点共面
C．，，，四点共面 D．，，，四点共面
【答案】AB
【分析】利用平面的基本性质，通过寻找两个平面的公共点来确定交线，从而判断点共线或共面，再结合异面直线的判定方法分析其他选项.
【详解】因为，平面，所以平面．因为，平面，
所以平面，所以是平面和平面的公共点．
同理可得，点和都是平面和平面的公共点，
所以，，三点在平面与平面的交线上，即，，三点共线，故A，B正确；
根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故C不正确；
根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故D不正确．
故选：AB．
【变式1-1】（24-25高一下·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（ ）
A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面
C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面
【答案】ACD
【分析】根据平面的性质的公理及推论逐个进行判断.
【详解】对于A：因为正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心，
所以是的中点，所以在平面内，故A正确；
对于B:因为E，G，F在平面内，D不在平面内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误；
对于C：因为分别为的中点，所以∥
因为∥，所以∥，所以A，E，F，四点共面，故C正确；
对于D：连接并延长，交于H，则H为的中点，连接，则∥，
因为分别为的中点，所以∥，
因为∥，所以∥，所以G，E，，四点共面，故D正确．
故选：ACD.
【变式1-2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，.
证明：四点共面.
【答案】证明见解析
【分析】利用向量的方式，在平行六面体中，用基底的方式分解，根据长度关系，，最终证明，即可证明四点共面；
【详解】在中，，
在平行六面体中：且
又因为，，所以，
则有，即四点共面.
题型2 三点共线
【例2】（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线．
【答案】证明见解析
【分析】由题意得平面，又可证平面，根据基本事实，即可得证．
【详解】由题意得平面，
又，平面，
所以平面，
由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上，
所以三点共线．
【变式2-1】如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且．
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明四边形中有一对平行直线即可.
（2）要证明三点共线，可证明点在直线上，即证明点在平面与平面的交线上即可.
【详解】（1）证明：在中，∵为的中点，
∴．
在中，∵，
∴，∴，
∴四点共面．
（2）∵，，，
∴平面，平面，
又平面平面，
∴直线．∴三点共线．
【变式2-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．

【答案】共线
【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案.
【详解】∵，平面，∴平面，
∵为中点，∴为中点，
∴，平面，∴平面.
∴是平面和平面的公共点；
同理可得，点和都是平面和平面的公共点，
∴三点，，在平面与平面的交线上，
即，，三点共线.

题型3 三线共点
【例3】（25-26高一下·福建莆田·期中）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（ ）
A．EF与GH平行 B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点一定在直线AC上 D．EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
【答案】C
【分析】连接，根据题意，证得且，设和相交于点，得到平面且平面，进而得到答案.
【详解】如图所示，连接，因为分别是上的点，且，
所以，且，
又因为点分别是边的中点，所以，且，
所以且，所以和相交，
设和相交于点，则平面且平面，
因为平面平面，所以点在直线上.
【变式3-1】（25-26高二上·四川内江·阶段检测）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)证明，，相交于一点．
【答案】(1)相交，理由见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用中位线和棱台的结构特征，证明，可得以E，F，G，H四点共面，进而得出为梯形，则与必相交；
（2）由为梯形，则与必相交，证明交点在上即可．
【详解】（1）证明：连接，，如图所示，
因为为正四棱台，所以，
又E，F，G，H分别为棱，，，的中点，所以，，
则，所以E，F，G，H四点共面，因为，所以，
所以为梯形，则与必相交．
（2）因为为梯形，则与必相交．
设，因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面，
又平面平面，
所以，则，，交于一点．
【变式3-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点；
【答案】证明见解析
【分析】先证明，可推得相交于点，再证明即可.
【详解】在正方体中，连接，
由，得四边形是平行四边形，则，
由分别是的中点，得，则，即四点共面，
而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面，
同理平面，而平面平面
则，即点在直线上，所以直线交于同一点.
题型4 异面直线的判定
【例4】（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在下列各线段中，线段所在直线是异面直线的是（ ）
A．直线和直线 B．直线和直线
C．直线和直线 D．直线和直线
【答案】ABC
【分析】将正方体还原，从而得到线段所在直线是否为异面直线.
【详解】还原为正方体，如下：
A选项，直线和直线是异面直线，A正确；
B选项，直线和直线是异面直线，B正确；
C选项，直线和直线是异面直线，C正确；
D选项，直线和直线是相交直线，不是异面直线，D错误.
【变式4-1】（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．E、F、G、H四点共面 B．与是异面直线
C．、、三线共点 D．
【答案】D
【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点，
连接，
由是的中位线，得，
由，且，得四边形是平行四边形，
则，，因此四点共面，A正确；
对于B，因为平面，平面，，
所以与是异面直线，正确；
对于C，延长，相交于点，
由，平面，得平面，
由，平面，得平面，
而平面平面，则，三线共点，C正确；
对于D，由，且可知，四边形是梯形，则不平行，所以D不正确.
【变式4-2】（25-26高二·全国·暑假作业）如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_______．
【答案】②④
【分析】根据题意，结合异面直线的判定方法，结合选项，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于①，如图①所示，连接，因为分别是上下底面对应边的中点，
可得且，所以四边形为平行四边形，
所以，所以①不符合题意；
对于②，如图②所示，由平面，平面，平面，且直线上，
所以与为异面直线，所以②符合题意；
对于③，如图③所示连接，因为分别各边的中点，可得且，
四边形是以和为腰的梯形，所以和必相交，所以③不符合题意；
对于④，如图④所示，由平面，平面，平面，且直线上，
所以与为异面直线，所以④符合题意.
题型5 点线面位置关系的命题判定
【例5】（25-26高一下·吉林长春·期中）（多选）下列叙述错误的是（ ）
A．已知直线和平面，若有两个不同点，满足点，点且，则
B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C．如果直线，则平行于经过的任何平面
D．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
【答案】BCD
【详解】选项A：根据平面的基本事实，若一条直线上的两个不同点都在某平面内，则直线上所有点都在该平面内，故选项A的表述正确，故不选择选项A.
选项B：三条直线两两相交时，不一定确定一个平面，例如三条直线两两相交且交于同一点时，三条直线可能不共面（比如空间直角坐标系中交于原点的轴），此时可确定3个平面，无法确定一个平面，表述错误，故选择选项B.
选项C：因为直线，所以存在某平面同时经过直线和，则在该平面内，并非平行于该平面，表述错误，故选择选项C.
选项D：若两个平面的三个公共点共线，则两个平面可能相交，交线就是三个点所在的直线，不一定重合，表述错误，故选择选项D.
【变式5-1】（25-26高一下·四川成都·期中）已知点不在直线和平面上，若存在空间中过的直线和平面，则（ ）
A．由直线平面可唯一确定 B．由直线平面可唯一确定平面
C．由直线平面可唯一确定 D．由平面平面可唯一确定平面
【答案】C
【分析】由空间中点，直线，平面的位置关系分别判断即可．
【详解】对于A，过平面外一点与平面平行的直线有无数条，故A错误；
对于B，过直线外一点且与该直线平行的平面有无数个，故B错误；
对于C，过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故C正确；
对于D，过平面外一点，与已知平面垂直的平面有无数个，故D错误．
【变式5-2】（25-26高一下·广东汕头·期中）（多选）设、是空间中的两条直线，、是空间中的两个平面，下列说法错误的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则与相交
C．若，，，则
D．若，，，则与没有公共点
【答案】ABC
【分析】利用面面、线面、线线的位置关系逐项判断即可.
【详解】对于A选项，，，则与无公共点，即与平行或异面，A错；
对于B选项，若，，则与共面，即与相交或平行，B错；
对于C选项，若，，，与无公共点，即与平行或异面，C错；
对于D选项，由C选项可知D对.
题型6 等角定理
【例6】（2025高二·上海·专题练习）已知空间中的两个角和，若，则_____.
【答案】
【分析】根据等角定理可得.
【详解】由等角定理可知与相等或互补，
所以或.
故答案为：或.
【变式6-1】（24-25高一下·上海嘉定·期末）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点.
(1)求异面直线与所成角的正切值；
(2)证明：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）连接，分析可知异面直线和所成角为或其补角，设正方体的棱长为，求出的长，即可求得异面直线与所成角的正切值；
（2）利用等角定理可证得结论成立.
【详解】（1）连接，因为正方体中，，，
因为、分别是棱、的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以.
所以异面直线和所成角为或其补角，
不妨设正方体的棱长为，则，，
因为平面，平面，所以，
故，因此异面直线与所成角的正切值为.
（2）因为正方体中，，，
因为、分别是棱、的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以.
由（1）知，，由图形可知、均为锐角，所以.
【变式6-2】（24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则______.
【答案】或
【分析】根据等角定理可求角的值.
【详解】因为，，故或，
故答案为：或
题型7 线面平行面面平行的概念辨析
【例7】（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若 ，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】根据线、面的位置关系有关的概念和定理，对四个选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A，由 ，得直线与可能平行、也可能是异面直线，A错误；
对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误；
对于C，由线面平行的判定定理可知C错误；
对于D，过直线作平面，且，
因为，所以，
过直线作平面，且，
同理可得，
所以，
因为，（若，则与重合）
所以，
因为，且，
所以，，故D正确.

【变式7-1】（25-26高一下·广东惠州·期中）设是两条不同的直线，是三个不同的平面 则下列选项正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【分析】结合空间中直线、平面平行的判定定理与性质定理，逐项分析即可.
【详解】对于A，若，则或，故A错误；
对于B，根据平面平行的传递性可知，若，则，故B正确；
对于C，由，当相交时，可得，当时，可能相交，故C错误；
对于D，若，则或与异面，故D错误.
【变式7-2】（25-26高一下·重庆渝北·期中）已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题：
①若，，则或；
②若，，则；
③若，，，，则；
④若，，，则或与异面
以上命题正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【答案】C
【详解】对于①，若，，则或，所以①正确；
对于②，若，，则与平行或异面，所以②错误；
对于③，缺少与相交的条件，无法推出，所以③错误；
对于④，若，，，则或与异面，所以④正确.
题型8 线面平行的判定与性质
【例8】（25-26高一下·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取中点，连、，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明；
（2）先通过线面平行的判定证得面，再利用线面平行的性质证得.
【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连、
，又 ，
，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面；

（2）在梯形中， ，
又平面，平面，
平面，
平面，平面平面，
，， .
【变式8-1】（25-26高一下·江苏南京·期中）如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点.
(1)求证：；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证.
（2）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理得证.
【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面平面，
所以.
（2）在四棱锥中，取的中点，连接，
由是的中点，得，由（1）知，而，
因此，四边形是平行四边形，则，
而平面，平面，所以平面.
【变式8-2】（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点．
(1)求证：平面；
(2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)平面，证明见解析
【分析】（1）取线段中点，利用中位线及已知平行关系构造平行四边形，从而证得，进而推出线面平行；
（2）由已证的线面平行及线在另一平面内，得两平面交线与该线平行，从而该交线平行于目标平面.
【详解】（1）证明：设为的中点，连接，．
又因为为的中点，所以，，
又因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面
（2）直线与平面平行，证明如下：
因为平面，平面，平面平面，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
题型9 面面平行的判定与性质
【例9】（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点.
(1)求证：点，，，四点共面
(2)求证：平面平面.
(3)在线段上是否存在一点，使得平面 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，.
【分析】（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明；
（2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可；
（3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果.
【详解】（1）证明：，分别为，的中点，，
底面是平行四边形，.
，所以点，，，四点共面.
（2）由（1）知，因为平面，平面，平面.
，分别为，的中点，，
因为平面，平面，平面.
又，，平面，所以平面平面.
（3）线段上存在一点，使得平面，且.
证明如下：取的中点，连接，，，
因为，，分别是，，的中点，，，
所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面，此时．
【变式9-1】（2026高三·全国·专题练习）（多选）（多选）已知正方体，下列结论中，正确的结论是（ ）
A． B．平面平面
C． D．平面
【答案】ABD
【分析】根据正方体的性质，以及线面平行，面面平行的判定定理,异面直线的判定方法逐一判断即可.
【详解】对于A，因,可得四边形时平行四边形，故，即A正确；
对于B和D,由A得，因平面，平面，则平面，故D正确；
同理可得平面,又平面，故平面平面，即B正确；
对于C，因平面,而平面，但平面，则与为异面直线，故C错误.
【变式9-2】（24-25高一下·河南焦作·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明：
(1)
(2)平面EFG∥平面PBC．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证.
（2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证.
【详解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形，
可得是的中点，
而是的中点，则，
又平面，平面，则平面，
而平面平面，平面，所以
（2）由G，F分别是PA，AC的中点，得，
又平面，平面，则平面．
由（1）知，又平面，平面，则平面，
又因为，，平面，
所以平面平面.
题型10 线面垂直面面垂直的概念辨析
【例10】（2026·山东泰安·模拟预测）已知直线，，平面，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】B
【分析】考查空间中线面，面面的位置关系判定，重难点为线面平行，线面垂直，面面垂直的判定定理与性质定理的应用，以及空间直线位置关系的分类讨论.
【详解】选项A：若， ，则直线与平面内的直线可能平行，也可能异面.因此，选项A错误.
选项B：若 ， ，根据“垂直于同一个平面的两条直线平行”这一性质定理，可知.因此，选项B正确.
选项C：若，，则平面与可能平行，也可能相交.例如，若直线平行于两个相交平面的交线，则同时平行于这两个平面，但这两个平面是相交的.因此，选项C错误.
选项D：若 ， ，则直线可能平行于平面，也可能在平面内，因此，选项D错误.
综上所述，只有选项B是正确的.
【变式10-1】（2026·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】BD
【分析】结合空间中的位置关系，对每个选项进行分析、判断即可得到正确的结论．
【详解】对于A，若，，，则可能平行，可能相交或异面但不一定垂直，所以A错误；
对于B，因为，，所以，又，所以，所以B正确；
对于C，若，，则可能在平面内或与平面平行，所以C错误；
对于D，由，可得，又，所以，所以D正确．
【变式10-2】（2026·福建泉州·三模）（多选）已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】BC
【分析】结合空间线面位置关系的判定定理判断即可.
【详解】选项A.若，，，则或与相交，错误.
选项B.因为，，所以直线是平面的一条法线，直线是平面的一条法线，
又因为，因此平面，正确.
选项C.由，所以平面内存在直线满足；又，因此.
因为，所以；又因为，根据面面垂直的判定定理，所以，正确.
选项D.若，，，则或与相交，错误.
题型11 线面垂直与面面垂直的判定
【例11】（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面；
(3)若，，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为是的直径，是圆周上不同于的一动点，
所以，又因为平面，平面，所以，
又因为平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，
所以平面平面.
（3）过作于，连接，如图所示，
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
所以是直线与平面所成的角，
在中，由等面积法得
而
所以，
在中，，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【变式11-1】（2026·河南开封·模拟预测）（多选）在正方体中，为的中点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】AD
【分析】由线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理依次证得各选项，即可得出结果.
【详解】对于A，如图，连接，交于点，连接，则为的中点.
因为为的中点，所以 .又平面 平面，
所以平面，故A正确；
对于，假设平面，则 .而平面
平面，所以.
又 平面，所以平面.
又平面，所以 ，因为，则 不成立，假设错误，故B错误；
对于C，假设平面平面，又平面平面，
所以平面 平面.这与两平面相交矛盾，故假设不成立，C错误；
对于D，连接，，在中，，则，
设正方体棱长为，则，，，
由勾股定理可得：，所以，又因为，
所以平面，平面，则平面平面，故D正确.
【变式11-2】（25-26高一下·北京·期中）如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．

(1)求证：平面；
(2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题：
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在；
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，在平面内找到与平行的直线即可；
（2）（Ⅰ）先通过线面垂直证，再由三角形内角和定理证，进而可证线面垂直；
（Ⅱ）取N为的中点，的中点为M，通过，平面即可证明N满足题意.
【详解】（1）如图，连接，与交于点O，连接OD，

因为四边形是平行四边形，所以O为的中点.
又D是棱AC的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．
（2）（Ⅰ）选择条件①，.
由D是棱AC的中点，得.
在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以.
又，，平面，所以平面，所以.
因为，所以，又，
在和中，，
所以，而，
则，所以，
又，BD，平面，所以平面.
选择条件②：．
因为底面ABC，平面ABC，所以，
又，，，平面，
所以平面，又平面，所以，下同条件①.
选择条件③：，下同条件①.
（Ⅱ）当点N为的中点，即时，平面平面．
证明如下：如图，取的中点为M，连接DM、MN，

因为M、D分别为、AC的中点，
所以且，
又N为的中点，所以且，
所以四边形BDMN为平行四边形，故.
由（Ⅰ）知平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
题型12 求异面直线的夹角
【例12】（2026·福建泉州·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过中位线得到异面直线与所成角的平面角，根据题意结合余弦定理即可求解；或者将三棱锥扩充为正方体，得到异面直线与所成角的平面角，根据正方体的性质即可求解.
【详解】解法一：如图，分别取，，的中点，，，分别连结，，，，则，
，所以（或其补角）即为直线与所成角，
设，可得，，，
，
在中，由余弦定理可得，，
由于直线与所成角为锐角，故直线与所成角的余弦值为，故D正确.
解法二：如图，把三棱锥扩充为正方体，直线与所成角即为直线与所成角，
因为为等边三角形，所以直线与所成角为，
即直线与所成角的余弦值为，故D正确.
【变式12-1】（25-26高一下·湖南益阳·期中）在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将正三棱柱补成直四棱柱，平移到即可解.
【详解】将正三棱柱补成直四棱柱，
使正三棱柱与正三棱柱全等，
则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）；
因为，，
所以，
所以.
【变式12-2】（25-26高一下·江苏·期中）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，与，分别垂直，垂足为，且，是侧棱的中点．
(1)求证： 平面；
(2)求直线与夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，与交于点，由中位线得证线线平行，然后得线面平行；
（2）取中点，证明，从而得到异面直线与所成的角或其补角，然后由余弦定理求得余弦值，进而求得正弦值.
【详解】（1）连接，与交于点，
则为中点，又为中点，，
又平面，平面，
平面．
（2）取中点，连接，、是、的中点，，
就是异面直线与所成的角或其补角，
在中，，，，
则，
，
所以直线与夹角的正弦值为.
题型13 求线面角
【例12】（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点．
(1)求证：平面．
(2)求证：平面．
(3)求直线与平面所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可.
（2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可.
（3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可.
【详解】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点，
又点是的中点，所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）证明：因为平面，，平面，
所以，，且为直角三角形.
因为底面是正方形，所以.
又，平面，，所以平面，
因为平面，所以.
在中，，点是的中点，所以.
又，平面，，所以平面.
（3）正方形中，，
所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角.
在中，，点是的中点，所以，，
所以.
故直线与平面所成角为.
【变式12-1】（2026·湖南株洲·模拟预测）在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点．
(1)求与面所成角的余弦值；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据直棱柱和菱形对角线垂直，易证面，可得为与面所成的角，求出相应三角形的边长，即可求出的余弦值；
（2）由（1）知面，即可得到线线垂直.
【详解】（1）解：由直四棱柱可知平面，
因为平面，所以，
四边形为菱形，则，又，所以，
又因为，平面，所以平面，
则为与平面所成的角，
由，，
由余弦定理可得，
所以，则，
在中，，所以，
在中，，
在中，，
所以在中，，
即与平面所成角的余弦值为；
（2）由（1）知平面，又平面，所以.
【变式12-2】（25-26高二下·江西南昌·期中）如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】取的中点，连接，则 ，
为的中点，，
且，且，
四边形是平行四边形，
，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，
因为平面，所以为直线与平面所成角，
则为直线与平面所成角，
设正方体的棱长为，，
是的中点，所以 ，，
，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
故选项C正确.
题型14 求二面角
【例12】（25-26高二上·上海·阶段检测）中，，平面，，，则二面角的大小为________．
【答案】
【分析】利用线面垂直的性质与判定结合二面角的定义计算即可.
【详解】因为，所以，
又平面，平面，所以，
因为平面，
所以平面，
易知平面，所以，
所以二面角的一个平面角为，
在直角三角形中，，则.
故答案为：
【变式12-1】（24-25高一下·福建南平·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，过点作交于点．
(1)若是的中点，过点作一个截面，使得该截面与平面平行，请画出截面，并写出作图过程（无需证明）；
(2)证明：平面；
(3)求二面角的余弦值．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)．
【分析】（1）过点M，分别在平面PBC，平面PDC做EB，ED平行线，可得截面；
（2）由平面，可得，结合，可得平面，据此可得，然后结合，可完成证明；
（3）由（2）可得即为二面角的平面角，然后由题目信息结合原先定理可得答案.
【详解】（1）如图，取的中点的中点，连接，
则截面与平面平行．
（2）因为平面，平面，所以．
在矩形中，平面，平面，
故平面．
又平面，故．
在中，，是的中点，所以，又，平面，平面，故平面，
而平面，于是．
因为平面，平面，
所以平面；
（3）由（2）知平面，于是，
所以即为二面角的平面角．
在中，，故，从而．
在中，，故，从而．
又在中，，故由余弦定理得，
，
所以二面角的余弦值为．
【变式12-2】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.
(1)证明：平面PAC；
(2)若，求二面角的平面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合圆周角和面面垂直的判定定理证明可得；
（2）由（1）知 ，又，所以 就是二面角 的平面角，由几何关系求出即可.
【详解】（1）因为平面，平面，所以.
因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以.
又因为，平面，平面，所以平面.
（2）由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 .
又因为 ，所以 就是二面角 的平面角.
设 ，因为 ，所以 .
在 中，根据勾股定理 .
根据正弦函数的定义，.
所以二面角 的平面角的正弦值为.
易错点1 线面平行的判定
【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知直线直线b，直线c，平面，则（ ）
A． B．
C．a与相交 D．或
【答案】D
【分析】由平行公理得，再由直线和平面的位置关系即可判断.
【详解】，，，
，或．
故选：D.
【变式1-1】（2025高三·江苏·专题练习）如图，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则直线与平面不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据线面平行的判定定理逐项进行判断即可.
【详解】对于A选项，如图：

连接，交于点，连接，则、平面，
且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A正确；
对于B选项，如图：

因为，平面，平面，所以平面，故B错误；
对于C选项，如图：

取中点，易知、、、四点共面，
因为，，、分别为、的中点，
所以，，故四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，故C错误；
对于D选项，如图：

连接，因为，，故四边形为平行四边形，所以，
因为、分别为、的中点，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面，故D错误.
故选：A.
【变式1-2】（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线 平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据线面平行的判定定理逐项判断即可.
【详解】选项A，如题所示连接交与，则为中点，

又因为是中点，所以，
因为平面，平面，所以 平面，A满足题意；
选项B，将直线平移使得点与点重合，则显然可知与平面不平行，B不满足题意；
选项C， 连接，由条件和正方体的性质可知，，

所以五点共面，即在平面内，所以与平面不平行，C不满足题意；
选项D，取的中点为，连接，

因为是棱上中点，所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，因为平面，平面，所以 平面，D满足题意；
故选：AD
易错点2 二面角与面面角的大小
【例1】（2025高三·全国·专题练习）二面角的大小为，点分别在平面内，点，在棱上的投影分别为点，已知，求的大小．
【答案】60°
【分析】由二面角的定义即可求解.
【详解】如图，，平移到，使得，
则四边形为矩形，
所以为二面角的平面角，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
又，所以，
所以，
又，所以，

所以.
【变式2-1】（2025高三·全国·专题练习）已知平面和平面交于直线是空间一点，，垂足为，垂足为，且，若，则与所成二面角为______．
【答案】或
【分析】由二面角的定义即可求解.
【详解】要考虑点位置的两种可能．如图1和图2．

过作，连接，又，，所以，
又平面，所以平面，
又，同理可得，平面，
所以共面，即平面，又平面，
所以，则就是与所成二面角的平面角，
图1中，，所以，
图2中，
故答案为：或.
【变式2-2】（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据异面直线上两点间的距离公式求异面直线所成的角，再根据二面角的概念求解.
【详解】设异面直线与所成的角为，
则根据异面直线上两点的距离公式可得：，
即 ，所以.
因为，且，都垂直于棱，所以二面角的平面角等于，
所以面与平面的夹角为.
故选：C
方法1 作截面，求截面周长与面积
【例1】（24-25高一下·广东茂名·期末）已知三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交于E点，且，则_____.
【答案】6
【分析】连接AM并延长与的延长线交于点P，连接NP与直线相交，即为点E，首先证明是的中点，推出，即可利用三角形相似推出，得解.
【详解】连接AM并延长与的延长线交于点P，连接NP与直线相交交点即为点E，
因为AM与NE相交于点P，所以A，M，N、E四点共面，
因为M是的中点，且，所以，，
所以是△的中位线，则是的中点，
又因为N为的中点，所以，
易知，则，所以.
故答案为：6
【变式1-1】（24-25高一下·福建南平·期末）如图，在棱长为6的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则过M，N，B三点的平面截此正方体所得截面的周长是______．
【答案】
【分析】作出辅助线，得到过点M，N，B的平面截该正方体的截面为五边形，并求出周长.
【详解】因为M，N分别为棱，的中点，所以，
过点作交的延长线于点，交的延长线于点，
连接交于点，连接交于点，
因为，则，且分别是的三等分点，
故过点B，M，N的平面截该正方体所得截面为五边形，
由勾股定理得，，,
故五边形的周长为.
故答案为：
【变式1-2】（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度.
【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q，
在中，则
又在中，
则.
故选：C
方法2 线面面面平行的存在性
【例2】（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，M，N分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证明线面平行，则需要证明线线平行即可得到线面平行.
（2）在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点，根据线面平行的判定证明即可.
【详解】（1）因为分别是，的中点，所以.
因为平面，而不在平面内，
所以平面.
（2）设交于点，在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点.
连接，在中，因为，
所以，又平面，而不在平面内，
所以平面，符合题意，此时.
【变式2-1】（24-25高一下·湖北·阶段检测）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点．
(1)求三棱锥的体积；
(2)证明：平面；
(3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，.
【分析】（1）由条件求三棱锥的底面的面积和高，再由锥体体积公式求结论；
（2）先证明，再根据线面平行判定定理证明结论；
（3）提出猜测线段上存在点P，使得平面，且，再结合线面平行判定定理证明结论，
【详解】（1）因为四边形为菱形，，
所以，，又为的中点，
所以为等边三角形，，，，
所以，
又平面，，
所以三棱锥的体积，
（2）连结，
因为，分别为的中点，所以，，
因为，，
所以四边形是平行四边形，
所以，，又是的中点，且，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面,
所以平面．
（3）线段上存在点P，使得平面，且，
证明如下：
连接，其中AC交DE于点，连接
在菱形ABCD中，，且
所以，又，
所以，
所以四边形是平行四边形
平面，平面，
平面.
【变式2-2】（24-25高一下·湖北荆州·阶段检测）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点．
(1)求证：平面.；
(2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）取中点，连和，证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定，即可证得平面.；
（2）取中点，连接，，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，结合面面平行的性质，即可证得平面．
【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且，
因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，且平面，所以平面.
（2）解：取中点，连接和，
因为和分别为和的中点，所以，
又因为平面，且平面，所以平面，
又由（1）可得∥平面，且，平面，
所以平面平面，
因为是上的动点，且平面，所以平面，
所以，当为中点时，平面．
方法3 线面平行的轨迹问题
【例3】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面 平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解.
【详解】由题意知，，在上取点，使得，
则且，所以四边形为平行四边形，
故，又平面，平面，
所以平面.
在上取点，使得，
有，所以，则，
又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面 平面，则点M的轨迹为线段.
在中，，由余弦定理，
得，
即点M的轨迹长度为.
故选：B
【变式3-1】（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为______．
【答案】
【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解.
【详解】取，，，的中点分别为，，，，
连接，，，，，，，
因为，分别为，的中点，所以，
同理可得，
因为，，所以四边形是平行四边形，可得，
所以，同理可证明，，
所以，，，，，共面，
因为，面，面，
所以平面，
若平面，则点在平面内，
又因为点在上底面（含边界），
所以点在面与面的交线上，
所以点在线段上，则点轨迹长度为.
故答案为：.
【变式3-2】（24-25高一下·江苏淮安·阶段检测）如图，正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且∥平面，则线段MN的最大值为__________.

【答案】
【分析】利用面面平行的性质，通过平面平面，得出点在线段上，从而求出线段的最大值．
【详解】如图，

取的中点，取的中点，连接，，，所以，
又面，面，所以平面，
又为的中点，所以，
又面，面，所以平面，
又，面，面，所以平面平面，
又因为是侧面上一点，且平面，
所以在线段上，
因为正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是
所以平面，因为平面，所以
又M为的中点，所以
所以
则，又
所以线段的最大值为．
故答案为：．
方法4 线面垂直面面的存在性
【例4】（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面.
【答案】的中点
【分析】连接，证明当点是的中点时，平面.
【详解】如图，连接，则，
因为平面，又平面，所以.
又，平面.
所以平面，又平面，所以.
于是若平面，平面，则，
平面，又平面，所以.
又，平面，所以平面，
平面，所以，所以，，
所以，
因为是正方形，是的中点，
所以当且仅当是的中点时，，
即当点是的中点时，平面.
【变式4-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）在长方体中，，，E为棱上一动点，
(1)当平面时，求线段的长度；
(2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度．
【答案】(1)1；
(2)存在，且.
【分析】（1）连接，交于，在面内过作，交于，根据线面平行的判定找到的位置，进而求线段长；
（2）问题化为证面，进而求的位置，即可得线段长.
【详解】（1）连接，交于，在面内过作，交于，
由面，面，则面，
故与重合时，满足题设要求，
根据长方体的性质，易知是的中点，故，即所求是中点，
所以；
（2）存在，且，理由如下，
要使恒成立，只需垂直于所在平面即可，
当面，而面，故，
此时，即，
所以，则，可得.
【变式4-2】（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段检测）如图，直三棱柱，，分别是，的中点，
(1)求证：平面；
(2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)点是的中点时，平面.
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行；
（2）根据垂直关系的转化，转化为构造.
【详解】（1）取的中点，连结，
因为点分别是和的中点，所以，，
且，，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面；
（2）假设存在点，使平面，
因为，且点是的中点，所以，
且平面，平面，所以，
且，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，所以四边形是正方形，则；
取的中点，连结，则，
则，，平面，
所以平面，
所以点是的中点时，平面.
方法5 等体积法求线面角
【例5】（25-26高一下·山西忻州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.

(1)求证：平面
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的判定定理证明可得；
（2）先由线面垂直证明，再由线面垂直的判定定理证明可得；
（3）取中点为，连接，利用等体积法可得.
【详解】（1）证明：连接交于，连接，
是三角形中边上的中位线，，
又平面，平面，平面.
（2）证明平面，平面，，
又四边形是矩形，，，，平面，
平面，平面，，
又是的中点，，，
，，平面，平面.
（3）如图，取中点为，连接，

在中，，分别为线段，的中点，
故，，平面，平面，
，
由（2）得平面，平面，，
，，，又，，
，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
则，解得，故，
直线与平面所成角的正弦值为.
【变式5-1】（25-26高一下·福建厦门·期中）（本题不可用建系方法做，否则不得分）如图，多面体是由直三棱柱截去一部分后而成，是的中点，且，.
(1)若为的中点，在上，且，证明：直线平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在直三棱柱中，取的中点，连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）方法一：利用等体积法求出点到平面的距离，并求出的长，设直线与平面所成角为，则，即可得解；
方法二：证明出平面，可知为直线与平面所成角，求出的长，即可求出的正弦值.
【详解】（1）在直三棱柱中，取的中点，连接，
因为为的中点，所以是梯形的中位线，所以且，
因为是的中点，所以，则，
因为且，，所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，故直线平面.
（2）方法一（等体积法）连接，
因为平面，平面，所以，
因为为的中点，所以，
因为，所以，且为等腰直角三角形，
所以，易知，所以，且，
由余弦定理可得，
所以，即，则，
因为平面，平面，所以，
又因为，，、平面，所以平面.
因为且，所以四边形为平行四边形，则，
所以平面，则，
因为平面，所以，
故，
设点到面的距离为，则，
即，解得，
设直线与平面所成角为，
因为平面，平面，所以，
因为，故，
所以，故直线与平面所成角的正弦值为.
方法二（垂线法）
因为平面，平面，所以，
又因为，，、平面，所以平面.
因为且，所以四边形为平行四边形，则，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为为的中点，所以，
因为，所以，且为等腰直角三角形，
所以，易知，所以，且，
由余弦定理可得，
所以，即，
因为，、平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
因为平面，平面，所以，
因为，故，
所以，故直线与平面所成角的正弦值为.
【变式5-2】（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，交于，，，，，为中点．

(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求证为线段的中点，利用线面平行的判定定理即可；
（2）设点到平面的距离为，利用等体积计算，最后求即可.
【详解】（1）连接，
因，，则，则，
又，，则，
则，即为线段的中点，
因为中点，则为的中位线，则，
因平面，平面，则平面；
（2）设点到平面的距离为，
因，，则，
由（1）可知，则，即，
因，则，则，
因底面，平面，则，
因，则，
因，
则，即，
又底面，，则底面，
又底面，则，则，
则与平面所成角的正弦值为.

方法6 三垂线法求二面角
【例6】（2026·河南开封·模拟预测）如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直、正方形的性质得、，再由线面垂直、面面垂直的判定证明结论；
（2）由（1）及已知证明、，取的中点分别为，连接，结合面面角的定义得到即为平面与平面所成角的平面角，设，进而求出面面角的余弦值.
【详解】（1）由平面，平面，则，
由四边形为正方形，则，
又，且平面，则平面，
由平面，则平面平面；
（2）由（1）知平面，平面，则，
由四边形为正方形，则，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，
由平面，则，
由且，则，
所以，即为等腰三角形，又为等边三角形，
取的中点分别为，连接，则，且，
而，则，又平面平面，
其中平面，平面，
则即为平面与平面所成二面角的平面角，
若，则，且，，
所以，故，
所以平面与平面所成二面角的余弦值为.
【变式6-1】（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连.
(1)证明：；
(2)求平面与底面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而利用线面垂直得线线垂直，即可求证平面，即可得证；
（2）根据三角形的边角关系求解长度，进而分别求解,即可根据面积之比求解.
【详解】（1）已知底面，底面，所以，
又，平面，
故平面.
又平面，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，则，
又，平面,
平面，
又平面，，
（2）如图，设点在底面的投影分别是，
由题意知分别在上，
由（1）知平面，平面，则，
由于，故是的中点，则是的中点，
在中，，，
，
，
故，
由于，，
则，故，
在中，，，
，
记平面与底面所成角为，.
【变式6-2】（2026高一下·全国·专题练习）如图，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，，是延长线上一点，且．
(1)求证：直线平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得，再由线面平行的判定定理即可证明；
（2）过作于，连接，利用三垂线定理证明，即得是二面角的平面角，借助于即可求得二面角的大小；
（3）过作于，利用平面证明平面平面，再由面面垂直的性质可得平面，即得为点到平面的距离，利用棱锥体积公式计算即得.
【详解】（1）因为，且，
所以四边形是平行四边形，可得．
又平面平面，所以直线平面.
（2）过作于，连接，
因为平面，所以是在平面内的射影，
结合，可得，
所以是二面角的平面角．
因为，所以是的中点，
得到是三角形的中位线，所以．
在中，，
所以，即二面角的大小为.
（3）过作于，因为平面，
平面，所以平面平面，
因为，平面平面，
所以平面，即为点到平面的距离．
因为正三角形中，，
故三棱锥的体积．
方法7 投影面积法求二面角
【例7】（25-26高三·全国·一轮复习）在正方体中，，，求二面角的余弦值.
【答案】
【分析】设二面角为，根据求二面角的余弦.
【详解】由题意可知平面BCE，故在平面BCE内的投影面积是.
在中，，，
所以 .
又.
设二面角为，由射影面积法可知二面角的余弦值.
所以二面角的余弦为.
【变式7-1】（24-25高三·全国·三轮复习）正方体中，为棱的中点，求平面和平面夹角的余弦值.
【答案】
【分析】利用射影面与原平面的面积比求二面角的余弦值即可.
【详解】设正方体的边长为2，则；
在中，，，，
利用余弦定理，
则；
则.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑