资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题06 解三角形中的最值和范围问题
题型1 周长的最值（范围）（常考点） 题型5 转化为角的范围问题（重点）
题型2 面积的最值（范围）（常考点） 题型6 有关角平分线的最值（范围）（重点）
题型3 求边长的最值（范围） 题型7 有关中线的最值（范围）（重点）
题型4 长度和差比的最值（范围）（常考点） 题型8 求角的正切值的最值（范围）
题型一 周长的最值（范围）（共6小题）
1．（25-26高一下·广东深圳·阶段检测）在中，，若，求周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．6
2．（25-26高一下·广东深圳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一下·上海·期中）设向量，，函数.
(1)求的单调减区间；
(2)在中，若角满足，且边，求周长的取值范围.
5．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC中点， ， ，求边a；
(3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值．
6．（25-26高一下·天津武清·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，
(1)求角C；
(2)若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值；
(3)求锐角的周长的取值范围．
题型二 面积的最值（范围）（共7小题）
7．（25-26高一下·江苏扬州·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若的外接圆半径为，且，则面积的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
8．（25-26高一下·青海海东·期中）已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为( )
A． B．2 C． D．
9．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．或
C．面积的最大值为 D．周长的取值范围为
11．（多选）（25-26高一下·福建泉州·阶段检测）如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．若，则A，B，C，D四点共圆
C．四边形ABCD面积最小值为 D．四边形ABCD面积最大值为
12．（25-26高一下·河北·期中）在中，内角的对边分别为，已知．
(1)求的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
13．（25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)若，的周长等于6，求a，b．
(2)若为锐角三角形，且的面积满足.
（ⅰ）求；
（ⅱ）求面积的取值范围．
题型三 长度的最值（范围）（共3小题）
14．（25-26高一下·河南漯河·期中）已知分别为三个内角的对边，且，的面积为，为的中点，则的最小值为______.
15．（25-26高一下·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（ ）
A． B． C． D．
16．（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知的三个内角所对的边分别是，且满足，，点是边上一点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型四 长度和差比的最值（范围）（共9小题）
17．（25-26高一下·安徽宿州·期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
18．（25-26高一下·广西南宁·期中）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．（25-26高一下·山东·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
20．（25-26高一下·河北石家庄·期中）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．（25-26高一下·山东淄博·期中）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是__________．
22．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在中，角的平分线交于点，.
(1)若，，求:
①的面积；
②的外接圆的周长.
(2)若，求的最小值.
23．（25-26高一下·四川泸州·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且，
(1)若，，求；
(2)若，求；
(3)求的取值范围．
24．（25-26高一下·山东淄博·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且
(1)求角；
(2)若是边的中点，，，求的面积；
(3)若是锐角三角形，且，求的取值范围．
25．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．
(1)已知，求；
(2)若是锐角三角形，为（1）中所求，H为的垂心，且CH=3，求的取值范围；
(3)若，令，试求t的最大值．
题型五 转化为角的范围问题（共5小题）
26．（多选）（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是 （ ）
A．
B．若， ，则有两解
C．当时为直角三角形
D．的取值范围是
27．（25-26高一下·福建厦门·期中）在中，内角对应的边分别是，且
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积；
(3)若为锐角三角形，求的取值范围.
28．（25-26高一下·重庆·期中）如图，中，角，，的对边分别为，，，，．点在延长线上．
(1)若，的角平分线交于点，求线段的长；
(2)求的取值范围．
29．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）从①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________．
(1)求角的大小；
(2)求取值范围；
30．（2026·河北保定·模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且 .
(1)证明: ；
(2)若是锐角三角形，求 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
题型六 有关角平分线的最值（范围）（共3小题）
31．（25-26高一下·河南焦作·期中）在中，内角所对的边分别为,，，且．
(1)求角；
(2)若，是钝角三角形．
（ⅰ）求的范围；
（ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围．
32．（25-26高一下·河南郑州·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，.
(1)求角的大小；
(2)求边的值；
(3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围.
33．（25-26高一下·江苏泰州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线．
(1)求C；
(2)若，求周长的取值范围；
(3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围．
题型七 有关中线的最值（范围）（共5小题）
34．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且.
(1)求A；
(2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值.
35．（25-26高一下·福建·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长；
(3)求边AC上的中线BE的取值范围．
36．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
37．（25-26高一下·江苏·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为．
(1)求；
(2)若，求内切圆面积的最大值；
(3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围．
38．（25-26高一下·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且．
(1)求角；
(2)求周长的取值范围；
(3)求边上的中线的取值范围．
题型八 角的正切值的最值（范围）（共3小题）
39．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，内角的对应边分别为且满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
40．（25-26高一下·福建泉州·期中）已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
41．（25-26高一下·上海普陀·期中）在中，，则的最大值为________.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题06 解三角形中的最值和范围问题
题型1 周长的最值（范围）（常考点） 题型5 转化为角的范围问题（重点）
题型2 面积的最值（范围）（常考点） 题型6 有关角平分线的最值（范围）（重点）
题型3 求边长的最值（范围） 题型7 有关中线的最值（范围）（重点）
题型4 长度和差比的最值（范围）（常考点） 题型8 求角的正切值的最值（范围）
题型一 周长的最值（范围）（共6小题）
1．（25-26高一下·广东深圳·阶段检测）在中，，若，求周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【详解】由正弦定理可得：，∴，
∵，∴．
方法一：
由余弦定理得，
即．
∵（当且仅当时取等号），
∴，
解得（当且仅当时取等号），
∴周长，
∴周长的最大值为．
方法二：
由，则，
根据正弦定理可知，
所以，
当且仅当时，等号成立．
此时周长的最大值为．
2．（25-26高一下·广东深圳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为是锐角三角形，所以，
又，所以，所以，由，得，
所以，所以，解得，所以.
由，，，得，
，
所以的周长为．
令，则，
则，
函数在上单调递增，
当时，；当时，，
所以，
所以周长的取值范围为．
3．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，即.
而，
所以，即.
由于为锐角，所以，，
所以与异号或，
若，即，
又，，则，，
所以，即，此不等式组无解，所以不成立.
同理可得不成立.
所以，
即，所以，，即为直角三角形.
由题意知，，即，所以.
所以的周长，
当且仅当时，等号成立.
所以周长的最小值为.
4．（25-26高一下·上海·期中）设向量，，函数.
(1)求的单调减区间；
(2)在中，若角满足，且边，求周长的取值范围.
【答案】(1)的单调减区间为，；(2)
【详解】（1）.
由，，解得，.
所以的单调减区间为，.
（2）由，得，即.
因为，所以，即.
已知，由正弦定理.
所以，.
又，，
则周长
.
由，得，所以.
即周长的取值范围是.
5．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC中点， ， ，求边a；
(3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值．
【答案】(1)；(2)；(3)6
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，
在中， ，
所以，
即，
因为，所以，
因为，所以；
（2）因为，
所以，
，
又，所以，所以，
又因为，所以．
（3）由正弦定理得，可得， ，
，
，
因为是锐角三角形，且，则，
得，得，，， 故的周长最大值为6．
6．（25-26高一下·天津武清·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，
(1)求角C；
(2)若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值；
(3)求锐角的周长的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）已知，由正弦定理边化角得：
，
因为，故，
代入上式化简得：，
在中，，则，
又，因此.
（2）由是的平分线，可得，
由面积关系，代入可得：，
代入，
化简得：，解得.
（3）由余弦定理得：，
因为是锐角三角形，由余弦定理得：
，
，
故，则周长，
易知在上单调递增，得，
因此周长的取值范围为：.
题型二 面积的最值（范围）（共7小题）
7．（25-26高一下·江苏扬州·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若的外接圆半径为，且，则面积的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【详解】因为，
则由余弦定理得，
因为，则，
设的外接圆半径为，则，
由正弦定理得，，
则即为，
因为，则，
当且仅当时，等号成立，
则，
则面积的最大值为.
8．（25-26高一下·青海海东·期中）已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为( )
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】由正弦定理，将角化边，
得，整理得.
由余弦定理，得，又，故.
将代入，得.
由基本不等式，得，解得，当且仅当时取等号.
又三角形面积，
因此，，即面积的最大值为.
9．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】在中，设，则.
由余弦定理知.
中，.
又，为等边三角形.
所以,即
所以可通过判断和全等.
故.
所以当，即时，.
10．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．或
C．面积的最大值为 D．周长的取值范围为
【答案】ACD
【详解】因为，且，
则，
由正弦定理得，
所以，
整理得，而，
故，故，
所以，而为三角形内角，
故，所以，故A正确，B错误.
而，则．
由基本不等式（当且仅当时取等号），已知，
故，解得（当且仅当时取等号）．
因此，故C正确
周长，由余弦定理，
故，而，故，
故．因此周长的取值范围为．
11．（多选）（25-26高一下·福建泉州·阶段检测）如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．若，则A，B，C，D四点共圆
C．四边形ABCD面积最小值为 D．四边形ABCD面积最大值为
【答案】AD
【详解】由正弦定理，
得，
即，又，
，
是等腰的底角，，
是等边三角形，A正确；
对于B，若四点共圆，则四边形对角互补，由A正确知，
但由于时，，∴B错误；
对于C、D，设，则，
，，
所以四边形ABCD的面积，
，
，∴四边形ABCD的面积，
∴C不正确，D正确.
12．（25-26高一下·河北·期中）在中，内角的对边分别为，已知．
(1)求的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)或；(2)
【详解】（1）由，
根据正弦定理，得，
即，
在中，，则，
又，所以或．
（2）因为为锐角三角形，所以，
由正弦定理：，即，
则
．
又，解得，
则，即，所以．
13．（25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)若，的周长等于6，求a，b．
(2)若为锐角三角形，且的面积满足.
（ⅰ）求；
（ⅱ）求面积的取值范围．
【答案】(1)；(2)（ⅰ）（ⅱ）
【详解】（1）因为，且的周长等于6，所以，
因为，由余弦定理得，
将代入上式解得，所以，
则.
（2）（ⅰ）因为，所以，所以，
又是锐角三角形，所以，所以，
所以，又，所以；
（ⅱ）因为，所以，
又，所以，
所以.
由，解得，所以，
所以，
所以面积的取值范围是.
题型三 长度的最值（范围）（共3小题）
14．（25-26高一下·河南漯河·期中）已知分别为三个内角的对边，且，的面积为，为的中点，则的最小值为______.
【答案】
【详解】因为，
由正弦定理，得，
因为，所以，
则，
所以，
即，又因为，所以，
即，因为，所以，则，所以；
因为的面积为，所以，即，所以；
因为M为的中点，所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.
15．（25-26高一下·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在中，设，由余弦定理得，
又，，所以，
由题意，为等腰直角三角形，则，
，则，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得
，
当时，取得最大值，且为，
所以对角线的最大值为.
16．（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知的三个内角所对的边分别是，且满足，，点是边上一点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题结合正弦定理可得：，
因为，所以，
，为钝角，.
，，由爪型定理可得
两边平方可得：
，
，，
当时，取得最小值，即最小值为.
题型四 长度和差比的最值（范围）（共9小题）
17．（25-26高一下·安徽宿州·期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
【答案】B
【详解】如图，为角平分线，，
即，
化简得，则，
当且仅当时取等号，故最小值为4.
18．（25-26高一下·广西南宁·期中）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知得：，即，
所以，又，所以，
由正弦定理得：，
所以，
所以
又
所以由是锐角三角形得：，
，即的取值范围是．
19．（25-26高一下·山东·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】在锐角中，由及三角形面积公式，
得，
而，则，
由余弦定理得，
则，即，
由正弦定理得，
即，
整理得，
则，
由，得，于是，
即，且，，
因此
，
所以的取值范围是.
20．（25-26高一下·河北石家庄·期中）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为三角形中，
所以由，可得，
即，
所以，
即，
又在锐角三角形中，，
则或，即或（舍去）.
因为.
由正弦定理可得，
则
因为是锐角三角形，所以，
所以，所以，
则.
21．（25-26高一下·山东淄博·期中）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】由题意，
在锐角中，，
由余弦定理，，
∴，即，
由正弦定理，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵为锐角三角形，
∴，即，
∴
，
，解得，
∴，
∴，
在中，
，开口向上，对称轴，
若函数存在最小值，则，解得，
∴若存在最小值，则实数的取值范围是.
22．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在中，角的平分线交于点，.
(1)若，，求:
①的面积；
②的外接圆的周长.
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)①；②；(2)
【详解】（1）
①因为，角的平分线交于点，所以，，
所以，，
由正弦定理得，即，
代入数据得，
所以.
②设的外接圆的半径为，由正弦定理，可得，所以，
则的外接圆的周长.
（2）
由，所以，，
根据三角形的面积可得，即，
代入数据并化简得，
由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，
因此，当是等腰三角形时，的最小值为.
23．（25-26高一下·四川泸州·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且，
(1)若，，求；
(2)若，求；
(3)求的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）法一：，
则
．
法二：过点D作的平行线交于点H，
在中，，，
由余弦定理：
法三：在中，由余弦定理：
又，则，
则.
法四：因为，则平分角C，
由，
即.
（2）法一：因为，则与相似，
则，即，所以，
则，，则．
法二：设，因为，则
在中，由正弦定理知①
在中，由正弦定理知②
，，则有
又，．
（3），平方得．
即，又
令，则，.
法一：
令，则，
，
．
的取值范围为
法二：令，则方程有正根．
，
①若，方程没有正根，不符合题意；
②若，且，得：或（此时方程只有一个负根，故舍去）
③若，且，得：，
ⅰ 若方程有一个根为0，此时，方程有正根，符合题意；
ⅱ 若方程有两个正根，则，得或，
ⅲ 若方程有1个正根，一个负根，，得，
综上：，
的取值范围为.
24．（25-26高一下·山东淄博·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且
(1)求角；
(2)若是边的中点，，，求的面积；
(3)若是锐角三角形，且，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）由题意，在中，，
由正弦定理，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，又，
∴，解得，
∴.
（2）由题意及（1）知，，
，，
∵是边的中点，
∴，
，
解得，
∴.
（3）由题意，及（1）知，
在锐角中，，，
，解得，
由正弦定理，，
∴，
，
∴
，
∵，，，
∴.
25．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．
(1)已知，求；
(2)若是锐角三角形，为（1）中所求，H为的垂心，且CH=3，求的取值范围；
(3)若，令，试求t的最大值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）因为，，
所以，由正弦定理，得，
即，由余弦定理，得，因为，所以；
（2）延长交于，延长交于，设，，所以，
在中，，在中，，，所以，
在中，，同理可得在中，，
所以
，因为，所以，
所以，所以，即的取值范围为；
（3）由余弦定理，可得，所以，
由，可得，
所以，
故，
所以，当且仅当时等号成立，即，时，．
题型五 转化为角的范围问题（共5小题）
26．（多选）（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是 （ ）
A．
B．若， ，则有两解
C．当时为直角三角形
D．的取值范围是
【答案】AC
【详解】对于A， ，
由及正弦定理得，，
由诱导公式得，，
因为，所以，所以，
，，
即，
所以或，即（舍）或，故A正确；
对于B，由余弦定理得，即，整理得，
由，所以或（舍），即有一解，故B错误；
对于C，因为，所以，
两边平方得，即，
由余弦定理得，
所以，即，解得或（舍），
，则，由正弦定理有，解得，
故为直角三角形，故C正确；
对于D， ，
因为，所以，所以，所以，
所以的取值范围是，故D错误.
27．（25-26高一下·福建厦门·期中）在中，内角对应的边分别是，且
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积；
(3)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）因为中，，由正弦定理得，
所以，即，
又，，则，所以；
（2）由余弦定理得，即，
解得（舍去），
所以；
（3）,
，
因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，，
所以.
28．（25-26高一下·重庆·期中）如图，中，角，，的对边分别为，，，，．点在延长线上．
(1)若，的角平分线交于点，求线段的长；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）如图：
因为，又，则，
所以．
解得．
（2）因为在的延长线上，故，
所以
，
因为，所以，得，
所以的取值范围为．
29．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）从①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________．
(1)求角的大小；
(2)求取值范围；
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）若选①：由正弦定理得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，整理得 ，
又因为 ，则 ，所以 ；
若选：因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
所以 ，由 ，得 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ；
若选③：因为 ，所以 ，
即 ，又因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
（2）在锐角 中，由（1）得 ，
所以 ，
所以
，
由 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .
30．（2026·河北保定·模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且 .
(1)证明: ；
(2)若是锐角三角形，求 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）选①，由可得，即，
因为，所以，
化简可得，即，
由正弦定理可得，
因为，
所以，
所以或（舍去），
所以；
选②，由可得，
即，
因为，所以，
即，
因为在上单调递减，所以；
选③，由余弦定理可得，
所以，即，
因为，所以，
化简可得，即，
由正弦定理可得，
因为，
所以，
所以或（舍去），
所以；
（2）是锐角三角形，
则，所以，
，
令，则，
因为在区间单调递增，在区间单调递增，
所以在区间上单调递增，
所以，即.
题型六 有关角平分线的最值（范围）（共3小题）
31．（25-26高一下·河南焦作·期中）在中，内角所对的边分别为,，，且．
(1)求角；
(2)若，是钝角三角形．
（ⅰ）求的范围；
（ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）由，，且，
所以，，
化简整理得，再由正弦定理得，
因为，所以，且，所以.
（2）（i）由，结合正弦定理，得.
因此 ，且.
因为 为钝角三角形， ，故钝角只能是或，
所以或，所以.
由正弦定理得
，
因为，所以，，
所以
（ii）因为为的角平分线，且，如图：
由面积关系，，
所以 ，化简得.
又因为
，
由（i）知，
所以，
令，由（i）知，所以
所以，因为函数在是单调递增函数，
所以时，，当时，.
所以.
32．（25-26高一下·河南郑州·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，.
(1)求角的大小；
(2)求边的值；
(3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围.
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）由及正弦定理得：
，
因为，所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理，得，
由得：，
即，
由余弦定理得，，
联立解得.
（3）
如图所示，由（1）知，由于，
，
，
由（2）知，
因为，所以，
则
令，则，
因为是锐角三角形，则，
则，
令，由解析式可知在单调递增，
所以，即
即长度的范围为
33．（25-26高一下·江苏泰州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线．
(1)求C；
(2)若，求周长的取值范围；
(3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）在中，，
∵与共线，∴，
由正弦定理可得
∴，
∴，
∵，∴，又，所以；
（2）由（1）知，又，由余弦定理，
得，
即，因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，则，
由三角形三边关系知，所以，即，
所以周长的取值范围为；
（3）因为角A与角B的角平分线交于点D，，，
所以，设，，
在中，由正弦定理，
所以，即，，
所以
，
因为，为锐角三角形，
所以，即，
所以，即，
则，
所以面积的取值范围为.
题型七 有关中线的最值（范围）（共5小题）
34．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且.
(1)求A；
(2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值.
【答案】(1)；(2)3
【详解】【小题1】因为，
由正弦定理得：，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
因为，所以，所以，所以.
【小题2】因为，，所以，
因为D是BC的中点，所以，所以
因为，所以，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以AD的最大值为3.
35．（25-26高一下·福建·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长；
(3)求边AC上的中线BE的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）已知，由余弦定理可得，
因为，代入中，得，化简得，
则，因为，所以．
（2），，由余弦定理得，
即，又因为，所以，
由面积关系可得，
，
所以，即.
（3）因为E是AC的中点，所以，
则，
由正弦定理得，，
即，
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，即边AC上的中线BE的取值范围为．
36．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由，得，
又，所以，
所以，.
（2）由，且可得，
又，为外接圆半径）
所以，又，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，.
由的中点为M，得，
所以
.
因为为锐角三角形，所以，得，
则，所以，，
则，
故的取值范围是.
37．（25-26高一下·江苏·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为．
(1)求；
(2)若，求内切圆面积的最大值；
(3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围．
【答案】(1)或；(2)；(3)
【详解】（1）由题意可知，化简得，
可得，因为，所以，
可得或，解得或.
（2）由题意可得，化简得，
所以，所以由（1）可知，可得，
可知，化简得，即，可得.
由基本不等式可知，即，当且仅当时取等号，
所以，由，解得.
设内切圆半径为，则，
可得，因为，
所以，
因为，所以，
当时，内切圆半径为取得最大值，此时内切圆面积的最大值为.
（3）可知，所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，
可知，可得，所以，
因为，所以，
则，
化简得，
因为，由，可得，解得，
所以，可得，所以，即
所以线段的取值范围为.
38．（25-26高一下·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且．
(1)求角；
(2)求周长的取值范围；
(3)求边上的中线的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
又由余弦定理得，，故．
（2）由正弦定理得 ，
，
又因为是锐角三角形，故，解得，
，
周长的取值范围为 ．
（3）由余弦定理得，，即．
，两边平方得．
由正弦定理可知，，故，
因此
，
又因为是锐角三角形，故，解得，
故，，，
即，则．
题型八 角的正切值的最值（范围）（共3小题）
39．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，内角的对应边分别为且满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由可得，由余弦定理，，
又由正弦定理，，因，
代入整理得，因，，
两边同除以，可得，
于是，
又因，则角为钝角，则角必为锐角，则，
则，当且仅当，即时取等，
故的最大值为.
40．（25-26高一下·福建泉州·期中）已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
由正弦定理得，
又，则，
所以，
即，
所以，
由，则，而，所以，
所以角为钝角，，则角为锐角即，
此时，
由，
所以，
即，
因为，所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最大值为.
41．（25-26高一下·上海普陀·期中）在中，，则的最大值为________.
【答案】
【详解】由正弦定理得
因为，
所以
，
即，
则同号，与不能同时为钝角，所以，
，
因为，所以，当且仅当时取等
所以，则的最大值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑