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专题07 复数的概念及其运算
题型1 虚数单位及性质 题型5 复数的模（重点）
题型2 复数的概念 题型6 与模有关的最值和轨迹问题（难点）
题型3 复数相等 题型7 复数的运算（常考点）
题型4 复数的分类（易错点） 题型8 在复数范围内解方程（重点）
题型5 复数的几何意义
题型一 虚数单位及性质（共4小题）
1．（25-26高三上·湖北·阶段检测）（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】.
故选：C
2．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】，虚部为－1
故选：A.
3．（2025·陕西西安·一模）若复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】D
【详解】，
则的虚部是2.
故选：D
4．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则_______
【答案】0
【详解】.
题型二 复数的概念（共5小题）
5．（25-26高一下·四川绵阳·期中）已知复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】的虚部为.
6．（25-26高一下·海南海口·期中）复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得：的共轭复数 ，
所以的虚部为.
7．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部为
C．复数为实数的充要条件是
D．复数为纯虚数，则
【答案】C
【详解】对于A，因与都是虚数，不能比较大小，故A错误；
对于B，复数的虚部为，故B错误；
对于C，设，则
若复数为实数，则，则显然有；若，则易得，故复数为实数，故C正确；
对于D，由题意，解得，故D错误.
8．（2026·广西桂林·二模）设的实部与虚部相等，其中为实数，则______.
【答案】3
【详解】因为，且实部与虚部相等，
故，解得.
9．（25-26高一下·河北保定·期中）欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，即，，
故，则，解得，则.
题型三 复数相等（共4小题）
10．（25-26高一下·天津河北·期中）已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（ ）
A．1 B．1或-4 C． D．0或
【答案】C
【详解】由条件可知，，解得.
11．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知复数，则__________.
【答案】
【详解】因为，所以，解得.
12．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，则实数________，________．
【答案】 2
【详解】因为，
所以，解得
13．（24-25高一下·广西百色·期末）已知，则______.
【答案】3
【详解】因为，
则，解得.
题型四 复数的分类（共5小题）
14．（24-25高一下·重庆·阶段检测）若为实数，是纯虚数，则复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】为实数，则，
是纯虚数，则，
则
故选：D
15．（25-26高一下·陕西宝鸡·期中）是虚数单位，，则是为实数的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】C
【详解】由实数和复数的关系可知，是为实数的充要条件.
16．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部为
C．复数为实数的充要条件是
D．复数为纯虚数，则
【答案】C
【详解】对于A，因与都是虚数，不能比较大小，故A错误；
对于B，复数的虚部为，故B错误；
对于C，设，则
若复数为实数，则，则显然有；若，则易得，故复数为实数，故C正确；
对于D，由题意，解得，故D错误.
17．（多选）（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若Z为实数，则 B．若Z为虚数，则
C．若Z为纯虚数，则 D．复数Z的虚部为
【答案】AB
【详解】对于A，若Z为实数，则虚部为0，，.故A正确；
对于B，若Z为虚数，则虚部不为0，，，故B正确；
对于C，若Z为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，，则无满足条件的m，故C错误；
对于D，复数Z的虚部为，不带单位i，故D错误.
18．（25-26高一下·贵州贵阳·期中）已知复数．
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）由已知得：，解得：；
（2）复数在复平面内对应的点的坐标为 ，
则，解得：．
题型五 复数的几何意义（共4小题）
19．（25-26高一下·河北衡水·期中）已知复数，，在复平面内，对应的向量分别为，，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题得，，
所以，
其对应的复数为.
20．（多选）（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复平面内表示复数的点在虚轴上，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】复平面内的点在虚轴上，则实部为，即，
化简得，解得或或.
21．（多选）（25-26高一下·江苏无锡·期中）设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则的最大值为
【答案】ABD
【详解】对于A，，则，A正确；
对于B，，，
而，因此，B正确；
对于C，，由，得，C错误；
对于D，由，即，
得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
表示点与点的距离，该距离最大值为，D正确.
22．（2026·安徽·模拟预测）已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则________．
【答案】
【详解】由题意得，，则，则．
23．（25-26高一下·全国·单元测试）在复平面内，复数对应的点满足以下条件时，分别求实数的取值范围．
(1)在虚轴上；
(2)在第二象限；
(3)在的图象上
【答案】(1)或；(2)；(3)
【详解】（1）由复数对应的点在虚轴上，则，即，则或；
（2）由复数对应的点在第二象限，则，即，则；
（3）由复数对应的点在的图象上，则，即，则.
题型六 复数的模（共7小题）
24．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）已知复数，则（ ）
A． B．5 C．3 D．
【答案】A
【详解】由题设 .
25．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】依题意，， ，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
26．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）设是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则的最大值为3
【答案】AD
【详解】在A选项中，设，，
根据复数模的计算公式可得：，，
已知，则，
两边同时平方可得：，
又因为，
所以，A选项正确，
在B选项中，若取，，则，
，则满足，
但，，，B选项错误，
在C选项中，对两边同时平方可得：
，展开可得：
，
化简得：，即，
设，，则，
并不一定有，C选项错误，
在D选项中，说明对应复平面上单位圆，
表示单位圆上的点到点的距离，
原点到的距离为，因此最大距离为，D选项正确.
27．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则“为实数”是“为纯虚数”的（ ）
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】C
【详解】设复数，且满足，
则，化简即得，
又“为实数”等价于，“为纯虚数”等价于不为0，
若“为实数”可得，不能推出，
若“为纯虚数”则，且不为0，即得，
则“为实数”是“为纯虚数”的必要不充分条件.
28．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则“为实数”是“为纯虚数”的（ ）
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】C
【详解】设复数，且满足，
则，化简即得，
又“为实数”等价于，“为纯虚数”等价于不为0，
若“为实数”可得，不能推出，
若“为纯虚数”则，且不为0，即得，
则“为实数”是“为纯虚数”的必要不充分条件.
29．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）______．
【答案】
【详解】.
30．（2025高一·全国·专题练习）若对一切，复数的模不超过2，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】由，
可得，
因此，所以，
即，则，
所以.
故答案为：
题型七 与模有关的最值和轨迹问题（共5小题）
31．（25-26高一下·浙江·期中）若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（ ）
A．[4，6] B． C． D．
【答案】B
【详解】在复平面内，设对应的点为，
则表示到点的距离为，
表示动点到点的距离，
因为，
所以．
32．（25-26高一下·四川达州·期中）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，即复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆.已知复数，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设，，满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆，
因为，所以.
33．（多选）（25-26高一下·重庆·期中）若复数，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在复平面内所对应的点位于第四象限
C．若复数z满足，则的取值范围是
D．若复数（），则的最小值是
【答案】ABD
【详解】由，A对，
由的对应点为，位于第四象限，B对，
令，，则，即点到点的距离为1，
所以在以为圆心，1为半径的圆上，
所以表示圆上点到原点的距离，则，C错，
由（），则表示点到点和点的距离之和，
若关于轴的对称点为，又点在轴上，
所以的最短距离为，D对.
34．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）已知且，则的最大值是______________．
【答案】
【详解】由可知，复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆；
表示点到定点的距离；
因为；
所以的最大值为.
35．（25-26高一下·广东广州·期中）若满足，则的最大值是_______.
【答案】
【详解】表示到点的距离为3的点的集合，
由图可知，当动点为延长线与圆C的交点时，取得最大值
，因为的长度等于，所以的最大值是.
题型八 复数的运算（共7小题）
36．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复数满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【详解】解：，则．
37．（2025·山东菏泽·二模）已知复数，则（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【详解】因为；
故．
38．（25-26高一下·天津武清·阶段检测）已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由得，
所以的共轭复数，
所以的虚部为.
39．（多选）（2026·河南·模拟预测）已知复数，其中，且，设在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（ ）
A．的虚部为 B．点在第二象限
C．点在直线上 D．的最大值为
【答案】BC
【详解】，
选项A，的虚部是实数，不是 ，所以A错误.
选项B，对应点的坐标为 ，因为，所以 ， ，点在第二象限，B 正确.
选项C，点的坐标 ，满足，所以点在直线上，C正确.
选项D，，
当时，，D错误.
40．（多选）（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知复数，则以下说法正确的是（　　）
A．
B．的共轭复数
C．复数是方程的一个根
D．在复平面内与对应的点在第二象限
【答案】ABD
【详解】由，所以，故A正确；
的共轭复数，故B正确;
由，得，解得，
所以复数不是方程的一个根，故C错误；
在复平面内与对应的点为，在第二象限，故D正确.
41．（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知复数．
(1)求；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1），
所以．
（2）由，得，
即，
所以 ，解得，， 故．
42．（25-26高一下·广西河池·期中）已知复数满足．
(1)求复数；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求的值．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）已知，
，化简可得，
所以，解得，因此，复数；
（2）把代入方程中，得到，
整理得，
所以，解得，
所以．
题型九 在复数范围内届方程（共6小题）
43．（多选）（25-26高一下·河北石家庄·期中）若复数是方程的一个根，其中，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】因为复数是方程的一个根，
所以复数是方程的另一个根，
所以，且，
即，．
44．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________.
【答案】或
【详解】关于x的方程的两个根分别为，，
当时，即当时，方程有两个实数根分别为，，
有，
由
，显然满足，因此.
当时，即当时，方程有两个虚数根分别为，，
根据一元二次方程虚数根的特点，设，则，
由，
由，
由，显然满足，
综上所述：实数，或.
45．（25-26高一下·上海·期中）已知复数，复数满足方程，求：
(1)复数的值；
(2)求（是的共轭复数）的值；
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）复数，复数满足方程，
则，即，故，
则；
（2）由（1）得，则，
故.
46．（25-26高一下·吉林·期中）（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值；
（2）已知，求；
（3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值．
【答案】（1）；（2）；（3），
【详解】（1）由于为纯虚数，故
且，解得，
（2）,则，
（3）由于是关于的一元二次实系数方程的一个根，
故，即，
则，
因此且，解得，
47．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知复数，.
(1)若复数是纯虚数，求的值；
(2)若是关于的方程的一个根，求的值.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由题意可知：，
因为z是纯虚数，则，解得.
（2）因为是关于的方程的一个根，
则，整理得，
则，解得，，所以.
48．（25-26高一下·广东肇庆·期中）已知复数，．
(1)当z为纯虚数时，求m的值；
(2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）复数，其中实部为，虚部为，
由纯虚数的定义得： ，解得.
（2）当时， ，
z是关于x的方程的一个根，得：
，
由复数相等的充要条件得： ， 解得，
代入方程得.
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专题07 复数的概念及其运算
题型1 虚数单位及性质 题型5 复数的模（重点）
题型2 复数的概念 题型6 与模有关的最值和轨迹问题（难点）
题型3 复数相等 题型7 复数的运算（常考点）
题型4 复数的分类（易错点） 题型8 在复数范围内解方程（重点）
题型5 复数的几何意义
题型一 虚数单位及性质（共4小题）
1．（25-26高三上·湖北·阶段检测）（ ）
A．1 B． C． D．
2．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2025·陕西西安·一模）若复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C．-2 D．2
4．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则_______
题型二 复数的概念（共5小题）
5．（25-26高一下·四川绵阳·期中）已知复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高一下·海南海口·期中）复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）
A． B．2 C． D．
7．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部为
C．复数为实数的充要条件是
D．复数为纯虚数，则
8．（2026·广西桂林·二模）设的实部与虚部相等，其中为实数，则______.
9．（25-26高一下·河北保定·期中）欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（ ）
A． B． C． D．
题型三 复数相等（共4小题）
10．（25-26高一下·天津河北·期中）已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（ ）
A．1 B．1或-4 C． D．0或
11．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知复数，则__________.
12．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，则实数________，________．
13．（24-25高一下·广西百色·期末）已知，则______.
题型四 复数的分类（共5小题）
14．（24-25高一下·重庆·阶段检测）若为实数，是纯虚数，则复数为（ ）
A． B． C． D．
15．（25-26高一下·陕西宝鸡·期中）是虚数单位，，则是为实数的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既非充分也非必要
16．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部为
C．复数为实数的充要条件是
D．复数为纯虚数，则
17．（多选）（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若Z为实数，则 B．若Z为虚数，则
C．若Z为纯虚数，则 D．复数Z的虚部为
18．（25-26高一下·贵州贵阳·期中）已知复数．
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围．
题型五 复数的几何意义（共4小题）
19．（25-26高一下·河北衡水·期中）已知复数，，在复平面内，对应的向量分别为，，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
20．（多选）（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复平面内表示复数的点在虚轴上，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
21．（多选）（25-26高一下·江苏无锡·期中）设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则的最大值为
22．（2026·安徽·模拟预测）已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则________．
23．（25-26高一下·全国·单元测试）在复平面内，复数对应的点满足以下条件时，分别求实数的取值范围．
(1)在虚轴上；
(2)在第二象限；
(3)在的图象上
题型六 复数的模（共7小题）
24．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）已知复数，则（ ）
A． B．5 C．3 D．
25．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
26．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）设是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则的最大值为3
27．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则“为实数”是“为纯虚数”的（ ）
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
28．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则“为实数”是“为纯虚数”的（ ）
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
29．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）______．
30．（2025高一·全国·专题练习）若对一切，复数的模不超过2，则实数的取值范围为______.
题型七 与模有关的最值和轨迹问题（共5小题）
31．（25-26高一下·浙江·期中）若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（ ）
A．[4，6] B． C． D．
32．（25-26高一下·四川达州·期中）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，即复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆.已知复数，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
33．（多选）（25-26高一下·重庆·期中）若复数，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在复平面内所对应的点位于第四象限
C．若复数z满足，则的取值范围是
D．若复数（），则的最小值是
34．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）已知且，则的最大值是______________．
35．（25-26高一下·广东广州·期中）若满足，则的最大值是_______.
题型八 复数的运算（共7小题）
36．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复数满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
37．（2025·山东菏泽·二模）已知复数，则（ ）
A． B． C．3 D．5
38．（25-26高一下·天津武清·阶段检测）已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
39．（多选）（2026·河南·模拟预测）已知复数，其中，且，设在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（ ）
A．的虚部为 B．点在第二象限
C．点在直线上 D．的最大值为
40．（多选）（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知复数，则以下说法正确的是（　　）
A．
B．的共轭复数
C．复数是方程的一个根
D．在复平面内与对应的点在第二象限
41．（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知复数．
(1)求；
(2)若，求．
42．（25-26高一下·广西河池·期中）已知复数满足．
(1)求复数；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求的值．
题型九 在复数范围内届方程（共6小题）
43．（多选）（25-26高一下·河北石家庄·期中）若复数是方程的一个根，其中，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
44．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________.
45．（25-26高一下·上海·期中）已知复数，复数满足方程，求：
(1)复数的值；
(2)求（是的共轭复数）的值；
46．（25-26高一下·吉林·期中）（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值；
（2）已知，求；
（3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值．
47．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知复数，.
(1)若复数是纯虚数，求的值；
(2)若是关于的方程的一个根，求的值.
48．（25-26高一下·广东肇庆·期中）已知复数，．
(1)当z为纯虚数时，求m的值；
(2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
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