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专题09 立体几何中线面的判断与证明
题型1 空间线面位置关系命题的判断（易错点） 题型6 判断线面、面面垂直（重点）
题型2 异面直线的判定 题型7 证明线面、面面垂直（常考点）
题型3 判断线面、面面平行（易错点） 题型8 线面垂直、面面垂直的性质（重点）
题型4 证明线面、面面平行（常考点） 题型9 平行与垂直的综合应用（重点）
题型5 线面平行、面面平行的性质 题型10 平行与垂直的探索性问题（难点）
题型一 空间点线面位置关系命题的判断（共5小题）
1．（25-26高一下·河北石家庄·期中）若是异面直线，下列四个命题中正确的是（ ）
A．过不在上任一点，必可作直线与都平行
B．过不在上任一点，必可作直线与都相交
C．过不在上任一点，必可作平面与都平行
D．过可以并且只可以作一个平面与平行
【答案】D
【详解】如图，
，是异面直线，设不在，上的任意一点为．
假设过点可作直线，，则．这与已知，是异面直线相矛盾．所以假设不成立，即不存在过点的直线与，都平行．故A错误；
若点或（P不在直线上），则不能够作直线与，都相交，故B错误；
若点或，则不能够作平面与，都平行，故C错误；
在直线上取，点，过，分别作直线，与直线平行，，可确定平面，
即平行于，此时在平面上，故D正确．
2．（25-26高一下·重庆·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．分别在两个平面内的直线是平行直线或异面直线
B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交
C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
【答案】C
【详解】对于A，分别在两个平面内的直线可能平行，可能异面，也可能相交，故A错误；
对于B，一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条可能相交，也可能异面，故B错误；
对于C，直线与平面位置关系有三种：在平面内、相交、平行，过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行，故C正确；
对于D，和两条异面直线都相交的两条直线可能相交，也可能异面直线，故D错误.
3．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则，共面
B．若，则与有公共点
C．若与无公共点，且，则
D．若存在平面，使得，，，则
【答案】D
【详解】当与相交时，因为，，所以，异面，A错误；
当，时，因为，所以，此时与没有公共点，B错误；
若与无公共点，则，因为，如图，
但与不垂直，C错误；
因为存在平面，使得，，所以，
因为，，所以，，所以，D正确.
4．（多选）（25-26高一下·广东汕头·期中）设、是空间中的两条直线，、是空间中的两个平面，下列说法错误的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则与相交
C．若，，，则
D．若，，，则与没有公共点
【答案】ABC
【详解】对于A选项，，，则与无公共点，即与平行或异面，A错；
对于B选项，若，，则与共面，即与相交或平行，B错；
对于C选项，若，，，与无公共点，即与平行或异面，C错；
对于D选项，由C选项可知D对.
5．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）下列叙述错误的是（ ）
A．已知直线和平面，若有两个不同点，满足点，点且，则
B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C．如果直线，则平行于经过的任何平面
D．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
【答案】BCD
【详解】选项A：根据平面的基本事实，若一条直线上的两个不同点都在某平面内，则直线上所有点都在该平面内，故选项A的表述正确，故不选择选项A.
选项B：三条直线两两相交时，不一定确定一个平面，例如三条直线两两相交且交于同一点时，三条直线可能不共面（比如空间直角坐标系中交于原点的轴），此时可确定3个平面，无法确定一个平面，表述错误，故选择选项B.
选项C：因为直线，所以存在某平面同时经过直线和，则在该平面内，并非平行于该平面，表述错误，故选择选项C.
选项D：若两个平面的三个公共点共线，则两个平面可能相交，交线就是三个点所在的直线，不一定重合，表述错误，故选择选项D.
题型二 异面直线的判定（共4小题）
6．（25-26高一下·重庆渝北·期中）如图，，，，是正方体所在棱的中点，则与直线不是异面直线的是（ ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【详解】由图可知：直线、直线、直线均与直线异面，故ABD错误；
连接，

由题意可知：，，则，
可知四点共面，所以直线与直线不是异面直线，故C正确.
7．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．E、F、G、H四点共面 B．与是异面直线
C．、、三线共点 D．
【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点，
连接，
由是的中位线，得，
由，且，得四边形是平行四边形，
则，，因此四点共面，A正确；
对于B，因为平面，平面，，
所以与是异面直线，正确；
对于C，延长，相交于点，
由，平面，得平面，
由，平面，得平面，
而平面平面，则，三线共点，C正确；
对于D，由，且可知，四边形是梯形，则不平行，所以D不正确.
8．（25-26高一下·江苏·期中）在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（ ）
A．与平行
B．与异面
C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上
D．与的交点一定在直线上
【详解】连接、： 因为、分别为、的中点，由三角形中位线定理得：，且.
在中，，由平行线分线段成比例定理的逆定理得：，且.
判断与的位置关系： 由且，可知四边形为梯形，、为梯形两腰，必相交且共面，故A（平行）、B（异面）错误.
判断交点的位置： 设，因为平面，故平面；又平面，故平面. 平面与平面的交线为，根据公理3：两个不重合的平面若有公共点，则所有公共点都在它们的交线上，可得，即交点一定在直线上，故C错误，D正确.
9．（多选）（25-26高一下·广东广州·期中）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么以下说法正确的是（ ）
A．直线和直线是异面直线 B．直线和直线是异面直线
C．直线和直线是异面直线 D．直线和直线是异面直线
【答案】ABC
【详解】展开图还原为几何体后，如图:
直线和直线是异面直线，直线和直线是异面直线，直线和直线是异面直线，和平行，所以ABC正确，D错误.
题型三 判断线面、面面平行（共6小题）
10．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【详解】对于A，由 ，得直线与可能平行、也可能是异面直线，A错误；
对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误；
对于C，由线面平行的判定定理可知C错误；
对于D，过直线作平面，且，
因为，所以，
过直线作平面，且，
同理可得，
所以，
因为，（若，则与重合）
所以，
因为，且，
所以，，故D正确.

11．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知空间中两条不同的直线，两个不同的平面，以下可以得到的是（ ）
A． B．
C．直线上有两个不同的点到的距离相等 D．
【答案】D
【详解】对于选项A，当，，则可能在平面内，所以得不到，故选项A不正确.
对于选项B，，如果直线是平面和的交线，则直线在平面内，无法一定有，故B错误.
对于选项C，当直线与平面相交时，当直线上的两点分别在平面的两侧时也可以有这两点到平面的距离相等，故C错误.
对于选项D，当时，即平面和没有公共点，而，即直线与平面没有公共点，即，故D正确.
12．（25-26高一下·吉林·期中）在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则
【答案】C
【详解】对A：若，，，则与的位置关系为平行或异面，故A错误；
对B：若，，则或，故B错误；
对C：若，，，由线面平行的性质定理可得，故C正确；
对D：若，，则与的位置关系为平行或相交，故D错误.
13．（25-26高一下·广东惠州·期中）设是两条不同的直线，是三个不同的平面 则下列选项正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【详解】对于A，若，则或，故A错误；
对于B，根据平面平行的传递性可知，若，则，故B正确；
对于C，由，当相交时，可得，当时，可能相交，故C错误；
对于D，若，则或与异面，故D错误.
14．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：
(1)若与m为异面直线，，则；
(2)若，，则；
(3)若，，，，则．
其中真命题的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【详解】对于（1），如图，正方体中，与为异面直线，
平面，平面，
但是平面与平面不平行，（1）不正确；
对于（2），如图，正方体中，平面与平面平行，但是直线与直线不平行，（2）不正确；
对于（3），因为，，且，所以，同理可得，所以，（3）正确.
15．（25-26高一下·广东·期中）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，，则
C．若，，，且，，则
D．若，，，则
【答案】D
【详解】若，，，则，或直线m和直线n异面，或直线m和直线n相交，故A错误；
若，，，，则当直线m和直线n是两条相交直线时，
当时平面与平面可能相交，故B错误；
若，，，且，，
则当直线n在平面外，则，若此时直线m和直线n是两条相交直线，
则由面面平行判定定理可得，
当直线n在平面外且，则平面与平面相交，或，
当，则平面与平面相交，故C错误；
若，，，则由线面平行性质定理可得，故D正确.
题型四 证明线面、面面平行（共7小题）
16．（多选）（25-26高一下·山西·阶段检测）在正四棱台中，（ ）
A． B．平面
C．平面 D．平面平面
【答案】BC
【详解】对于A，显然，可知四点共面，而，故与相交，A错误；
对于B，由平面，平面平面，得平面，B正确；
对于C，由平面，平面平面，平面平面，得，由平面，平面知平面，C正确；
对于D，取的中点，中点，若平面平面，则平面，
但由知与相交，而平面，则与平面相交，矛盾，D错误．

17．（多选）（25-26高一下·广东珠海·期中）如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（ ）

A．直线平面 B．平面平面
C．三棱锥的体积为18 D．平面截正方体所得的截面是等腰梯形
【答案】ACD
【详解】对于A，取的中点，连接，，，

则四边形为平行四边形，
所以，又平面BMN，平面，
所以平面，
因为点，为，的中点，所以，又，所以，
由，平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故A正确；
对于B，由A可知，平面，
经过的平面有且仅有平面平面，
因为平面与平面不是一个平面，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，如图，连接，，由四边形为平行四边形得，
因为，所以，所以，，，四点共面，
所以平面BMN截正方体所得的截面是梯形，
由题意得，，所以梯形为等腰梯形，故D正确.

18．（多选）（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）在正方体中，分别是棱的中点，则（ ）
A．平面 B．
C．平面 D．平面平面
【答案】ABC
【详解】A选项，根据正方体的性质可知：平面平面，
由于平面，所以平面，A选项正确.
B选项，连接，根据正方体的性质可知，
所以四边形是平行四边形，所以,
因为分别是的中点，所以，
所以，所以B选项正确.
C选项，由于分别是的中点，所以，
由于平面,平面，
所以平面，C选项正确.
D选项，由于，，，
所以与相交，所以面与平面相交，D选项错误.
19．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点.
(1)求证：；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面平面，
所以.
（2）在四棱锥中，取的中点，连接，
由是的中点，得，由（1）知，而，
因此，四边形是平行四边形，则，
而平面，平面，所以平面.
20．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）如图：
连接，交于，连接，
由于分别是的中点，所以，
由于平面，平面，
所以平面.
（2）连接，由于，所以，
由于平面，平面，
所以平面.
由于平面,平面，
所以平面平面，
由于平面，所以平面.
21．（25-26高一下·吉林·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面；
(3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析．
【详解】（1）证明：平面，且平面；
又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，；
（2）
证明：取PA的中点G，连接EG，BG；
因为E，G，为PD，PA中点，所以，且；
又因为，，所以，且；
所以为平行四边形；所以；
又因为平面，平面，
所以平面；
（3）
在上存在的中点使得平面平面，证明如下：
取的中点，连接CF，EF；
因为E，F，为PD，AD中点，所以；
又因为平面，平面，
所以平面；
又因为平面，且，平面；
所以平面平面；
在上存在点使得平面平面．
22．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且.
(1)求证：平面；
(2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，
【详解】（1）法一：连接，在正方体中，分别是中点，
且，则四边形是平行四边形，
∴，平面平面，所以平面，
法二：连接分别交于点，连接，
如图在正方体中，且，
所以，则，同理得，
所以，则，而平面平面，
所以平面；
（2）存在，且，理由如下：
因为，所以，
，而
，
由平面平面，
所以平面，
法一：取中点P，连接，如图
，是中点，
是的中位线，则，
∵F为中点，则且，
∴四边形是平行四边形，
，
综上，，平面平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
法二：延长交于，延长交于，连接，如图：
为中点，易得，
，
分别为的中点，易得，
，又，即，
∴四边形为平行四边形，
平面平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
所以时，平面平面.
题型五 线面平行、面面平行的性质（共8小题）
23．（25-26高一下·黑龙江·期中）如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】因为，直线与分别交于点和点，
过点作直线，使得，交于点，所以，
所以，故.
24．（25-26高一下·河南濮阳·期中）三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，连接，设，连接.
因为平面，平面平面，平面， 所以.
在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即.
所以与相似， 则，又在中，由可得.
所以，即.
25．（25-26高一下·福建厦门·期中）在三棱柱中，点M，E分别是棱的中点，点满足，点为棱上的动点，若平面CDE，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图所示，在平面内，作，与交于，连接,则,所以，共面，因为平面CDE，平面平面CDE,由线面平行的性质定理得,所以四边形是平行四边形，所以，
设，，因为，所以，则，因为E是棱的中点，所以，
因为是梯形的中位线，所以，所以，所以，所以.
26．（多选）（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）如图，平面α∥平面β，A，C是平面α内不同的两点，B，D是平面β内不同的两点，E，F分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．当AB，CD共面时，AC∥BD
B．当AB∥CD时，
C．当AB=2CD时，E，F两点不可能重合
D．当，CD是异面直线时，EF∥α
【答案】ABD
【详解】若AB，CD共面，由平面α∥平面β，平面平面，平面平面，得，故A正确；
若AB∥CD，则共面，
由A选项可知，，故四边形为平行四边形，故，故B正确；
假设E，F两点重合，则共面，
由E，F分别是线段AB，CD的中点，得与全等，
则，显然其值可以为，故假设不成立，
故当AB=2CD时，E，F两点可能重合，故C错误；
过点作交平面于点，取线段的中点，连接，
由B选项可知，在平行四边形中，在中，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得，平面，
因为平面，所以平面平面，
因为平面α∥平面β，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故D正确.
27．（多选）（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱，的中点，动点P在线段上，动点Q在正方形内（包含边界），平面，则（ ）
A． B．PQ的最大值为
C．存在P，Q，使得平面 D．
【答案】BCD
【详解】
如图，连接，，，．
因为，平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面；
因为，且平面，
所以平面平面；
因为平面，平面，所以平面；
又平面平面，所以点在线段上，
故与不一定平行，A错误．
由A可知，当与或重合时，取最大值为，B正确；
当点与点重合，点与点重合时，平面，C正确；
因为，平面，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，
，D正确．
28．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为．
(1)求证：平面平面PAD；
(2)求证：；
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形，
所以，
又平面平面，
则平面，
同理平面平面，
可得平面，
又平面，
所以平面平面．
（2）因为底面ABCD为平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以．
29．（25-26高一下·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点.
(1)证明：平面；
(2)过点作平面平面交于点，交于点.
①证明：；
②求的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②
【详解】（1）连交于，因为底面为平行四边形，
所以为的中点，而为的中点，所以，
又平面平面；
所以平面；
（2）①因为平面平面，平面平面，平面平面，
由面面平行的性质定理可得；
②当为的三等分点且时，有平面平面，下面证明：
因为为上的点，且，所以在中，，所以，
由(1)知平面，因为不在平面内，所以平面，
由①可知，因为不在平面内，平面，所以平面，
因为，所以平面平面，所以.
30．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为．
(1)证明面；
(2)当平面时，面与交于，求的值；
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1），平面，
平面，面，
面，面面，，
面，面，面.
（2）如下图所示，连接交于点，连接，作交于，
设，平面，平面，
平面平面，，
在梯形中，，，
，，，即，
可得
，故.
题型六 判断线面垂直、面面垂直（共5小题）
31．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，，，
【答案】C
【详解】对于A：由，，则，两个平面相交于一条直线，而不是一个点，故A错误；
对于B：由，，则可能有，或，故B错误；
对于C：由，，，则，故C正确；
对于D：由，，，，则可能有，或，或，故D错误．
故选：C
32．（25-26高一下·福建福州·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】对于A，由，可得可能平行，相交或异面，故A错误；
对于B，由可得或，故B错误；
对于C，由，可得，又，则有，故C正确；
对于D，当是平面内两条互相垂直的直线，且时，满足，，但，故D错误.
33．（25-26高一下·天津蓟州·期中）设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，则
【答案】C
【详解】对于A，若，，则与可能会相交或平行，故A错误；
对于B，若，则可能会平行、相交或异面，故B错误；
对于C，若，且，根据线面垂直的性质可知，故C正确；
对于D，若，则与可能会相交或平行，故D错误.
34．（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，， 则
C．若，， 则 D．若，， 则
【答案】D
【详解】对A，若，，可能相交、平行、异面，故A错误；
对B，若，，则或， 故B错误；
对C，若，，可能直线与平面斜交，也可能在平面内，故C错误；
对D，若，根据线面平行的性质，可知内必有一直线与平行，由知，内这一直线与垂直，
由面面垂直的判定定理知，故D正确.
故选：D
35．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】选项A：若，则或与相交，故A选项不正确；
选项B：若，根据面面垂直的判定，则，故B选项正确；
选项C：若，则或与相交且不垂直或两平面平行，故C选项不正确；
选项D：若，则或，故D选项不正确；
故选：B.
题型七 证明线面、面面垂直（共8小题）
36．（多选）（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】ABD
【详解】因为平面，平面，所以平面平面，故A项正确;
因为平面，平面，所以，
因为四边形为矩形，所以，因为，平面，
所以平面，因为平面，所以平面平面，
同理可证得平面平面，故B项正确，
对于C，若平面平面，由B选项分析知平面平面，
所以平面平面平面，显然不垂直平面，所以C错误;
因为平面，平面，所以，因为四边形为矩形，
所以，因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，故D项正确.
37．（25-26高二上·北京·期中）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（ ）．

A．平面 B．平面平面
C．平面 D．平面平面
【答案】C
【详解】对于A选项，因为为圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面，A对；
对于B选项，因为平面，平面，所以平面平面，B对；
对于C选项，因为平面，平面，所以，
又因为，，、平面，所以平面，
因为过点作平面的垂线有且只有一条，故与平面不垂直， C错；
对于D选项，因为平面，平面，所以平面平面，D对.
故选：C.
38．（25-26高一下·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（ ）
①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】D
【详解】对于①，因为，所以.
因为，所以，又，
所以，即.
因为平面平面，平面平面，，
所以平面.
若平面平面，由于平面平面，
过点作，则平面，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾，所以①错误；
对于②，由于，若，因为，平面，
所以平面，又平面，所以，这与矛盾，所以②错误；
对于③，因为平面，平面，所以.
又因为是等腰三角形，，所以.
因为平面，所以平面平面，所以③ 正确；
对于④，由③可知平面，则为二面角的平面角，
设，则，由，
得，得，所以④正确.
39．（多选）（25-26高三下·河南·阶段检测）已知三棱台的上、下底面相似比为1:2.在中，，侧棱，且与下底面所成的角为60°.则（）．
A．直线与直线相互垂直 B．直线与直线相互垂直
C．侧面与底面相互垂直 D．侧面与侧面相互垂直
【答案】ABD
【详解】将直线与以及延长交于点，由上下底面相似比为.
所以，，分别为，，的中点.
因为，所以.
在中，由，可得,
取的中点，连接与，
且.
在等腰三角形中，且.
因为，所以平面，平面.
所以平面平面，两平面的交线为.
过点作于点，则平面，所以或120°（舍）.
在中，由余弦定理得到.
所以，解得，此时.
所以，又，且.
所以平面，故且，即与以及两两垂直．
由平面得到，即直线直线，A正确；
由且，故平面.
因为平面，所以，即直线直线，故B正确；
侧面所在平面即平面，二面角的平面角为.
在直角中，，所以.
即二面角的平面角为，侧面与底面不垂直，C错误；
侧面与所在平面即平面与平面.
由平面且平面，得到两平面相互垂直，故D正确．
40．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点．
(1)证明：平面PAC；
(2)证明：平面平面PBC．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点，
又因为点D为BC的中点，所以，
因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC；
（2）因为点C在底面圆周上，所以，
又因为点D为BC的中点，所以，
因为AB为底面直径，所以，
又因为，所以，
而，PD，平面POD，所以平面POD，
因为平面PBC，所以平面平面PBC．
41．（25-26高一下·广西柳州·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)8
【详解】（1）连接，交于，连接.
直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点.
因为点是的中点，所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以.
在中，，，，则，所以.
因为，平面，，
所以平面.
（3）过点作.
在中，，即.
直三棱柱中，平面，因为，平面，所以，，
因为，平面，，所以平面，
则即为点到平面，也即平面的距离.
又，
.
故三棱锥的体积为8.
42．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）因为底面为菱形，，
所以是等边三角形，
又因为是的中点，所以，
又因为，所以.
因为，为中点，所以，
又因为，所以，
又因为，平面，
所以平面.
（2）经计算，，又，
所以，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
所以是四棱锥的高，
所以.
43．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，.
(1)证明：；
(2)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面平面.
又为正三角形，为中点，所以，
又平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）因为，，分别为的中点，
所以，，所以，
所以，所以，
由（1）可得，平面，，所以平面.
又平面，所以平面平面.
题型八 线面、面面垂直的性质（共8小题）
44．（多选）（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）如图，三棱柱中，为正三角形，侧棱垂直于底面，为中点，则下列说法正确的是（ ）
A．与不垂直 B．平面
C．平面 D．
【答案】ABC
【详解】对于A，为正三角形，为中点，所以，
假设，又，平面，
所以平面，又平面，所以
因为三棱柱中，侧棱垂直于底面，即平面，
又平面，所以，
因为在中，不能同时成立，故矛盾，假设不成立，
所以与不垂直，A选项正确；
对于B选项，因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，B选项正确；
对于C，由,平面,平面,所以平面，C选项正确；
对于D，在直三棱柱中，，若，则，显然不成立，
故假设错误，即与不平行，D选项错误.
故选：ABC
45．（19-20高一·全国·课后作业）在矩形中，，，平面，且，E为上一点，，则的长为______________．
【答案】
【详解】连接，因为平面，平面，
所以，又，，
所以平面，又平面，则，
由矩形可知.
因为，
所以,解得，
则，
故答案为：.
46．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________．
【答案】
【详解】平面，平面，
，又，
．
，是的中点，
，，平面，
平面．
，，
．
，，平面，
平面．
．
47．（2027高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点在上，记，若平面，则实数________．
【答案】1
【详解】由题意可得，，，，平面，
所以平面.
又平面，
所以，作交于点（如图），
连接，，此时平面，
在矩形中，，所以四边形是正方形，
所以，.
又为的中点，所以为的中点，，
因为，所以．
故答案为：1．
48．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：；
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）连接，交于，连接．
直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点．
因为点是的中点，所以．
又平面，平面，所以平面．
（2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以．
在中，，，，则，所以．
因为，平面，，
所以平面，所以．
49．（25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证：
【答案】证明见解析
【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形，
又因为，所以四边形为菱形，所以，，
所以在图2中，，，又平面，所以平面，
因为平面，所以，
又在四边形中，，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以；
50．（25-26高一下·福建南平·期中）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，
(1)求证：；
(2)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）由正方形，得，又平面，平面，
则平面，而平面，平面平面，
所以.
（2）由正方形，得，而平面平面，
平面平面，平面，则平面，
由（1）知，所以平面.
51．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.求证：平面；
【答案】证明见解析
【详解】在矩形中，，且是的中点，
，故，
又，则，即，
如图，记，连接，
因是矩形，故是的中点，又，所以，
又平面平面，平面平面平面，故平面，
又平面，所以，
又平面，所以平面.
题型九 平行与垂直的综合问题（共5小题）
52．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，在正方体中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，平面 交棱于点G，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与直线异面 B．平面平面
C．截面是梯形 D．直线平面
【答案】C
【详解】对于选项A：因为点E，F分别为棱AB，BC的中点，则，
又因为，且，可知四边形为平行四边形，则，
可得，可知四点共面，
所以直线与直线不是异面直线，故A错误；
对于选项B：因为，且，可知四边形为平行四边形，则，
且平面，平面，可得平面，
同理可得：，，
且平面，平面，可得平面，
且，平面，可得平面平面，
又因为平面平面，所以平面与平面不平行，故B错误；
对于选项C：因为平面平面，平面平面，平面平面，
则，且，则，
又因为为的中点，则为的中点，可得，
且，可得，所以截面是梯形，故C正确；
对于选项D：由选项C可知平面即为平面，
显然直线与不垂直，所以直线与平面不垂直，故D错误.
53．（24-25高一·全国·寒假作业）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点.
(1)求证：平面PAB；
(2)若，求证：平面平面ABCD；
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）在四棱锥中，取PA中点，连接EF、BF，
由是PD的中点，得，
又因为，所以，
所以四边形EFBC是平行四边形，所以，又平面平面PAB，
所以平面PAB.
（2）在等腰梯形ABCD中，，过点作交AD于点，
由，得，
在中，由余弦定理得，
则，所以，
又，平面PBD，
因此平面，而平面ABCD，
所以平面平面ABCD.
54．（25-26高一下·重庆·期中）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上.
(1)求证：平面平面；
(2)在直线上找一点，使得平面，并求的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）四边形是直角梯形，，
，
又平面平面，
，且平面平面，
又平面平面平面；
（2）连接交于，过作交于，连接，.
由平面平面，得平面可得，
又，直角中，，所以.
55．（25-26高一下·北京·期中）已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面．
(1)证明：平面平面；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【详解】（1）因为、、分别是、、的中点，所以，，
又因为底面为矩形，所以，所以，
又平面，平面，所以平面．
又因为平面，平面，所以平面．
因为，、平面，所以平面平面．
（2）因为底面为矩形，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
因为平面，平面平面，所以．
（3）因为四边形为矩形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，故.
56．（25-26高一下·天津南开·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．

(1)若为中点，求证：平面；
(2)若，求证；
(3)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
【详解】（1）连接交于点，连接，
因为是正方形，所以为中点，
所以在中，为中位线，，
又平面，平面，平面；

（2）取的中点，连接，
因为为正三角形，所以，
又，则，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以；
（3）取的中点，因为为中点，
所以在中，为中位线，所以，，
所以为异面直线与所成角（或其补角），
在中，，，，
由余弦定理可得，
又，所以为锐角，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
题型十 平行于垂直的探索性问题（共4小题）
57．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面.
【答案】的中点
【详解】如图，连接，则，
因为平面，又平面，所以.
又，平面.
所以平面，又平面，所以.
于是若平面，平面，则，
平面，又平面，所以.
又，平面，所以平面，
平面，所以，所以，，
所以，
因为是正方形，是的中点，
所以当且仅当是的中点时，，
即当点是的中点时，平面.
58．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)若是的中点.试探究为何值时，直线平面？并给出你的证明.
【答案】(1)证明见解析；(2)当时，直线平面.
【详解】（1）由三棱柱的性质可得：，
平面，平面，
所以平面.
（2）
当时，直线平面，证明如下：
过点作交于点，连接，所以，
因为是的中点，所以为的中点，是的中点，
所以在中，，平面，平面，
所以平面，同理平面，，
平面，所以平面平面，
又平面，所以直线平面.
即当时，直线平面.
59．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，
【详解】（1）因为为中点，，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
（2）在直角三角形中，
∵，∴，∴．
又三角形的面积
由（1）知，平面，
所以三棱锥的高为．
所以.
（3）过点作交于点，则；
过点作交于点，连接，则；如下图所示：

因为平面，平面，
所以平面．
又因为，平面，平面，
所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面平面．
因为平面，所以平面．
所以在上存在点，使得平面，且．
60．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点.
(1)求证: 平面;
(2)若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面 若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由；
(3)若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在为线段中点，证明见解析；(3)作图见解析，截面周长为.
【详解】（1）取线段的中点，连接，
因为分别为线段的中点，
所以，且，
又，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）当为线段中点时，平面，
证明：取线段中点，连接
因为分别为线段的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
因为，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
又面，
则面面，又面，
所以面，
所以当为线段中点时，平面；
（3）取线段的中点，连接，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又分别为线段的中点，
所以，
所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，
则，，，
在中，，，
所以，
则，
所以截面周长为.
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专题09 立体几何中线面的判断与证明
题型1 空间线面位置关系命题的判断（易错点） 题型6 判断线面、面面垂直（重点）
题型2 异面直线的判定 题型7 证明线面、面面垂直（常考点）
题型3 判断线面、面面平行（易错点） 题型8 线面垂直、面面垂直的性质（重点）
题型4 证明线面、面面平行（常考点） 题型9 平行与垂直的综合应用（重点）
题型5 线面平行、面面平行的性质 题型10 平行与垂直的探索性问题（难点）
题型一 空间点线面位置关系命题的判断（共5小题）
1．（25-26高一下·河北石家庄·期中）若是异面直线，下列四个命题中正确的是（ ）
A．过不在上任一点，必可作直线与都平行
B．过不在上任一点，必可作直线与都相交
C．过不在上任一点，必可作平面与都平行
D．过可以并且只可以作一个平面与平行
2．（25-26高一下·重庆·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．分别在两个平面内的直线是平行直线或异面直线
B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交
C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
3．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则，共面
B．若，则与有公共点
C．若与无公共点，且，则
D．若存在平面，使得，，，则
4．（多选）（25-26高一下·广东汕头·期中）设、是空间中的两条直线，、是空间中的两个平面，下列说法错误的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则与相交
C．若，，，则
D．若，，，则与没有公共点
5．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）下列叙述错误的是（ ）
A．已知直线和平面，若有两个不同点，满足点，点且，则
B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C．如果直线，则平行于经过的任何平面
D．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
题型二 异面直线的判定（共4小题）
6．（25-26高一下·重庆渝北·期中）如图，，，，是正方体所在棱的中点，则与直线不是异面直线的是（ ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
7．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．E、F、G、H四点共面 B．与是异面直线
C．、、三线共点 D．
8．（25-26高一下·江苏·期中）在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（ ）
A．与平行
B．与异面
C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上
D．与的交点一定在直线上
9．（多选）（25-26高一下·广东广州·期中）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么以下说法正确的是（ ）
A．直线和直线是异面直线 B．直线和直线是异面直线
C．直线和直线是异面直线 D．直线和直线是异面直线
题型三 判断线面、面面平行（共6小题）
10．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知空间中两条不同的直线，两个不同的平面，以下可以得到的是（ ）
A． B．
C．直线上有两个不同的点到的距离相等 D．
12．（25-26高一下·吉林·期中）在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则
13．（25-26高一下·广东惠州·期中）设是两条不同的直线，是三个不同的平面 则下列选项正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
14．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：
(1)若与m为异面直线，，则；
(2)若，，则；
(3)若，，，，则．
其中真命题的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
15．（25-26高一下·广东·期中）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，，则
C．若，，，且，，则
D．若，，，则
题型四 证明线面、面面平行（共7小题）
16．（多选）（25-26高一下·山西·阶段检测）在正四棱台中，（ ）
A． B．平面
C．平面 D．平面平面
17．（多选）（25-26高一下·广东珠海·期中）如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（ ）

A．直线平面 B．平面平面
C．三棱锥的体积为18 D．平面截正方体所得的截面是等腰梯形
18．（多选）（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）在正方体中，分别是棱的中点，则（ ）
A．平面 B．
C．平面 D．平面平面
19．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点.
(1)求证：；
(2)求证：平面.
20．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面.
21．（25-26高一下·吉林·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面；
(3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由．
22．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且.
(1)求证：平面；
(2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
题型五 线面平行、面面平行的性质（共8小题）
23．（25-26高一下·黑龙江·期中）如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
24．（25-26高一下·河南濮阳·期中）三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
25．（25-26高一下·福建厦门·期中）在三棱柱中，点M，E分别是棱的中点，点满足，点为棱上的动点，若平面CDE，则（ ）
A． B． C． D．
26．（多选）（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）如图，平面α∥平面β，A，C是平面α内不同的两点，B，D是平面β内不同的两点，E，F分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．当AB，CD共面时，AC∥BD
B．当AB∥CD时，
C．当AB=2CD时，E，F两点不可能重合
D．当，CD是异面直线时，EF∥α
27．（多选）（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱，的中点，动点P在线段上，动点Q在正方形内（包含边界），平面，则（ ）
A． B．PQ的最大值为
C．存在P，Q，使得平面 D．
28．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为．
(1)求证：平面平面PAD；
(2)求证：；
29．（25-26高一下·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点.
(1)证明：平面；
(2)过点作平面平面交于点，交于点.
①证明：；
②求的值.
30．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为．
(1)证明面；
(2)当平面时，面与交于，求的值；
题型六 判断线面垂直、面面垂直（共5小题）
31．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，，，
32．（25-26高一下·福建福州·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
33．（25-26高一下·天津蓟州·期中）设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，则
34．（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，， 则
C．若，， 则 D．若，， 则
35．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
题型七 证明线面、面面垂直（共8小题）
36．（多选）（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
37．（25-26高二上·北京·期中）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（ ）．

A．平面 B．平面平面
C．平面 D．平面平面
38．（25-26高一下·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（ ）
①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
39．（多选）（25-26高三下·河南·阶段检测）已知三棱台的上、下底面相似比为1:2.在中，，侧棱，且与下底面所成的角为60°.则（）．
A．直线与直线相互垂直 B．直线与直线相互垂直
C．侧面与底面相互垂直 D．侧面与侧面相互垂直
40．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点．
(1)证明：平面PAC；
(2)证明：平面平面PBC．
41．（25-26高一下·广西柳州·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求三棱锥的体积.
42．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求四棱锥的体积.
43．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，.
(1)证明：；
(2)证明：平面平面；
题型八 线面、面面垂直的性质（共8小题）
44．（多选）（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）如图，三棱柱中，为正三角形，侧棱垂直于底面，为中点，则下列说法正确的是（ ）
A．与不垂直 B．平面
C．平面 D．
45．（19-20高一·全国·课后作业）在矩形中，，，平面，且，E为上一点，，则的长为______________．
46．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________．
47．（2027高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点在上，记，若平面，则实数________．
48．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：；
49．（25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证：
50．（25-26高一下·福建南平·期中）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，
(1)求证：；
(2)求证：平面；
51．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.求证：平面；
题型九 平行与垂直的综合问题（共5小题）
52．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，在正方体中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，平面 交棱于点G，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与直线异面 B．平面平面
C．截面是梯形 D．直线平面
53．（24-25高一·全国·寒假作业）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点.
(1)求证：平面PAB；
(2)若，求证：平面平面ABCD；
54．（25-26高一下·重庆·期中）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上.
(1)求证：平面平面；
(2)在直线上找一点，使得平面，并求的长.
55．（25-26高一下·北京·期中）已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面．
(1)证明：平面平面；
(2)求证：；
(3)求证：．
56．（25-26高一下·天津南开·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．

(1)若为中点，求证：平面；
(2)若，求证；
(3)求异面直线与所成角的余弦值．
题型十 平行于垂直的探索性问题（共4小题）
57．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面.
58．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)若是的中点.试探究为何值时，直线平面？并给出你的证明.
59．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
60．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点.
(1)求证: 平面;
(2)若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面 若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由；
(3)若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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