资源简介

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专题11 球的切、接问题
题型1 墙角模型（还原长方体） 题型6 切瓜模型（两个平面垂直）（重点）
题型2 对棱相等模型（还原长方体） 题型7 直角三角形拼接模型
题型3 斗笠模型（正椎体） 题型8 折叠模型
题型4 垂面模型（一条侧棱垂直底面）（常考点） 题型9 利用异面直线公垂线找外接球球心
题型5 汉堡模型（还原为直棱柱）（重点） 题型10 几何体内切球问题（难点）
题型一 墙角模型（还原长方体）（共4小题）
1．（25-26高三上·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（ ）
A．50 B．100 C．150 D．200
2．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知四面体中，，，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·广东肇庆·二模）在三棱锥中，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的体积为______；三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______．
题型二 对棱相等模型（还原长方体）（共3小题）
5．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高二上·广东肇庆·期中）已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________．
题型三 斗笠模型（正椎体）（共2小题）
8．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三·全国·专题练习）在正三棱锥中，，E为侧棱的中点，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______．
题型四 垂面模型（一条侧棱垂直底面）（共4小题）
10．（25-26高三上·天津和平·期中）古代数学名著《九章算术 商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高一下·云南楚雄·阶段检测）三棱锥中，，，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______.
13．（25-26高二上·湖北孝感·月考）如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为______．

题型五 汉堡模型（还原为直棱柱）（共3小题）
14．（25-26高二上·云南大理·期末）在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
15．（25-26高二上·山东东营·期末）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____

16．（25-26高三·全国·一轮复习）已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为________．
题型六 切瓜模型（两个平面垂直）（共6小题）
17．（24-25高一下·福建莆田·期末）已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
18．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．84π B．88π C．92π D．96π
19．（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，点 P 在底面的射影在直线上，则当球O的体积最小时，点 P 到底面距离的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
20．（2026·广西南宁·二模）在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
21．（2026·河北唐山·模拟预测）四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·河北·模拟预测）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（ ）
A．或 B．或 C． D．
题型七 直角三角形拼接模型（共5小题）
23．（25-26高二上·广东·期末）如图所示，四边形为正方形，将绕翻折得到三棱锥，且，若三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
24．（24-25高一下·湖北武汉·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球体积为（ ）

A． B． C． D．
25．（25-26高一下·贵州毕节·期中）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______．
26．（2026·内蒙古赤峰·一模）如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________．
27．（2026·河南·模拟预测）在长方体中，M为的中点，N为的中点，，，，则四面体的外接球的半径为________.
题型八 折叠模型（共3小题）
28．（24-25高二下·广东广州·期末）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为120°，连接，得到三棱锥，则此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为（ ）
A． B． C． D．
29．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________．
30．（2025·福建福州·模拟预测）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型九 利用异面直线公垂线找外接球球心（共1小题）
31．（25-26高一下·四川眉山·期中）在四面体中，若，则四面体外接球的表面积为______
题型十 几何体内切球问题（共7小题）
32．（2025·陕西汉中·模拟预测）在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（ ）
A． B． C． D．
33．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，，为的中点.将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
34．（24-25高一下·浙江宁波·期末）一个棱长为6的正方体纸盒内有一个正四面体，若正四面体可以在纸盒内任意转动，则正四面体体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
35．（24-25高一下·江苏南京·阶段检测）数学中有许多形状优美 寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为2，则该勒洛四面体内切球的半径是（ ）
A． B． C． D．
36．（2026高一·全国·专题练习）已知某正三棱锥的底面边长为，侧面与底面所成二面角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球.球与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为______.
37．（25-26高三上·重庆·阶段检测）如图，已知圆锥PO，用平行于底面的截面，将圆锥PO分切成小圆锥和圆台，此时圆锥的顶点P和圆上所有点均在球上，圆台存在和上下底面及侧面均相切的球，若球和的半径均为，则圆锥和圆台的高之比为______．

38．（2026·浙江·二模）如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______．
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专题11 球的切、接问题
题型1 墙角模型（还原长方体） 题型6 切瓜模型（两个平面垂直）（重点）
题型2 对棱相等模型（还原长方体） 题型7 直角三角形拼接模型
题型3 斗笠模型（正椎体） 题型8 折叠模型
题型4 垂面模型（一条侧棱垂直底面）（常考点） 题型9 利用异面直线公垂线找外接球球心
题型5 汉堡模型（还原为直棱柱）（重点） 题型10 几何体内切球问题（难点）
题型一 墙角模型（还原长方体）（共4小题）
1．（25-26高三上·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（ ）
A．50 B．100 C．150 D．200
【答案】A
【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，
所以外接球的直径为，
所以外接球的表面积为，
故选：A.
2．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知四面体中，，，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设到平面的距离为，
则，
又，所以当平面时四面体的体积最大，
在中，由余弦定理得，
则，所以，
当四面体的体积最大时，可以将四面体补成如图所示的长方体，
故此时四面体外接球的半径，
四面体外接球的表面积．
故选：C．
3．（2026·广东肇庆·二模）在三棱锥中，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】取的中点，连接，
因为，
所以，
所以就是平面与平面的夹角，
设，则，则，
即，解得，
所以，即，
同理，，将三棱锥放置在如图的正方体中，
由正方体的外接球的直径为正方体的对角线长知，
三棱锥外接球的直径，
所以三棱锥外接球的表面积．
故选：B．
4．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的体积为______；三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______．
【答案】
【详解】因为平面，所以为三棱锥的高，
又，，
所以三棱锥的体积为；
由平面，平面，平面，则，，又，则，即两两垂直，
所以三棱锥的外接球，也是以的长为三条相邻棱长的长方体外接球，
所以外接球半径为，
故外接球O的表面积为.
题型二 对棱相等模型（还原长方体）（共3小题）
5．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】将三棱锥补成长方体，如图，
设长方体的长、宽、高分别为，
由于三棱锥的棱长满足，，，
根据长方体面对角线的性质，可得，即，
所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以，
所以外接球的表面积.
故选：A
6．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知：，，，
则三棱锥可放置在如图所示的长方体中，
设三棱锥三组对棱的长分别为，，，
由对棱相等模型，，，，
即，所以长方体的体对角线平方为：，
即体对角线长为，则，
该三棱锥外接球的体积.
故选：B.
7．（25-26高二上·广东肇庆·期中）已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________．
【答案】
【详解】在中，，
故，即，
则折成的三棱锥中，，，，
即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，如下图，
设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则，解得，

此长方体的外接球是三棱锥的外接球，
设外接球的直径，即，
所以.
题型三 斗笠模型（正椎体）（共2小题）
8．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心，
取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.

由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则.
因为，所以，
所以，.
设外接球的半径为，则，，
又，，
所以，解得.
故正三棱锥外接球的表面积.
故选：C.
9．（2025高三·全国·专题练习）在正三棱锥中，，E为侧棱的中点，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______．
【答案】
【详解】如图，取的中点，连接，则，作面于，作面于．
因为为正三棱锥， 且，
所以为的中心，在线段上，
因为E为侧棱的中点，
所以，所以为的中点，且，
因此，
连接，由正三棱锥的性质可得，
因为D为AB中点，所以．
又，所以为二面角的平面角，即，
所以，则，
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则点在上，
连接，在中，由勾股定理得，
则，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
题型四 垂面模型（一条侧棱垂直底面）（共4小题）
10．（25-26高三上·天津和平·期中）古代数学名著《九章算术 商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由于平面，平面，所以，
由于四边形是矩形，所以，
所以两两相互垂直，
所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为，
所以四棱锥的外接球的直径，即，
所以四棱锥的外接球的体积.
11．（23-24高一下·云南楚雄·阶段检测）三棱锥中，，，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如图，因，，
在中，由，可得.
在中，.在中,由，可得.
因,且平面，则平面.
取的中点分别为，连接，则，故可得平面.
在中，为的中点，则，
在中，,则,
即，即点为三棱锥的外接球的球心，且外接球的半径为1，
所以外接球的表面积为.
故选:A.
12．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______.
【答案】52π
【详解】由题，折叠后可得，又平面，
则易得平面.
设为外接圆圆心，过做平面垂线，
则垂线上所有点到顶点距离相等.又垂线与平行，从而垂线与共面，
过A做垂线的垂线，垂足为，则易得四边形为矩形.
取中点为，则，从而为三棱锥外接球球心.
易得，由正弦定理可得，
则外接球半径满足.
则外接球的表面积为.
13．（25-26高二上·湖北孝感·月考）如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为______．

【答案】
【详解】三棱锥的部分平面展开图如图所示：

设，由题意得：，，
在中，由余弦定理得：，
即，即，
解得或（舍去），如图所示：

该棱锥的外接球即为长方体的外接球，
则外接球的半径为：，
所以该棱锥的外接球的表面积为.
题型五 汉堡模型（还原为直棱柱）（共3小题）
14．（25-26高二上·云南大理·期末）在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设三棱柱外接球的球心为， 分别为和的外心，则.
由对称性可知为的中点，所以到上、下底面的距离.
设外接圆的半径为，则由正弦定理可知，所以.
由球的性质可知球的半径，
所以该三棱柱外接球的体积.
故选：B
15．（25-26高二上·山东东营·期末）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____

【答案】
【详解】因为在直三棱柱中，，，，
所以，即为直角三角形，斜边分别为，
取的中点，连接，取的中点，
则为直三棱柱外接球球心，
因为直三棱柱外接球的表面积为，
所以直三棱柱外接球的半径为
所以，
所以，
所以四面体的体积为

16．（25-26高三·全国·一轮复习）已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为________．
【答案】
【详解】由，点均在球的表面上，
得四边形内接于圆，则，即，
由平面，平面，得，
又平面，则平面，
而平面，则，又，
因此二面角的平面角为，即，
在中，由，得，
四边形外接圆的直径，即外接圆的直径，
由平面，得四棱锥外接球的半径
所以四棱锥外接球的表面积为.
题型六 切瓜模型（两个平面垂直）（共6小题）
17．（24-25高一下·福建莆田·期末）已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】取的中点，连接，，
因为底面与侧面均是边长为2的正三角形，
所以⊥，⊥，
因为平面平面，交线为，且平面，
所以⊥平面，
在上取点，使得，故为等边三角形的中心，
该三棱锥外接球的球心在平面上的投影为，
其中，，，
设，连接，过点作⊥于点，
则，，，
设，则，
即，解得，
所以，该三棱锥外接球的表面积是.
故选：C
18．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．84π B．88π C．92π D．96π
【答案】A
【详解】设的外接圆半径为，由题可知为等边三角形，由正弦定理，，则，
设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为，
由题可得平面，而平面，
过点作，交于点，连接，
则，易得矩形，则，
在直角三角形中，，解得，
所以三棱锥外接球的表面积为.
19．（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，点 P 在底面的射影在直线上，则当球O的体积最小时，点 P 到底面距离的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【详解】因为，，，
所以是直角三角形，斜边，
所以的外接圆的半径为，
因此球心O在平面的射影是的中点，设为，
设，球的半径为，于是有，
即，
要想球O的体积最小，只需，此时，O重合，，
因为点 P 在底面的射影在直线上，
所以设射影为，连接，
显然，
所以，
当最小时，有最大值，
显然当时，最小，因为，O是的中点
所以且，
所以的最大值为.
20．（2026·广西南宁·二模）在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，取的中点，连接，
因为为正三角形，所以，又二面角的平面角为，
所以平面，则，
设为正三角形的中心，则，
因为，所以，又，
所以，
所以，则，即为三棱锥外接球的球心，
因为，所以，
所以三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积为.
21．（2026·河北唐山·模拟预测）四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，设的外心为，过点作于点，连接、、，
取的中点，连接，则.
因为面面，面面，平面，
所以，面，
因为平面，所以.
在直角三角形中，，，,得.
在中，由正弦定理得，，解得，.
在直角三角形中，，则，
在直角三角形中，由面积公式得，，解得，，
则，.
在直角三角形中，则，
在直角三角形中，则，
即，
所以，点为该四面体外接球的球心，故其体积为.
22．（2024·河北·模拟预测）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【详解】设外接圆圆心分别为，外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，
过分别作平面，平面的垂线，交点即为三棱锥的外接球心，
，，即，
所以在中点处，，
，，
，且在垂直平分线上，
所以，
三棱锥的外接球表面积为，
，，
又平面，平面，所以，
则，所以，
又平面，平面，所以，
又，所以共面，
所以就是二面角的平面角，
或.
故选：A.
题型七 直角三角形拼接模型（共5小题）
23．（25-26高二上·广东·期末）如图所示，四边形为正方形，将绕翻折得到三棱锥，且，若三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设正方形的边长为，则，
取中点，连接，如图，

则，又，所以为正三角形．
因为，平面
所以平面，则三棱锥的体积，
解得，
因为与均为直角三角形，且为斜边，为中点，
所以为三棱锥外接球的球心，
所以三棱锥外接球的半径．
则该三棱锥外接球的表面积为．
故选：D
24．（24-25高一下·湖北武汉·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由堑堵的定义可知，为直角三角形，故，
由已知可得，平面平面ABC，且平面平面，
又，平面ABC，
平面，而平面，
，又，，AC，平面APC，
平面APC，又平面APC，则，
设，，则，
，，
，
由，得，整理得，
，
则，
当且仅当，即时，的面积取得最小值为18，
此时，
设三棱锥的外接球的半径为R，
因为，都是以AP为斜边的直角三角形，
故线段为外接球的直径，故所求外接球的体积为.

故选：B.
25．（25-26高一下·贵州毕节·期中）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______．
【答案】
【详解】取中点，连接，由底面，平面，
得，而，平面，
则平面，又平面，因此，，
该“鳖臑”外接球的球心为，球半径，
所以该“鳖臑”外接球的体积为.
26．（2026·内蒙古赤峰·一模）如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________．
【答案】
【详解】
如图，取的中点E，连接，
已知，，所以，，
又，所以，，
所以为二面角的平面角，其余弦值为，
在中，由余弦定理得
，
即，则，
所以为直角三角形，
则的中点O为三棱锥的外接球的球心，
外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球表面积为.
27．（2026·河南·模拟预测）在长方体中，M为的中点，N为的中点，，，，则四面体的外接球的半径为________.
【答案】/
【详解】在与中，可得，，即，
因 ，所以 ，故，即.
又平面，平面，则.
因平面，所以平面，而平面，故.
如图，取的中点为，在中， ，在中， ，
所以，即点到A，B，M，N四点的距离相等，所以点为四面体的外接球的球心，
可得外接球的直径，
所以四面体的外接球的半径为.

题型八 折叠模型（共3小题）
28．（24-25高二下·广东广州·期末）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为120°，连接，得到三棱锥，则此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设正方形的对角线交点为，
则，，
翻折后所得图形如下图所示，

则的中点为球心，
故该四面体的外接球体积，
由于二面角的大小为120°，，则，且，
所以四面体的体积，
故此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为．
故选：D．
29．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________．
【答案】
【详解】设外接球球心为，、的外心分别为点、，
取线段的中点，连接、、、，则，，
因为是边长为的等边三角形，所以，
所以，，
因为，则为的中点，
又因为，故，故，
因为，，所以二面角的平面角为，
易知，，
所以、、、四点共圆，
由余弦定理可得，
所以，由正弦定理可得，
所以，
故球的半径为，
故四面体的外接球的表面积为.
30．（2025·福建福州·模拟预测）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图，设三棱锥的外接球球心为，取的中点,连接，
因为是以点为直角顶点的直角三角形，所以的外接圆圆心是点，
则由球的性质可知，平面，
设外接球半径为,
是边长为的等边三角形,是以点为直角顶点的等腰直角三角形,
,
在中勾股定理可知,
则在中利用余弦定理可得，
,，则，得，
所以的最小值为1，外接球体积最小值为.
故选：C.
题型九 利用异面直线公垂线找外接球球心（共1小题）
31．（25-26高一下·四川眉山·期中）在四面体中，若，则四面体外接球的表面积为______
【答案】
【详解】如图，设的中点分别为，球心为，半径为，
，
，又平面，
平面，又平面，
，则垂直平分，
同理可得垂直平分，故球心在上，设，
，，
，
又，解得，，
则四面体外接球的表面积为．
题型十 几何体内切球问题（共7小题）
32．（2025·陕西汉中·模拟预测）在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设正三棱锥底面边长为，底面正三角形的中心为，则顶点在底面的投影点为，
因为侧棱与底面所成的角为， 即，
在中，，，，
，，
正四棱锥体积为：,
因为，所以，
在正三棱锥中，外接球的球心在，设球心为，
设，根据球心到顶点距离相等可得，，
即，解得，所以，
所以.
故选：D
33．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，，为的中点.将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，，所以，，
因为为的中点，所以,
当时，，
因为，所以，
因为,面，面，所以平面，，，
，
则三棱锥的表面积为，
设内切球半径为，则由等体积法知，
解得，所以内切球的表面积.
故选：D.
34．（24-25高一下·浙江宁波·期末）一个棱长为6的正方体纸盒内有一个正四面体，若正四面体可以在纸盒内任意转动，则正四面体体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由正四面体玩具可以在棱长为6的正方体内任意转动，得该正四面体的棱长最大时，其外接球为正方体的内切球，
如图，设四面体的边长为，其外接正方体为，则正方体棱长为
正方体与正四面体有同一个外接球，
设正方体的外接球的半径为，则，即，
而棱长为6的正方体的内切球的半径为3，即，解得，
取中点，连接，则，又平面，
于是平面，而，等腰底面上的高，
所以正四面体体积的最大值为.
故选：C
35．（24-25高一下·江苏南京·阶段检测）数学中有许多形状优美 寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为2，则该勒洛四面体内切球的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由对称性知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心，
连接，并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径，
在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心，
连接、、，由正四面体的性质知在上，而，
则，，
由，得，
又，所以该勒洛四面体内切球的半径.
故选：B
36．（2026高一·全国·专题练习）已知某正三棱锥的底面边长为，侧面与底面所成二面角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球.球与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为______.
【答案】/
【详解】如图:
设在底面上的投影为，取中点，连接
因为三棱锥为正三棱锥，则为正三角形的中心.
则，且，所以即为侧面与底面所成二面角，
又，所以,
则，所以.
设球的半径为，则，
即 ，解得.
根据题意可知，为与正三棱锥相似的正三棱锥的内切球，
且该三棱锥的高.
故两正三棱锥的相似比为 ，故其内切球的半径比也为，
故球 与球的表面积之比为.
37．（25-26高三上·重庆·阶段检测）如图，已知圆锥PO，用平行于底面的截面，将圆锥PO分切成小圆锥和圆台，此时圆锥的顶点P和圆上所有点均在球上，圆台存在和上下底面及侧面均相切的球，若球和的半径均为，则圆锥和圆台的高之比为______．

【答案】
【详解】由题意，在轴截面等腰三角形中，，平行于底面的截面与轴截面形成了交线，
将分为和梯形，圆和圆分别为两部分的外接圆和内切圆，半径均为，
则有高，梯形高，，，
，，，
，令，则，解得，所以．

38．（2026·浙江·二模）如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______．
【答案】
【详解】设半球面的球心为，三颗汤圆的球心分别为,
因为汤圆与碗的内壁相切，所以，
又因为三颗汤圆两两相切，所以，
设等边三角形的中心为，
因为汤圆与碗口等高，所以，
在中，，
在中，，
即，即，
所以，所以.
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