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重庆市西南大学附属中学2025-2026学年度高一下学期期中考试数学复习试题
一、单选题
1．已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
3．为锐角三角形是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若复数z使得为纯虚数，则（ ）.
A． B．2 C． D．4
5．已知函数，，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ）
A． B． C． D．
7．某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型（，，，），其中为初始学习率，为衰减率，为衰减步长，为训练步数，为第步时的学习率.现有两种学习率衰减策略和，初始学习率相同，策略的参数为，，策略的参数为，.已知当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的2倍，当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的8倍，则（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
8．球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数均不为0，则（ ）
A． B．
C． D．
10．记的内角的对边分别为下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则为锐角三角形
D．当为锐角三角形，且时，
11．如图，是半径为1的圆O的两条不同的直径，，则（ ）
A．
B．
C．满足的实数与的和为定值4
D．的最大值为
三、填空题
12．已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______．
13．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________.
14．已知a为实数，函数，若，则______．
四、解答题
15．若函数的最大值为3.
(1)求的值及函数的单调递减区间；
(2)求不等式的解集.
16．为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑.
(1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积；
(2)若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值.
17．在中，内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，在外一点满足，如图，求四边形面积的最大值．
18．在梯形ABCD中，，，，．，．
(1)用，表示．
(2)设M是线段EF上一点，且．
（ⅰ）求；
（ⅰⅰ）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值．
19．某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花.
(1)求该烟花的体积；
(2)工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，M在弧上，N在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）.
①请用表示燃料的体积V；
②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间.
参考答案
1．D
【详解】由题意知，，解得.
2．D
【详解】将直观图还原为原图，如图，
在直观图中，，则，
故在原图中，，，
所以，而，
所以原四边形ABCD中最长边为6.
3．A
【详解】因为是锐角三角形，所以，且，
所以，其中，
因为在上单调递增，
所以，所以充分性成立；
若，不妨设，满足，
但为直角三角形，故必要性不成立.
4．B
【详解】设，
则，
所以，，
即，所以.
故选：B
5．C
【详解】由，
得，
即，
则．
故选：C．
6．C
【详解】球的体积为，设铁锭的高为，
则正四棱台的体积为，
由，可得，解得.
7．A
【详解】根据题意，策略的学习率，策略的学习率；
当时，由题可知：，即，也即，
两边取对数可得：，故，又，故，
又，且为策略的学习率首次大于策略的学习率的倍，故；
当时，由题可知：，即，也即，
两边取对数可得：，故，
又，故，
又，且为策略的学习率首次大于策略的学习率的倍，故；
故，也即.
故选：A.
8．A
【详解】设外接球圆心为，平面截外接球所得圆圆心为.
由题意正方体外接球的半径，平面截外接球所得圆的半径为.
到的距离，则球缺的高.
所以．
9．BCD
【详解】设、；
对A：设，则，
，故A错误；
对B： ，又，即有，故B正确；
对C：，则，
，，则，
即有，故C正确；
对D：
，
，
故，故D正确.
故选：BCD.
10．ABD
【详解】对选项A，根据正弦定理，，
因此，即三角形中大边对大角，故，A正确；
对选项B，由，得，
因为，所以，故，结合A的结论得B正确；
对选项C，举反例：取，，，满足条件，
但此时，是钝角三角形，C错误；
对选项D，原不等式等价于： ，
整理得：
利用三角恒等变换得，
因为是锐角三角形， ，
所以原不等式等价于： .
又因为，所以，
因为函数在单调递增，
因此，原不等式成立，D正确.
11．BCD
【详解】由题意知，，，，，故A错误；
以O为原点，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，根据对称性，不妨取C在x轴上方，设，则，
则，，
，故B正确；
，，
O，C，D三点共线，，即，故C正确；
，，
，，
，，，，，
即，又，，
的最大值为，故D正确.
12．4
【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上，
而表示圆上的点到定点的距离，
圆心到定点距离为：
所以（是虚数单位）的最小值为：.
13．
【详解】因为圆筒内径长为，所以内圆半径.
外径长为，所以外圆半径
上下两段圆筒总高为，加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分:
上下外圆柱体积+中部正方体体积
=
空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为，
所以玉琮的体积为.
14．
【详解】，
令，由于当时，，当时，，且在上单调递增，
则存在唯一，使得，且,
若，则，得，可得．
15．(1)，
(2)或
【详解】（1）
因为的最大值为3，所以，
，解得，
的单调递减区间为
（2），
可得或即或，
所以或，
解得或，
所以解集为或.
16．(1)，
(2)
【详解】（1）因为正四棱台的上、下底面的边长分别为6和10，高为8，
故正四棱台体积为，
记，分别为棱台上、下底面的中心，分别取，的中点M，N，
连接，，，，
在梯形中，过作于，
由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形，
且，，，所以，
所以，
故该正四棱台的侧面积.
（2）设正四棱台上、下底边长分别为，.
由条件可知，，.
此时在等腰梯形中，
，，
所以，
令，
则，
当且仅当时取等号.
17．(1)
(2)
【详解】（1）（1）由，
由余弦定理得：，
即，
由正弦定理得：，
即，
又，
所以，
故，
又，所以，
又，所以，所以，
即．
（2）因为，且，
所以为等边三角形．
设，
在中，由余弦定理得，，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，四边形的面积取得最大值，最大值为．
18．(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅰⅰ）.
【详解】（1）因为，，，所以
所以.
（2）（ⅰ）以为原点，所在直线为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系.
因为，，所以点分别是上靠近点的三等分点，
又，，，，
所以，
则，
因为，所以，
又三点共线，所以存在使得，
即，即，
解得，所以，
所以，
（ⅰⅰ）因为H为线段GD上一个动点，设，
则，
又
所以
，
由二次函数性质可知，当时取得最小值.
19．(1)
(2)①②
【详解】（1）该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，
又，，，
所以该烟花的体积.
（2）①由图可知：，，
在梯形中，由，，易知，故，
则，
所以；
②由①可知：，
即，
令，则，上式即为，
又令，，则，
当时，，当时，，
当时，
，
当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意．
该烟花燃烧的最长时间为．

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