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6月上旬之方程与不等式—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售(不计分割损耗).已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克.若分割销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为(　　)
A．25% B．30% C．35% D．40%
【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】设整鱼的总质量为1千克，鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比为x，则鱼头质量为x千克，鱼身质量为(1 x)千克。
整鱼销售的总额为：1×24=24元
分割销售的总额为：36x+16(1 x)元
根据题意，分割销售的总额不少于整鱼销售额，因此列不等式：36x+16(1 x)≥24
解得x≥40%，
故答案为：D。
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，先设整鱼总质量为单位 1，鱼头质量占比为x，用x表示出分割销售总额和整鱼销售额，再根据 “分割销售总额不少于整鱼销售额” 列不等式，求解x的最小值。
2．龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙BA”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是42cm，杯顶高与杯身高之和是49cm，设杯身高为x（cm），底座高为y（cm），则根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设杯身高为，底座高为，
可列方程组为．
故答案为：A.
【分析】设杯身高为，底座高为，根据“ 杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是42cm，杯顶高与杯身高之和是49cm ”列方程组即可．
3．一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图.某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为 1 500元.已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是(　　)
A．2a+m =150 B．a+n=100
C．2a+p=160 D．12a+4m+5n+3p=1 500
【答案】D
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：套餐①和套餐②各一杯牛奶，共杯，单独售出牛奶m杯，
∴，A选项正确，不符合题意；
套餐①一个饭团，共个，单独售出饭团n个，
∴，B选项正确，不符合题意；
套餐②两个面包，共个，单独售出面包p个，
∴，C选项正确，不符合题意；
总收入等于套餐①、套餐②的收入加上单独售出的收入，
即，
D选项错误，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据题意中两种套餐的数量、单价和收入列等式分析解答即可.
4．科学种植促丰收，我国谷物总产量稳居世界首位，14亿多人的粮食安全得到有效保障。某水稻种植基地首次引入袁隆平团队带来的植株高、穗长粒多的巨型稻，选择两块面积相同的试验田，分别种植巨型稻和普通水稻，结果巨型稻收获16.8吨，普通水稻收获13.2吨，巨型稻比普通水稻每公顷多收获3吨。问这次种植试验，巨型稻和普通水稻的产量分别是每公顷多少吨 设试验田中巨型稻每公顷产量为x吨，则下列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
二、填空题
5．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程. 的过程如下：将方程配方得 以3a和4a为两直角边作 Rt△ABC(如图)，再在斜边AB 及其延长线上截取BD=BE=BC，发现方程的解 若 则x2的值为　 　．
【答案】-16
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
配方得：
解得：
故答案为： - 16.
【分析】利用配方法解得 再求出a=2，即可解决问题.
6．【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字n与n+1相乘，再乘以100，然后加上25即可.
【应用体验】已知（ 则n=　 　.
【答案】7
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：
整理得：
解得： (舍去)
故答案为：7.
【分析】根据已知易得： 然后进行计算即可解答.
三、解答题
7．解一元二次方程 时，小龙同学的错误解法如图。
解： x(x-2)=1
x2 2x=1
所以x=1或x-2=1
所以 x1=1，x2=3
（1）你认为x1=1是方程的解吗 请判断并说明理由。
（2）选择正确的方法解方程：
【答案】（1）当x1=1时，左边=1-2=-1，右边=1， ∵左边≠右边， ∴x1=1不是方程的解解： x(x-2)=1
（2）解：
【知识点】配方法解一元二次方程；判断是否为一元二次方程的根
8．丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和.例如给定的平方数为16.
设其中一个正有理数的平方为x2，则另一个正有理数的平方为
令 其中m为整数.
取m=2，则
于是
解得 (舍去)，
所以
即
（1）上面的解决过程中，为何将 舍去 请说明理由.
（2）请你将平方数9分为两个正有理数的平方和.
【答案】（1）解： 由题知，
当x=0时，
则不满足正有理数的平方为正数这一条件，
所以 舍去；
（2）解：由题知，
设其中一个正有理数的平方为 则另一个正有理数的平方为
令 其中m为整数，
取m=2，则
于是
解得 (舍去)，
所以
所以

【知识点】完全平方公式及运用；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据所给解题过程，说明理由即可；
（2）结合所给求解方法进行计算即可.
9．【动手实践】如图1，小明将一张长为12cm，宽为6cm的矩形纸片裁去图中阴影部分．通过平移，将4块空白部分既不重叠、又不留空隙地拼成一个新图形(含拼接线)．
（1）【观察发现】如图2，拼成的新图形是图　 　(填“甲”或“乙”)．
（2）【探索应用】若拼成的新图形是一个中心对称图形且面积为27cm2，求此时DH的长．
【答案】（1）乙
（2）解：因为(6-x)(12-x)=27，
所以 (舍)．
因为新图形是一个中心对称图形，
所以
【知识点】中心对称及中心对称图形；一元二次方程的应用-几何问题；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：（1）根据平移可得点E和F不重合，
故拼成的新图形是图乙，
故答案为：乙.
【分析】（1）根据平移的性质解答即可；
（2）根据平移后矩形的长为(12-x)，宽为(6-x)，利用矩形的面积公式列方程求出x的值，再根据中心对称图形的性质求出DH长解答即可.
10．根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根.如图，将四个长为m，宽为n的长方形纸片和一个小正方形ABCD 拼成一个大正方形 EFGH.
（1）求解方程x(x+5)=6的正根，可令m=x+5，n=x，则图中每个长方形的面积为6.
①小正方形ABCD，大正方形 EFGH的面积各是多少
②利用大正方形EFGH 的边长，请你求出方程x(x+5)=6的正根.
（2）小明用此方法求关于x的方程x(3x+t)=14(t为常数，且t>0)的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为25，求 t 的值.
【答案】（1）解：①由题意，∵m=x+5，n=x，长方形面积mn=6，
∴小正方形的边长为m-n=(x+5)-x=5，
∴小正方形的面积为：
又∵大正方形的边长为m+n，
∴其面积为： 49.
答：小正方形面积为25，大正方形面积为49；
②由(1)得EF=m+n=7=2x+5，
即方程x(x+5)=6的正根为：x=1；

（2）解：由题意得
解得t=1.
【知识点】完全平方公式的几何背景；解二元一次方程组；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】
(1)①依据题意，由m=x+5，n=x，长方形面积mn=6，则小正方形的边长为m-n=5，从而可得小正方形的面积，由大正方形的边长为m+n，根据完全平方公式的变形即可得解；
②依据题意，由(1)得EF=m+n=7=2x+5，求出x的值解答即可；
(2)依据题意得 求出t的值解答即可.
11．【主题】研究幻方
【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方(图1)，将9个数填在3×3 (三行三列)的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方.
【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍.
小嵊给出了数学证明：
如图2，设这9个数依次为a， b， c， d， e， f， g， h， i，
因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为S，
则第二行： d+e+f=S①，
第二列： b+e+h=S②，
对角线分别： a+e+i=S③， c+e+g=S④，
将①+②+③+④，得： a+b+c+d+4e+f+g+h+i=4S
……
所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍.
（1）请完成“……”中小嵊未显示的推理过程.
（2）利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中a， b， c之间的关系.
【答案】（1）解：因为a+b+c=S， d+e+f=S， g+h+i=S，
所以3S+3e=4S，
所以S=3e.
（2）解：如图，设中间格的值为x，
利用上述结论，则每行，每列，每条对角线的和为3x，则有
所以3x-c+a=3x-a+b，
即2a=b+c.
　 b 3x-a
3x-c x c
a 　 　
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【分析】（1）根据每一行的三个数的和为S，代入整理即可；
（2）设中间格的值为x，根据每行，每列，每条对角线的和为3x，列等式得到a，b，c的关系式即可.
1 / 16月上旬之方程与不等式—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售(不计分割损耗).已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克.若分割销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为(　　)
A．25% B．30% C．35% D．40%
2．龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙BA”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是42cm，杯顶高与杯身高之和是49cm，设杯身高为x（cm），底座高为y（cm），则根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
3．一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图.某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为 1 500元.已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是(　　)
A．2a+m =150 B．a+n=100
C．2a+p=160 D．12a+4m+5n+3p=1 500
4．科学种植促丰收，我国谷物总产量稳居世界首位，14亿多人的粮食安全得到有效保障。某水稻种植基地首次引入袁隆平团队带来的植株高、穗长粒多的巨型稻，选择两块面积相同的试验田，分别种植巨型稻和普通水稻，结果巨型稻收获16.8吨，普通水稻收获13.2吨，巨型稻比普通水稻每公顷多收获3吨。问这次种植试验，巨型稻和普通水稻的产量分别是每公顷多少吨 设试验田中巨型稻每公顷产量为x吨，则下列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
5．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程. 的过程如下：将方程配方得 以3a和4a为两直角边作 Rt△ABC(如图)，再在斜边AB 及其延长线上截取BD=BE=BC，发现方程的解 若 则x2的值为　 　．
6．【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字n与n+1相乘，再乘以100，然后加上25即可.
【应用体验】已知（ 则n=　 　.
三、解答题
7．解一元二次方程 时，小龙同学的错误解法如图。
解： x(x-2)=1
x2 2x=1
所以x=1或x-2=1
所以 x1=1，x2=3
（1）你认为x1=1是方程的解吗 请判断并说明理由。
（2）选择正确的方法解方程：
8．丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和.例如给定的平方数为16.
设其中一个正有理数的平方为x2，则另一个正有理数的平方为
令 其中m为整数.
取m=2，则
于是
解得 (舍去)，
所以
即
（1）上面的解决过程中，为何将 舍去 请说明理由.
（2）请你将平方数9分为两个正有理数的平方和.
9．【动手实践】如图1，小明将一张长为12cm，宽为6cm的矩形纸片裁去图中阴影部分．通过平移，将4块空白部分既不重叠、又不留空隙地拼成一个新图形(含拼接线)．
（1）【观察发现】如图2，拼成的新图形是图　 　(填“甲”或“乙”)．
（2）【探索应用】若拼成的新图形是一个中心对称图形且面积为27cm2，求此时DH的长．
10．根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根.如图，将四个长为m，宽为n的长方形纸片和一个小正方形ABCD 拼成一个大正方形 EFGH.
（1）求解方程x(x+5)=6的正根，可令m=x+5，n=x，则图中每个长方形的面积为6.
①小正方形ABCD，大正方形 EFGH的面积各是多少
②利用大正方形EFGH 的边长，请你求出方程x(x+5)=6的正根.
（2）小明用此方法求关于x的方程x(3x+t)=14(t为常数，且t>0)的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为25，求 t 的值.
11．【主题】研究幻方
【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方(图1)，将9个数填在3×3 (三行三列)的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方.
【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍.
小嵊给出了数学证明：
如图2，设这9个数依次为a， b， c， d， e， f， g， h， i，
因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为S，
则第二行： d+e+f=S①，
第二列： b+e+h=S②，
对角线分别： a+e+i=S③， c+e+g=S④，
将①+②+③+④，得： a+b+c+d+4e+f+g+h+i=4S
……
所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍.
（1）请完成“……”中小嵊未显示的推理过程.
（2）利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中a， b， c之间的关系.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】设整鱼的总质量为1千克，鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比为x，则鱼头质量为x千克，鱼身质量为(1 x)千克。
整鱼销售的总额为：1×24=24元
分割销售的总额为：36x+16(1 x)元
根据题意，分割销售的总额不少于整鱼销售额，因此列不等式：36x+16(1 x)≥24
解得x≥40%，
故答案为：D。
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，先设整鱼总质量为单位 1，鱼头质量占比为x，用x表示出分割销售总额和整鱼销售额，再根据 “分割销售总额不少于整鱼销售额” 列不等式，求解x的最小值。
2．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设杯身高为，底座高为，
可列方程组为．
故答案为：A.
【分析】设杯身高为，底座高为，根据“ 杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是42cm，杯顶高与杯身高之和是49cm ”列方程组即可．
3．【答案】D
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：套餐①和套餐②各一杯牛奶，共杯，单独售出牛奶m杯，
∴，A选项正确，不符合题意；
套餐①一个饭团，共个，单独售出饭团n个，
∴，B选项正确，不符合题意；
套餐②两个面包，共个，单独售出面包p个，
∴，C选项正确，不符合题意；
总收入等于套餐①、套餐②的收入加上单独售出的收入，
即，
D选项错误，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据题意中两种套餐的数量、单价和收入列等式分析解答即可.
4．【答案】D
【知识点】列分式方程
5．【答案】-16
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
配方得：
解得：
故答案为： - 16.
【分析】利用配方法解得 再求出a=2，即可解决问题.
6．【答案】7
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：
整理得：
解得： (舍去)
故答案为：7.
【分析】根据已知易得： 然后进行计算即可解答.
7．【答案】（1）当x1=1时，左边=1-2=-1，右边=1， ∵左边≠右边， ∴x1=1不是方程的解解： x(x-2)=1
（2）解：
【知识点】配方法解一元二次方程；判断是否为一元二次方程的根
8．【答案】（1）解： 由题知，
当x=0时，
则不满足正有理数的平方为正数这一条件，
所以 舍去；
（2）解：由题知，
设其中一个正有理数的平方为 则另一个正有理数的平方为
令 其中m为整数，
取m=2，则
于是
解得 (舍去)，
所以
所以

【知识点】完全平方公式及运用；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据所给解题过程，说明理由即可；
（2）结合所给求解方法进行计算即可.
9．【答案】（1）乙
（2）解：因为(6-x)(12-x)=27，
所以 (舍)．
因为新图形是一个中心对称图形，
所以
【知识点】中心对称及中心对称图形；一元二次方程的应用-几何问题；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：（1）根据平移可得点E和F不重合，
故拼成的新图形是图乙，
故答案为：乙.
【分析】（1）根据平移的性质解答即可；
（2）根据平移后矩形的长为(12-x)，宽为(6-x)，利用矩形的面积公式列方程求出x的值，再根据中心对称图形的性质求出DH长解答即可.
10．【答案】（1）解：①由题意，∵m=x+5，n=x，长方形面积mn=6，
∴小正方形的边长为m-n=(x+5)-x=5，
∴小正方形的面积为：
又∵大正方形的边长为m+n，
∴其面积为： 49.
答：小正方形面积为25，大正方形面积为49；
②由(1)得EF=m+n=7=2x+5，
即方程x(x+5)=6的正根为：x=1；

（2）解：由题意得
解得t=1.
【知识点】完全平方公式的几何背景；解二元一次方程组；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】
(1)①依据题意，由m=x+5，n=x，长方形面积mn=6，则小正方形的边长为m-n=5，从而可得小正方形的面积，由大正方形的边长为m+n，根据完全平方公式的变形即可得解；
②依据题意，由(1)得EF=m+n=7=2x+5，求出x的值解答即可；
(2)依据题意得 求出t的值解答即可.
11．【答案】（1）解：因为a+b+c=S， d+e+f=S， g+h+i=S，
所以3S+3e=4S，
所以S=3e.
（2）解：如图，设中间格的值为x，
利用上述结论，则每行，每列，每条对角线的和为3x，则有
所以3x-c+a=3x-a+b，
即2a=b+c.
　 b 3x-a
3x-c x c
a 　 　
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【分析】（1）根据每一行的三个数的和为S，代入整理即可；
（2）设中间格的值为x，根据每行，每列，每条对角线的和为3x，列等式得到a，b，c的关系式即可.
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