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6月上旬之一次函数与反比例函数—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1． 已知直线l1： y=2x+3， 直线l2： y=3x+2， 则这两条直线的位置关系是(　　)
A．重合 B．平行 C．相交 D．垂直
【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线 中 直线 +2中
∴这两条直线不平行，不重合，不垂直，
∴这两条直线的位置关系是相交，
故选： C.
【分析】两条直线平行 或 重合需要斜率相等( 垂直需要斜率乘积为 据此判断即可.
2．已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表：
x … a-1 a a+1 …
y … b+2 b b-2 …
则这个函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，y随x的增大而减小，
所以选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，
故选：B.
【分析】根据函数增减性解答即可.
3．一次函数y=x+b(b为常数)与反比例函数 交于A，B两点，其中点A 的坐标为(2，1)，点C(a，y1)，D(a，y2)分别在该一次函数与反比例函数上，若 则a 的值可以为(　　)
A．– 2 B． C． D．1
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由条件可知1=2+b，
解得b=-1，
即一次函数解析式为y=x-1，
∵点A(2，1)在反比例函数 上，
∴代入得
解得k=2，
即反比例函数解析式为
联立两个函数解析式得：
消去y整理得
因式分解得((x-2)(x+1)=0，
解得两个交点的横坐标为
根据反比例函数和一次函数的图象性质可得，当 时，a的取值范围是-12，
结合选项，只有 满足 符合条件.
故选： B.
【分析】先利用已知点A的坐标求出两个函数的解析式，再联立求出两个交点的横坐标，根据函数图象性质得到满足 时a的取值范围，结合选项即可得到答案.
4．已知正比例函数 与反比例函数 的函数图象交于点A (m， 3)， B (m-4，-3)，当y1A．x<-2 B．x<-2或0C．x>2或-2【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题知，
因为点A和点B在同一个反比例函数的图象上，所以3m=-3(m-4)，
解得m=2，
所以点A坐标为(2，3)，点B坐标为((-2，-3).
如图所示，
当x<-2或0所以当 时，x的取值范围是x<-2或0故答案为：B.
【分析】根据题意，利用数形结合得到正比例函数的图象在反比例函数图象的下方的自变量x的取值范围即可.
5．若函数 的图象上有两点(x1， m)，(x2， n)，且 ，下列说法正确的是(　　)
A．若k>0， - x1>x2，则m>n>0 B．若k>0， - x1＜x2，则m＞n>0
C．若k<0， - x1>x2，则m>n>0 D．若k<0， - x1＜x2，则n＜m＜0
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】将点代入函数得：( (
时， 故m时， 故m>n>0，正确；
时，m<0，n<0，且m>n，但m>n>0错误；
时，m故答案为：B.
【分析】将两点坐标分别代入表示m和n，然后根据k的取值范围，利用函数的图象和性质逐项判断解答即可.
6．已知函数 (c，k为常数)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．ck<0 B．ck>0 C．c-k<0 D．c-k>0
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由所给函数图象可知，
因为函数图象与y轴交于正半轴，
所以
即c>0；
当横坐标是一个很小的负数时，函数值小于零，所以k>0，
显然只有B选项符合题意.
故选：B.
【分析】根据所给函数图象，对所给选项依次进行判断即可.
7．化学有机物及其结构式见下表，若结构式中的C(碳原子)的个数记为x，H(氢原子)的个数记为y，则由结构式可知y与x满足的关系式是 (　　)
名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷
结构式
A． B．y=4x C． D．y=2x+2
【答案】D
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意，绘制如下表格：
碳原子个数x (个) 1 2 3 4
氢原子个数y(个) 4 6 8 10
根据表格，x增加1，y增加2，
则y=4+2(x-1)=2x+2，
∴C与H满足的关系式是y=2x+2.
故选： D.
【分析】根据结构式，列表格反映x和y的对应关系，再根据变量的变化规律写出y与x的函数关系式即可.
8．如图1，一个立方体箱子（侧面为正方形ABCD)沿着足够长的斜坡从点E向点F运动，过点C作CH⊥EG于点H，设AE为x，CH-EH的值为y.如图2，y关于x的函数图象与x轴交于点P（6， 0) ，且经过点M（11， m) .若 则下列选项正确的是（　　)
A．m=-1.2 B．AB=0.8
C．点（5， 0.2)在该函数图象上 D．点N的纵坐标是2
【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，CH与EF交于点K，
∵∠AEH+∠EAH=∠BCK+∠CKB=90°，
∴∠AEH=∠BCK，
∴tan∠E=tan∠BCK=，即，
∴，，
∴，
∴，，，
∴，即EH=，
∴，
∵过点(6，0)，
∴，解得a=1，故B错误；
∴，
当x=11时，，故A错误；
当x=5时，，故C正确；
当x=0时，y=，故D错误；
故答案为：C.
【分析】：设正方形的边长为a，CH与EF交于点K，根据正切的定义求出BK长，再用EH表示HK的长，根据勾股定理求出EK和CK长，进而表示，然后把P点坐标代入求出a=1，的到解析式为，然后逐项判断解答即可.
二、填空题
9．如图，点A，B是反比例函数 上的两点，过点B作BC⊥x轴于点 C，作 BD⊥y轴于点 D．若点A 的坐标为 则矩形ODBC的面积为　 　．
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：已知点 在反比例函数 上，代入坐标：
两边同乘3t(t≠0)：
根据反比例函数的几何性质：过图象上任意一点做x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|，点B在反比例函数图象上，因此矩形ODBC的面积为：
故答案为：3.
【分析】根据反比例函数k的几何意义解答即可.
10．如图1，在盛有某种液体的烧杯上方有一弹簧测力计，该测力计下方悬挂着一个质地均匀的圆柱体金属块，一开始金属块的下底面恰与烧杯口齐平.随着金属块匀速下降，弹簧测力计的示数(单位：N)与金属块下降的高度x(单位：cm)之间的关系如图2所示.已知当该金属块刚好被液体完全浸没时，金属块下底面距烧杯底部的高度恰好是烧杯高度的一半(烧杯底部厚度不计)，则该烧杯的高度　 　
(知识小贴士：①金属块所受浮力与其排开液体的体积成正比；②当金属块在液面上方时， ；③当金属块浸入液体后，．)
【答案】24
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：当x<8cm时，
即金属块重力(G=6N.
当 时， 恒定，说明金属块已完全浸没，此时浮力F浮=G-F拉力=2N，
从x=8cm(刚接触液面)到x=12cm(完全浸没)，拉力线性下降，
表明排开体积随深度线性增加，符合圆柱体匀速浸入特征.
因此金属块高度.H=12-8=4cm.
金属块完全浸没时，其下底面距烧杯底部高度为
此时金属块下底面下降总高度为x=12cm，
而初始液面距烧杯口为8cm，
故有：
解得：h=24cm.
故答案为：24.
【分析】结合函数图象与物理浮力知识，通过分析弹簧测力计示数随金属块下降高度的变化，确定金属块重力、浸入液体的过程及完全浸没时的状态，再利用几何关系求解烧杯高度.
11．逢k进一的数称为k进制数，k为大于1的整数. k进制的n位数可以表示为，其中n为正整数， 均为小于k的自然数，且 k进制数可以化为常见的十进制数，公式如下： 例如，十六进制的两位数，二进制的三位数已知，则y关于x的函数关系式是　 　；x+y的最小值为　 　．
【答案】y=x-3；13
【知识点】列一次函数关系式；十进制及其他进制问题；进位制的认识与探究
【解析】【解答】①根据 k 进制转十进制的公式：(2，3，6)x =2x2+3x+6，(2，2，5)x =2x2+2x+5，(1，4)y =1 y+4=y+4
已知(2，3，6)x (2，2，5)x =(1，4)y ，代入十进制表达式：(2x2+3x+6) (2x2+2x+5)=y+4
化简得 y 关于 x 的函数关系式：y=x 3；
②根据 k 进制的定义，每一位数字必须小于底数 k，因此需要满足：
对于(2，3，6)x ，最大数位数字是 6，因此x>6（x 为大于 1 的整数）；
对于(1，4)y ，最大数位数字是 4，因此y>4（y 为大于 1 的整数）。
由y=x 3>4，得x>7，结合x>6，最终 x 的取值范围为x≥8（x 为整数）。
将y=x 3代入x+y，得：x+y=x+(x 3)=2x 3
这是关于 x 的一次函数，且斜率为正，
因此 x 取最小值时，x+y取得最小值，当x=8时，y=8 3=5（满足y>4），此时：x+y=8+5=13
故答案为：y=x+3；13.
【分析】 本题是新定义 k 进制的综合题，先根据题目给出的 k 进制转十进制公式，将等式两边的数都转化为十进制，化简得到 y 关于 x 的函数关系式；再结合 k 进制的数位限制条件（每一位数字小于底数），确定 x、y 的取值范围，进而求出 x+y 的最小值。
12．如图，坐标系中有一等边△ABC，点A(0，-1)，点B在反比例函数 的图象上，点C在反比例函数 的图象上，点C横坐标为n，AC与x轴交于点D， BC与x轴交于点E，记四边形ABED面积为S1， △CDE面积为S2， k=S1：S2，用k的代数式表示 　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵点C在 上，横坐标为n，
∴C(n，1).
过C作CM ⊥x轴于M，则AO =CM =1.
∵∠AOD =∠CMD =90°，∠ADO =∠CDM ，AO =CM ，
∴△AOD ≌△CMD(AAS)，
∴AD =CD ，
即D为AC中点，坐标
∵△ABC 为等边三角形， D为AC中点，
连接BD，过点B作BN⊥x轴于点N，则BD⊥AC ，即∠ADB=90°.
∠ADO+∠BDN =90°，∠ADO+∠OAD =90°，
∴∠OAD =∠BDN .
又∠AOD =∠DNB =90°，
∴△AOD~△DNB .
设B点坐标为(x，y)，则
∴即
解得：
∵点B在 上，
∴
∵CM∥BN，
∴△BNE~△CME
∴，
∵D为AC中点，
∴
∵
∴
∴
故答案为：.
【分析】过C作CM ⊥x轴于M，先求出点CD额坐标得到CM=OA=1，即可得到点D是AC的中点，然后连接BD，过点B作BN⊥x轴于点N，设B点坐标为(x，y)，则有△AOD~△DNB，则可用含n的式子表示x，y的值，进而把B点坐标代入 得到 的值，然后证明△BNE~△CME ，即可得到对应边成比例，再求出即可用含k的式子表示n，代入计算即可.
三、解答题
13．小王与小刘相约从商场出发到景区集合，路线如图1，具体时间与路程信息如图2，小王先到咖啡馆坐了15分钟后与小刘同时到达园林，游玩15分钟后准备前往景区，小王选择休息一会儿再出发，小刘则马上出发，最终小王比小刘早7.5分钟到，两人移动速度不变．
（1）请求出小王与小刘的速度．
（2）请求出 60分钟后小刘的路程s关于时间t的函数表达式．
（3）求出图2中小王与小刘相遇的时间a 的值．
【答案】（1）解：小王的速度为1000÷10=100(米/分)，
小王到达咖啡馆的时间为110+15+(3000-1000)÷100=45(分)，
小刘的速度为 (米/分).
（2）解：s=3000+75(t-60)=75t-1500，
当75t-1500=6000时，解得t=100，
∴60分钟后小刘的路程s关于时间t的函数表达式为s=
（3）解：如图，
∵S=75t-1500，
∴图中点 A 的坐标为(100，6000)．
∵小王比小刘早7.5分钟到，
∴点 B 的坐标为(92.5，6000)，
∴假设小王的函数表达式为S=100t+b，
将 B(92.5，6000)代入，得b=-3250．
解得t=70．
∴两人相遇时a的值为70分钟．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据速度=路程÷时间求出小王的速度，求出小王到达咖啡馆的时间，再根据速度=路程÷时间求出小刘的速度即可；
(2)根据路程=速度×时间计算并求出t的取值范围即可；
(3)求出小王到达景区的时间，从而求出小王从园林出发时的时间，进而根据路程=速度×时间写出小王从园林到景区的过程中路程s关于时间t的函数表达式，根据二人相遇时的路程相等列关于t的一元一次方程并求解即可.
14．已知一张桌面所能承受的最大压强p为 牛/平方米)，有一个长方体铁块的长、宽、高分别为50cm，20cm，10cm。小明和小聪在讨论能否把这个铁块放在这张桌面上。(铁的密度为7.8g/cm3，g取 10N/ kg)
小明：无论怎么摆放，应该都没问题。
小聪：不一定，根据所学知识，桌面所受的压强与压力、受力面积有关。
小明：哦，铁块对桌面的压力是不变的……
（1）求出该铁块对桌面的压力。
（2）请用反比例函数的性质，说明能否把铁块放在这张桌面上。
【答案】（1）解：根据公式m=ρv=7.8×50×20×10=78000(克)=78(千克)
∴F=G= mg=78×10=780(牛)
（2）解：由题意， 压力F为定值，
∴P是关于S反比例函数，
∴当P取最大压强 时，受力面积S最小取到 10000=0.078(平方米)，
∵当 P随着S的增大而减少，
∴当受力面积为50×20=1000(平方厘米)=0.1(平方米)>0.078(平方米)，
∴这样放置能放在桌面上.
【解析】【分析】(1)依据题意，根据公式 m=ρv计算出物体的质量，则然后求出压力的大小即可；
(2)依据题意，由 压力F为定值，则P是关于S反比例函数，计算P取最大压强 时，受力面积的值，然后根据反比例函数的性质解答即可.
15．【阅读理解】
对于两个函数，当自变量x任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”。例如：y=x与y=2-x互为“关联函数”。
（1）【初步探究】
如图，函数y=kx经过点（1，2），求该函数的“关联函数”表达式：
（2）【深入思考】
在（1）条件下，函数图象的一段y=kx（-2≤x≤0）向上平移m个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点.求m的最小值。
【答案】（1）解：将（1，2）代入y=kx，解得k=2，即该函数为表达式y=2x，
∴y=2x的“关联函数”表达式是y=-2x+2。
（2）解：函数在上向上平移m个单位后，
解析式为：，
它的“关联函数”为，
∵两个函数有交点，即方程在范围内有解，
解方程：，得，
∴，
解不等式：，得，
解不等式：，得，
∴的取值范围是，则的最小值为．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入求出原函数为，根据“关联函数”的定义解答即可；
（2）根据函数有交点，即可得到方程的解在中，求出m的最大值解答即可．
16．小嵊和小州去某风景区游览，约好在飞瀑见面.上午9∶00，小嵊乘电动汽车从古刹出发，沿风景区公路(如图1)去飞瀑，同时，小州从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路去飞瀑.两人离开古刹的路程s(km)与行驶的时间 t(h)的图象如图2所示.
（1）当小嵊追上小州时，求他们与草甸相距多少千米.
（2）求小州到达飞瀑时的时刻.
【答案】（1）解：由图象知，小嵊的速度为：45÷1.5=30(km/h)，
小嵊1h所走的路程：30×1=30(km)，
1h后距离草甸的距离：10+25-30=5(km)，
答：当小嵊追上小州时，他们与草甸相距5千米；
（2）解：设小州离开古刹的路程s(km)与行驶的时间t(h)的解析式为：s=kt+b，
把(0， 10)， (1， 30)代入得：
解得
所以s=20t+10，
当s=45时，t=1.75.
所以9+1.75=10.75.
答：小州到达飞瀑时的时刻为10时45分.
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据图象所示信息，由路程，速度，时间之间的关系求解即可；
(2)用待定系数法求出函数解析式，再把s=45代入解析式求出t即可.
17．对于密闭容器内的气体，温度在一定范围内，其压强p(单位：kPa)是温度t(单位：℃)的某种函数关系．现测得某密闭容器内气体的压强p与温度 之间的部分数据如表所示：
温度t/℃ 0 100 200 300
压强p/kPa 550 750 950 1150
（1）求P关于t的函数表达式．
（2）通常情况下，当压强不超过1200kPa时，该容器是安全的(否则会有破裂甚至爆炸的风险)，求该容器安全时的温度范围．
【答案】（1）解：因为P随t的变化而均匀变化，所以P是t的一次函数．
设P与t之间的函数关系式为P= kt+b (k、b为常数，且k≠0)，将t=0， P=550和t=100， P=750分别代入 P= kt+b，得
解得
所以P与t之间的函数关系式为P=2t+550．
（2）解：由题意得， P≤1200，得2t+550≤1200，
解得t≤325，
答：容器安全时的温度范围为0℃≤t≤325℃．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据表格数据得到符合一次函数形式，利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）令 P≤1200，解不等式求出t的取值范围即可．
18．如图1，在 Rt△ABC中， 过点C作斜边AB的高，垂足为D，设CD=y.如图2，第一象限被直线y=x和直线y=1分成四个区域.
（1）求y关于x的函数解析式.
（2）证明：y（3）请根据要求，探究题(1)中求得的函数在第一象限内的图象与性质.
①列表：(备注：无理数四舍五入到0.001)
x= … 0.2 0.5 0.8 1 1.2 2 3 4 …
x≈ … 0.2 0.5 0.8 1 1.2 1.732 2 3 3.873 4 …
y= … …
y≈ … 0.196 0.447 0.625 0.707 0.768 0.866 0.894 0.949 0.968 0.970 …
②描点：在平面直角坐标系中(图3)，先用铅笔描点、连线，确定无误后再用黑色水笔描图.
③写出性质：观察图象(x>0)，类比已学函数的研究方法，另外写出一条不同于性质I的性质.
性质 1：该函数图象在第一象限.
性质2： ▲ .
（4）在BC上取靠近点C的四分点M，以点C为圆心，CM长为半径作弧，且与CD交于点N.已知当tanB 约为 时 ，DN取得最大值.据此，求关于x 的方程 有两个不同的正数解时t的取值范围(端点值若为无理数则四舍五入到0.001).
【答案】（1）解：解：∵AC=1，BC=x，
∴，
又∵
∴；
（2）证明：判断：在第二区域
理由如下：因为
所以
因为
所以
（3）解：②
③性质：
y随x的增大而增大：
x>0，函数图象随x的增大而越来越接近直线y=1；
函数值00时，图象与直线y=x没有交点；
x>0时，图象在直线y=x和直线y=1下方；
（4）解：理由如下：
由
已知 tanB约为时，DN取得最大值
(根据题(3) ①表格x=1.2时的数据)
又因为要方程有两个不同正数解，函数 和 有两个不同的交点，
结合图象可得：则 0<2t<0.468
所以 0【知识点】函数的图象；三角形的面积；勾股定理；通过函数图象获取信息；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出AB长，然后根据△ABC的面积等积变形解答即可；
（2）根据得到y的取值范围即可；
（3）②描点，连线作出函数图象即可；
③根据图象写出性质解答即可；
（4）表示DN的解析式，由表格数据得到tanB约为时，DN取得最大值，再根据方程有两个不同的正数解，利用一次函数图象的平移，借助函数图象得到t取值范围即可.
1 / 16月上旬之一次函数与反比例函数—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1． 已知直线l1： y=2x+3， 直线l2： y=3x+2， 则这两条直线的位置关系是(　　)
A．重合 B．平行 C．相交 D．垂直
2．已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表：
x … a-1 a a+1 …
y … b+2 b b-2 …
则这个函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．一次函数y=x+b(b为常数)与反比例函数 交于A，B两点，其中点A 的坐标为(2，1)，点C(a，y1)，D(a，y2)分别在该一次函数与反比例函数上，若 则a 的值可以为(　　)
A．– 2 B． C． D．1
4．已知正比例函数 与反比例函数 的函数图象交于点A (m， 3)， B (m-4，-3)，当y1A．x<-2 B．x<-2或0C．x>2或-25．若函数 的图象上有两点(x1， m)，(x2， n)，且 ，下列说法正确的是(　　)
A．若k>0， - x1>x2，则m>n>0 B．若k>0， - x1＜x2，则m＞n>0
C．若k<0， - x1>x2，则m>n>0 D．若k<0， - x1＜x2，则n＜m＜0
6．已知函数 (c，k为常数)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．ck<0 B．ck>0 C．c-k<0 D．c-k>0
7．化学有机物及其结构式见下表，若结构式中的C(碳原子)的个数记为x，H(氢原子)的个数记为y，则由结构式可知y与x满足的关系式是 (　　)
名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷
结构式
A． B．y=4x C． D．y=2x+2
8．如图1，一个立方体箱子（侧面为正方形ABCD)沿着足够长的斜坡从点E向点F运动，过点C作CH⊥EG于点H，设AE为x，CH-EH的值为y.如图2，y关于x的函数图象与x轴交于点P（6， 0) ，且经过点M（11， m) .若 则下列选项正确的是（　　)
A．m=-1.2 B．AB=0.8
C．点（5， 0.2)在该函数图象上 D．点N的纵坐标是2
二、填空题
9．如图，点A，B是反比例函数 上的两点，过点B作BC⊥x轴于点 C，作 BD⊥y轴于点 D．若点A 的坐标为 则矩形ODBC的面积为　 　．
10．如图1，在盛有某种液体的烧杯上方有一弹簧测力计，该测力计下方悬挂着一个质地均匀的圆柱体金属块，一开始金属块的下底面恰与烧杯口齐平.随着金属块匀速下降，弹簧测力计的示数(单位：N)与金属块下降的高度x(单位：cm)之间的关系如图2所示.已知当该金属块刚好被液体完全浸没时，金属块下底面距烧杯底部的高度恰好是烧杯高度的一半(烧杯底部厚度不计)，则该烧杯的高度　 　
(知识小贴士：①金属块所受浮力与其排开液体的体积成正比；②当金属块在液面上方时， ；③当金属块浸入液体后，．)
11．逢k进一的数称为k进制数，k为大于1的整数. k进制的n位数可以表示为，其中n为正整数， 均为小于k的自然数，且 k进制数可以化为常见的十进制数，公式如下： 例如，十六进制的两位数，二进制的三位数已知，则y关于x的函数关系式是　 　；x+y的最小值为　 　．
12．如图，坐标系中有一等边△ABC，点A(0，-1)，点B在反比例函数 的图象上，点C在反比例函数 的图象上，点C横坐标为n，AC与x轴交于点D， BC与x轴交于点E，记四边形ABED面积为S1， △CDE面积为S2， k=S1：S2，用k的代数式表示 　 　．
三、解答题
13．小王与小刘相约从商场出发到景区集合，路线如图1，具体时间与路程信息如图2，小王先到咖啡馆坐了15分钟后与小刘同时到达园林，游玩15分钟后准备前往景区，小王选择休息一会儿再出发，小刘则马上出发，最终小王比小刘早7.5分钟到，两人移动速度不变．
（1）请求出小王与小刘的速度．
（2）请求出 60分钟后小刘的路程s关于时间t的函数表达式．
（3）求出图2中小王与小刘相遇的时间a 的值．
14．已知一张桌面所能承受的最大压强p为 牛/平方米)，有一个长方体铁块的长、宽、高分别为50cm，20cm，10cm。小明和小聪在讨论能否把这个铁块放在这张桌面上。(铁的密度为7.8g/cm3，g取 10N/ kg)
小明：无论怎么摆放，应该都没问题。
小聪：不一定，根据所学知识，桌面所受的压强与压力、受力面积有关。
小明：哦，铁块对桌面的压力是不变的……
（1）求出该铁块对桌面的压力。
（2）请用反比例函数的性质，说明能否把铁块放在这张桌面上。
15．【阅读理解】
对于两个函数，当自变量x任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”。例如：y=x与y=2-x互为“关联函数”。
（1）【初步探究】
如图，函数y=kx经过点（1，2），求该函数的“关联函数”表达式：
（2）【深入思考】
在（1）条件下，函数图象的一段y=kx（-2≤x≤0）向上平移m个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点.求m的最小值。
16．小嵊和小州去某风景区游览，约好在飞瀑见面.上午9∶00，小嵊乘电动汽车从古刹出发，沿风景区公路(如图1)去飞瀑，同时，小州从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路去飞瀑.两人离开古刹的路程s(km)与行驶的时间 t(h)的图象如图2所示.
（1）当小嵊追上小州时，求他们与草甸相距多少千米.
（2）求小州到达飞瀑时的时刻.
17．对于密闭容器内的气体，温度在一定范围内，其压强p(单位：kPa)是温度t(单位：℃)的某种函数关系．现测得某密闭容器内气体的压强p与温度 之间的部分数据如表所示：
温度t/℃ 0 100 200 300
压强p/kPa 550 750 950 1150
（1）求P关于t的函数表达式．
（2）通常情况下，当压强不超过1200kPa时，该容器是安全的(否则会有破裂甚至爆炸的风险)，求该容器安全时的温度范围．
18．如图1，在 Rt△ABC中， 过点C作斜边AB的高，垂足为D，设CD=y.如图2，第一象限被直线y=x和直线y=1分成四个区域.
（1）求y关于x的函数解析式.
（2）证明：y（3）请根据要求，探究题(1)中求得的函数在第一象限内的图象与性质.
①列表：(备注：无理数四舍五入到0.001)
x= … 0.2 0.5 0.8 1 1.2 2 3 4 …
x≈ … 0.2 0.5 0.8 1 1.2 1.732 2 3 3.873 4 …
y= … …
y≈ … 0.196 0.447 0.625 0.707 0.768 0.866 0.894 0.949 0.968 0.970 …
②描点：在平面直角坐标系中(图3)，先用铅笔描点、连线，确定无误后再用黑色水笔描图.
③写出性质：观察图象(x>0)，类比已学函数的研究方法，另外写出一条不同于性质I的性质.
性质 1：该函数图象在第一象限.
性质2： ▲ .
（4）在BC上取靠近点C的四分点M，以点C为圆心，CM长为半径作弧，且与CD交于点N.已知当tanB 约为 时 ，DN取得最大值.据此，求关于x 的方程 有两个不同的正数解时t的取值范围(端点值若为无理数则四舍五入到0.001).
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线 中 直线 +2中
∴这两条直线不平行，不重合，不垂直，
∴这两条直线的位置关系是相交，
故选： C.
【分析】两条直线平行 或 重合需要斜率相等( 垂直需要斜率乘积为 据此判断即可.
2．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，y随x的增大而减小，
所以选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，
故选：B.
【分析】根据函数增减性解答即可.
3．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由条件可知1=2+b，
解得b=-1，
即一次函数解析式为y=x-1，
∵点A(2，1)在反比例函数 上，
∴代入得
解得k=2，
即反比例函数解析式为
联立两个函数解析式得：
消去y整理得
因式分解得((x-2)(x+1)=0，
解得两个交点的横坐标为
根据反比例函数和一次函数的图象性质可得，当 时，a的取值范围是-12，
结合选项，只有 满足 符合条件.
故选： B.
【分析】先利用已知点A的坐标求出两个函数的解析式，再联立求出两个交点的横坐标，根据函数图象性质得到满足 时a的取值范围，结合选项即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题知，
因为点A和点B在同一个反比例函数的图象上，所以3m=-3(m-4)，
解得m=2，
所以点A坐标为(2，3)，点B坐标为((-2，-3).
如图所示，
当x<-2或0所以当 时，x的取值范围是x<-2或0故答案为：B.
【分析】根据题意，利用数形结合得到正比例函数的图象在反比例函数图象的下方的自变量x的取值范围即可.
5．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】将点代入函数得：( (
时， 故m时， 故m>n>0，正确；
时，m<0，n<0，且m>n，但m>n>0错误；
时，m故答案为：B.
【分析】将两点坐标分别代入表示m和n，然后根据k的取值范围，利用函数的图象和性质逐项判断解答即可.
6．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由所给函数图象可知，
因为函数图象与y轴交于正半轴，
所以
即c>0；
当横坐标是一个很小的负数时，函数值小于零，所以k>0，
显然只有B选项符合题意.
故选：B.
【分析】根据所给函数图象，对所给选项依次进行判断即可.
7．【答案】D
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意，绘制如下表格：
碳原子个数x (个) 1 2 3 4
氢原子个数y(个) 4 6 8 10
根据表格，x增加1，y增加2，
则y=4+2(x-1)=2x+2，
∴C与H满足的关系式是y=2x+2.
故选： D.
【分析】根据结构式，列表格反映x和y的对应关系，再根据变量的变化规律写出y与x的函数关系式即可.
8．【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，CH与EF交于点K，
∵∠AEH+∠EAH=∠BCK+∠CKB=90°，
∴∠AEH=∠BCK，
∴tan∠E=tan∠BCK=，即，
∴，，
∴，
∴，，，
∴，即EH=，
∴，
∵过点(6，0)，
∴，解得a=1，故B错误；
∴，
当x=11时，，故A错误；
当x=5时，，故C正确；
当x=0时，y=，故D错误；
故答案为：C.
【分析】：设正方形的边长为a，CH与EF交于点K，根据正切的定义求出BK长，再用EH表示HK的长，根据勾股定理求出EK和CK长，进而表示，然后把P点坐标代入求出a=1，的到解析式为，然后逐项判断解答即可.
9．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：已知点 在反比例函数 上，代入坐标：
两边同乘3t(t≠0)：
根据反比例函数的几何性质：过图象上任意一点做x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|，点B在反比例函数图象上，因此矩形ODBC的面积为：
故答案为：3.
【分析】根据反比例函数k的几何意义解答即可.
10．【答案】24
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：当x<8cm时，
即金属块重力(G=6N.
当 时， 恒定，说明金属块已完全浸没，此时浮力F浮=G-F拉力=2N，
从x=8cm(刚接触液面)到x=12cm(完全浸没)，拉力线性下降，
表明排开体积随深度线性增加，符合圆柱体匀速浸入特征.
因此金属块高度.H=12-8=4cm.
金属块完全浸没时，其下底面距烧杯底部高度为
此时金属块下底面下降总高度为x=12cm，
而初始液面距烧杯口为8cm，
故有：
解得：h=24cm.
故答案为：24.
【分析】结合函数图象与物理浮力知识，通过分析弹簧测力计示数随金属块下降高度的变化，确定金属块重力、浸入液体的过程及完全浸没时的状态，再利用几何关系求解烧杯高度.
11．【答案】y=x-3；13
【知识点】列一次函数关系式；十进制及其他进制问题；进位制的认识与探究
【解析】【解答】①根据 k 进制转十进制的公式：(2，3，6)x =2x2+3x+6，(2，2，5)x =2x2+2x+5，(1，4)y =1 y+4=y+4
已知(2，3，6)x (2，2，5)x =(1，4)y ，代入十进制表达式：(2x2+3x+6) (2x2+2x+5)=y+4
化简得 y 关于 x 的函数关系式：y=x 3；
②根据 k 进制的定义，每一位数字必须小于底数 k，因此需要满足：
对于(2，3，6)x ，最大数位数字是 6，因此x>6（x 为大于 1 的整数）；
对于(1，4)y ，最大数位数字是 4，因此y>4（y 为大于 1 的整数）。
由y=x 3>4，得x>7，结合x>6，最终 x 的取值范围为x≥8（x 为整数）。
将y=x 3代入x+y，得：x+y=x+(x 3)=2x 3
这是关于 x 的一次函数，且斜率为正，
因此 x 取最小值时，x+y取得最小值，当x=8时，y=8 3=5（满足y>4），此时：x+y=8+5=13
故答案为：y=x+3；13.
【分析】 本题是新定义 k 进制的综合题，先根据题目给出的 k 进制转十进制公式，将等式两边的数都转化为十进制，化简得到 y 关于 x 的函数关系式；再结合 k 进制的数位限制条件（每一位数字小于底数），确定 x、y 的取值范围，进而求出 x+y 的最小值。
12．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵点C在 上，横坐标为n，
∴C(n，1).
过C作CM ⊥x轴于M，则AO =CM =1.
∵∠AOD =∠CMD =90°，∠ADO =∠CDM ，AO =CM ，
∴△AOD ≌△CMD(AAS)，
∴AD =CD ，
即D为AC中点，坐标
∵△ABC 为等边三角形， D为AC中点，
连接BD，过点B作BN⊥x轴于点N，则BD⊥AC ，即∠ADB=90°.
∠ADO+∠BDN =90°，∠ADO+∠OAD =90°，
∴∠OAD =∠BDN .
又∠AOD =∠DNB =90°，
∴△AOD~△DNB .
设B点坐标为(x，y)，则
∴即
解得：
∵点B在 上，
∴
∵CM∥BN，
∴△BNE~△CME
∴，
∵D为AC中点，
∴
∵
∴
∴
故答案为：.
【分析】过C作CM ⊥x轴于M，先求出点CD额坐标得到CM=OA=1，即可得到点D是AC的中点，然后连接BD，过点B作BN⊥x轴于点N，设B点坐标为(x，y)，则有△AOD~△DNB，则可用含n的式子表示x，y的值，进而把B点坐标代入 得到 的值，然后证明△BNE~△CME ，即可得到对应边成比例，再求出即可用含k的式子表示n，代入计算即可.
13．【答案】（1）解：小王的速度为1000÷10=100(米/分)，
小王到达咖啡馆的时间为110+15+(3000-1000)÷100=45(分)，
小刘的速度为 (米/分).
（2）解：s=3000+75(t-60)=75t-1500，
当75t-1500=6000时，解得t=100，
∴60分钟后小刘的路程s关于时间t的函数表达式为s=
（3）解：如图，
∵S=75t-1500，
∴图中点 A 的坐标为(100，6000)．
∵小王比小刘早7.5分钟到，
∴点 B 的坐标为(92.5，6000)，
∴假设小王的函数表达式为S=100t+b，
将 B(92.5，6000)代入，得b=-3250．
解得t=70．
∴两人相遇时a的值为70分钟．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据速度=路程÷时间求出小王的速度，求出小王到达咖啡馆的时间，再根据速度=路程÷时间求出小刘的速度即可；
(2)根据路程=速度×时间计算并求出t的取值范围即可；
(3)求出小王到达景区的时间，从而求出小王从园林出发时的时间，进而根据路程=速度×时间写出小王从园林到景区的过程中路程s关于时间t的函数表达式，根据二人相遇时的路程相等列关于t的一元一次方程并求解即可.
14．【答案】（1）解：根据公式m=ρv=7.8×50×20×10=78000(克)=78(千克)
∴F=G= mg=78×10=780(牛)
（2）解：由题意， 压力F为定值，
∴P是关于S反比例函数，
∴当P取最大压强 时，受力面积S最小取到 10000=0.078(平方米)，
∵当 P随着S的增大而减少，
∴当受力面积为50×20=1000(平方厘米)=0.1(平方米)>0.078(平方米)，
∴这样放置能放在桌面上.
【解析】【分析】(1)依据题意，根据公式 m=ρv计算出物体的质量，则然后求出压力的大小即可；
(2)依据题意，由 压力F为定值，则P是关于S反比例函数，计算P取最大压强 时，受力面积的值，然后根据反比例函数的性质解答即可.
15．【答案】（1）解：将（1，2）代入y=kx，解得k=2，即该函数为表达式y=2x，
∴y=2x的“关联函数”表达式是y=-2x+2。
（2）解：函数在上向上平移m个单位后，
解析式为：，
它的“关联函数”为，
∵两个函数有交点，即方程在范围内有解，
解方程：，得，
∴，
解不等式：，得，
解不等式：，得，
∴的取值范围是，则的最小值为．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入求出原函数为，根据“关联函数”的定义解答即可；
（2）根据函数有交点，即可得到方程的解在中，求出m的最大值解答即可．
16．【答案】（1）解：由图象知，小嵊的速度为：45÷1.5=30(km/h)，
小嵊1h所走的路程：30×1=30(km)，
1h后距离草甸的距离：10+25-30=5(km)，
答：当小嵊追上小州时，他们与草甸相距5千米；
（2）解：设小州离开古刹的路程s(km)与行驶的时间t(h)的解析式为：s=kt+b，
把(0， 10)， (1， 30)代入得：
解得
所以s=20t+10，
当s=45时，t=1.75.
所以9+1.75=10.75.
答：小州到达飞瀑时的时刻为10时45分.
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据图象所示信息，由路程，速度，时间之间的关系求解即可；
(2)用待定系数法求出函数解析式，再把s=45代入解析式求出t即可.
17．【答案】（1）解：因为P随t的变化而均匀变化，所以P是t的一次函数．
设P与t之间的函数关系式为P= kt+b (k、b为常数，且k≠0)，将t=0， P=550和t=100， P=750分别代入 P= kt+b，得
解得
所以P与t之间的函数关系式为P=2t+550．
（2）解：由题意得， P≤1200，得2t+550≤1200，
解得t≤325，
答：容器安全时的温度范围为0℃≤t≤325℃．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据表格数据得到符合一次函数形式，利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）令 P≤1200，解不等式求出t的取值范围即可．
18．【答案】（1）解：解：∵AC=1，BC=x，
∴，
又∵
∴；
（2）证明：判断：在第二区域
理由如下：因为
所以
因为
所以
（3）解：②
③性质：
y随x的增大而增大：
x>0，函数图象随x的增大而越来越接近直线y=1；
函数值00时，图象与直线y=x没有交点；
x>0时，图象在直线y=x和直线y=1下方；
（4）解：理由如下：
由
已知 tanB约为时，DN取得最大值
(根据题(3) ①表格x=1.2时的数据)
又因为要方程有两个不同正数解，函数 和 有两个不同的交点，
结合图象可得：则 0<2t<0.468
所以 0【知识点】函数的图象；三角形的面积；勾股定理；通过函数图象获取信息；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出AB长，然后根据△ABC的面积等积变形解答即可；
（2）根据得到y的取值范围即可；
（3）②描点，连线作出函数图象即可；
③根据图象写出性质解答即可；
（4）表示DN的解析式，由表格数据得到tanB约为时，DN取得最大值，再根据方程有两个不同的正数解，利用一次函数图象的平移，借助函数图象得到t取值范围即可.
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