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6月上旬之二次函数—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1． 已知抛物线 的图象关于直线x=x0对称. 若该抛物线与直线y=x交于点 A（x1， y1)， B（x2， y2)，且 则下列说法正确的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：将直线y=x代入抛物线方程 ，得： ，
由韦达定理，可得 ，
抛物线对称轴 代入得：
已知 则： ，
∴
故答案为：A.
【分析】联立两解析式得到，根据根与系数的关系得到，根据对称轴公式的到，即可得到，求出x0和x1的关系解答即可.
2．如图，一块长方形ABCD绿地，AB=8米，BC=6米，中间铺设了两条互相垂直的路径(EF⊥AC)，路径两边互相平行(EF∥GH，AC∥MN) ，重叠部分为四边形 已知EG=CN=x米，设四块绿地AA1ED，△MB1F，HBNC1， △CD1G的面积总和为y，则y与x的函数解析式是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二次函数关系式；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴，
∴sinA=sin∠DCA=，cosA=cos∠DCA=，tanA=tan∠DCA=，
过点G作GP⊥EF于点P，过点M作QQ⊥AC于点Q，延长MN交DC的延长线于点K，则GP=A1D1，MQ=A1B1，GP∥AC，
∴∠EGP=∠DCA，∠K=∠DCA，
∴cos∠EGP=cos∠DCA，tanK=tan∠DCA，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】先根据矩形的性质和勾股定理求出AC长，过点G作GP⊥EF于点P，过点M作QQ⊥AC于点Q，延长MN交DC的延长线于点K，根据解直角三角形求出GP，MQ和CK长，然后表示y与x的关系式即可.
3． 如图，在平面直角坐标系中，A(-2，-3)，B(3， 7)， 点P是线段AB上(含端点) 的一点，将点B绕着点 P逆时针旋转 90°得到点 M，若点 M在反比例函数 的图像上，则k的最小值为(　　)
A．-24 B．-27 C．-28 D．-30
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：已知A(-2， - 3)， B(3， 7)，设解析式为y= kx+b，代入两点坐标：
解得： k=2， b=1，
∴直线AB的解析式为y=2x+1，
设点P的坐标为(t， 2t+1)，
点B(3， 7)绕点P(t， 2t+1)逆时针旋转 90°，
根据旋转性质，可得点M的坐标为： M(2t-3， 10-t)，
∵点M在反比例函数 的图象上，
∴k=(2t-3)(10-t)，
整理得： 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为
∵点P在线段 AB 上，
∴t的取值范围是-2≤t≤3，
∵二次函数开口向下，
在对称轴左侧，k随t的增大而增大.因此，当t取最小值时， k也取得最小值.
当t=0时， M(-3， 10)， k=-30；
当 时， M(-6， 11.5)， k=-69(无此选项)，
结合题目选项，当 时， M(0， 8.5)(不在函数上)，
当t=0时k=-30，
当 时，离对称轴更近的t=0不是正确的最小值点.
正确计算当2t-3=-3时， t=0， k=-30；
当10-t=9时， t=1， M(-1， 9)， k=-9；
当2t-3=-3且10-t=9时， t=0， k=-27.
因此， k的最小值为-27.
故选： B.
【分析】先求出直线 AB 的解析式，再用“一线三直角”模型，写出点B 绕点 P 逆时针旋转 90°后，点 M的坐标，把点 M 的坐标代入反比例函数，把k表示成关于点 P 横坐标的二次函数，再根据二次函数的性质求最小值.
4．如图1，直线l⊥直线m，垂足为点O，点A和点 B分别是直线l和直线m上两定点，点P从点A 出发，以每秒1个单位长度，沿直线l水平向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度，沿直线m竖直向上运动，设运动时间为x(s)，△PQO面积为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，图象与x轴只有一个交点D，且经过G(1，9)和E(n，q)，点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是(　　)
A．点D坐标为(3， 0) B．当y=9时， x=1或7
C．q=32 D．点(10， 34)在该函数图象上
【答案】B
【知识点】三角形的面积；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：设OA长a，OB=b，
∵图象与x轴只有一个交点D，
∵函数经过G(1， 9)，
解得：a=4(取正值)，
当y=0时，x=4，
∴点D的坐标为(4， 0)，故A选项错误，不符合题意；
当y=9时，
解得：
∴当y=9时，x=1或7，故B选项正确，符合题意；
当x=0时，y=16，
∵点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，
故C选项错误，不符合题意；
当x=10时，y=36，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】设OA长a，OB=b，则 得到y关于x的函数关系式，根据抛物线与x轴只有一个交点得到a和b的关系，进而把(1，9)代入抛物线解析式可得抛物线解析式，进而判断所给选项是否正确即可.
5．如图1，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，动点P从A处出发沿AB向目的地B运动，同时动点Q从B处出发沿BC—CD—DA向目的地A运动，它们同时到达终点.设AP为x(单位：cm)，△QPE的面积为y(单位：cm2)，y关于x的函数图象如图2 所示，当点 P在线段EB上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为(m，n).下列选项错误的是(　　)
A．AE=4cm B．CD=6cm C．m=5 D．n=2
【答案】D
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵两点同时走，同时到达终点，
∴点Q的运动速度是点P的3倍，
由图像可知当点Q在点D处时，y=0，即点P和E重合，
∴AE=，
∵图象过(1，4，5)，(2.5，4.5)，
∴，
解得：AB=6或AB=(舍去），
∴AE=4，CD=6，
当点Q在AD上时，根据抛物线的对称性可得m=(6+6+3)÷3=5时，n=，
故答案为：D.
【分析】根据题意得到点Q的运动速度是点P的3倍，再根据当点Q在点D处时，y=0，即点P和E重合，得到AE=，再根据函数图象的点(1，4，5)，(2.5，4.5)，列方程求出AB长，即可得到AE和CD长，再根据对称性得到m和n的值判断即可.
6．如图1，在△ABC中，∠C=90°，D为边AC的中点.动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线AB-BC匀速运动，到达点C后停止，连结DE.设点E的运动时间为x(单位：秒)，DE2为y.在动点E运动的过程中，y与x的函数图象如图2所示.下列说法不正确的是(　　)
A．AD=4 B．
C．点(12， 25)在该函数图象上 D．y的最大值为52
【答案】C
【知识点】勾股定理；二次函数图象上点的坐标特征；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图可知函数图象过点(0，16)，(16，6)，
∴当点A和E重合时，AD=，故A正确，不符合题意；
当点C与E重合时CD=，
∴AC=8，AB+BC=16，
又∵，
∴AB=10，BC=6，
如图，过点D作DF⊥AE于点F，
∵AD=DE，
∴m=2AF，
∵∠DFA=∠C=90°，∠CAB=∠FAD，
∴△AFD∽△ACB，
∴，即，
解得，即，故B正确，不符合题意；
当x=12时，CE=4，则，故C错误，符合题意；
当点E和B重合时，y的值最大，最大为，故D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据图象上点的坐标得到AD=CD=4，判断A选项；然后根据勾股定理求出AB=10，BC=6，
然后过点D作DF⊥AE于点F，根据相似三角形的性质求出AF长，根据m=2AF判断B选项；当x=12时，CE=4，根据勾股定理求出y的值判断C选项；点E和B重合时，y的值最大，根据勾股定理求出y值判断D选项解答即可.
7．如图①，矩形ABCD中，AB=6，点Q从点A出发向终点B匀速运动；同时点P以不同于点Q的速度从点B出发向终点C匀速运动.期间△DPQ的面积S与时间t的函数图象如图②所示，当t=4秒时，S取得最小值；当t≥6秒时，函数图象是一条线段.则下列说法错误的是（　　）
A．线段AD的长度为16
B．Q的速度为每秒1个单位长度
C．当点P运动至BC中点时，△DPQ的面积最小
D．△DPQ的面积的最小值为36
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；几何图形的面积计算-割补法；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：观察图①和图②可知当t=0时，S=48，此时S的面积为矩形ABCD的一半，
故矩形面积为96，即
故 故A选项正确；
时，函数图象变为一条线段，
∴此时Q点已经运动到终点B，故Q的速度为6÷6=1单位/s，故B选项正确；
设点P的运动速度为v单位/s，则根据
即
S为关于x的二次函数，其对称轴为直线 故v=2，
当t=4时，S最小，此时点P走了2×4=8，故点P运动至BC的中点，故C选项正确；
当t=4时， 故D选项错误，
故答案为：D.
【分析】观察图①和图②可知当t=0时，此时S的面积为矩形ABCD的一半，可求矩形的长，可判断A；
当 时，函数图象变为一条线段，故此时Q点已经运动到终点B，故可求Q点速度，可判断B；
根据设点P的运动速度为v单位/s，进而求出， 根据二次函数的性质可判断C、D选项.
8．如图1，在中，，点D是边上的定点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿边匀速运动，到达点C后停止，连结，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．点在该函数图象上
【答案】B
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：如下图，根据题意，可得当点在线段上时，函数的图像为段，
当点在线段上时，函数的图像为段，
当，即点与点重合时，，
即，解得（负值舍去），
当点运动到点，即点与点重合时，，
即，解得（负值舍去），
∴，
由函数图象可知，点的纵坐标相等，即两点的中点在此段函数图象的对称轴上，即此段函数图象的对称轴为，
如下图，过点作于点，连接，
当点与点重合时，取最小值，即取最小值，
∴取最小值，此时，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，故选项A错误，不符合题意；
在中，，
∴，故选项B正确，符合题意；
当点与点重合时，取最大值，即此时，
∵，
∴，
即，故选项C错误，不符合题意；
当时，如图，即，
∴，
∴，
∴点不在该函数图象上，故选项D错误，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】先得到，根据二次函数图象的对称性可得对称轴为，过点作于点，连接，即，然后根据两角对应相等得到，根据相似三角形的对应边成比例求出，判断A；在中，根据勾股定理可得，求出，判断B；当点与点重合时，取最大值，根据勾股定理求出n的值判断C；当时，根据勾股定理得到y的值判断D解答即可．
9．如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S(米)关于行驶时间t(秒)的函数图象．
①匀速行驶阶段：汽车从点A 出发，以v0的速度沿AB方向匀速行驶，2秒后到达点C．
②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点 D处停止，这个过程中S与t满足关系： (a为常数且a≠0)．
下列选项中正确的是(　　)
A．米/秒 B．汽车行驶总时间为10秒
C．a=6 D．n=150米
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意可知， (米/秒)，故A错误；汽车从A出发到D停止，共行驶2+6=8(秒)，故B错误；
把(2， 60)和 代入 得：
解得a=5，故C错误；
把(8， n)， 代入 得：
故D正确，
故答案为：D.
【分析】先根据图象求出v0，再把(2， 60)和 代入 求出a，再把(8， n)， 代入 求出n.
二、解答题
10． 已知点A (-2，-4)在二次函数 (a为常数，且a≠0)的图象上.
（1）求a的值.
（2）点B (m， n)， C(m+k， n+k)(k>0)均在二次函数 的图象上.
①当点 B与点A重合时，求点 C的坐标；
②当m≤x≤m+k时，函数值的范围是 n≤y≤n+k，求k的最大值.
【答案】（1）解：把(-2， - 4)代入
得4a+4a=-4，
解得
（2）解：①由题意，得m=-2， n=-4.
所以点C的坐标为(-2+k， - 4+k)，
所以
解得k=0或k=4.
因为k>0，所以k=4.
所以点C的坐标为(2，0).
②由(1)，得
所以抛物线的对称轴是直线x=1.
因为当m≤x≤m+k时，函数值的范围是n≤y≤n+k，
所以m+k≤1.
因为(m， n)， (m+k， n+k)在 图象上，
所以
解得
所以
所以
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)将点A(-2，-4)代入二次函数解析式，通过解方程求出a；
(2)①将B(-2，-4)代入点B、C的坐标关系，结合二次函数解析式列方程，求解k，进而得到C的坐标；
②先确定二次函数的对称轴与顶点，结合B、C在抛物线上的条件，得到与k的关系，再根据函数值范围确定k的最大值。
11．已知抛物线.
（1）求该抛物线与x轴的交点.
（2） 点A(t， y1) 和B (t，y2) 分别在抛物线. 和 上(t>0).
①当a<0时，两抛物线有交点(s，y3)，且0②若恒成立，请直接写出a的取值范围.
【答案】（1）解：令y=0，则
解得
所以与x轴交点坐标为(0， 0)， (4， 0).
（2）解：①0所以有 解得
因为a<0，所以
②
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：⑵②若a<0，显然不成立，
若a>0，求抛物线交点，列方程得
解
若要y1>0时应无交点，
即 无解或小于0，即
故答案为：
【分析】（1）令y=0，求出x的值，即可得到抛物线与x轴交点的坐标即可；
（2）①当0②当a<0时不成立；a>0时，解方程求出x的值，然后根据y1>0求出a的取值范围即可.
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 (b为常数)与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点 B，对称轴直线 x=1与x轴交于点 C.点P 为抛物线上第一象限内的动点，设P 点的横坐标为m.
（1）求 b 的值.
（2）当0≤x≤m时，记二次函数 的最大值、最小值分别为 s， t.若s-t=0.5，求m的值.
（3）过点 P 分别作 x轴和对称轴的垂线，垂足分别为点 D，E，当矩形 PECD 的周长最大时，求点 P 的坐标.
【答案】（1）解：由 得b=2.
（2）解：由(1)得
令y=0，得x1 =-1， x2 =3，
所以0分两种情况：
①若0当x=m时，
因为s-t=0.5，所以
解得 (舍去)，
②若1≤m<3，则 1≤x<3，当x=1时， ymax=s=4；
因为s-t=0.5， 所以t=3.5.
又因为当x=0时，y=3<3.5，
所以该情况不存在满足条件的点 P.
综上所述，
（3）解：由题意得 设矩形PECD的周长为L， 则：
①点 P 在对称轴左侧时，如图，
时L 最大.
当L最大时，点
②点 P 在对称轴右侧时，根据对称性得
所以点 P 坐标为( 或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式计算即可；
（2）先求出抛物线与x轴交点的坐标，即可得到0（3）设点P的坐标，即可得到点E的坐标，然后分为点 P 在对称轴左侧或点 P 在对称轴右侧两种情况表示L关于m的函数关系式，然后配方得到顶点式，进而得到点P的坐标即可.
13．已知二次函数
（1）求该二次函数图象的对称轴。
（2）若直线y=-x-2与抛物线相交于两点，其中一个交点的横坐标为2。过点P(m，0)作y轴的平行线分别交抛物线和直线y=-x-2于点 M，N。
①若m=3，求MN的长度。
②当点M在点N的上方，且线段MN的长度随OP的增大而减小时，求m的取值范围。
【答案】（1）对称轴是直线x=-1
（2）①由已知得二次函数与一次函数的交点坐标为(2，-4)，代入 解得 ∴二次函数的表达式为
把m=3分别代入二次函数和一次函数得
与y=-x-2图象交点坐标为(2，-4)，(-1，-1)
由图象可得当-1因为，当点P在x轴的正半轴时，OP随m的增大而增大，
当点 P在x轴的负半轴时，OP随m的增大而减小，
由图象可得，当-1【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段周长问题
14．在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线 的顶点.
（1）求点 P的坐标(用含t的代数式表示).
（2）直线OP 交抛物线于点 Q(x2， y2).
①若点O恰为PQ的中点，求此时t的值.
②点 M(x3， y3)在抛物线上，当 时，y2＜y3始终成立，求t的取值范围.
【答案】（1）y=(x+t)2+2t
∴点 P(-t，2t)
（2）①∵O为线段 PQ的中点，
∴P，Q关于原点成中心对称，
∴点 Q(t， - 2t)
将点Q(t，- 2t)代入 得 解得t1=0(舍去)t2=-1
②设OP的解析式为y=kx，
把 P(-t，2t)代入得-kt=2t，解得k=-2，
∴直线OP的解析式为y=-2x，
解方程组得或，
∴点Q(-t-2， 2t+4)，
当-t<0时，如图3，当 时，y随x的增大而增大，
∴当x=0时，y3最小值为t2+2t，
由 ，可得2t+4解得t>2；
当-t>0时，如图4，当 时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y3最小值为t2+6t+4，
由 ，可得 2t+4t<-4
∴t>2或t<-4.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）配方为顶点式即可得到点P的坐标；
（2）①根据题意得到点Q的坐标，然后代入抛物线解析式求出t的值解答即可；
②求出OP的解析式，然后联立直线和抛物线的解析式求出点Q的坐标，再分为-t<0或-t>0，利用函数的增减性得到y3最小值，列不等式解答即可.
15．如图，二次函数 (a为常数，且a≠0) 的图象在同一平面直角坐标系中，且的图象过点(4， 0) ．
（1）求a的值．
（2）与x轴平行的直线l与y1的图象交于A，B两点，记点A，B的横坐标分别是xA，xB，且 当 时，求y2的函数值的取值范围．
（3）已知点(m， n)， (m+k， n)(其中m≥1， k>0)分别在y1，y2图象上，求k的最小值．
【答案】（1）解：由题意， 的图象过点(4，0)，
（2）解： 的图象对称轴为直线x=1，
又
的图象对称轴为直线x=2，
∴y2的取值范围-2≤y≤1.125；
（3）解：由题意， 将(m， n)， (m+k， n)分别代入y1，y2得，
∴k的最小值为2.

【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)依据题意，由 的图象过点(4，0)，则16a-8=0，从而可得a=0.5，即可得解；
(2)依据题意，由 的图象对称轴为直线x=1，则 结合 可得 从而 又 可得对称轴为直线x=2，从而可以得解；
(3)依据题意，将(m， n)，((m+k，n)分别代入 y2得， 则 可得 又k>0，从而可以得解.
16．抛物线 (b为常数)经过点(3，0).
（1）求二次函数的表达式.
（2）当t≤x≤t+2时，二次函数 的最大值为15，求 t的值.
（3）已知正方形ABCD的边长为9， AB∥x轴， AB在CD下方，点A在点B的左侧.在正方形ABCD任意平移的过程中，抛物线的一段. 在正方形ABCD的边界及其内部，其中m≤2≤n，当n-m达到最大值时，求点D横坐标的取值范围.
【答案】（1）解：把(3，0)代入 得
解这个方程，得：b=-4
∴二次函数的表达式为
（2）解：令y=15，则
解这个方程，得 ，
∵t≤x≤t+2，

（3）解：
∴抛物线的顶点坐标为(2，-1)
∵抛物线的一段 在边长为9的正方形ABCD的边界及其内部，且m≤2≤n
∴AB 不能在顶点(2，-1)上方，
因为正方形边长为9，再由图像可知，当顶点落在AB中点处，必能取得n-m的最大值为6
此时x=n=3+2=5， y=8
∵9>6
∴要取到最大值，抛物线顶点在AB 上且与 CD 存在两个交点，
即-4≤≤-1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的对称变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将(3， 0)代入求出b的值解答即可；
(2)令y=15，求出x的值，再根据x范围得到t的值解答即可；
(3)先化为顶点式，得到顶点坐标，易得AB不能在顶点(2，-1)上方，画出图形，找出临界值解答即可即可.
17．电子跳蚤可在复杂环境中执行任务.将其抽象为一点，起跳后的运动轨迹可看作抛物线的一部分，且每次运动的轨迹形状保持不变.实验中，跳蚤从水平地面上的点O起跳，最终落在水平地面上的点P.以点O为原点，OP所在直线为x轴，过点O垂直于地面的直线为y轴，以1cm为一个单位长度建立平面直角坐标系xOy.已知OP=20cm，轨迹最高点距地面(x轴) 10cm.
（1）求跳蚤跳跃轨迹对应的抛物线函数表达式.
（2）跳蚤前方地面上有一长方体挡板，其截面为矩形ABCD，与运动轨迹在同一平面内.已知OA=28cm， AB=2cm， BC=7.5cm.若跳蚤先向挡板垂直方向爬行k米，再按(1)中的轨迹跳跃一次，刚好跳到挡板上底面，即其下落轨迹经过线段CD(含端点C、D)，求爬行距离k的取值范围.
【答案】（1）解：由题可知最高点(10，10)，
设顶点式 ，
将P(20，0)代入得 ，
所以 ；
（2）解：在 中，
令y=7.5， 则
求得x1=5(舍去) ， x2=15cm
所以13≤100k≤15
所以0.13≤k≤0.15
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）先求出y=7.5时的自变量x的值，然后根据爬行可得关于k的不等式组，解不等式组求出k的取值范围即可.
18． 【阅读理解】
同学们，我们来学计算二次方程解的方法．
例如，求 的解．
思路：在二次函数 中，若取x的值为 使得相应的函数值 则抛物线与x轴的交点中至少有一个在 与 之间，也就是说，方程 至少有一个解在 与 之间．
（1）【尝试探究】
小明按照上述方法求方程 的一个解，过程如下表：
x的值 0 1 2 3
a b c
请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间．
（2）【迁移应用】
若关于x的方程 有两个不同的解，恰有一个解落在-4与-3之间，求m的取值范围．
【答案】（1）解：将 代入得， 当 时，
所以
所以方程的解落在1和2之间．
（2）解：将 分别代入得
由题意得，m(m-3)<0，所以0【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【分析】(1)将点的横坐标代入解析式得到纵坐标，根据两点纵坐标之积小于零，判断解的范围；
(2)将x=-4和x=-3分别代入 得到 根据 结合判别式大于0求出m的取值范围.
19．请根据以下素材，完成探究任务．
汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘．
制定汉服加工方案
生产背景 背景1 （1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）； （2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套； （3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数供应高端团购单．
背景2 当前市场行情下各款式获利情况如下： ①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元； ②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元； ③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元．
信息整理 现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下： 汉服类型加工人数人均日产量/套单套净利润/元唐制y330宋制x2　明制　190
探究任务
（1）任务1：探寻变量关系
根据合同约束，求x，y之间的数量关系．
（2）任务2：建立数学模型
设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式．
（3）任务3：拟定最优方案
确定使每日总利润最大的分配方案．
【答案】（1）解：任务1：∵安排x名工人加工宋制汉服，y名工人加工唐制汉服，
则加工明制汉服的有人，
∴，整理得：．
（2）解：任务2：根据题意得：，
整理得：．
（3）解：任务3：由任务2得，，
∵，
∴开口向下，
∵对称轴为直线，
∴当时，W随x的增大而增大，
当时，W随x的增大而减小．
∵且x，y均取正整数，
∴当或12时，利润最大．
∴方案1：安排8名工人加工宋制汉服，13名工人加工唐制汉服，39名工人加工明制汉服，
方案2：安排12名工人加工宋制汉服，12名工人加工唐制汉服，36名工人加工明制汉服．
【知识点】二次函数的最值；列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据“明制”服装总件数和“唐制”服装相等列出方程即可求解；
任务2：将3种服装的获利求和即可得出结果；
任务3：判断出抛物线的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质，求得合适的方案即可.
1 / 16月上旬之二次函数—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1． 已知抛物线 的图象关于直线x=x0对称. 若该抛物线与直线y=x交于点 A（x1， y1)， B（x2， y2)，且 则下列说法正确的是（　　)
A． B．
C． D．
2．如图，一块长方形ABCD绿地，AB=8米，BC=6米，中间铺设了两条互相垂直的路径(EF⊥AC)，路径两边互相平行(EF∥GH，AC∥MN) ，重叠部分为四边形 已知EG=CN=x米，设四块绿地AA1ED，△MB1F，HBNC1， △CD1G的面积总和为y，则y与x的函数解析式是(　　)
A． B．
C． D．
3． 如图，在平面直角坐标系中，A(-2，-3)，B(3， 7)， 点P是线段AB上(含端点) 的一点，将点B绕着点 P逆时针旋转 90°得到点 M，若点 M在反比例函数 的图像上，则k的最小值为(　　)
A．-24 B．-27 C．-28 D．-30
4．如图1，直线l⊥直线m，垂足为点O，点A和点 B分别是直线l和直线m上两定点，点P从点A 出发，以每秒1个单位长度，沿直线l水平向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度，沿直线m竖直向上运动，设运动时间为x(s)，△PQO面积为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，图象与x轴只有一个交点D，且经过G(1，9)和E(n，q)，点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是(　　)
A．点D坐标为(3， 0) B．当y=9时， x=1或7
C．q=32 D．点(10， 34)在该函数图象上
5．如图1，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，动点P从A处出发沿AB向目的地B运动，同时动点Q从B处出发沿BC—CD—DA向目的地A运动，它们同时到达终点.设AP为x(单位：cm)，△QPE的面积为y(单位：cm2)，y关于x的函数图象如图2 所示，当点 P在线段EB上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为(m，n).下列选项错误的是(　　)
A．AE=4cm B．CD=6cm C．m=5 D．n=2
6．如图1，在△ABC中，∠C=90°，D为边AC的中点.动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线AB-BC匀速运动，到达点C后停止，连结DE.设点E的运动时间为x(单位：秒)，DE2为y.在动点E运动的过程中，y与x的函数图象如图2所示.下列说法不正确的是(　　)
A．AD=4 B．
C．点(12， 25)在该函数图象上 D．y的最大值为52
7．如图①，矩形ABCD中，AB=6，点Q从点A出发向终点B匀速运动；同时点P以不同于点Q的速度从点B出发向终点C匀速运动.期间△DPQ的面积S与时间t的函数图象如图②所示，当t=4秒时，S取得最小值；当t≥6秒时，函数图象是一条线段.则下列说法错误的是（　　）
A．线段AD的长度为16
B．Q的速度为每秒1个单位长度
C．当点P运动至BC中点时，△DPQ的面积最小
D．△DPQ的面积的最小值为36
8．如图1，在中，，点D是边上的定点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿边匀速运动，到达点C后停止，连结，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．点在该函数图象上
9．如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S(米)关于行驶时间t(秒)的函数图象．
①匀速行驶阶段：汽车从点A 出发，以v0的速度沿AB方向匀速行驶，2秒后到达点C．
②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点 D处停止，这个过程中S与t满足关系： (a为常数且a≠0)．
下列选项中正确的是(　　)
A．米/秒 B．汽车行驶总时间为10秒
C．a=6 D．n=150米
二、解答题
10． 已知点A (-2，-4)在二次函数 (a为常数，且a≠0)的图象上.
（1）求a的值.
（2）点B (m， n)， C(m+k， n+k)(k>0)均在二次函数 的图象上.
①当点 B与点A重合时，求点 C的坐标；
②当m≤x≤m+k时，函数值的范围是 n≤y≤n+k，求k的最大值.
11．已知抛物线.
（1）求该抛物线与x轴的交点.
（2） 点A(t， y1) 和B (t，y2) 分别在抛物线. 和 上(t>0).
①当a<0时，两抛物线有交点(s，y3)，且0②若恒成立，请直接写出a的取值范围.
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 (b为常数)与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点 B，对称轴直线 x=1与x轴交于点 C.点P 为抛物线上第一象限内的动点，设P 点的横坐标为m.
（1）求 b 的值.
（2）当0≤x≤m时，记二次函数 的最大值、最小值分别为 s， t.若s-t=0.5，求m的值.
（3）过点 P 分别作 x轴和对称轴的垂线，垂足分别为点 D，E，当矩形 PECD 的周长最大时，求点 P 的坐标.
13．已知二次函数
（1）求该二次函数图象的对称轴。
（2）若直线y=-x-2与抛物线相交于两点，其中一个交点的横坐标为2。过点P(m，0)作y轴的平行线分别交抛物线和直线y=-x-2于点 M，N。
①若m=3，求MN的长度。
②当点M在点N的上方，且线段MN的长度随OP的增大而减小时，求m的取值范围。
14．在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线 的顶点.
（1）求点 P的坐标(用含t的代数式表示).
（2）直线OP 交抛物线于点 Q(x2， y2).
①若点O恰为PQ的中点，求此时t的值.
②点 M(x3， y3)在抛物线上，当 时，y2＜y3始终成立，求t的取值范围.
15．如图，二次函数 (a为常数，且a≠0) 的图象在同一平面直角坐标系中，且的图象过点(4， 0) ．
（1）求a的值．
（2）与x轴平行的直线l与y1的图象交于A，B两点，记点A，B的横坐标分别是xA，xB，且 当 时，求y2的函数值的取值范围．
（3）已知点(m， n)， (m+k， n)(其中m≥1， k>0)分别在y1，y2图象上，求k的最小值．
16．抛物线 (b为常数)经过点(3，0).
（1）求二次函数的表达式.
（2）当t≤x≤t+2时，二次函数 的最大值为15，求 t的值.
（3）已知正方形ABCD的边长为9， AB∥x轴， AB在CD下方，点A在点B的左侧.在正方形ABCD任意平移的过程中，抛物线的一段. 在正方形ABCD的边界及其内部，其中m≤2≤n，当n-m达到最大值时，求点D横坐标的取值范围.
17．电子跳蚤可在复杂环境中执行任务.将其抽象为一点，起跳后的运动轨迹可看作抛物线的一部分，且每次运动的轨迹形状保持不变.实验中，跳蚤从水平地面上的点O起跳，最终落在水平地面上的点P.以点O为原点，OP所在直线为x轴，过点O垂直于地面的直线为y轴，以1cm为一个单位长度建立平面直角坐标系xOy.已知OP=20cm，轨迹最高点距地面(x轴) 10cm.
（1）求跳蚤跳跃轨迹对应的抛物线函数表达式.
（2）跳蚤前方地面上有一长方体挡板，其截面为矩形ABCD，与运动轨迹在同一平面内.已知OA=28cm， AB=2cm， BC=7.5cm.若跳蚤先向挡板垂直方向爬行k米，再按(1)中的轨迹跳跃一次，刚好跳到挡板上底面，即其下落轨迹经过线段CD(含端点C、D)，求爬行距离k的取值范围.
18． 【阅读理解】
同学们，我们来学计算二次方程解的方法．
例如，求 的解．
思路：在二次函数 中，若取x的值为 使得相应的函数值 则抛物线与x轴的交点中至少有一个在 与 之间，也就是说，方程 至少有一个解在 与 之间．
（1）【尝试探究】
小明按照上述方法求方程 的一个解，过程如下表：
x的值 0 1 2 3
a b c
请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间．
（2）【迁移应用】
若关于x的方程 有两个不同的解，恰有一个解落在-4与-3之间，求m的取值范围．
19．请根据以下素材，完成探究任务．
汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘．
制定汉服加工方案
生产背景 背景1 （1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）； （2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套； （3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数供应高端团购单．
背景2 当前市场行情下各款式获利情况如下： ①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元； ②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元； ③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元．
信息整理 现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下： 汉服类型加工人数人均日产量/套单套净利润/元唐制y330宋制x2　明制　190
探究任务
（1）任务1：探寻变量关系
根据合同约束，求x，y之间的数量关系．
（2）任务2：建立数学模型
设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式．
（3）任务3：拟定最优方案
确定使每日总利润最大的分配方案．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：将直线y=x代入抛物线方程 ，得： ，
由韦达定理，可得 ，
抛物线对称轴 代入得：
已知 则： ，
∴
故答案为：A.
【分析】联立两解析式得到，根据根与系数的关系得到，根据对称轴公式的到，即可得到，求出x0和x1的关系解答即可.
2．【答案】B
【知识点】列二次函数关系式；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴，
∴sinA=sin∠DCA=，cosA=cos∠DCA=，tanA=tan∠DCA=，
过点G作GP⊥EF于点P，过点M作QQ⊥AC于点Q，延长MN交DC的延长线于点K，则GP=A1D1，MQ=A1B1，GP∥AC，
∴∠EGP=∠DCA，∠K=∠DCA，
∴cos∠EGP=cos∠DCA，tanK=tan∠DCA，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】先根据矩形的性质和勾股定理求出AC长，过点G作GP⊥EF于点P，过点M作QQ⊥AC于点Q，延长MN交DC的延长线于点K，根据解直角三角形求出GP，MQ和CK长，然后表示y与x的关系式即可.
3．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：已知A(-2， - 3)， B(3， 7)，设解析式为y= kx+b，代入两点坐标：
解得： k=2， b=1，
∴直线AB的解析式为y=2x+1，
设点P的坐标为(t， 2t+1)，
点B(3， 7)绕点P(t， 2t+1)逆时针旋转 90°，
根据旋转性质，可得点M的坐标为： M(2t-3， 10-t)，
∵点M在反比例函数 的图象上，
∴k=(2t-3)(10-t)，
整理得： 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为
∵点P在线段 AB 上，
∴t的取值范围是-2≤t≤3，
∵二次函数开口向下，
在对称轴左侧，k随t的增大而增大.因此，当t取最小值时， k也取得最小值.
当t=0时， M(-3， 10)， k=-30；
当 时， M(-6， 11.5)， k=-69(无此选项)，
结合题目选项，当 时， M(0， 8.5)(不在函数上)，
当t=0时k=-30，
当 时，离对称轴更近的t=0不是正确的最小值点.
正确计算当2t-3=-3时， t=0， k=-30；
当10-t=9时， t=1， M(-1， 9)， k=-9；
当2t-3=-3且10-t=9时， t=0， k=-27.
因此， k的最小值为-27.
故选： B.
【分析】先求出直线 AB 的解析式，再用“一线三直角”模型，写出点B 绕点 P 逆时针旋转 90°后，点 M的坐标，把点 M 的坐标代入反比例函数，把k表示成关于点 P 横坐标的二次函数，再根据二次函数的性质求最小值.
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：设OA长a，OB=b，
∵图象与x轴只有一个交点D，
∵函数经过G(1， 9)，
解得：a=4(取正值)，
当y=0时，x=4，
∴点D的坐标为(4， 0)，故A选项错误，不符合题意；
当y=9时，
解得：
∴当y=9时，x=1或7，故B选项正确，符合题意；
当x=0时，y=16，
∵点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，
故C选项错误，不符合题意；
当x=10时，y=36，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】设OA长a，OB=b，则 得到y关于x的函数关系式，根据抛物线与x轴只有一个交点得到a和b的关系，进而把(1，9)代入抛物线解析式可得抛物线解析式，进而判断所给选项是否正确即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵两点同时走，同时到达终点，
∴点Q的运动速度是点P的3倍，
由图像可知当点Q在点D处时，y=0，即点P和E重合，
∴AE=，
∵图象过(1，4，5)，(2.5，4.5)，
∴，
解得：AB=6或AB=(舍去），
∴AE=4，CD=6，
当点Q在AD上时，根据抛物线的对称性可得m=(6+6+3)÷3=5时，n=，
故答案为：D.
【分析】根据题意得到点Q的运动速度是点P的3倍，再根据当点Q在点D处时，y=0，即点P和E重合，得到AE=，再根据函数图象的点(1，4，5)，(2.5，4.5)，列方程求出AB长，即可得到AE和CD长，再根据对称性得到m和n的值判断即可.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；二次函数图象上点的坐标特征；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图可知函数图象过点(0，16)，(16，6)，
∴当点A和E重合时，AD=，故A正确，不符合题意；
当点C与E重合时CD=，
∴AC=8，AB+BC=16，
又∵，
∴AB=10，BC=6，
如图，过点D作DF⊥AE于点F，
∵AD=DE，
∴m=2AF，
∵∠DFA=∠C=90°，∠CAB=∠FAD，
∴△AFD∽△ACB，
∴，即，
解得，即，故B正确，不符合题意；
当x=12时，CE=4，则，故C错误，符合题意；
当点E和B重合时，y的值最大，最大为，故D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据图象上点的坐标得到AD=CD=4，判断A选项；然后根据勾股定理求出AB=10，BC=6，
然后过点D作DF⊥AE于点F，根据相似三角形的性质求出AF长，根据m=2AF判断B选项；当x=12时，CE=4，根据勾股定理求出y的值判断C选项；点E和B重合时，y的值最大，根据勾股定理求出y值判断D选项解答即可.
7．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；几何图形的面积计算-割补法；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：观察图①和图②可知当t=0时，S=48，此时S的面积为矩形ABCD的一半，
故矩形面积为96，即
故 故A选项正确；
时，函数图象变为一条线段，
∴此时Q点已经运动到终点B，故Q的速度为6÷6=1单位/s，故B选项正确；
设点P的运动速度为v单位/s，则根据
即
S为关于x的二次函数，其对称轴为直线 故v=2，
当t=4时，S最小，此时点P走了2×4=8，故点P运动至BC的中点，故C选项正确；
当t=4时， 故D选项错误，
故答案为：D.
【分析】观察图①和图②可知当t=0时，此时S的面积为矩形ABCD的一半，可求矩形的长，可判断A；
当 时，函数图象变为一条线段，故此时Q点已经运动到终点B，故可求Q点速度，可判断B；
根据设点P的运动速度为v单位/s，进而求出， 根据二次函数的性质可判断C、D选项.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：如下图，根据题意，可得当点在线段上时，函数的图像为段，
当点在线段上时，函数的图像为段，
当，即点与点重合时，，
即，解得（负值舍去），
当点运动到点，即点与点重合时，，
即，解得（负值舍去），
∴，
由函数图象可知，点的纵坐标相等，即两点的中点在此段函数图象的对称轴上，即此段函数图象的对称轴为，
如下图，过点作于点，连接，
当点与点重合时，取最小值，即取最小值，
∴取最小值，此时，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，故选项A错误，不符合题意；
在中，，
∴，故选项B正确，符合题意；
当点与点重合时，取最大值，即此时，
∵，
∴，
即，故选项C错误，不符合题意；
当时，如图，即，
∴，
∴，
∴点不在该函数图象上，故选项D错误，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】先得到，根据二次函数图象的对称性可得对称轴为，过点作于点，连接，即，然后根据两角对应相等得到，根据相似三角形的对应边成比例求出，判断A；在中，根据勾股定理可得，求出，判断B；当点与点重合时，取最大值，根据勾股定理求出n的值判断C；当时，根据勾股定理得到y的值判断D解答即可．
9．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意可知， (米/秒)，故A错误；汽车从A出发到D停止，共行驶2+6=8(秒)，故B错误；
把(2， 60)和 代入 得：
解得a=5，故C错误；
把(8， n)， 代入 得：
故D正确，
故答案为：D.
【分析】先根据图象求出v0，再把(2， 60)和 代入 求出a，再把(8， n)， 代入 求出n.
10．【答案】（1）解：把(-2， - 4)代入
得4a+4a=-4，
解得
（2）解：①由题意，得m=-2， n=-4.
所以点C的坐标为(-2+k， - 4+k)，
所以
解得k=0或k=4.
因为k>0，所以k=4.
所以点C的坐标为(2，0).
②由(1)，得
所以抛物线的对称轴是直线x=1.
因为当m≤x≤m+k时，函数值的范围是n≤y≤n+k，
所以m+k≤1.
因为(m， n)， (m+k， n+k)在 图象上，
所以
解得
所以
所以
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)将点A(-2，-4)代入二次函数解析式，通过解方程求出a；
(2)①将B(-2，-4)代入点B、C的坐标关系，结合二次函数解析式列方程，求解k，进而得到C的坐标；
②先确定二次函数的对称轴与顶点，结合B、C在抛物线上的条件，得到与k的关系，再根据函数值范围确定k的最大值。
11．【答案】（1）解：令y=0，则
解得
所以与x轴交点坐标为(0， 0)， (4， 0).
（2）解：①0所以有 解得
因为a<0，所以
②
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：⑵②若a<0，显然不成立，
若a>0，求抛物线交点，列方程得
解
若要y1>0时应无交点，
即 无解或小于0，即
故答案为：
【分析】（1）令y=0，求出x的值，即可得到抛物线与x轴交点的坐标即可；
（2）①当0②当a<0时不成立；a>0时，解方程求出x的值，然后根据y1>0求出a的取值范围即可.
12．【答案】（1）解：由 得b=2.
（2）解：由(1)得
令y=0，得x1 =-1， x2 =3，
所以0分两种情况：
①若0当x=m时，
因为s-t=0.5，所以
解得 (舍去)，
②若1≤m<3，则 1≤x<3，当x=1时， ymax=s=4；
因为s-t=0.5， 所以t=3.5.
又因为当x=0时，y=3<3.5，
所以该情况不存在满足条件的点 P.
综上所述，
（3）解：由题意得 设矩形PECD的周长为L， 则：
①点 P 在对称轴左侧时，如图，
时L 最大.
当L最大时，点
②点 P 在对称轴右侧时，根据对称性得
所以点 P 坐标为( 或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式计算即可；
（2）先求出抛物线与x轴交点的坐标，即可得到0（3）设点P的坐标，即可得到点E的坐标，然后分为点 P 在对称轴左侧或点 P 在对称轴右侧两种情况表示L关于m的函数关系式，然后配方得到顶点式，进而得到点P的坐标即可.
13．【答案】（1）对称轴是直线x=-1
（2）①由已知得二次函数与一次函数的交点坐标为(2，-4)，代入 解得 ∴二次函数的表达式为
把m=3分别代入二次函数和一次函数得
与y=-x-2图象交点坐标为(2，-4)，(-1，-1)
由图象可得当-1因为，当点P在x轴的正半轴时，OP随m的增大而增大，
当点 P在x轴的负半轴时，OP随m的增大而减小，
由图象可得，当-1【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段周长问题
14．【答案】（1）y=(x+t)2+2t
∴点 P(-t，2t)
（2）①∵O为线段 PQ的中点，
∴P，Q关于原点成中心对称，
∴点 Q(t， - 2t)
将点Q(t，- 2t)代入 得 解得t1=0(舍去)t2=-1
②设OP的解析式为y=kx，
把 P(-t，2t)代入得-kt=2t，解得k=-2，
∴直线OP的解析式为y=-2x，
解方程组得或，
∴点Q(-t-2， 2t+4)，
当-t<0时，如图3，当 时，y随x的增大而增大，
∴当x=0时，y3最小值为t2+2t，
由 ，可得2t+4解得t>2；
当-t>0时，如图4，当 时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y3最小值为t2+6t+4，
由 ，可得 2t+4t<-4
∴t>2或t<-4.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）配方为顶点式即可得到点P的坐标；
（2）①根据题意得到点Q的坐标，然后代入抛物线解析式求出t的值解答即可；
②求出OP的解析式，然后联立直线和抛物线的解析式求出点Q的坐标，再分为-t<0或-t>0，利用函数的增减性得到y3最小值，列不等式解答即可.
15．【答案】（1）解：由题意， 的图象过点(4，0)，
（2）解： 的图象对称轴为直线x=1，
又
的图象对称轴为直线x=2，
∴y2的取值范围-2≤y≤1.125；
（3）解：由题意， 将(m， n)， (m+k， n)分别代入y1，y2得，
∴k的最小值为2.

【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)依据题意，由 的图象过点(4，0)，则16a-8=0，从而可得a=0.5，即可得解；
(2)依据题意，由 的图象对称轴为直线x=1，则 结合 可得 从而 又 可得对称轴为直线x=2，从而可以得解；
(3)依据题意，将(m， n)，((m+k，n)分别代入 y2得， 则 可得 又k>0，从而可以得解.
16．【答案】（1）解：把(3，0)代入 得
解这个方程，得：b=-4
∴二次函数的表达式为
（2）解：令y=15，则
解这个方程，得 ，
∵t≤x≤t+2，

（3）解：
∴抛物线的顶点坐标为(2，-1)
∵抛物线的一段 在边长为9的正方形ABCD的边界及其内部，且m≤2≤n
∴AB 不能在顶点(2，-1)上方，
因为正方形边长为9，再由图像可知，当顶点落在AB中点处，必能取得n-m的最大值为6
此时x=n=3+2=5， y=8
∵9>6
∴要取到最大值，抛物线顶点在AB 上且与 CD 存在两个交点，
即-4≤≤-1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的对称变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将(3， 0)代入求出b的值解答即可；
(2)令y=15，求出x的值，再根据x范围得到t的值解答即可；
(3)先化为顶点式，得到顶点坐标，易得AB不能在顶点(2，-1)上方，画出图形，找出临界值解答即可即可.
17．【答案】（1）解：由题可知最高点(10，10)，
设顶点式 ，
将P(20，0)代入得 ，
所以 ；
（2）解：在 中，
令y=7.5， 则
求得x1=5(舍去) ， x2=15cm
所以13≤100k≤15
所以0.13≤k≤0.15
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）先求出y=7.5时的自变量x的值，然后根据爬行可得关于k的不等式组，解不等式组求出k的取值范围即可.
18．【答案】（1）解：将 代入得， 当 时，
所以
所以方程的解落在1和2之间．
（2）解：将 分别代入得
由题意得，m(m-3)<0，所以0【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【分析】(1)将点的横坐标代入解析式得到纵坐标，根据两点纵坐标之积小于零，判断解的范围；
(2)将x=-4和x=-3分别代入 得到 根据 结合判别式大于0求出m的取值范围.
19．【答案】（1）解：任务1：∵安排x名工人加工宋制汉服，y名工人加工唐制汉服，
则加工明制汉服的有人，
∴，整理得：．
（2）解：任务2：根据题意得：，
整理得：．
（3）解：任务3：由任务2得，，
∵，
∴开口向下，
∵对称轴为直线，
∴当时，W随x的增大而增大，
当时，W随x的增大而减小．
∵且x，y均取正整数，
∴当或12时，利润最大．
∴方案1：安排8名工人加工宋制汉服，13名工人加工唐制汉服，39名工人加工明制汉服，
方案2：安排12名工人加工宋制汉服，12名工人加工唐制汉服，36名工人加工明制汉服．
【知识点】二次函数的最值；列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据“明制”服装总件数和“唐制”服装相等列出方程即可求解；
任务2：将3种服装的获利求和即可得出结果；
任务3：判断出抛物线的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质，求得合适的方案即可.
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