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重庆求精中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．化简（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
4．5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种 B．90种 C．150种 D．240种
5．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ）
A．-80 B．80 C．-160 D．-120
7．甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数及其导函数的定义域均为，且满足，时，.若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A．共有120种排列方式
B．若两个“车”相邻，则有24种排列方式
C．若两个“马”不相邻，则有72种排列方式
D．若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式
10．若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递减，在上单调递增
B．当时，
C．若函数有两个零点，则
D．设，若对，，使得成立，则
三、填空题
12．若，则__________
13．如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为___________.
14．已知存在实数x，使得不等式成立，则实数t的取值范围是__________．
四、解答题
15．某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%．
(1)从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率；
(2)如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率．
16．已知函数，的图象在点处的切线为．
(1)求a，b的值;
(2)设，求最小值．
17．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望.
18．已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切.
(1)求的方程；
(2)设点，，是椭圆上关于轴对称的两点，交于另一点，
①证明：直线经过定点；
②求的内切圆半径的范围.
19．已知，
(1)当时，证明：；
(2)设，若对任意的，恒成立，求的取值范围；
(3)证明：对任意的正整数，总有.
参考答案
1．C
【详解】对于A，因为是常数，所以，所以A错误；
对于B，因为，所以B错误；
对于C，因为，所以C正确；
对于D，因为，所以D错误.
2．C
【详解】因为，
所以
，故C对.
故选：C.
3．A
【详解】因为，所以，
所以由可得，
所以函数的单调递增区间为，
故选：A
4．C
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将5名同学分为3组，
若分为1，2，2的三组，有种分组方法，
若分为1 1 3的三组，有种分组方法，
则有种分组方法，
②将分好的三组安排到3个小区，有种情况，
则有种不同的安排方法，
故选：C.
5．D
【详解】随机变量服从两点分布，其中，所以.
所以，故A选项结论正确；
，故C选项结论正确；
，故B选项结论正确；
，故D选项结论错误．
故选：D.
6．C
解：因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，所以，所以的展开式的通项为，令，得，故，故展开式中的系数为
故选：C
7．D
【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A不正确；
乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确；
则有，故C不正确；
则，故D正确；
故选：D
8．A
【详解】令，则，故为R上的偶函数，
当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
等价于，
即在上恒成立．
所以，平方后化简得到．
由一次函数性质可得，
解得，即，
故a的取值范围是．
9．ACD
【详解】A对，由排列知识可得共有种排列方式．
B错，将两个“车”捆绑作为一个元素，有种排列方式，
再和剩余的3个棋子进行全排列，故共有种排列方式．
C对，两个“马”不相邻，先将剩余的3个棋子进行全排列，产生4个空，
再将两个“马”插空，故共有种排列方式．
D对，将2个黑色的棋子进行全排列，产生3个空，再将3个红色的棋子进行插空，
故共有种排列方式．
故选：ACD.
10．AC
【详解】A：因为，
所以多项式最高次项的次数为，
所以，因此本选项说法正确；
B：因为，所以本选项说法不正确；
C：在中，
令，得，
令，得，
所以本选项说法正确；
D：对两边同时求导，
得，
令，得
，所以本选项说法不正确.
故选：AC
11．BD
【详解】对于A选项，的定义域为，所以A选项错误.
对于B选项，，当时，，递减.
由于，所以，
由于，
所以由两边乘以得 ，所以B选项正确.
对于C选项，令，
由于，所以在区间递减；
在区间递增.
当时，；当时，；.
函数是定义域为的偶函数.
由此画出的图象如下图所示，
由图可知，直线与的图象有两个交点，即当时，
函数有两个零点，所以C选项错误.
对于D选项，由上述分析可知，，则，
，，要使“对，，使得成立”，
则需，所以D选项正确.
故选：BD
12．7
【详解】因为，则，
可得，解得.
故答案为：7.
13．84
【详解】按照使用了多少种颜色分三类计数：
第一类：使用种颜色，有种；
第二类：使用种颜色，必有块区域同色，有种；
第三类：使用种颜色，必然是与同色，且与同色，有种，
所以不同的信号总数为种.
故答案为：84.
14．
【详解】由已知，对于两边同时除以得
，
变形得，
设，明显其在上单调递增，
所以由得，
即，
所以原问题转化为存在实数x，使得不等式成立，
又，
所以，解得，
故答案为：
15．(1)0.86
(2)
【详解】（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件，
由题可知，，
则．
（2）．
16．(1)
(2)
【详解】（1），，
由已知，得 ，解得，
∴函数的解析式为．
（2），则，
令，则，
当时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增，
∴．
17．(1)
(2)分布列见解析；1012.5
【详解】（1）记这批产品通过检验为事件，
则.
（2）当时，的取值为800；当时，的取值为1600；当时，的取值为1000，
所以的可能取值为800，1000，1600.
，，
.
所以的分布列为：
800 1000 1600
数学期望为：.
18．(1)
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）依题意，
解得，，
所以的方程为.
（2）①因为不与轴重合，所以设的方程为，
设点，，则
联立，得，
则，，
因为点，，三点共线且斜率一定存在，
所以，
所以，将，代入
化简可得，故，
解得，满足
所以直线过定点，且为椭圆右焦点
②设所求内切圆半径为，因为，
所以
令，则，
所以，
因为，对勾函数在上单调递增，
所以，则.
所以内切圆半径的范围为.

19．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1），，则，定义域为
令，则.
令，得；令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，所以当时.
所以得证.
（2）设.
若对任意的，恒成立，则恒成立.
又，
设，则，且有，
（i）当，时，显然中，则恒成立；
（ii）当，时，，则单调递增，.
所以在单调递增，所以，所以恒成立；
（iii）当，时，，则单调递增，
又，则必然存在一个，使得，
且有时，单调递减；时,，单调递增.
此时，不满足恒成立.
综上所述，的取值范围是.
（3）由（2）中结论，
有当时，，对任意的恒成立，
取可得，，对任意的恒成立.
即对任意的，，变形可得，
分别令，，..，，可得，，……，
累加可得，证毕.

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