资源简介

6月上旬之三角形与四边形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如图，将菱形ABCD沿AC方向平移6个单位至菱形A'B'C'D'， A'D'交 CD于点 E， A'B'交 BC于点 F，若CE：DE=1：2，则A'C'的长度为(　　)
A．6 B．8 C．9 D．7
【答案】C
【知识点】菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵ CE：DE=1：2，
∴CE：CD=1：3，
根据平移可得A'D'∥AD，AC=A'C'，
∴，即，
解得CA=9，即C'A'=9，
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例求出CA长，然后根据平移的性质解答即可.
2．如图，在正方形ABCD中，AB=14，点G，H在BD上，E为GH上一点，过点E作EF⊥CD 于点F，连结AE，记 若 则GH 的长为(　　)
A．2 B．2 C．4 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：当 时，此时记为点 过点 作乍 于点M，
∵正方形ABCD，
∴DB平分
∴四边形 为正方形，
设 则由勾股定理得AM=4x，
∴3x+4x=14，解得： x=2，
当 时，此时记为点E2，过点 作 于点N，
同理四边形. 为正方形， 设 则由勾股定理得AN=3x，
∴3x+4x=14，
解得： x=2，
故选： B.
【分析】当 时，此时记为点 过点 作 于点M，可得四边形. 为正方形，设 则由勾股定理得AM=4x，则3x+4x=14，解得：x=2，那么 同理可求 求出E1E2即可解答.
3．如图，在 ABCD中，以点 B 为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB，BC 于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 为半径作圆弧，两弧交于点 P，射线 BP 交AD 于点E，若∠C=100°，则∠AEB 的度数为(　　)
A．30° B．35° C．40° D．50°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
根据题意，BE是 的角平分线，
故选： C.
【分析】根据平行四边形的性质得到 结合作图得到BE是 的角平分线，则 由此即可求解.
4．如图1，这是某展览馆展示的清代木花窗，其造型美观.如图2，经数学抽象、图形提取，然后测量发现，四边形ABCD 的四边相等，点 E，F，G，H 分别为其四边中点，则四边形 EFGH 与四边形ABCD 的面积之比为 (　　)
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接BD和AC交于点O，EH和AC交于点M，
∵ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，，
又∵E，F，G，H是中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，，，
∴EF∥HG，EH∥FG，∠EMA=∠BOA=∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴，
∴ 四边形 EFGH 与四边形ABCD 的面积之比为1：2，
故答案为：A .
【分析】连接BD和AC交于点O，EH和AC交于点M，根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH是矩形，然后根据菱形和矩形的面积公式解答即可.
5．如图，在△ABC中， AB=BC， ∠ABC=120°，过点C作CD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，BD交AC于点E.若点F是CD的中点，连接FE，延长交AB于点G，则 的值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
∵BD平分
∵F是CD的中点，
是等边三角形，
故选： B.
【分析】由等腰三角形的性质推出 C，AE=CE，判定 是等边三角形，推出EF=CE， 由含30度角的直角三角形的性质推出 即可求出 值.
6．数学课上，老师要求将一个含22.5°角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形.甲，乙两人的作法分别如下图所示，则(　　)
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．两人都错 D．两人都对
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰直角三角形；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图甲，
由作图痕迹可知，AD=AC，
为等腰直角三角形，
为等腰三角形，
∴甲作法正确；
如图乙，
由作图痕迹可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，
∴点E为BC的中点，
∴AE为. 斜边上的中线，
和 为等腰三角形，
∴乙作法正确.
综上所述，两人都对.
故选： D.
【分析】由图甲的作图痕迹可知，AD=AC，可得 为等腰直角三角形， 则 即 可知 为等腰三角形；由图乙作图痕迹可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，则点E为BC的中点，可知AE为 斜边上的中线，可得 则 和 为等腰三角形.
7．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 S1，S2，S3，若图中阴影部分(△ABD)面积为定值，则下列式子也是定值的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ 以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别为、、，
∴，，，
∵ 在中，，
∴，
∴，即
∵ 点为以为边的正方形上与点相邻的顶点，
∴，且，
又∵，
∴，
∴ 点B到直线的距离等于，
∴，
∵的面积为定值，
∴为定值，
∵，
∴为定值．
故答案为：B .
【分析】通根据勾股定理得到，然后表示，即 为定值，进而可得可以表示为的代数式，据此解答即可．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A， B， C的坐标分别为(3， 4)， (0， 3)， (1， 1)．若将△ABC绕点A逆时针旋转，使得点C与点C'(6，2)重合，则点B旋转后的对应点B'的坐标为(　　)
A．(5， 1) B．(4， 1) C．(3， 1) D．(1， 4)
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
，
由图可知，在和中，
，
∴，，
∵，
∴，
∴绕点逆时针旋转，
∴点绕点逆时针旋转的对应点如图所示，
∴点．
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质，得到旋转中心，即可得到点B 的对应点B'的位置，然后写出坐标即可．
9． 学习了直角三角形中的性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后，小越进行了思考：在 Rt△ABC中， ∠C=90°， D为AB上一点(不与点A， B重合)，连结 CD，得到以下三个结论：
①若BD=CD，则D为斜边AB 的中点.
②若 则D为斜边AB的中点.
③若△ACD和△BCD均为等腰三角形，则D为斜边AB的中点.
其中一定正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的两锐角互余；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，
∵BD=CD，
∴∠B=∠DCB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠A=∠ACD，
∴DA=DC，
∴AD=DB，即D为AB的中点，故①正确；
如图，以点C为圆心，为半径作弧，当大于AB边上的高而小于AC、BC中的较小边长时，交AB边于点D1，D2两点，则D不一定为斜边AB的中点，故②错误；
若 和 均为等腰三角形，需分情况讨论：
设 则 ，
若CD=AD，则
对于 要使其为等腰三角形，可能CD=BD或BC=BD或BC=CD。
当CD=BD，则 此时 且AD=CD=BD，D为中点。
当CD=BD，∠CBD=∠BDC=2α，即90°-α=2α，解答α=30°，即∠CDB=60°， 为等边三角形，即点D为AB中点；
当BC=CD，则∠DCB=2α，则∠B=180°-4α，即可得到180°-4α=2α，解得α=30°，即∠CDB=60°， 为等边三角形，即点D为AB中点；
若AC=CD=AB时，三角形不存在；
当AC=AD，BC=BD时，∠ADC+∠BDC=∠ACD+∠BCD=90°，不符合题意；
故若△ACD和△BCD均为等腰三角形，则D为斜边AB的中点.故③正确；
故选：C。
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠DCB，然后根据等角的余角相等得到∠A=∠ACD，即可得到DA=DB=DC，故①正确；举反例判断②；分情况根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质分情况推理判断③解答即可.
二、填空题
10．如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∵将线段AE绕点A逆时针旋转得到AF，
∴AE=AF， ∠EAF=90°，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE与△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴BE=DF， ∠ADF=∠ABE=45°，
∴∠EDF=90°，
∵MN⊥BD，
∴MN∥DF，
∵点M为EF中点，
∴EN=DN，
∴MN是△EDF的中位线，
∴BE=DF=2EF=2，
故答案为：
【分析】连接DF，根据正方形的性质得到 求得 根据旋转的性质得到 求得 根据全等三角形的性质得到 得到 根据三角形中位线定理得到BE=DF=2EF=2，于是得到结论.
11．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵以AC、BC为边向外作正方形，面积分别记为 若
在 中， 由勾股定理得：
解得： (负值已舍去)，
故答案为：
【分析】根据正方形面积公式可得边长的平方，再利用勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，求出AB的平方，进而求出AB.
12．已知等边三角形ABC(如图)，以点A 为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转n°(0【答案】y=-x+30或 y=-x+150
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；分类讨论
【解析】【解答】解：当n°≤60°时，如图，
由旋转可得AB=AB'，△ABC和△AB'C'是等边三角形，∠ABB'=∠CAC'=n°，
∴AB=AC=AB'=AC'，∠BAC=∠AB'C'=∠AC'B'=60°，
∴∠B'AC=60°-n°，
∴，，
∴，∠B'C'C=∠AC'C-∠AC'B'=，
∴y=30-x=-x+30；
当n°>60°时，如图，
由旋转可得AB=AB'，△ABC和△AB'C'是等边三角形，∠ABB'=∠CAC'=n°，
∴AB=AC=AB'=AC'，∠BAC=∠AB'C'=∠AC'B'=60°，
∴∠B'AC=n°-60°，
∴，，
∴，∠B'C'C=∠AC'C-∠AC'B'=，
∴y+x=150，即y=-x+150；
故答案为：y=-x+30或 y=-x+150.
【分析】分为n°≤60°或n°>60°两种情况根据旋转的性质和等边三角形的性质得到∠B'AC的度数和AB=AC=AB'=AC'，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠AB'C和∠AC'C，再根据角的和差求出∠C'B'C和∠BC'C的度数，解答即可.
13．学习了勾股定理后，小明将如图1所示的“赵爽弦图”中的四个全等直角三角形与中间的小正方形恰好拼成如图2所示的图形.若图1中大正方形的边长为5，则图2中点A与点D之间的距离为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】如图，
设小正方形的边长为a，根据图2可得EG=，，
在Rt△FEG中，FE2=EG2+FG2，即，
解得，
∴AD=2+a=4a=，
故答案为：.
【分析】设小正方形的边长为a，即可得到EG=，，根据勾股定理求出a的值，然后计算AD长即可.
14． 如图， 在菱形ABCD中， ∠A=60°，E，F分别是边AB，AD上的点， 连结EF， 点A关于直线EF的对称点G恰好落在边 BC上，连结 FG，EG，FG交对角线BD于点 M，若BG=1， EB=3，则BM的长为　 　.
【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点G作GH∥AB交BD于点H，
∵ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ABD=∠CBD=，
又∵GH∥AB，
∴∠BHG=∠ABD=60°，∠BGH=180°-∠ABC=60°
∴△BGH是等边三角形，∠MHG=∠EBG=120°，
∴BG=GH=BH=1，
由折叠可得∠FGE=∠A=60°=∠HGB，
∴∠MGH=∠BGE，
∴△MGH≌△EGB(ASA)，
∴MH=BE=3，
∴BM=BH+MH=1+3=4，
故答案为：4.
【分析】过点G作GH∥AB交BD于点H，根据菱形的性质得到 ∠ABD=∠CBD=60°，然后根据平行线得到△BGH是等边三角形，即可得到BG=GH=BH=1，然后根据ASA得到△MGH≌△EGB，即可得到MH=BE=3，根据线段的和差解答即可.
15．如图，菱形ABCD， AB=4， ∠DAB=60°，将菱形ABCD关于 AB对称，得到菱形ABC'D'，在对角线AC， AC’上有两个动点E， F， AE=C'F，连结CF， EC’交于点 P，连结AP，则 AP 的最小值为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为，连接、、、，
∵四边形是菱形，
∴，，，
由轴对称的性质可得，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴优弧圆心角的度数为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴当、、三点共线时，取得最小值．
故答案为：4.
【分析】连接，作的外接圆，圆心为，连接、、、，根据菱形的性质可得是等边三角形即可得到，然后根据SAS得到，即可得到，进而可得．根据圆周角定理得到，即可得到是等边三角形，进而可得．根据，因此当、、三点共线时，取得最小值，据此解答即可．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，直角顶点 B，D 都在x轴上，连结CE，交y轴于点M.若OB=OD=1，点A(m，n)，M为线段CE 的中点，则点C的坐标为　 　(用含m，n的代数式表示)，点M 的坐标为　 　.
【答案】(-n-1，m+1)；(0，1)
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥x轴于点G，过点A作AH⊥x轴于点H，过点E作EK⊥x轴于点K，
则BH=m+1，AH=n，DH=m-1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠CGB=∠AHB=90°，
∴∠GCB+∠CBG=∠ABH+∠CBG=90°，
∴∠GCB=∠ABH，
∴△CBG≌△BAH(AAS)，
∴CG=BH=m+1，BG=AH=n，
∴OG=BG+OB=n+1，
∴点C的坐标为(-n-1，m+1)，
同理可得EK=AH=m-1，DK=AK=n，
∴OK=OD+DK=1+n，
∴点E的坐标为(1+n，-m+1)
∵点M是CE的中点，
∴点M的坐标为(0，1）；
故答案为：(-n-1，m+1)； (0，1）.
【分析】过点C作CG⊥x轴于点G，过点A作AH⊥x轴于点H，过点E作EK⊥x轴于点K，根据AAS得到△CBG≌△BAH，即可得到CG=BH=m+1，BG=AH=n，进而求出点C的坐标。同理得到点E的坐标，再根据中点坐标公式计算点M的坐标即可.
三、解答题
17．尺规作图问题：已知△ABC，∠ABC是钝角，AB>BC，请用尺规作AC的中点P.
小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连接BQ交AC于点P，则点P为AC的中点.
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点.
小聪：小明，你的作法有问题.
小明：哦…我明白了.
（1）证明：小聪的作法是正确的.
（2）指出小明作法中存在的问题.
【答案】（1）解：由尺规作图可知：AQ=BC，AB=CQ，
∴四边形ABCQ是平行四边形，
即点P为AC的中点
（2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图所示，
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)由作图可得，AQ=BC，AB=CQ，则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得点P为AC的中点；
(2)以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，即可得出答案.
18．课堂上，屏幕上呈现一题：
已知：如图，在四边形ABCD中， AB=AD， ▲ .
求证： BC=CD.
请在空格处添加条件并证明.
你支持 ▲ (填“小明”或“小丽”)的观点，并写出相应的证明过程.
【答案】解：支持小丽，理由如下：
当添加∠B=∠D时，
在△ABC和△ADC中， AB=AD， AC=AC， ∠B=∠D，不符合全等三角形的判定条件，
因此不能判定△ABC和△ADC全等，就得不出BC=CD的结论，
当添加∠B=∠D=90°时，证明如下：
∵∠B=∠D=90°
∴△ABC和△ADC都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴BC=CD.
故答案为：小丽.
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】支持小丽，当添加 时，因此不能判定 和 全等，就得不出BC=CD的结论，当添加∠ 时，可得 和 都是直角三角形，进而依据“HL”可判定 和 全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论.
19．如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，过点D在直线DC的右侧作线段DF，使DF∥AE，DF=AE，连结CF，求证： BE=CF.
小聪的证明思路如下：
先证∠BAE=∠CDF，再利用“边角边”
证△ABE≌△DCF，然后可得BE=CF.
小明的证明过程如下：
因为四边形ABCD是正方形，
所以AB=DC，∠ABC=∠BCD=90°.
因为∠BCD+∠FCD=180，
所以∠FCD=90°·
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
所以 Rt△ABE≌Rt△DCF (HL).
所以BE =CF.
（1）根据小聪的证明思路，写出证明过程；
（2）指出小明的证明过程中存在的问题．
【答案】（1）解：因为四边形ABCD为正方形，所以∠BAD=∠ADC=90°，AB=DC.
因为AE∥DF，
所以∠EAD+∠ADF=180°.
所以∠CDF+∠EAD=90°.
因为∠BAE+∠EAD=90°，
所以∠BAE=∠CDF.
在△ABE和△DCF中，
所以△ABE≌△DCF (SAS).
所以BE=CF.
（2）解：小明的证明过程小明在证明过程中，“因为∠ 所以 ∠FCD=90°"这一步存在错误.
仅“∠BCD+∠FCD”这样的表述不能得出∠FCD=90°，没有合理的逻辑依据.
正确的证明过程：∵四边形ABCD是正方形，
即∠A=∠CDF.
在Rt△ABE和 Rt△DCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴BE=CF.
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)要证明△ABE≌△DCF，可根据正方形的性质得到对应边和对应角相等，再结合已知条件DF=AE，利用全等三角形的判定定理来证明；
(2)小明的证明过程小明在证明过程中，“因为∠BCD+∠FCD，所以∠FCD=90°"这一步存在错误.根据全等三角形判定定理中的“斜边直角边”(HL)，得出Rt△ABE≌Rt△DCF.证明即可.
20．阅读材料：图形的密铺在生活、生产中被广泛应用，其中最著名的是荷兰艺术大师埃舍尔的作品(图1)，给人一种奇妙的美感．平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．而多边形的密铺就是共顶点的各多边形的内角之和等于360°(图2)．
问题解决：
（1）请说明图2中用两个正方形、三个等边三角形能够密铺的理由；
（2）若只用一种正n边形进行密铺，且n≥3，密铺的个数为k，且k为正整数，请推导n与k满足的关系式，并直接写出所有满足条件的正多边形．
【答案】（1）解：∵正方形的每个内角为90°，正三角形的每个内角为60°，
∴可以密铺．
（2）解：
正三角形、正方形、正六边形
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：（2）∵k，n为正整数，
∴n-2=1， 2， 4，
∴n=3， 4， 6，
∴正三角形、正方形、正六边形可以单独密铺．
故答案为：正三角形、正方形、正六边形.
【分析】（1）计算出正方形和等边三角形的内角，计算可得两块正方形和三块正三角形可以密铺解答即可；
（2）结合正多边形内角公式可得，整理可得，根据k，n为正整数求出n的值解答即可．
21．如图1，四边形为菱形，，，，，且．
（1）求的长；
（2）点在上运动，为等边三角形．
①如图2，求证：，并直接写出的最小值；
②如图3，当点在的上方时，求点的横坐标．
【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴，，则，即：
∵四边形为菱形，，
∴，则，
∴，则，
∴，
∴；
（2）①证明：连接，交于，
∵四边形为菱形，，
∴，，则是等边三角形，
∴，，则，
∵是等边三角形，
∴，，
则，
∴，
∴，
∴，
的最小值为2；
②连接，
由①可知，是等边三角形，是等边三角形，
则，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即点的运动轨迹为过点且垂直于轴的直线，
∵
∴点的横坐标为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；绝对值的非负性；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（2）①由点到直线垂线段最短，可知，，
∵四边形为菱形，
∴，
则，
即的最小值为2；
负答案为：2；
【分析】(1)由非负性可求a的值，由直角三角形的性质可求AB的长；
(2)①由“SAS”可证△AMC≌△AND，可得DN=MC，由垂线段最短可求ND的最小值；
②连接CN，根据“SAS”可证△BAM≌△CAN，可得CN=BM，可得点N在线段AD的垂直平分线上，即可求解.
22．已知：在矩形ABCD中，点 E 在边 AB 上，将 沿 CE 折叠，点 B 的对称点 F 恰在边 AD 上.
（1）如图1，若 求∠CFD 的度数.
（2）如图2，过点 B 作BG∥EF，交 CF 于点G.求证：AF=FG.
（3）如图3，在(2)的条件下，作BH 平分∠CBG，交CE 于点H，设AF=m，AB=n，求BH 的长(用含m，n的代数式表示).
【答案】（1）解：由折叠可知：∠BCE=∠FCE=21°，
∴∠BCF=2∠BCE=42°.
∵AD∥BC，
∴∠CFD=∠BCF=42°.
（2）解：如图，连结 BF，由折叠规律知：BE=EF，∠EFC=∠EBC=90°，
∴∠EBF=∠BFE.
∵BG∥EF，
∴∠BFE=∠FBG，∠BGF+∠EFG=180°，
∴∠EBF=∠FBG，∠BGF=90°，
∴∠A=∠BGF=90°.
∴AF=FG.
（3）解：如图，连结 BF，FH.
由图形折叠规律，得∠BCG=2∠BCH，
由 BH 平分∠CBG，得∠GBC=2∠HBC，
由(2)得 BG⊥CF，
∴∠BCG+∠GBC=90°，
即2∠BCH+2∠HBC=90°，
∴∠BCH+∠HBC=45°，
∴∠EHB=45°.
由四边形 EBCF 为轴对称图形，得∠EHF=45°，BH=FH，
∴∠BHF=∠EHB+∠EHF=90°.
∵∠A=90°，
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质求出∠BCF，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可；
（2）连接BF，根据折叠的性质和等边对等角得到∠EBF=∠BFE，然后根据平行线的性质即可得到∠EBF=∠FBG，∠BGF=90°，然后根据角平分线的性质解答即可；
（3）连结 BF，FH，根据折叠的性质，角平分线的定义得到∠EHB=45°，进而求出∠BHF=90°，然后根据勾股定理列式计算解答即可.
23．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点G是BC边上异于端点的任意一点，交AG于点E，点B'是点B关于直线AG的对称点，BB' 交AG于点F，
连结EB，DB'.
（1）求证：
（2）若四边形.EBB'D是平行四边形，连结DF，求DF的长度.
【答案】（1）证明：∵点B'与点B关于直线AG对称，
∴BB'⊥AG，
又∵DE⊥AG，
∴∠AFB=∠AED=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
又由正方形ABCD可知，
∠DAE+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
又由正方形ABCD可知， AD=AB，
∴△ADE≌△ABF(AAS)；
（2）解：∵点B'与点B关于直线AG对称，
∴BF=B'F，即BB'=2BF，
又∵四边形EBB'D是平行四边形，
∴DE=BB'，又BB'=2BF，
∴DE=2BF，又△ADE≌△ABF，
∴AE=BF， DE=AF，
∴AF=2AE，即E为AF的中点，
又∵DE⊥AG， ∴AD=DF=4.
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用正方形性质得 结合 AG垂直平分.BB'得 再通过同角的余角相等推出 最终由AAS得到两三角形全等即可
(2)由平行四边形.BB'D得 且DE=BB'，结合(1)全等结论及对称性质推出.AF=2BF，在 F中用勾股定理求出BF、AF的长度，再结合线段关系求出EF，最后在 中用勾股定理计算出DF的长度.
24．已知菱形的边长为8，，的面积为，，点E是边的中点，点F是边上一动点．
（1）如图1，求的值．
（2）如图2，当E，P，D三点在同一条直线上时，求的长．
（3）如图3，连结，求的最小值．
【答案】（1）解：如图1，过点F作于点H．
，，
，
的面积为，
，即，
．
（2）解：如图2，延长，相交于点G，过点E作于点M，
在菱形中，，点E是的中点，
，，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图3，过点E作于点N，连结，，取的中点O，连结，，
可得，，，，
，，
．
由（1）知，，
，即，
，
，
，
．
在菱形中，，，
，
，
，
，
，
当O，P，D三点共线时，取到最小值，最小值为．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）过点F作于点H，根据正弦的定义求出FH长，然后根据三角形面积公式解答即可；
（2）延长，相交于点G，过点E作于点M，根据菱形的性质，利用ASA得到，即可得到BG=AD=8，然后根据勾股定理求出长，再根据两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可；
（3）过点E作于点N，连接，，取的中点O，连接，，先根据勾股定理求出BC长，再根据两边对应成比例且夹角相等得到，即可得到，然后求出OD长，再根据当O，P，D三点共线时，取到最小值为OD-PO，解答即可．
25．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点(不包含端点)， AG⊥EF于点 G， GM⊥AB于点M， EF=AG.
（1）如图1，求证： △AMG≌△ECF.
（2）如图2，过点 E作 HE⊥BC分别交AG， MG于点 H， N.
①求证：四边形 BMNE为正方形；
②求证： HE+GN=AB；
③若AB=1，请直接写出HE的取值范围.
【答案】（1）证明：因为四边形ABCD 为正方形， GM⊥AB，
所以∠C=∠B=90°=∠AMG.
因为AG⊥EF，
所以∠BAG+∠BEG=180°.
因为∠CEF+∠BEG=180°，
所以∠BAG=∠CEF.
所以在△AMG与△ECF中，
所以△AMG≌△ECF.
（2）解：①因为四边形ABCD为正方形，
所以AB=BC， ∠B=90°.
因为△AMG≌△ECF，
所以AM=EC.
所以BE=BM.
因为HE⊥BC， GM⊥AB，
所以∠BEN=∠BMN=∠B=90°.
所以四边形 BMNE 为正方形.
②延长MG 交 CD 于点 K，
因为四边形ABCD为正方形，
所以∠C=∠B=90°.
又因为四边形 BMNE 为正方形，
所以∠CEN=∠KNE=90°.
因为四边形 NECK为矩形，
所以CK=NE=MN， ∠FKG=∠HNG=90°.
因为△AMG≌△ECF，
所以MG=FC， ∠KFG=∠HGN，
所以FK=NG.
所以△FKG≌△GNH.
所以HN=KG， HE+NG=MN+NG+KG=BC=AB.
(另法：延长EH 交AD 于点 P，证明△APH≌△ENG)
③
【知识点】正方形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；四边形-动点问题
【解析】【分析】(1)要证明△AMG≌△ECF，先利用正方形ABCD和GM⊥AB的条件，得到∠C=∠AMG=90°：再由AG⊥EF推出∠BAG与∠BEG互补，结合平角性质得到∠BAG=∠CEF，最后结合已知AG=EF，用AAS判定两个三角形全等；
(2)①要证明四边形BMNE为正方形，先由HE⊥BC、GM⊥AB、∠B=90°，证出四边形BMNE是矩形；再结合(1)中△AMG≌△ECF得到AM=EC，利用正方形边长AB=BC，推出BM=BD，从而由"邻边相等的矩形是正方形完成证明；
②要证明HE+GN=AB，先由GM⊥AB、HE⊥BC，得到GM‖BC、HE‖AB结合BMNE是正方形，得到HD=BM；再由GM⊥AB，得到GN=GM-MN=AM，最后由BM+AM=AB，完成HE+GN=AB的证明；
③已知AB=1，由②的结论HE=AB-GN=1-GN，结合E，F不包含端点的条件，分析GN的取值范围，进而得到H的取值范围。
26．数学兴趣小组在数学活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1）【观察与猜想】
如图1，在正方形中，分别是上的两点，连接，若，求证：；
（2）如图2，在矩形中，，，是上的一点，连接，若，请求出的值；
（3）【类比探究】
如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，求证：；
（4）【拓展延伸】
如图4，在中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交直线于E，垂足为，连接．若，直接写出的最小值．
【答案】（1）证明：四边形为正方形，
，，
．
，
．
．
在和中，
，
．
（2）解：四边形为矩形，
，
，
，
，
又，
，
．
（3）证明：如图，过点作的垂线，交于点，
则，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
又，
．
又，
，
，
．
（4）
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（4）解：如图，过点作的垂线，交于点，取的中点为，连接，作于点N，则 ，
由轴对称图形的性质可知，
，，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上，半径为，
当点在上时，的值最小，
的最小值为．
【分析】(1)利用正方形性质得边角关系，结合垂直推出角相等，运用AAS得到两三角形全等即可；
(2)利用矩形性质与垂直，证得相似比；
(3)过点F作BC的垂线，交BC于点N，根据矩形性质及角度关系证明 得到结论；
(4)过点C作AD的垂线，交AD于点M，取CD的中点为O，连接AO，作 于点N，根据角度关系证明 求出AO长度，由 得到点G在以CD为直径的圆上，半径为OC=OD，根据圆外一点到圆上一点的距离得到AG的最小值.
1 / 16月上旬之三角形与四边形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如图，将菱形ABCD沿AC方向平移6个单位至菱形A'B'C'D'， A'D'交 CD于点 E， A'B'交 BC于点 F，若CE：DE=1：2，则A'C'的长度为(　　)
A．6 B．8 C．9 D．7
2．如图，在正方形ABCD中，AB=14，点G，H在BD上，E为GH上一点，过点E作EF⊥CD 于点F，连结AE，记 若 则GH 的长为(　　)
A．2 B．2 C．4 D．
3．如图，在 ABCD中，以点 B 为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB，BC 于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 为半径作圆弧，两弧交于点 P，射线 BP 交AD 于点E，若∠C=100°，则∠AEB 的度数为(　　)
A．30° B．35° C．40° D．50°
4．如图1，这是某展览馆展示的清代木花窗，其造型美观.如图2，经数学抽象、图形提取，然后测量发现，四边形ABCD 的四边相等，点 E，F，G，H 分别为其四边中点，则四边形 EFGH 与四边形ABCD 的面积之比为 (　　)
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
5．如图，在△ABC中， AB=BC， ∠ABC=120°，过点C作CD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，BD交AC于点E.若点F是CD的中点，连接FE，延长交AB于点G，则 的值是(　　)
A． B． C． D．
6．数学课上，老师要求将一个含22.5°角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形.甲，乙两人的作法分别如下图所示，则(　　)
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．两人都错 D．两人都对
7．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 S1，S2，S3，若图中阴影部分(△ABD)面积为定值，则下列式子也是定值的是(　　)
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A， B， C的坐标分别为(3， 4)， (0， 3)， (1， 1)．若将△ABC绕点A逆时针旋转，使得点C与点C'(6，2)重合，则点B旋转后的对应点B'的坐标为(　　)
A．(5， 1) B．(4， 1) C．(3， 1) D．(1， 4)
9． 学习了直角三角形中的性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后，小越进行了思考：在 Rt△ABC中， ∠C=90°， D为AB上一点(不与点A， B重合)，连结 CD，得到以下三个结论：
①若BD=CD，则D为斜边AB 的中点.
②若 则D为斜边AB的中点.
③若△ACD和△BCD均为等腰三角形，则D为斜边AB的中点.
其中一定正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题
10．如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则　 　．
11．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则　 　．
12．已知等边三角形ABC(如图)，以点A 为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转n°(013．学习了勾股定理后，小明将如图1所示的“赵爽弦图”中的四个全等直角三角形与中间的小正方形恰好拼成如图2所示的图形.若图1中大正方形的边长为5，则图2中点A与点D之间的距离为　 　.
14． 如图， 在菱形ABCD中， ∠A=60°，E，F分别是边AB，AD上的点， 连结EF， 点A关于直线EF的对称点G恰好落在边 BC上，连结 FG，EG，FG交对角线BD于点 M，若BG=1， EB=3，则BM的长为　 　.
15．如图，菱形ABCD， AB=4， ∠DAB=60°，将菱形ABCD关于 AB对称，得到菱形ABC'D'，在对角线AC， AC’上有两个动点E， F， AE=C'F，连结CF， EC’交于点 P，连结AP，则 AP 的最小值为　 　．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，直角顶点 B，D 都在x轴上，连结CE，交y轴于点M.若OB=OD=1，点A(m，n)，M为线段CE 的中点，则点C的坐标为　 　(用含m，n的代数式表示)，点M 的坐标为　 　.
三、解答题
17．尺规作图问题：已知△ABC，∠ABC是钝角，AB>BC，请用尺规作AC的中点P.
小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连接BQ交AC于点P，则点P为AC的中点.
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点.
小聪：小明，你的作法有问题.
小明：哦…我明白了.
（1）证明：小聪的作法是正确的.
（2）指出小明作法中存在的问题.
18．课堂上，屏幕上呈现一题：
已知：如图，在四边形ABCD中， AB=AD， ▲ .
求证： BC=CD.
请在空格处添加条件并证明.
你支持 ▲ (填“小明”或“小丽”)的观点，并写出相应的证明过程.
19．如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，过点D在直线DC的右侧作线段DF，使DF∥AE，DF=AE，连结CF，求证： BE=CF.
小聪的证明思路如下：
先证∠BAE=∠CDF，再利用“边角边”
证△ABE≌△DCF，然后可得BE=CF.
小明的证明过程如下：
因为四边形ABCD是正方形，
所以AB=DC，∠ABC=∠BCD=90°.
因为∠BCD+∠FCD=180，
所以∠FCD=90°·
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
所以 Rt△ABE≌Rt△DCF (HL).
所以BE =CF.
（1）根据小聪的证明思路，写出证明过程；
（2）指出小明的证明过程中存在的问题．
20．阅读材料：图形的密铺在生活、生产中被广泛应用，其中最著名的是荷兰艺术大师埃舍尔的作品(图1)，给人一种奇妙的美感．平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．而多边形的密铺就是共顶点的各多边形的内角之和等于360°(图2)．
问题解决：
（1）请说明图2中用两个正方形、三个等边三角形能够密铺的理由；
（2）若只用一种正n边形进行密铺，且n≥3，密铺的个数为k，且k为正整数，请推导n与k满足的关系式，并直接写出所有满足条件的正多边形．
21．如图1，四边形为菱形，，，，，且．
（1）求的长；
（2）点在上运动，为等边三角形．
①如图2，求证：，并直接写出的最小值；
②如图3，当点在的上方时，求点的横坐标．
22．已知：在矩形ABCD中，点 E 在边 AB 上，将 沿 CE 折叠，点 B 的对称点 F 恰在边 AD 上.
（1）如图1，若 求∠CFD 的度数.
（2）如图2，过点 B 作BG∥EF，交 CF 于点G.求证：AF=FG.
（3）如图3，在(2)的条件下，作BH 平分∠CBG，交CE 于点H，设AF=m，AB=n，求BH 的长(用含m，n的代数式表示).
23．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点G是BC边上异于端点的任意一点，交AG于点E，点B'是点B关于直线AG的对称点，BB' 交AG于点F，
连结EB，DB'.
（1）求证：
（2）若四边形.EBB'D是平行四边形，连结DF，求DF的长度.
24．已知菱形的边长为8，，的面积为，，点E是边的中点，点F是边上一动点．
（1）如图1，求的值．
（2）如图2，当E，P，D三点在同一条直线上时，求的长．
（3）如图3，连结，求的最小值．
25．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点(不包含端点)， AG⊥EF于点 G， GM⊥AB于点M， EF=AG.
（1）如图1，求证： △AMG≌△ECF.
（2）如图2，过点 E作 HE⊥BC分别交AG， MG于点 H， N.
①求证：四边形 BMNE为正方形；
②求证： HE+GN=AB；
③若AB=1，请直接写出HE的取值范围.
26．数学兴趣小组在数学活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1）【观察与猜想】
如图1，在正方形中，分别是上的两点，连接，若，求证：；
（2）如图2，在矩形中，，，是上的一点，连接，若，请求出的值；
（3）【类比探究】
如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，求证：；
（4）【拓展延伸】
如图4，在中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交直线于E，垂足为，连接．若，直接写出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵ CE：DE=1：2，
∴CE：CD=1：3，
根据平移可得A'D'∥AD，AC=A'C'，
∴，即，
解得CA=9，即C'A'=9，
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例求出CA长，然后根据平移的性质解答即可.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：当 时，此时记为点 过点 作乍 于点M，
∵正方形ABCD，
∴DB平分
∴四边形 为正方形，
设 则由勾股定理得AM=4x，
∴3x+4x=14，解得： x=2，
当 时，此时记为点E2，过点 作 于点N，
同理四边形. 为正方形， 设 则由勾股定理得AN=3x，
∴3x+4x=14，
解得： x=2，
故选： B.
【分析】当 时，此时记为点 过点 作 于点M，可得四边形. 为正方形，设 则由勾股定理得AM=4x，则3x+4x=14，解得：x=2，那么 同理可求 求出E1E2即可解答.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
根据题意，BE是 的角平分线，
故选： C.
【分析】根据平行四边形的性质得到 结合作图得到BE是 的角平分线，则 由此即可求解.
4．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接BD和AC交于点O，EH和AC交于点M，
∵ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，，
又∵E，F，G，H是中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，，，
∴EF∥HG，EH∥FG，∠EMA=∠BOA=∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴，
∴ 四边形 EFGH 与四边形ABCD 的面积之比为1：2，
故答案为：A .
【分析】连接BD和AC交于点O，EH和AC交于点M，根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH是矩形，然后根据菱形和矩形的面积公式解答即可.
5．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
∵BD平分
∵F是CD的中点，
是等边三角形，
故选： B.
【分析】由等腰三角形的性质推出 C，AE=CE，判定 是等边三角形，推出EF=CE， 由含30度角的直角三角形的性质推出 即可求出 值.
6．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰直角三角形；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图甲，
由作图痕迹可知，AD=AC，
为等腰直角三角形，
为等腰三角形，
∴甲作法正确；
如图乙，
由作图痕迹可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，
∴点E为BC的中点，
∴AE为. 斜边上的中线，
和 为等腰三角形，
∴乙作法正确.
综上所述，两人都对.
故选： D.
【分析】由图甲的作图痕迹可知，AD=AC，可得 为等腰直角三角形， 则 即 可知 为等腰三角形；由图乙作图痕迹可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，则点E为BC的中点，可知AE为 斜边上的中线，可得 则 和 为等腰三角形.
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ 以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别为、、，
∴，，，
∵ 在中，，
∴，
∴，即
∵ 点为以为边的正方形上与点相邻的顶点，
∴，且，
又∵，
∴，
∴ 点B到直线的距离等于，
∴，
∵的面积为定值，
∴为定值，
∵，
∴为定值．
故答案为：B .
【分析】通根据勾股定理得到，然后表示，即 为定值，进而可得可以表示为的代数式，据此解答即可．
8．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
，
由图可知，在和中，
，
∴，，
∵，
∴，
∴绕点逆时针旋转，
∴点绕点逆时针旋转的对应点如图所示，
∴点．
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质，得到旋转中心，即可得到点B 的对应点B'的位置，然后写出坐标即可．
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的两锐角互余；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，
∵BD=CD，
∴∠B=∠DCB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠A=∠ACD，
∴DA=DC，
∴AD=DB，即D为AB的中点，故①正确；
如图，以点C为圆心，为半径作弧，当大于AB边上的高而小于AC、BC中的较小边长时，交AB边于点D1，D2两点，则D不一定为斜边AB的中点，故②错误；
若 和 均为等腰三角形，需分情况讨论：
设 则 ，
若CD=AD，则
对于 要使其为等腰三角形，可能CD=BD或BC=BD或BC=CD。
当CD=BD，则 此时 且AD=CD=BD，D为中点。
当CD=BD，∠CBD=∠BDC=2α，即90°-α=2α，解答α=30°，即∠CDB=60°， 为等边三角形，即点D为AB中点；
当BC=CD，则∠DCB=2α，则∠B=180°-4α，即可得到180°-4α=2α，解得α=30°，即∠CDB=60°， 为等边三角形，即点D为AB中点；
若AC=CD=AB时，三角形不存在；
当AC=AD，BC=BD时，∠ADC+∠BDC=∠ACD+∠BCD=90°，不符合题意；
故若△ACD和△BCD均为等腰三角形，则D为斜边AB的中点.故③正确；
故选：C。
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠DCB，然后根据等角的余角相等得到∠A=∠ACD，即可得到DA=DB=DC，故①正确；举反例判断②；分情况根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质分情况推理判断③解答即可.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∵将线段AE绕点A逆时针旋转得到AF，
∴AE=AF， ∠EAF=90°，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE与△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴BE=DF， ∠ADF=∠ABE=45°，
∴∠EDF=90°，
∵MN⊥BD，
∴MN∥DF，
∵点M为EF中点，
∴EN=DN，
∴MN是△EDF的中位线，
∴BE=DF=2EF=2，
故答案为：
【分析】连接DF，根据正方形的性质得到 求得 根据旋转的性质得到 求得 根据全等三角形的性质得到 得到 根据三角形中位线定理得到BE=DF=2EF=2，于是得到结论.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵以AC、BC为边向外作正方形，面积分别记为 若
在 中， 由勾股定理得：
解得： (负值已舍去)，
故答案为：
【分析】根据正方形面积公式可得边长的平方，再利用勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，求出AB的平方，进而求出AB.
12．【答案】y=-x+30或 y=-x+150
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；分类讨论
【解析】【解答】解：当n°≤60°时，如图，
由旋转可得AB=AB'，△ABC和△AB'C'是等边三角形，∠ABB'=∠CAC'=n°，
∴AB=AC=AB'=AC'，∠BAC=∠AB'C'=∠AC'B'=60°，
∴∠B'AC=60°-n°，
∴，，
∴，∠B'C'C=∠AC'C-∠AC'B'=，
∴y=30-x=-x+30；
当n°>60°时，如图，
由旋转可得AB=AB'，△ABC和△AB'C'是等边三角形，∠ABB'=∠CAC'=n°，
∴AB=AC=AB'=AC'，∠BAC=∠AB'C'=∠AC'B'=60°，
∴∠B'AC=n°-60°，
∴，，
∴，∠B'C'C=∠AC'C-∠AC'B'=，
∴y+x=150，即y=-x+150；
故答案为：y=-x+30或 y=-x+150.
【分析】分为n°≤60°或n°>60°两种情况根据旋转的性质和等边三角形的性质得到∠B'AC的度数和AB=AC=AB'=AC'，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠AB'C和∠AC'C，再根据角的和差求出∠C'B'C和∠BC'C的度数，解答即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】如图，
设小正方形的边长为a，根据图2可得EG=，，
在Rt△FEG中，FE2=EG2+FG2，即，
解得，
∴AD=2+a=4a=，
故答案为：.
【分析】设小正方形的边长为a，即可得到EG=，，根据勾股定理求出a的值，然后计算AD长即可.
14．【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点G作GH∥AB交BD于点H，
∵ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ABD=∠CBD=，
又∵GH∥AB，
∴∠BHG=∠ABD=60°，∠BGH=180°-∠ABC=60°
∴△BGH是等边三角形，∠MHG=∠EBG=120°，
∴BG=GH=BH=1，
由折叠可得∠FGE=∠A=60°=∠HGB，
∴∠MGH=∠BGE，
∴△MGH≌△EGB(ASA)，
∴MH=BE=3，
∴BM=BH+MH=1+3=4，
故答案为：4.
【分析】过点G作GH∥AB交BD于点H，根据菱形的性质得到 ∠ABD=∠CBD=60°，然后根据平行线得到△BGH是等边三角形，即可得到BG=GH=BH=1，然后根据ASA得到△MGH≌△EGB，即可得到MH=BE=3，根据线段的和差解答即可.
15．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为，连接、、、，
∵四边形是菱形，
∴，，，
由轴对称的性质可得，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴优弧圆心角的度数为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴当、、三点共线时，取得最小值．
故答案为：4.
【分析】连接，作的外接圆，圆心为，连接、、、，根据菱形的性质可得是等边三角形即可得到，然后根据SAS得到，即可得到，进而可得．根据圆周角定理得到，即可得到是等边三角形，进而可得．根据，因此当、、三点共线时，取得最小值，据此解答即可．
16．【答案】(-n-1，m+1)；(0，1)
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥x轴于点G，过点A作AH⊥x轴于点H，过点E作EK⊥x轴于点K，
则BH=m+1，AH=n，DH=m-1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠CGB=∠AHB=90°，
∴∠GCB+∠CBG=∠ABH+∠CBG=90°，
∴∠GCB=∠ABH，
∴△CBG≌△BAH(AAS)，
∴CG=BH=m+1，BG=AH=n，
∴OG=BG+OB=n+1，
∴点C的坐标为(-n-1，m+1)，
同理可得EK=AH=m-1，DK=AK=n，
∴OK=OD+DK=1+n，
∴点E的坐标为(1+n，-m+1)
∵点M是CE的中点，
∴点M的坐标为(0，1）；
故答案为：(-n-1，m+1)； (0，1）.
【分析】过点C作CG⊥x轴于点G，过点A作AH⊥x轴于点H，过点E作EK⊥x轴于点K，根据AAS得到△CBG≌△BAH，即可得到CG=BH=m+1，BG=AH=n，进而求出点C的坐标。同理得到点E的坐标，再根据中点坐标公式计算点M的坐标即可.
17．【答案】（1）解：由尺规作图可知：AQ=BC，AB=CQ，
∴四边形ABCQ是平行四边形，
即点P为AC的中点
（2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图所示，
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)由作图可得，AQ=BC，AB=CQ，则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得点P为AC的中点；
(2)以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，即可得出答案.
18．【答案】解：支持小丽，理由如下：
当添加∠B=∠D时，
在△ABC和△ADC中， AB=AD， AC=AC， ∠B=∠D，不符合全等三角形的判定条件，
因此不能判定△ABC和△ADC全等，就得不出BC=CD的结论，
当添加∠B=∠D=90°时，证明如下：
∵∠B=∠D=90°
∴△ABC和△ADC都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴BC=CD.
故答案为：小丽.
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】支持小丽，当添加 时，因此不能判定 和 全等，就得不出BC=CD的结论，当添加∠ 时，可得 和 都是直角三角形，进而依据“HL”可判定 和 全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论.
19．【答案】（1）解：因为四边形ABCD为正方形，所以∠BAD=∠ADC=90°，AB=DC.
因为AE∥DF，
所以∠EAD+∠ADF=180°.
所以∠CDF+∠EAD=90°.
因为∠BAE+∠EAD=90°，
所以∠BAE=∠CDF.
在△ABE和△DCF中，
所以△ABE≌△DCF (SAS).
所以BE=CF.
（2）解：小明的证明过程小明在证明过程中，“因为∠ 所以 ∠FCD=90°"这一步存在错误.
仅“∠BCD+∠FCD”这样的表述不能得出∠FCD=90°，没有合理的逻辑依据.
正确的证明过程：∵四边形ABCD是正方形，
即∠A=∠CDF.
在Rt△ABE和 Rt△DCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴BE=CF.
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)要证明△ABE≌△DCF，可根据正方形的性质得到对应边和对应角相等，再结合已知条件DF=AE，利用全等三角形的判定定理来证明；
(2)小明的证明过程小明在证明过程中，“因为∠BCD+∠FCD，所以∠FCD=90°"这一步存在错误.根据全等三角形判定定理中的“斜边直角边”(HL)，得出Rt△ABE≌Rt△DCF.证明即可.
20．【答案】（1）解：∵正方形的每个内角为90°，正三角形的每个内角为60°，
∴可以密铺．
（2）解：
正三角形、正方形、正六边形
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：（2）∵k，n为正整数，
∴n-2=1， 2， 4，
∴n=3， 4， 6，
∴正三角形、正方形、正六边形可以单独密铺．
故答案为：正三角形、正方形、正六边形.
【分析】（1）计算出正方形和等边三角形的内角，计算可得两块正方形和三块正三角形可以密铺解答即可；
（2）结合正多边形内角公式可得，整理可得，根据k，n为正整数求出n的值解答即可．
21．【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴，，则，即：
∵四边形为菱形，，
∴，则，
∴，则，
∴，
∴；
（2）①证明：连接，交于，
∵四边形为菱形，，
∴，，则是等边三角形，
∴，，则，
∵是等边三角形，
∴，，
则，
∴，
∴，
∴，
的最小值为2；
②连接，
由①可知，是等边三角形，是等边三角形，
则，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即点的运动轨迹为过点且垂直于轴的直线，
∵
∴点的横坐标为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；绝对值的非负性；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（2）①由点到直线垂线段最短，可知，，
∵四边形为菱形，
∴，
则，
即的最小值为2；
负答案为：2；
【分析】(1)由非负性可求a的值，由直角三角形的性质可求AB的长；
(2)①由“SAS”可证△AMC≌△AND，可得DN=MC，由垂线段最短可求ND的最小值；
②连接CN，根据“SAS”可证△BAM≌△CAN，可得CN=BM，可得点N在线段AD的垂直平分线上，即可求解.
22．【答案】（1）解：由折叠可知：∠BCE=∠FCE=21°，
∴∠BCF=2∠BCE=42°.
∵AD∥BC，
∴∠CFD=∠BCF=42°.
（2）解：如图，连结 BF，由折叠规律知：BE=EF，∠EFC=∠EBC=90°，
∴∠EBF=∠BFE.
∵BG∥EF，
∴∠BFE=∠FBG，∠BGF+∠EFG=180°，
∴∠EBF=∠FBG，∠BGF=90°，
∴∠A=∠BGF=90°.
∴AF=FG.
（3）解：如图，连结 BF，FH.
由图形折叠规律，得∠BCG=2∠BCH，
由 BH 平分∠CBG，得∠GBC=2∠HBC，
由(2)得 BG⊥CF，
∴∠BCG+∠GBC=90°，
即2∠BCH+2∠HBC=90°，
∴∠BCH+∠HBC=45°，
∴∠EHB=45°.
由四边形 EBCF 为轴对称图形，得∠EHF=45°，BH=FH，
∴∠BHF=∠EHB+∠EHF=90°.
∵∠A=90°，
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质求出∠BCF，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可；
（2）连接BF，根据折叠的性质和等边对等角得到∠EBF=∠BFE，然后根据平行线的性质即可得到∠EBF=∠FBG，∠BGF=90°，然后根据角平分线的性质解答即可；
（3）连结 BF，FH，根据折叠的性质，角平分线的定义得到∠EHB=45°，进而求出∠BHF=90°，然后根据勾股定理列式计算解答即可.
23．【答案】（1）证明：∵点B'与点B关于直线AG对称，
∴BB'⊥AG，
又∵DE⊥AG，
∴∠AFB=∠AED=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
又由正方形ABCD可知，
∠DAE+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
又由正方形ABCD可知， AD=AB，
∴△ADE≌△ABF(AAS)；
（2）解：∵点B'与点B关于直线AG对称，
∴BF=B'F，即BB'=2BF，
又∵四边形EBB'D是平行四边形，
∴DE=BB'，又BB'=2BF，
∴DE=2BF，又△ADE≌△ABF，
∴AE=BF， DE=AF，
∴AF=2AE，即E为AF的中点，
又∵DE⊥AG， ∴AD=DF=4.
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用正方形性质得 结合 AG垂直平分.BB'得 再通过同角的余角相等推出 最终由AAS得到两三角形全等即可
(2)由平行四边形.BB'D得 且DE=BB'，结合(1)全等结论及对称性质推出.AF=2BF，在 F中用勾股定理求出BF、AF的长度，再结合线段关系求出EF，最后在 中用勾股定理计算出DF的长度.
24．【答案】（1）解：如图1，过点F作于点H．
，，
，
的面积为，
，即，
．
（2）解：如图2，延长，相交于点G，过点E作于点M，
在菱形中，，点E是的中点，
，，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图3，过点E作于点N，连结，，取的中点O，连结，，
可得，，，，
，，
．
由（1）知，，
，即，
，
，
，
．
在菱形中，，，
，
，
，
，
，
当O，P，D三点共线时，取到最小值，最小值为．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）过点F作于点H，根据正弦的定义求出FH长，然后根据三角形面积公式解答即可；
（2）延长，相交于点G，过点E作于点M，根据菱形的性质，利用ASA得到，即可得到BG=AD=8，然后根据勾股定理求出长，再根据两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可；
（3）过点E作于点N，连接，，取的中点O，连接，，先根据勾股定理求出BC长，再根据两边对应成比例且夹角相等得到，即可得到，然后求出OD长，再根据当O，P，D三点共线时，取到最小值为OD-PO，解答即可．
25．【答案】（1）证明：因为四边形ABCD 为正方形， GM⊥AB，
所以∠C=∠B=90°=∠AMG.
因为AG⊥EF，
所以∠BAG+∠BEG=180°.
因为∠CEF+∠BEG=180°，
所以∠BAG=∠CEF.
所以在△AMG与△ECF中，
所以△AMG≌△ECF.
（2）解：①因为四边形ABCD为正方形，
所以AB=BC， ∠B=90°.
因为△AMG≌△ECF，
所以AM=EC.
所以BE=BM.
因为HE⊥BC， GM⊥AB，
所以∠BEN=∠BMN=∠B=90°.
所以四边形 BMNE 为正方形.
②延长MG 交 CD 于点 K，
因为四边形ABCD为正方形，
所以∠C=∠B=90°.
又因为四边形 BMNE 为正方形，
所以∠CEN=∠KNE=90°.
因为四边形 NECK为矩形，
所以CK=NE=MN， ∠FKG=∠HNG=90°.
因为△AMG≌△ECF，
所以MG=FC， ∠KFG=∠HGN，
所以FK=NG.
所以△FKG≌△GNH.
所以HN=KG， HE+NG=MN+NG+KG=BC=AB.
(另法：延长EH 交AD 于点 P，证明△APH≌△ENG)
③
【知识点】正方形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；四边形-动点问题
【解析】【分析】(1)要证明△AMG≌△ECF，先利用正方形ABCD和GM⊥AB的条件，得到∠C=∠AMG=90°：再由AG⊥EF推出∠BAG与∠BEG互补，结合平角性质得到∠BAG=∠CEF，最后结合已知AG=EF，用AAS判定两个三角形全等；
(2)①要证明四边形BMNE为正方形，先由HE⊥BC、GM⊥AB、∠B=90°，证出四边形BMNE是矩形；再结合(1)中△AMG≌△ECF得到AM=EC，利用正方形边长AB=BC，推出BM=BD，从而由"邻边相等的矩形是正方形完成证明；
②要证明HE+GN=AB，先由GM⊥AB、HE⊥BC，得到GM‖BC、HE‖AB结合BMNE是正方形，得到HD=BM；再由GM⊥AB，得到GN=GM-MN=AM，最后由BM+AM=AB，完成HE+GN=AB的证明；
③已知AB=1，由②的结论HE=AB-GN=1-GN，结合E，F不包含端点的条件，分析GN的取值范围，进而得到H的取值范围。
26．【答案】（1）证明：四边形为正方形，
，，
．
，
．
．
在和中，
，
．
（2）解：四边形为矩形，
，
，
，
，
又，
，
．
（3）证明：如图，过点作的垂线，交于点，
则，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
又，
．
又，
，
，
．
（4）
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（4）解：如图，过点作的垂线，交于点，取的中点为，连接，作于点N，则 ，
由轴对称图形的性质可知，
，，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上，半径为，
当点在上时，的值最小，
的最小值为．
【分析】(1)利用正方形性质得边角关系，结合垂直推出角相等，运用AAS得到两三角形全等即可；
(2)利用矩形性质与垂直，证得相似比；
(3)过点F作BC的垂线，交BC于点N，根据矩形性质及角度关系证明 得到结论；
(4)过点C作AD的垂线，交AD于点M，取CD的中点为O，连接AO，作 于点N，根据角度关系证明 求出AO长度，由 得到点G在以CD为直径的圆上，半径为OC=OD，根据圆外一点到圆上一点的距离得到AG的最小值.
1 / 1

展开更多......

收起↑