资源简介

6月上旬之圆—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如图，正n边形内接于⊙O，点A，B是正n边形的两个相邻顶点，点C是异于A，B的一个顶点，若∠ACB=18°，则n为(　　)
A．8 B．10 C．12 D．20
2．如图，AB∥CD，∠ADC的角平分线DE交AB于点E，以AD的B中点O为圆心，OA为半径的半圆分别交AB，DE于点F，G，连结AG，OF，OG。若AD=6，∠GAD=20°，则扇形FOG的面积为(　　)
A． B． C．π D．4π
二、填空题
3． 如图，已知菱形OABC的顶点A在⊙O上，且边AB， BC分别与⊙O相交于D， E两点，连结AE.若点D为AB的中点，则 的值为　 　.
4．如图，AB是⊙O的直径，直线 CD切⊙O 于点 C，连结 AC，若∠ACD=40°，则∠BAC 的度数为　 　.
5．如图，在⊙O 中，弦 AB，AC 分别是⊙O 的内接正三角形和内接正方形的一条边，连结BC，BC也是⊙O的内接正n边形的一条边，则n的值是　 　.
6．如图，⊙O的直径AB平分弦CD于点E，且E是OB的中点，点F在DE上， EF=BE，过点A作⊙O的切线，交FO的延长线于点 G.连接AF，若 则AG的长为　 　.
7．如图，等腰△ABC内接于⊙O， AB=AC，点D是的中点，连结AD，BD.若 则⊙O的半径长为　 　.
8．如图，在△ABC中， ∠ABC=60°， ∠ACB=40°，点I为△ABC的内心，连结AI，以I为圆心， AI长为半径作⊙I，交 BC边于点 D， E.若AI=2，则 的长为　 　.
9．如图，将圆O沿着它的一条弦AB 折叠，折叠后的劣弧AB经过圆心O且和弦AC交于点D，若圆O的半径为2，AD：CD=1：2，则AC=　 　.
三、解答题
10．综合实践活动：求甲、乙两个圆形薄板的直径(已知甲的直径小于乙的直径).
工具：自制的矩形直尺ABCD (边AB长2cm，边AD从点A至点D标有刻度).
小明的做法：如图1，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板甲上，使点A，B都恰好落在薄板的边缘，边AD，BC分别交薄板的边缘于点E，F，从直尺刻度中读出AE=6cm.小明认为线段 BE就是圆形薄板甲的一条直径，接着通过计算求出 BE长度.
如图2，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板乙上，点A恰好落在薄板的边缘，边AD与薄板的边缘交于点 M，边BC与薄板的边缘相切于点 G，从直尺刻度中读出AM=8cm.接着添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度.
（1）请你帮助小明说出图1中BE是圆形薄板甲的直径的理由，并求出 BE的长度.
（2）按照小明的做法，请你在图2中添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度.
11．如图，四边形ABCD 内接于以对角线 BD为直径的圆， AC=BC， 过点C与AD平行的直线交 BD于点E，交AB于点 F.
（1）求证： BE=DE.
（2）若AB=6， BC=5，求△ACD的面积.
12．如图， AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点 E，延长AB至点F，使得EF=AE，过点A 作⊙O的切线，交 FC 延长线于点 H，连结AD.
（1）求证：四边形ADCH 是平行四边形.
（2）若⊙O半径为5， AH=8，求BF的长.
13．如图，已知点B为射线AP上的动点，作□ABCD，使∠BAD=60°，过点A， B， D作⊙O与BC交于点E，连结AE.点F为CD上的一点，连结BF交AE于点G，交⊙O于点 Q，且∠AGB=60°.
（1）证明： ∠BAE=∠CBF.
（2）若AB=4， BE=2，求DF的长.
（3）若 求 的值.
14．已知AB， CD是圆的两条弦， CD⊥AB，垂足为E（点C在优弧上，点D在劣弧上)，且AB=4.
（1）如图1， CD是直径， O是圆心，且OE=3，求⊙O的半径；
（2）如图2，连结CA并延长至点F，再连结AD， BC. 若∠DAF=4∠DAB且∠ACB=36°，求∠B的度数；
（3）如图3，若CD经过端点A，点M是弦AB上一点，点P， Q在圆上. 连结CM，CP， CQ，满足CP=CM=CQ. 连结PQ交AB于点N，求AN+BM的最小值.
15． 如图，在正方形ABCD中， P为BC边上一点(不与点B， C重合) ，连结AP，以AP为直径作圆，交对角线 BD于点 E，连结AE并延长交 CD于点 F，连结 PF.已知AB=4.
（1）若BP=3，求线段AE 的长.
（2）求证： ∠APF=∠AEB.
（3）设BP=x，记△ABE与△ADE的面积差为y，试确定y与x的函数关系式.
16．如图，在 中， 以AB为直径作⊙O交AC于点D，E是⊙O上一点，连结ED交AB于点 F，连结 EB， BD，AD=3.
（1）若 求DC的长.
（2）若
①求证：BE=DE.
②记 和 的面积分别为S1和 求 的值.
17．AB为半圆O的直径，半径OD交弦AC于点E，已知OE=CE.
（1）如图1，连接OC，
①求证： ∠A=∠COD；
②若DE=2， AB=10，求AC的长.
（2）如图2，连接BC， BE，若BC=2， ∠ABE=2∠BAC，求半圆O的半径.
18．如图，已知△ABC内接于⊙O， AB=AC=10，BC=12，连结AO并延长交BC于点H.点D是线段AH上异于端点的动点，过点D作NF∥BC分别交⊙O，边AB，边AC于点N，M，F ，且点N在M左侧.
（1）求证：∠AMN=∠MFC；
（2）求证：NM·NF=AM·MB；
（3）设AM=x，当2≤x≤7时，求 的取值范围.
19．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O， BD为⊙O的直径， 过点C作 CG⊥BD分别交 BD， AB， ⊙O于点 E， F， G.
（1）求证： ①∠GCB=∠CBA. ②BE=AD+DE
（2）当BF=2GF时，求 的值.
20．如图1，已知△ABC内接于⊙O，直径AD⊥BC，垂足为E.点F为上一动点，连接BF分别交AD， AC于点H， K，过点F作FG∥AB交AC于点G.
（1）求证： ∠BAE=∠CAE；
（2）如图2，连接 FC，若BF 为⊙O的直径，
①求证： GF=GC；
②若AG=2GC， BC=6，求AC的长；
（3）如图3，若AB=5， BC=6，直接写出FG的最大值.
21．如图1，点A是⊙O上的一个定点，点B，C是⊙O上的动点，且AB=AC，∠A为锐角，过点B作AC的垂线分别交 于点 D， E，点F在边 AB上， FE=FB，FE交AC于点 G．
（1）求证： ∠BFE=2∠BAC．
（2）连结OF，如图2，求证： AF=OF．
（3）已知⊙O半径为5，求AC·CG的值．
22．如图①，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB、DC的延长线交于点E，AD、BC的延长线交于点F，连结EF，已知BE=BF.
（1）若∠EBF=100°，求∠EDF的度数；
（2）求证：CE=AF；
（3）如图②，若AD是直径，CB=kAB，求的值（用含k的代数式表示）.
23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， AB=CB， BO的延长线交⊙O于点 E，交AD 的延长线于点 F.
（1）求证： DB平分∠ADC；
（2）若AD=1， DF=5， DB=DC.
①求 BD的长；
②求⊙O的半径.
24． 如图1， △ABC内接于⊙O，作直径AD交边BC于点 G， OB平分∠ABC，连结CD， BD．
（1）若∠DAC=50°，求∠BAD 的度数．
（2）如图2，作CE⊥AB于点E，交AO于点 F，
①求证： ∠DCF=∠DFC．
②若OF=OG+1，且FG≥2，求的最小值．
25．综合与实践
【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有．
（1）【猜想验证】请证明上述结论．
（2）【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________．
（3）【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA， OB，
则∠
所以有
解得n=10，
经检验，n=10是原方程的解，
即这个多边形是十边形，
故选： B.
【分析】根据圆周角定理求出正多边形的中心角的度数，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可.
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；扇形面积的计算；角平分线的概念；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解： 的角平分线DE交AB于点E，
∵AD是直径，
∴扇形FOG的面积为：
故选： C.
【分析】利用平行线的性质以及角平分线的性质得到 利用同角对等边得到AD=AE，利用圆周角的性质得到 即 由等腰三角形三线合一的性质得出 进一步得到 ，然后利用扇形的面积公式求解即可.
3．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；垂径定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点O作OG⊥BC于点G，OF⊥AB于点F，过点E作EH⊥OA于点H，则四边形OHEG是矩形，
设AD=2a，则AG=4a
∵OG⊥BC，OF⊥AB，
∴CE=2CG，AD=2AF，∠OCG=∠OAF，
又∵OABC是菱形，
∴∠C=∠A，OA=OC=AB=BC=4a，
∴△OGC≌△OFA，
∴CG=AF，
∴CE=AD=2a，OH=CG=AF=a，
∴HA=3a，EH=OG=，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点O作OG⊥BC于点G，OF⊥AB于点F，过点E作EH⊥OA于点H，则四边形OHEG是矩形，设AD=2a，根据垂径定理可得AF=a，然后利用菱形的性质，根据AAS得到△OGC≌△OFA，即可得到CG=AF，求出CE=AD=2a，OH=CG=AF=a，然后根据勾股定理求出EH和AE长解答即可.
4．【答案】50°
【知识点】切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连结OC，
∵直线CD切⊙O于点C，
于点C，
∵AB是⊙O的直径，
∴圆心O在AB上，
故答案为：
【分析】连结OC，由切线的性质推导出∠OCD=90°，因为∠ACD=40°，所以∠OCA=50°，由OA=OC，得∠OAC=∠OCA=50°，即∠BAC=∠OAC=50°，于是得到问题的答案.
5．【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解： 连接OA、OB、OC， 如图，
∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边.
故答案为：12.
【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到. 则 即可得到n的值.
6．【答案】2
【知识点】垂径定理；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解： ∵E是OB的中点，点F在DE上， EF=BE，∴OE=BE=EF，
∵⊙O的直径AB平分弦CD于点E，
∴AB⊥CD于点E，
∵AG是⊙O的切线，交FO的延长线于点G，
∴AG⊥AB，
∵⊙O的直径AB平分弦CD于点E，
∴AB⊥CD于点E，
∵AG是⊙O的切线，交FO的延长线于点G，
∴AG⊥AB，
∴∠OAG=∠OEF=90°，
∵OA=OB=2BE=2EF，
∴AE=OA+OE=2EF+EF=3EF，
∴EF=1，
∵∠OAG=∠OEF， ∠AOG=∠EOF，
∴△AOG∽△EOF，
∴AG=2EF=2，
故答案为：2.
【分析】由E是OB的中点，点F在DE上， EF=BE，得OE=BE=EF，因为⊙O的直径AB平分弦CD于点E，所以AB⊥CD于点E，由切线的性质得AG⊥AB，则∠OAG=∠OEF=90°，因为OA=OB=2BE=2EF，所以AE=3EF，由 求得EF=1，再证明△AOG∽△EOF，得 则AG=2EF=2，于是得到问题的答案.
7．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接AO并延长，交BC于E，连接OD交AB于F，
∵点D是 的中点，
即
设OF=x，则OA=OD=3x，
由勾股定理得：
解得：
∴⊙O的半径长为
故答案为：
【分析】连接AO并延长，交BC于E，连接OD交AB于F，根据垂径定理得到 得到 根据勾股定理列出方程，解方程得到答案.
8．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形的内切圆与内心；弧长的计算；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解： 连接DI、EI，作IQ⊥DE于点Q，IP⊥AB于点P，
则DI=EI=AI=2，∠IQD=∠IPA= 90°，
∵在△ABC中， ∠ABC =60°， ∠ACB=40°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB= 80°，
∵点I为△ABC的内心，
∴IQ=IP，AI平分∠BAC，
在Rt△IDQ和RtIAP中，
故答案为：
【分析】连接DI、EI，作IQ⊥DE于点Q，IP⊥AB于点P， 则DI=EI=AI=2，∠IQD =∠IPA=90°， 由∠ABC =60°， ∠ACB =40°， 求得∠BAC = 80°， 根据点I为△ABC的内心， 可得IQ=IP 可根据“HL”证明Rt△IDQ≌RtIAP， 得∠IDQ =∠IAP =40°， 则∠IED=∠IDQ=40°， 求得∠DIE=100°，即可根据弧长公式计算即可.
9．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：
∴设AD=2k(k>0)，则CD=4k，AC=6k，
设折叠前圆心O的对应点为O'，连接O'O、O'A、O'C、O'D、OA，过点O'作 的垂线段O'M，如图：
则OO'=OA=2 ， ，
由已知折叠知：点(O'是折叠后AB所对应的圆的圆心，
， ，
是等边三角形，CM=AC-AM=5k，
，
，
在 中，由勾股定理，得
即
故答案为：.
【分析】设AD=2k(k>0)， 由已知可知：CD=4k、AC=6k，设折叠前圆心O的对应点为O'， 连接O'O、O'A、O'C、O'D、OA，过点O'作 的垂线段O'M， 由已知折叠知：点O'是折叠后AB所对应的圆的圆心，从而得到O'A=O' 是等边三角形、∠ 根据垂径定理得 D=k，根据“圆周角定理可得根据直角三角形中的边角关系得 在 中，由勾股定理求出 即可得出结论.
10．【答案】（1）解：理由：90°的圆周角所对的弦是直径.
因为矩形直尺ABCD，
所以∠A=90°，
所以
又因为AB=2， AE=6，
所以
（2）解：设圆心为O，连结OG， OM，圆形纸片半径为 rcm.
因为BC与⊙O 相切于点 G，
所以OG⊥BC.
又因为矩形直尺ABCD 对边平行，
所以OG⊥AD，
所以AE=EM=4，
所以
解得r=5，
即圆形薄板乙的直径为10cm.
(另法：延长GO交⊙O于点 P，根据△PEA∽△AEG，求得PG)
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据90° 圆周角所对的弦是直径，结合矩形直尺的直角∠A=90°，证明 BE 是直径；再用勾股定理计算 BE 的长度；
(2)作辅助线：连接圆心 O、A、M，过 O 作 AD 的垂线、作 BC 的平行线，构造直角三角形，利用垂径定理、切线的性质和勾股定理列方程，求解圆的半径，进而得到直径。
11．【答案】（1）证明：∵ BD为该圆的直径，
∴∠BAD=90°.
∵CF∥AD，
∴∠BFE=∠BAD=90°，即CF⊥AB.
∵AC = BC，
∴BF=AF.
又∵CF∥AD，
∴BE = DE；
（2）解： ∵ AB=6，
在Rt△BCF中，
∵ BE = DE且BD为圆的直径，
∴点E为该圆的圆心.
令该圆的半径为r，则EC= BE =r，
在 中，
解得
连接DF，

【知识点】三角形的面积；垂径定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据题意，得出. 再结合.AC=BC及 得出点F为AB中点，据此得出点E为BD中点即可；
(2)根据题意，求出该圆的半径，据此得出AD的长，连接DF，将的面积转化为的面积即可解决问题.
12．【答案】（1）证明：∵AH是切线，
∴∠OAH=90°.
∵CD⊥OB，
∴CE=DE，∠CEB=90°，
∴AH∥CD.
∵AE=EF，∠AED=∠CEF，CE=DE，
∴△ADE≌△FCE (SAS)，
∴∠DAE=∠F，
∴CH∥AD，
∴四边形ADCH 是平行四边形.
（2）解：连结OC，
∵四边形ADCH是平行四边形， ∴CD=AH=8，
∴CE=DE=4.
在Rt△OCE中，
∴AF=2AE=2(AO+OE)=16.
∵AB=2r=10， ∴BF=AF-AB=6.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；垂径定理；切线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAH=90°，然后根据CD⊥OB，得到AH∥CD，然后根据SAS得到△ADE≌△FCE，即可得到∠DAE=∠F，进而可得CH∥AD，证明结论即可；
（2）连结OC，根据平行四边形的性质得到CD=AH=8，根据垂径定理得到CE=DE=4，然后根据勾股定理求出OE长，即可求出AF长，然后根据线段的和差解答即可.
13．【答案】（1）证明：∵∠AGB=60°，
∴∠BEA+∠CBF=∠AGB=60°，
∵∠BAD=60°，
∴∠BAE+∠EAD=∠BAD=60°，
∴∠BAE+∠EAD=∠BEA+∠CBF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAD=∠BEA，
∴∠BAE =∠CBF；
（2）解：
连接DE并延长，交AP于点J，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
又 ，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=120°，
∴∠ADE = 180°-120°= 60°，
又∵AD∥BC，
∴∠JEB=∠ADE=60°，
又∵∠JBE=60°，
∴△BJE是等边三角形，
∵∠ADE = 60°，且∠BAD =60°，
∴△ADJ是等边三角形，
∵△BJE和△ADJ是等边三角形，
∴AJ =AD = BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C =60°，
∴∠C =∠AJE，
在△AJE和△BCF中，
，
∴△AJE≌△BCF(ASA)，
∴JE=CF，
∵△BJE是等边三角形，
∴BE=JE，
∵AB=4、BE=2 ，
，
，
，
，
即DF长为2；

（3）解：如图， 过点Q作，交BC于点K，连接EQ， 过点Q作于点H，
∵QK//CF，且 ，
，
，
，
设QK = 2x， 则CF = 3x，
∵∠BAE和∠BQE是同弧圆周角，
∴∠BAE=∠BQE，
∵∠BAE=∠CBF，
∴∠BQE=∠CBF，
∴△BEQ是等腰三角形，
∴BE=EQ，
由(2)知BE=CF，
∴EQ=BE=CF=3x，
∵QK//CF，
∴∠EKQ=∠C=60°，
又∵QK = 2x，
∴HK=QK×cos∠EKQ =2x×cos60°=x，
在 中运用勾股定理有 ，
，
，
，
，
，
∵CE=CD，
，
，
即 的值为 .
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；圆与四边形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得到∠EAD=∠BEA，根据三角形的外角和角的和差证明结论即可；
（2）连接DE并延长，交AP于点J，根据平行四边形的东芝得到△BJE和△ADJ是等边三角形，然后根据ASA得到△AJE≌△BCF，即可得到△BJE是等边三角形，即可得道BE=JE，然后根据线段的和差解答即可；
（3）过点Q作，交BC于点K，连接EQ， 过点Q作于点H，根据平行线分线段成比例得到，设QK = 2x， 则CF = 3x，然后得到BE=EQ，即可得到EQ=BE=CF=3x，再根据余弦的定义求出HK=x，在 根据勾股定理求出EH长，进而求出BC长，再根据线段的和差求出AB长，计算比值即可.
14．【答案】（1）解：连接OA，
∵CD⊥AB且CD是直径，
，
∵AB=4，
∴AE=2，
∵OE=3，
，
∴圆的半径是
（2）解：设∠DAB=x，则∠DAF=4x，
∴∠BAF=5x，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=5x-90°，
∵∠DAB=∠DCB，
∴∠DCB=x，
∵∠ACB=36°，
∴5x-90+x=36，
∴x=21，
∵CD⊥AB，∴∠B=90°-21°=69°；
（3）解：以C为圆心，CM的长为半径作圆，交BA的延长线于点 E，
图2
∵CP=CM=CQ，
∴P， Q两点在⊙C上，
∵CD⊥AB，
∴AM=AE，
∴EN=AM+AN，MN=AM-AN，
∵PN·NQ=AN·NB ，PN·NQ=EN·MN，
∴EN·MN=AN·NB，
∵AB=4，
∴（AM+AN)（AM-AN)=AN（4-AN)，
，
，
，
∴当AM=2时， AN+BM的最小值是3.
【知识点】二次函数的最值；三角形外角的概念及性质；相交弦定理；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OA，根据垂径定理得到AE=2，然后根据勾股定理求出OA长即可；
（2）设∠DAB=x，即可得到∠BAF=5x，然后根据三角形的外角得到∠ACD的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到∠DCB=x，根据角的和差列方程求出x的值解答即可；
（3）以C为圆心，CM的长为半径作圆，交BA的延长线于点 E，则CP=CM=CQ，根据垂径定理得到AM=AE，然后根据相交弦定理得到EN·MN=AN·NB，即可得到，然后得到AN+BM关于AM的二次函数，配方得到顶点式即可得到最小值解答即可.
15．【答案】（1）解：连结EP.
∵AP为直径，
∵四边形ABCD为正方形，
为等腰直角三角形，

（2）证明：如图， 延长FD 至点 Q， 使得 DQ=BP， 连结AQ， EP.
∵四边形ABCD为正方形，
在 和 中，
∴△ABP≌△ADG(SAS)，
∴AP=AG， ∠BAP=∠DAG， ∠APB=∠G，
∵∠BAP+∠DAP=∠BAD=90°，
∴∠DAG+∠DAP=∠PAG=90°，
由(1)知： ∠PAE=∠APE=45°，
∴∠PAF=∠GAF=45°，
在△APF和△AGF中，
∴△APF≌△AGF(SAS)，
∴∠APF=∠G，
∴∠APB=∠APF.
（3）解：过点A作 于点H，过点E作 于点G， 于点M，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴四边形EGCM为矩形，
∴CG=EM.
在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE=CE，
∵∠ABD=∠CDB=45°，
∴AE=PE，
∴PE=EC，
∵EG⊥PC，
∵， EM⊥DF， ∠BCD=45°，
在等腰直角三角形BEG中， ，
在等腰直角三角形AHB中，
的面积
的面积
∴y与x的函数关系式为y=2x.

【知识点】函数解析式；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；圆与四边形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接EP，利用勾股定理求得AP，利用正方形的性质，圆周角定理和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论；
(2)连接EP， 延长FD至点G， 使DG=BP，连接AG，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质得到 再利用全等三角形的判定与性质得到 最后利用圆周角定理和等式的性质解答即可得出结论；
(3)过点A作. 于点H，过点E作 于点G，EM⊥DF于点M，利用矩形的判定与性质得到CG=EM，利用全等三角形的判定与性质得到AE=CE，利用等腰三角形的性质和等式的性质得到 则 再利用三角形的面积公式解答即可.
16．【答案】（1）解：因为AB是⊙O的直径，
所以∠ADB=90°.
因为∠ABC=90°， ∠A=60°， AD=3，
所以∠ABD=∠ACB=30°.
所以AB=2AD=6， AC=2AB=12，
所以CD=12-3=9.
（2）解：①设∠ABE=x°，
则∠ADE=∠ABE=x°， ∠A=∠E=2x°，
所以∠EDB=90°-x°，
所以
所以∠EDB=∠EBD，
所以EB=ED.
②连结EO并延长交BD于点 G.
因为EB=ED，所以EB=ED，
所以EG⊥BD， BG=DG.
因为O是AB的中点，
所以 设OE=OB=r，
则有 解得：
因为△AFD∽△OFE，
所以
所以
所以
因为△AFD∽△EFB，
所以
所以
【知识点】含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，根据 直角三角形的性质即可得解；
(2)①设∠ABE=x°，即可得到 根据等角对等边证明即可；
②连结EO并延长交BD于点G，双勾股可求半径，再证 导边可得
再证 可得 即可得解.
17．【答案】（1）解： ①∵OE=CE
∴∠COD=∠OCE
∵AO=CO
∴∠A=∠OCE
∴∠A=∠COD
②解：由①得∠A=∠COD
∵∠ACO=∠OCE
∴△AOC∽△OEC
∵DE=2， AB=10
∴AO=CO=5， OE=3
（2）(2)解：如图2，连接OC，作 于点F，则
C，
∵∠AOE+∠BOE=180°， ∠AEB+∠BEC=180°，
∴∠AOE=∠AEB，
∵∠OAE=∠EAB，
∴△OAE∽△EAB，
∵AB=2AO，
或 (不符合题意，舍去)，
∵∠ACB=90°， OE=CE，
∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=∠CBE=45°，
∴EC=BC=2， ∠BOE=∠BEC=45°，
∴半圆O的半径长为
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)①由根据等边对等角得到∠COD=∠OCA，∠A=∠OCA， 然后根据等量代换证明即可.
②根据两角对应相等得到△AOC-△OEC， 根据对应边成比例求出AC长即可；
(2)连接OC， 作EF⊥OB于点F， 由∠COE=∠OCA=∠BAC， ∠BOC=2∠BAC， 推导出∠BOE=3∠BAC，然后得到∠BEC=3∠BAC， 即可得到∠BOE=∠BEC， 再根据∠AOE=∠AEB，可得△OAE∽△EAB，得根据对应边成比例得到 根据正弦的定义可得∠BEC=∠CBE=45°， 然后根据勾股定理求出然后求出∠ABE=2∠BAC=30° 即可得到 求得BF 即可得到半圆O的半径.
18．【答案】（1）证明： ∵MF∥BC，
∴∠AMF=∠B， ∠AFM=∠C，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠AMF=∠AFM，
∴∠AMN=∠MFC；
（2）证明： 连接AN， NC， MC，
∴∠NAB=∠NCB(同弧所对圆周角)，
∵NF∥BC，
∴∠CNF=∠NCB(内错角相等)，
∴∠NAM=∠CNF，
又由(1)知∠AMN=∠CFM，
∴△AMN∽△CFN，
即NM·NF=AM·FC，
∵NF∥BC，
∵AB=AC，
∴MB=FC，
∴NM·NF=AM·MB；

（3）解：在⊙O中， AB=AC，
∵AH过点O，
∴BH=HC(垂径定理推论)，
∵NF∥BC，
又∵BH=HC，
∴DM=DF，
=NM·NF
=AM·MB
=AM·(AB-AM)，
又∵AM=x， AB=10，
设
又∵2≤x≤7，
∴当x=2时，
当x=5时，
即16≤y≤25，
∴当2≤x≤7时，

【知识点】二次函数的最值；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】
(1)根据平行线的性质和等边对等角得到∠AMF=∠AFM， 即可根据等交的补角相等解答即可；
(2)连接AN， NC， MC， 根据两角对应相等得到△AMN-△CFN， 利用对应边成比例得到NM·NF=AM·FC，然后推理得到MB=FC， 证明结论即可；
(3)根据平行线分线段成比例得到即可得到DM=DF， 则M (AB-AM)，据此代入求解即可.
19．【答案】（1）证明：
②如图，在线段BD上取一点H，使得BH=AD，连接CH，AC
∴AC = BC.
∴∠DAC =∠DBC.
∴△CAD≌△CBH(SAS).
∴CD=CH.
∵GC⊥BD
∴ED=EH.
∴BE=AD+DE.
（2）解： 如图， 连BG，
由(1)得， CF=BF， 设GF=a， 则BF=CF=2a，
∵直径
在Rt△EFB中，
∵∠CDE=∠BGE，∠CED=∠BEG，
∴△CDE∽△BGE，

【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)①证得 即可得证；
②在线段BD上取一点H，使得BH=AD，连结CH， AC， 根据SAS证明 即可得证；
(2)设BF=CF=2GF=2a，则可得CE=G 勾股求出BE，再证 据此求解即可.
20．【答案】（1）证明： ∵AD 是⊙O的直径，AD⊥BC，
，
∴∠BAE=∠CAE；
（2）解：①设∠BAE=∠CAE=α，则∠BAC=2α，
∵OA=OB，
∴∠BAE=∠ABO=α，
∴∠ACF=∠ABO=α，
∵FG∥AB，
∴∠AGF=∠BAC=2α，
∴∠GFC=∠AGF-∠ACF=α，
∴∠GFC=∠ACF，
∴ FG=GC；
②连接AF，
∵BF是⊙O 的直径，
∴∠BAF=90°，
∵ FG∥AB ，
∴∠AFG=90°，
∵AG=2GC，GF=GC，
，
∴∠FAG=30°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC 为等边三角形，
∴AC=BC=6；
（3）解：
【知识点】垂径定理；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（3）由(1)可知AE垂直平分BC，
连接OB，设(OB=OA=r，则OE=4-r，
在 中，
即
如图，过B作 于点M，过F作 于点N，
∵FG∥AB，
即当FN有最大值时，则FG有最大值，
当F位于 中点时，FN有最大值，
连接OF，此时O、N、F三点共线，且(
此时
故FG的最大值为
故答案为：
【分析】(1)由垂径定理易得 再根据圆周角定理即可得解；
(2)①设 证 即可得证；
②先证 易得 则 即可得解；
(3)易得AE=4，半径为 过B作B 于点M， 过F作. 于点N，等面积可得. 由 则 可得 当F位于 中点时，FN有最大值，此时FG也有最大值，据此求解即可.
21．【答案】（1）证明：因为AC⊥EB，
所以∠A=90°-∠ABE．
因为BF=EF，
所以∠ABE=∠E，
所以∠BFE=180°-2∠ABE，
所以∠BFE=2∠A．
（2）证明：连结AO， BO， CO， EO．
因为AB=AC， BO=CO，
所以AO垂直平分 BC，
所以∠CAO=∠BAO．
因为FE=FB， OB=OE，
所以OF垂直平分 BE，
因为AC⊥BE
所以OF∥AC.
所以∠AOF=∠CAO=∠BAO，
所以AF=OF.
（3）解：连结AE， AO， OF， BO．
因为∠BFE=2∠BAC，
所以∠AGF=∠BAC，
所以AF=FG．
因为AB=AC， AC⊥EB，
所以∠CBE=90°-∠C
所以∠GAE=∠CBE=∠AEG，所以AG=EG．
因为FB=FE， AB=AC，所以CG=AC-AG=AC-(AB-AF-FG)=2AF．
因为AF=OF， OA=OB，
所以∠ABO=∠BAO=∠AOF，
所以△AOF∽△ABO，
所以AC·CG=2AB·AF=2OA2=50．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的两锐角互余得到∠A=90°-∠ABE， 再根据等角对等边和三角形的额内角和定理得到∠BFE=180°-2∠ABE，即可得到结论；
(2)连接AO， BO， CO， EO，先得到AO垂直平分 BC，OF垂直平分 BE，即可得到OF∥AC，进而可得∠AOF=∠CAO=∠BAO，再根据等角对等边证明即可；
(3)连接AE， AO， OF， BO，根据等角对等边得到AF=FG，AG=EG，进而得到CG=2AF，然后根据两角对应相等得到△AOF-△ABO，根据对应边成比例解答即可.
22．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADE=180°，
∵∠ABC+∠EBF=180°，
∴∠ADE=∠EBF=100°，
∴∠EDF=180°-∠ADE=80°.
（2）证明：在EB上取一点G，使EG=FC，连接FG，如图，
∵BE=BF，
∴∠GEF=∠CFE.
在△EGF和△FCE中，
∴△EGF≌△FCE(SAS)，
∴FG=EC， ∠EGF=∠FCE，
∵∠FCE=∠BCD，
∴∠BCD=∠EGF.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
∴∠EGF+∠DAB=180°，
∵∠EGF+∠AGF=180°，
∴∠AGF=∠DAB，
∴FG=FA，
∴CE=AF；

（3）解：在EB上取一点G，使EG=FC，连接FG，过
点F作FH⊥AE于点H，连接BD，如图，
由(2)知： FG=FA，
∵FH⊥AE，
∴AH=GH.
∵EG=FC， BE=BF，
∴BG=BC=kAB，
∴AG=AB+BG=(1+k)AB，
∵AD是直径，

【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)利用圆的内接四边形的性质和邻补角的意义解答即可；
(2)在EB上取一点G，使EG=FC， 连接FG，利用等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质得到FG 再利用邻补角的意义，等腰三角形的判定定理解答即可；
(3)在EB上取一点G，使EG=FC，连接FG，过点F作 于点H，连接BD，利用等式的性质得到BG=BC=kAB，则AG=AB+BG=(1+k)AB，利用等腰三角形的性质，等式的性质得到BH=AH-AB= 再利用圆周角定理，平行线的判定DL和平行线分线段成比例定理解答即可.
23．【答案】（1）证明：因为AB=BC，
所以
所以∠ADB=∠BDC.
所以BD平分∠ADC.
（2） 解：①如图1，连结 DE，
设∠ADB=∠CDB=α，
因为DB=DC，
所以
因为BE是⊙O直径，
所以∠BDE=90°.
所以∠EDC=90°-α.
所以∠EBC=∠EDC=90°-α，
所以
因为∠ADB=∠DBF+∠F，
所以
所以∠DBF=∠F.
所以DB=DF=5.
②如图2，连结CF，延长DE交 FC于点 G.
因为BE为⊙O的直径，
所以
所以∠ABE=∠CBE.
在△ABF和△CBF中，
所以△ABF≌△CBF(SAS).
所以FC=FA， ∠DFB=∠CFB.
因为AF=AD+DF=6，
所以FC=6.
因为∠DFB=∠CFB， ∠DFB=∠DBF，
所以∠DBF=∠BFC.
因为∠DEB=∠GEF，
所以∠EGF=∠BDE=90°.
所以DG⊥FC.
因为DB=DC， DB=DF，
所以DC=DF=5.
所以CG=FG=3.
所以
设DE=x，则EG=4-x.
因为∠DEB=∠GEF， ∠DBE=∠GFE，
所以△DBE∽△GFE.
所以
所以
解得
所以
所以
所以半径为
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据弧、弦及圆周角的关系进行证明即可；
(2)①连接DE，令 据此分别表示出 和 进一步得出 据此得出BD=DF即可解决问题；
②连接CF，延长DE交CF于点G，根据全等三角形的判定与性质得出CF的长，进一步求出DG的长，再根据相似三角形的判定与性质求出DE的长，最后利用勾股定理进行计算即可.
24．【答案】（1）解：因为AD为直径，
所以∠ABD=90°，
因为∠DBC=∠DAC=50°，
所以∠ABC=90°-∠DBC=40°，
因为BO平分∠ABC，
所以∠ABO=∠OBC=20°，
因为OB=OA，
所以∠BAD=∠ABO=20°；
（2）解：①证明：设∠ABO=α，则∠EBC=2α，
因为OB=OA，所以∠BAO=∠ABO=α，
因为CE⊥AB，
所以∠AFE=90-α=∠DFC， ∠BCE=90-2α，
因为∠BCD=∠BAD=α，
所以∠DCF=∠BCD+∠BCE=α+90-2α=90-α，
即∠DFC=∠DCF；
② 由①得， DF=CD，
因为∠BAD=∠ABO=∠OBC，
又因为∠BAD=∠BCD，
所以∠OBC=∠BCD，
所以OB∥CD，
所以△BOG∽△CDG，
所以 ，
设OG为x， DG为y，则OF=x+1， DC=DF=y+2x+1， BO=DO=x+y，
所以 化简得 ，
因为FG=2x+1≥2，
所以 ，
所以 .
【知识点】二次函数的最值；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，即可得到，根据角平分线的定义求出，再根据等边对等角解答即可；
（2）①设，根据角平分线的定义得到，根据直角三角形的两锐角互余得到解答即可；
②根据两角相等得到，再根据对应边成比例得到，设，，代入比例式整理得，然后根据FG=2x+1≥2求得，进而根据二次函数的增减性求出最小值解答即可．
25．【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵，，
∴∽，
∴，
即；
（2）（0，2）
（3）解：设，，则OA=-x1，OB=x2，
令 中的x=0得出y=c，
∴C(0，c)，
∴OC=-c，
令 中的y=0得出
由韦达定理可得，，
∵，
∴，
，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴，，，
由（1）知，，
∴，
解得，
∴；
故答案为：（0，2）；
【分析】（1）连接AC、BD，由同弧所对的圆周角相等得出∠C=∠B，∠A=∠D，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得出△APC∽△DPB，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）由A、B、C三点坐标得出OA=1，OB=3，OC=1.5，结合（1）的结论可求出OD=2，从而即可得到点D的坐标；
（3）设A(x1，0)，B(x2，0)，则OA=-x1，OB=x2，根据抛物线与y轴交点的坐标特点求出点C的坐标，得出OC=-c；令抛物线解析式中的y=0可得，根据一元二次方程根与系数的关系得出，结合（1）的结论即可求出OD的长，从而即可得到点D的坐标.
（1）证明：如图1，连接，
∵，，
∴∽，
∴，
即；
（2）解：由（1）知，，
∵，
∴，，，
∴，
解得，
∴；
（3）解：设，，
∵，
即，
当时，由韦达定理可得，，
，
则．
1 / 16月上旬之圆—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如图，正n边形内接于⊙O，点A，B是正n边形的两个相邻顶点，点C是异于A，B的一个顶点，若∠ACB=18°，则n为(　　)
A．8 B．10 C．12 D．20
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA， OB，
则∠
所以有
解得n=10，
经检验，n=10是原方程的解，
即这个多边形是十边形，
故选： B.
【分析】根据圆周角定理求出正多边形的中心角的度数，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可.
2．如图，AB∥CD，∠ADC的角平分线DE交AB于点E，以AD的B中点O为圆心，OA为半径的半圆分别交AB，DE于点F，G，连结AG，OF，OG。若AD=6，∠GAD=20°，则扇形FOG的面积为(　　)
A． B． C．π D．4π
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；扇形面积的计算；角平分线的概念；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解： 的角平分线DE交AB于点E，
∵AD是直径，
∴扇形FOG的面积为：
故选： C.
【分析】利用平行线的性质以及角平分线的性质得到 利用同角对等边得到AD=AE，利用圆周角的性质得到 即 由等腰三角形三线合一的性质得出 进一步得到 ，然后利用扇形的面积公式求解即可.
二、填空题
3． 如图，已知菱形OABC的顶点A在⊙O上，且边AB， BC分别与⊙O相交于D， E两点，连结AE.若点D为AB的中点，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；垂径定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点O作OG⊥BC于点G，OF⊥AB于点F，过点E作EH⊥OA于点H，则四边形OHEG是矩形，
设AD=2a，则AG=4a
∵OG⊥BC，OF⊥AB，
∴CE=2CG，AD=2AF，∠OCG=∠OAF，
又∵OABC是菱形，
∴∠C=∠A，OA=OC=AB=BC=4a，
∴△OGC≌△OFA，
∴CG=AF，
∴CE=AD=2a，OH=CG=AF=a，
∴HA=3a，EH=OG=，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点O作OG⊥BC于点G，OF⊥AB于点F，过点E作EH⊥OA于点H，则四边形OHEG是矩形，设AD=2a，根据垂径定理可得AF=a，然后利用菱形的性质，根据AAS得到△OGC≌△OFA，即可得到CG=AF，求出CE=AD=2a，OH=CG=AF=a，然后根据勾股定理求出EH和AE长解答即可.
4．如图，AB是⊙O的直径，直线 CD切⊙O 于点 C，连结 AC，若∠ACD=40°，则∠BAC 的度数为　 　.
【答案】50°
【知识点】切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连结OC，
∵直线CD切⊙O于点C，
于点C，
∵AB是⊙O的直径，
∴圆心O在AB上，
故答案为：
【分析】连结OC，由切线的性质推导出∠OCD=90°，因为∠ACD=40°，所以∠OCA=50°，由OA=OC，得∠OAC=∠OCA=50°，即∠BAC=∠OAC=50°，于是得到问题的答案.
5．如图，在⊙O 中，弦 AB，AC 分别是⊙O 的内接正三角形和内接正方形的一条边，连结BC，BC也是⊙O的内接正n边形的一条边，则n的值是　 　.
【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解： 连接OA、OB、OC， 如图，
∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边.
故答案为：12.
【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到. 则 即可得到n的值.
6．如图，⊙O的直径AB平分弦CD于点E，且E是OB的中点，点F在DE上， EF=BE，过点A作⊙O的切线，交FO的延长线于点 G.连接AF，若 则AG的长为　 　.
【答案】2
【知识点】垂径定理；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解： ∵E是OB的中点，点F在DE上， EF=BE，∴OE=BE=EF，
∵⊙O的直径AB平分弦CD于点E，
∴AB⊥CD于点E，
∵AG是⊙O的切线，交FO的延长线于点G，
∴AG⊥AB，
∵⊙O的直径AB平分弦CD于点E，
∴AB⊥CD于点E，
∵AG是⊙O的切线，交FO的延长线于点G，
∴AG⊥AB，
∴∠OAG=∠OEF=90°，
∵OA=OB=2BE=2EF，
∴AE=OA+OE=2EF+EF=3EF，
∴EF=1，
∵∠OAG=∠OEF， ∠AOG=∠EOF，
∴△AOG∽△EOF，
∴AG=2EF=2，
故答案为：2.
【分析】由E是OB的中点，点F在DE上， EF=BE，得OE=BE=EF，因为⊙O的直径AB平分弦CD于点E，所以AB⊥CD于点E，由切线的性质得AG⊥AB，则∠OAG=∠OEF=90°，因为OA=OB=2BE=2EF，所以AE=3EF，由 求得EF=1，再证明△AOG∽△EOF，得 则AG=2EF=2，于是得到问题的答案.
7．如图，等腰△ABC内接于⊙O， AB=AC，点D是的中点，连结AD，BD.若 则⊙O的半径长为　 　.
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接AO并延长，交BC于E，连接OD交AB于F，
∵点D是 的中点，
即
设OF=x，则OA=OD=3x，
由勾股定理得：
解得：
∴⊙O的半径长为
故答案为：
【分析】连接AO并延长，交BC于E，连接OD交AB于F，根据垂径定理得到 得到 根据勾股定理列出方程，解方程得到答案.
8．如图，在△ABC中， ∠ABC=60°， ∠ACB=40°，点I为△ABC的内心，连结AI，以I为圆心， AI长为半径作⊙I，交 BC边于点 D， E.若AI=2，则 的长为　 　.
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形的内切圆与内心；弧长的计算；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解： 连接DI、EI，作IQ⊥DE于点Q，IP⊥AB于点P，
则DI=EI=AI=2，∠IQD=∠IPA= 90°，
∵在△ABC中， ∠ABC =60°， ∠ACB=40°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB= 80°，
∵点I为△ABC的内心，
∴IQ=IP，AI平分∠BAC，
在Rt△IDQ和RtIAP中，
故答案为：
【分析】连接DI、EI，作IQ⊥DE于点Q，IP⊥AB于点P， 则DI=EI=AI=2，∠IQD =∠IPA=90°， 由∠ABC =60°， ∠ACB =40°， 求得∠BAC = 80°， 根据点I为△ABC的内心， 可得IQ=IP 可根据“HL”证明Rt△IDQ≌RtIAP， 得∠IDQ =∠IAP =40°， 则∠IED=∠IDQ=40°， 求得∠DIE=100°，即可根据弧长公式计算即可.
9．如图，将圆O沿着它的一条弦AB 折叠，折叠后的劣弧AB经过圆心O且和弦AC交于点D，若圆O的半径为2，AD：CD=1：2，则AC=　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：
∴设AD=2k(k>0)，则CD=4k，AC=6k，
设折叠前圆心O的对应点为O'，连接O'O、O'A、O'C、O'D、OA，过点O'作 的垂线段O'M，如图：
则OO'=OA=2 ， ，
由已知折叠知：点(O'是折叠后AB所对应的圆的圆心，
， ，
是等边三角形，CM=AC-AM=5k，
，
，
在 中，由勾股定理，得
即
故答案为：.
【分析】设AD=2k(k>0)， 由已知可知：CD=4k、AC=6k，设折叠前圆心O的对应点为O'， 连接O'O、O'A、O'C、O'D、OA，过点O'作 的垂线段O'M， 由已知折叠知：点O'是折叠后AB所对应的圆的圆心，从而得到O'A=O' 是等边三角形、∠ 根据垂径定理得 D=k，根据“圆周角定理可得根据直角三角形中的边角关系得 在 中，由勾股定理求出 即可得出结论.
三、解答题
10．综合实践活动：求甲、乙两个圆形薄板的直径(已知甲的直径小于乙的直径).
工具：自制的矩形直尺ABCD (边AB长2cm，边AD从点A至点D标有刻度).
小明的做法：如图1，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板甲上，使点A，B都恰好落在薄板的边缘，边AD，BC分别交薄板的边缘于点E，F，从直尺刻度中读出AE=6cm.小明认为线段 BE就是圆形薄板甲的一条直径，接着通过计算求出 BE长度.
如图2，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板乙上，点A恰好落在薄板的边缘，边AD与薄板的边缘交于点 M，边BC与薄板的边缘相切于点 G，从直尺刻度中读出AM=8cm.接着添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度.
（1）请你帮助小明说出图1中BE是圆形薄板甲的直径的理由，并求出 BE的长度.
（2）按照小明的做法，请你在图2中添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度.
【答案】（1）解：理由：90°的圆周角所对的弦是直径.
因为矩形直尺ABCD，
所以∠A=90°，
所以
又因为AB=2， AE=6，
所以
（2）解：设圆心为O，连结OG， OM，圆形纸片半径为 rcm.
因为BC与⊙O 相切于点 G，
所以OG⊥BC.
又因为矩形直尺ABCD 对边平行，
所以OG⊥AD，
所以AE=EM=4，
所以
解得r=5，
即圆形薄板乙的直径为10cm.
(另法：延长GO交⊙O于点 P，根据△PEA∽△AEG，求得PG)
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据90° 圆周角所对的弦是直径，结合矩形直尺的直角∠A=90°，证明 BE 是直径；再用勾股定理计算 BE 的长度；
(2)作辅助线：连接圆心 O、A、M，过 O 作 AD 的垂线、作 BC 的平行线，构造直角三角形，利用垂径定理、切线的性质和勾股定理列方程，求解圆的半径，进而得到直径。
11．如图，四边形ABCD 内接于以对角线 BD为直径的圆， AC=BC， 过点C与AD平行的直线交 BD于点E，交AB于点 F.
（1）求证： BE=DE.
（2）若AB=6， BC=5，求△ACD的面积.
【答案】（1）证明：∵ BD为该圆的直径，
∴∠BAD=90°.
∵CF∥AD，
∴∠BFE=∠BAD=90°，即CF⊥AB.
∵AC = BC，
∴BF=AF.
又∵CF∥AD，
∴BE = DE；
（2）解： ∵ AB=6，
在Rt△BCF中，
∵ BE = DE且BD为圆的直径，
∴点E为该圆的圆心.
令该圆的半径为r，则EC= BE =r，
在 中，
解得
连接DF，

【知识点】三角形的面积；垂径定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据题意，得出. 再结合.AC=BC及 得出点F为AB中点，据此得出点E为BD中点即可；
(2)根据题意，求出该圆的半径，据此得出AD的长，连接DF，将的面积转化为的面积即可解决问题.
12．如图， AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点 E，延长AB至点F，使得EF=AE，过点A 作⊙O的切线，交 FC 延长线于点 H，连结AD.
（1）求证：四边形ADCH 是平行四边形.
（2）若⊙O半径为5， AH=8，求BF的长.
【答案】（1）证明：∵AH是切线，
∴∠OAH=90°.
∵CD⊥OB，
∴CE=DE，∠CEB=90°，
∴AH∥CD.
∵AE=EF，∠AED=∠CEF，CE=DE，
∴△ADE≌△FCE (SAS)，
∴∠DAE=∠F，
∴CH∥AD，
∴四边形ADCH 是平行四边形.
（2）解：连结OC，
∵四边形ADCH是平行四边形， ∴CD=AH=8，
∴CE=DE=4.
在Rt△OCE中，
∴AF=2AE=2(AO+OE)=16.
∵AB=2r=10， ∴BF=AF-AB=6.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；垂径定理；切线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAH=90°，然后根据CD⊥OB，得到AH∥CD，然后根据SAS得到△ADE≌△FCE，即可得到∠DAE=∠F，进而可得CH∥AD，证明结论即可；
（2）连结OC，根据平行四边形的性质得到CD=AH=8，根据垂径定理得到CE=DE=4，然后根据勾股定理求出OE长，即可求出AF长，然后根据线段的和差解答即可.
13．如图，已知点B为射线AP上的动点，作□ABCD，使∠BAD=60°，过点A， B， D作⊙O与BC交于点E，连结AE.点F为CD上的一点，连结BF交AE于点G，交⊙O于点 Q，且∠AGB=60°.
（1）证明： ∠BAE=∠CBF.
（2）若AB=4， BE=2，求DF的长.
（3）若 求 的值.
【答案】（1）证明：∵∠AGB=60°，
∴∠BEA+∠CBF=∠AGB=60°，
∵∠BAD=60°，
∴∠BAE+∠EAD=∠BAD=60°，
∴∠BAE+∠EAD=∠BEA+∠CBF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAD=∠BEA，
∴∠BAE =∠CBF；
（2）解：
连接DE并延长，交AP于点J，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
又 ，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=120°，
∴∠ADE = 180°-120°= 60°，
又∵AD∥BC，
∴∠JEB=∠ADE=60°，
又∵∠JBE=60°，
∴△BJE是等边三角形，
∵∠ADE = 60°，且∠BAD =60°，
∴△ADJ是等边三角形，
∵△BJE和△ADJ是等边三角形，
∴AJ =AD = BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C =60°，
∴∠C =∠AJE，
在△AJE和△BCF中，
，
∴△AJE≌△BCF(ASA)，
∴JE=CF，
∵△BJE是等边三角形，
∴BE=JE，
∵AB=4、BE=2 ，
，
，
，
，
即DF长为2；

（3）解：如图， 过点Q作，交BC于点K，连接EQ， 过点Q作于点H，
∵QK//CF，且 ，
，
，
，
设QK = 2x， 则CF = 3x，
∵∠BAE和∠BQE是同弧圆周角，
∴∠BAE=∠BQE，
∵∠BAE=∠CBF，
∴∠BQE=∠CBF，
∴△BEQ是等腰三角形，
∴BE=EQ，
由(2)知BE=CF，
∴EQ=BE=CF=3x，
∵QK//CF，
∴∠EKQ=∠C=60°，
又∵QK = 2x，
∴HK=QK×cos∠EKQ =2x×cos60°=x，
在 中运用勾股定理有 ，
，
，
，
，
，
∵CE=CD，
，
，
即 的值为 .
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；圆与四边形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得到∠EAD=∠BEA，根据三角形的外角和角的和差证明结论即可；
（2）连接DE并延长，交AP于点J，根据平行四边形的东芝得到△BJE和△ADJ是等边三角形，然后根据ASA得到△AJE≌△BCF，即可得到△BJE是等边三角形，即可得道BE=JE，然后根据线段的和差解答即可；
（3）过点Q作，交BC于点K，连接EQ， 过点Q作于点H，根据平行线分线段成比例得到，设QK = 2x， 则CF = 3x，然后得到BE=EQ，即可得到EQ=BE=CF=3x，再根据余弦的定义求出HK=x，在 根据勾股定理求出EH长，进而求出BC长，再根据线段的和差求出AB长，计算比值即可.
14．已知AB， CD是圆的两条弦， CD⊥AB，垂足为E（点C在优弧上，点D在劣弧上)，且AB=4.
（1）如图1， CD是直径， O是圆心，且OE=3，求⊙O的半径；
（2）如图2，连结CA并延长至点F，再连结AD， BC. 若∠DAF=4∠DAB且∠ACB=36°，求∠B的度数；
（3）如图3，若CD经过端点A，点M是弦AB上一点，点P， Q在圆上. 连结CM，CP， CQ，满足CP=CM=CQ. 连结PQ交AB于点N，求AN+BM的最小值.
【答案】（1）解：连接OA，
∵CD⊥AB且CD是直径，
，
∵AB=4，
∴AE=2，
∵OE=3，
，
∴圆的半径是
（2）解：设∠DAB=x，则∠DAF=4x，
∴∠BAF=5x，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=5x-90°，
∵∠DAB=∠DCB，
∴∠DCB=x，
∵∠ACB=36°，
∴5x-90+x=36，
∴x=21，
∵CD⊥AB，∴∠B=90°-21°=69°；
（3）解：以C为圆心，CM的长为半径作圆，交BA的延长线于点 E，
图2
∵CP=CM=CQ，
∴P， Q两点在⊙C上，
∵CD⊥AB，
∴AM=AE，
∴EN=AM+AN，MN=AM-AN，
∵PN·NQ=AN·NB ，PN·NQ=EN·MN，
∴EN·MN=AN·NB，
∵AB=4，
∴（AM+AN)（AM-AN)=AN（4-AN)，
，
，
，
∴当AM=2时， AN+BM的最小值是3.
【知识点】二次函数的最值；三角形外角的概念及性质；相交弦定理；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OA，根据垂径定理得到AE=2，然后根据勾股定理求出OA长即可；
（2）设∠DAB=x，即可得到∠BAF=5x，然后根据三角形的外角得到∠ACD的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到∠DCB=x，根据角的和差列方程求出x的值解答即可；
（3）以C为圆心，CM的长为半径作圆，交BA的延长线于点 E，则CP=CM=CQ，根据垂径定理得到AM=AE，然后根据相交弦定理得到EN·MN=AN·NB，即可得到，然后得到AN+BM关于AM的二次函数，配方得到顶点式即可得到最小值解答即可.
15． 如图，在正方形ABCD中， P为BC边上一点(不与点B， C重合) ，连结AP，以AP为直径作圆，交对角线 BD于点 E，连结AE并延长交 CD于点 F，连结 PF.已知AB=4.
（1）若BP=3，求线段AE 的长.
（2）求证： ∠APF=∠AEB.
（3）设BP=x，记△ABE与△ADE的面积差为y，试确定y与x的函数关系式.
【答案】（1）解：连结EP.
∵AP为直径，
∵四边形ABCD为正方形，
为等腰直角三角形，

（2）证明：如图， 延长FD 至点 Q， 使得 DQ=BP， 连结AQ， EP.
∵四边形ABCD为正方形，
在 和 中，
∴△ABP≌△ADG(SAS)，
∴AP=AG， ∠BAP=∠DAG， ∠APB=∠G，
∵∠BAP+∠DAP=∠BAD=90°，
∴∠DAG+∠DAP=∠PAG=90°，
由(1)知： ∠PAE=∠APE=45°，
∴∠PAF=∠GAF=45°，
在△APF和△AGF中，
∴△APF≌△AGF(SAS)，
∴∠APF=∠G，
∴∠APB=∠APF.
（3）解：过点A作 于点H，过点E作 于点G， 于点M，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴四边形EGCM为矩形，
∴CG=EM.
在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE=CE，
∵∠ABD=∠CDB=45°，
∴AE=PE，
∴PE=EC，
∵EG⊥PC，
∵， EM⊥DF， ∠BCD=45°，
在等腰直角三角形BEG中， ，
在等腰直角三角形AHB中，
的面积
的面积
∴y与x的函数关系式为y=2x.

【知识点】函数解析式；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；圆与四边形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接EP，利用勾股定理求得AP，利用正方形的性质，圆周角定理和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论；
(2)连接EP， 延长FD至点G， 使DG=BP，连接AG，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质得到 再利用全等三角形的判定与性质得到 最后利用圆周角定理和等式的性质解答即可得出结论；
(3)过点A作. 于点H，过点E作 于点G，EM⊥DF于点M，利用矩形的判定与性质得到CG=EM，利用全等三角形的判定与性质得到AE=CE，利用等腰三角形的性质和等式的性质得到 则 再利用三角形的面积公式解答即可.
16．如图，在 中， 以AB为直径作⊙O交AC于点D，E是⊙O上一点，连结ED交AB于点 F，连结 EB， BD，AD=3.
（1）若 求DC的长.
（2）若
①求证：BE=DE.
②记 和 的面积分别为S1和 求 的值.
【答案】（1）解：因为AB是⊙O的直径，
所以∠ADB=90°.
因为∠ABC=90°， ∠A=60°， AD=3，
所以∠ABD=∠ACB=30°.
所以AB=2AD=6， AC=2AB=12，
所以CD=12-3=9.
（2）解：①设∠ABE=x°，
则∠ADE=∠ABE=x°， ∠A=∠E=2x°，
所以∠EDB=90°-x°，
所以
所以∠EDB=∠EBD，
所以EB=ED.
②连结EO并延长交BD于点 G.
因为EB=ED，所以EB=ED，
所以EG⊥BD， BG=DG.
因为O是AB的中点，
所以 设OE=OB=r，
则有 解得：
因为△AFD∽△OFE，
所以
所以
所以
因为△AFD∽△EFB，
所以
所以
【知识点】含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，根据 直角三角形的性质即可得解；
(2)①设∠ABE=x°，即可得到 根据等角对等边证明即可；
②连结EO并延长交BD于点G，双勾股可求半径，再证 导边可得
再证 可得 即可得解.
17．AB为半圆O的直径，半径OD交弦AC于点E，已知OE=CE.
（1）如图1，连接OC，
①求证： ∠A=∠COD；
②若DE=2， AB=10，求AC的长.
（2）如图2，连接BC， BE，若BC=2， ∠ABE=2∠BAC，求半圆O的半径.
【答案】（1）解： ①∵OE=CE
∴∠COD=∠OCE
∵AO=CO
∴∠A=∠OCE
∴∠A=∠COD
②解：由①得∠A=∠COD
∵∠ACO=∠OCE
∴△AOC∽△OEC
∵DE=2， AB=10
∴AO=CO=5， OE=3
（2）(2)解：如图2，连接OC，作 于点F，则
C，
∵∠AOE+∠BOE=180°， ∠AEB+∠BEC=180°，
∴∠AOE=∠AEB，
∵∠OAE=∠EAB，
∴△OAE∽△EAB，
∵AB=2AO，
或 (不符合题意，舍去)，
∵∠ACB=90°， OE=CE，
∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=∠CBE=45°，
∴EC=BC=2， ∠BOE=∠BEC=45°，
∴半圆O的半径长为
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)①由根据等边对等角得到∠COD=∠OCA，∠A=∠OCA， 然后根据等量代换证明即可.
②根据两角对应相等得到△AOC-△OEC， 根据对应边成比例求出AC长即可；
(2)连接OC， 作EF⊥OB于点F， 由∠COE=∠OCA=∠BAC， ∠BOC=2∠BAC， 推导出∠BOE=3∠BAC，然后得到∠BEC=3∠BAC， 即可得到∠BOE=∠BEC， 再根据∠AOE=∠AEB，可得△OAE∽△EAB，得根据对应边成比例得到 根据正弦的定义可得∠BEC=∠CBE=45°， 然后根据勾股定理求出然后求出∠ABE=2∠BAC=30° 即可得到 求得BF 即可得到半圆O的半径.
18．如图，已知△ABC内接于⊙O， AB=AC=10，BC=12，连结AO并延长交BC于点H.点D是线段AH上异于端点的动点，过点D作NF∥BC分别交⊙O，边AB，边AC于点N，M，F ，且点N在M左侧.
（1）求证：∠AMN=∠MFC；
（2）求证：NM·NF=AM·MB；
（3）设AM=x，当2≤x≤7时，求 的取值范围.
【答案】（1）证明： ∵MF∥BC，
∴∠AMF=∠B， ∠AFM=∠C，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠AMF=∠AFM，
∴∠AMN=∠MFC；
（2）证明： 连接AN， NC， MC，
∴∠NAB=∠NCB(同弧所对圆周角)，
∵NF∥BC，
∴∠CNF=∠NCB(内错角相等)，
∴∠NAM=∠CNF，
又由(1)知∠AMN=∠CFM，
∴△AMN∽△CFN，
即NM·NF=AM·FC，
∵NF∥BC，
∵AB=AC，
∴MB=FC，
∴NM·NF=AM·MB；

（3）解：在⊙O中， AB=AC，
∵AH过点O，
∴BH=HC(垂径定理推论)，
∵NF∥BC，
又∵BH=HC，
∴DM=DF，
=NM·NF
=AM·MB
=AM·(AB-AM)，
又∵AM=x， AB=10，
设
又∵2≤x≤7，
∴当x=2时，
当x=5时，
即16≤y≤25，
∴当2≤x≤7时，

【知识点】二次函数的最值；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】
(1)根据平行线的性质和等边对等角得到∠AMF=∠AFM， 即可根据等交的补角相等解答即可；
(2)连接AN， NC， MC， 根据两角对应相等得到△AMN-△CFN， 利用对应边成比例得到NM·NF=AM·FC，然后推理得到MB=FC， 证明结论即可；
(3)根据平行线分线段成比例得到即可得到DM=DF， 则M (AB-AM)，据此代入求解即可.
19．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O， BD为⊙O的直径， 过点C作 CG⊥BD分别交 BD， AB， ⊙O于点 E， F， G.
（1）求证： ①∠GCB=∠CBA. ②BE=AD+DE
（2）当BF=2GF时，求 的值.
【答案】（1）证明：
②如图，在线段BD上取一点H，使得BH=AD，连接CH，AC
∴AC = BC.
∴∠DAC =∠DBC.
∴△CAD≌△CBH(SAS).
∴CD=CH.
∵GC⊥BD
∴ED=EH.
∴BE=AD+DE.
（2）解： 如图， 连BG，
由(1)得， CF=BF， 设GF=a， 则BF=CF=2a，
∵直径
在Rt△EFB中，
∵∠CDE=∠BGE，∠CED=∠BEG，
∴△CDE∽△BGE，

【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)①证得 即可得证；
②在线段BD上取一点H，使得BH=AD，连结CH， AC， 根据SAS证明 即可得证；
(2)设BF=CF=2GF=2a，则可得CE=G 勾股求出BE，再证 据此求解即可.
20．如图1，已知△ABC内接于⊙O，直径AD⊥BC，垂足为E.点F为上一动点，连接BF分别交AD， AC于点H， K，过点F作FG∥AB交AC于点G.
（1）求证： ∠BAE=∠CAE；
（2）如图2，连接 FC，若BF 为⊙O的直径，
①求证： GF=GC；
②若AG=2GC， BC=6，求AC的长；
（3）如图3，若AB=5， BC=6，直接写出FG的最大值.
【答案】（1）证明： ∵AD 是⊙O的直径，AD⊥BC，
，
∴∠BAE=∠CAE；
（2）解：①设∠BAE=∠CAE=α，则∠BAC=2α，
∵OA=OB，
∴∠BAE=∠ABO=α，
∴∠ACF=∠ABO=α，
∵FG∥AB，
∴∠AGF=∠BAC=2α，
∴∠GFC=∠AGF-∠ACF=α，
∴∠GFC=∠ACF，
∴ FG=GC；
②连接AF，
∵BF是⊙O 的直径，
∴∠BAF=90°，
∵ FG∥AB ，
∴∠AFG=90°，
∵AG=2GC，GF=GC，
，
∴∠FAG=30°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC 为等边三角形，
∴AC=BC=6；
（3）解：
【知识点】垂径定理；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（3）由(1)可知AE垂直平分BC，
连接OB，设(OB=OA=r，则OE=4-r，
在 中，
即
如图，过B作 于点M，过F作 于点N，
∵FG∥AB，
即当FN有最大值时，则FG有最大值，
当F位于 中点时，FN有最大值，
连接OF，此时O、N、F三点共线，且(
此时
故FG的最大值为
故答案为：
【分析】(1)由垂径定理易得 再根据圆周角定理即可得解；
(2)①设 证 即可得证；
②先证 易得 则 即可得解；
(3)易得AE=4，半径为 过B作B 于点M， 过F作. 于点N，等面积可得. 由 则 可得 当F位于 中点时，FN有最大值，此时FG也有最大值，据此求解即可.
21．如图1，点A是⊙O上的一个定点，点B，C是⊙O上的动点，且AB=AC，∠A为锐角，过点B作AC的垂线分别交 于点 D， E，点F在边 AB上， FE=FB，FE交AC于点 G．
（1）求证： ∠BFE=2∠BAC．
（2）连结OF，如图2，求证： AF=OF．
（3）已知⊙O半径为5，求AC·CG的值．
【答案】（1）证明：因为AC⊥EB，
所以∠A=90°-∠ABE．
因为BF=EF，
所以∠ABE=∠E，
所以∠BFE=180°-2∠ABE，
所以∠BFE=2∠A．
（2）证明：连结AO， BO， CO， EO．
因为AB=AC， BO=CO，
所以AO垂直平分 BC，
所以∠CAO=∠BAO．
因为FE=FB， OB=OE，
所以OF垂直平分 BE，
因为AC⊥BE
所以OF∥AC.
所以∠AOF=∠CAO=∠BAO，
所以AF=OF.
（3）解：连结AE， AO， OF， BO．
因为∠BFE=2∠BAC，
所以∠AGF=∠BAC，
所以AF=FG．
因为AB=AC， AC⊥EB，
所以∠CBE=90°-∠C
所以∠GAE=∠CBE=∠AEG，所以AG=EG．
因为FB=FE， AB=AC，所以CG=AC-AG=AC-(AB-AF-FG)=2AF．
因为AF=OF， OA=OB，
所以∠ABO=∠BAO=∠AOF，
所以△AOF∽△ABO，
所以AC·CG=2AB·AF=2OA2=50．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的两锐角互余得到∠A=90°-∠ABE， 再根据等角对等边和三角形的额内角和定理得到∠BFE=180°-2∠ABE，即可得到结论；
(2)连接AO， BO， CO， EO，先得到AO垂直平分 BC，OF垂直平分 BE，即可得到OF∥AC，进而可得∠AOF=∠CAO=∠BAO，再根据等角对等边证明即可；
(3)连接AE， AO， OF， BO，根据等角对等边得到AF=FG，AG=EG，进而得到CG=2AF，然后根据两角对应相等得到△AOF-△ABO，根据对应边成比例解答即可.
22．如图①，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB、DC的延长线交于点E，AD、BC的延长线交于点F，连结EF，已知BE=BF.
（1）若∠EBF=100°，求∠EDF的度数；
（2）求证：CE=AF；
（3）如图②，若AD是直径，CB=kAB，求的值（用含k的代数式表示）.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADE=180°，
∵∠ABC+∠EBF=180°，
∴∠ADE=∠EBF=100°，
∴∠EDF=180°-∠ADE=80°.
（2）证明：在EB上取一点G，使EG=FC，连接FG，如图，
∵BE=BF，
∴∠GEF=∠CFE.
在△EGF和△FCE中，
∴△EGF≌△FCE(SAS)，
∴FG=EC， ∠EGF=∠FCE，
∵∠FCE=∠BCD，
∴∠BCD=∠EGF.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
∴∠EGF+∠DAB=180°，
∵∠EGF+∠AGF=180°，
∴∠AGF=∠DAB，
∴FG=FA，
∴CE=AF；

（3）解：在EB上取一点G，使EG=FC，连接FG，过
点F作FH⊥AE于点H，连接BD，如图，
由(2)知： FG=FA，
∵FH⊥AE，
∴AH=GH.
∵EG=FC， BE=BF，
∴BG=BC=kAB，
∴AG=AB+BG=(1+k)AB，
∵AD是直径，

【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)利用圆的内接四边形的性质和邻补角的意义解答即可；
(2)在EB上取一点G，使EG=FC， 连接FG，利用等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质得到FG 再利用邻补角的意义，等腰三角形的判定定理解答即可；
(3)在EB上取一点G，使EG=FC，连接FG，过点F作 于点H，连接BD，利用等式的性质得到BG=BC=kAB，则AG=AB+BG=(1+k)AB，利用等腰三角形的性质，等式的性质得到BH=AH-AB= 再利用圆周角定理，平行线的判定DL和平行线分线段成比例定理解答即可.
23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， AB=CB， BO的延长线交⊙O于点 E，交AD 的延长线于点 F.
（1）求证： DB平分∠ADC；
（2）若AD=1， DF=5， DB=DC.
①求 BD的长；
②求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：因为AB=BC，
所以
所以∠ADB=∠BDC.
所以BD平分∠ADC.
（2） 解：①如图1，连结 DE，
设∠ADB=∠CDB=α，
因为DB=DC，
所以
因为BE是⊙O直径，
所以∠BDE=90°.
所以∠EDC=90°-α.
所以∠EBC=∠EDC=90°-α，
所以
因为∠ADB=∠DBF+∠F，
所以
所以∠DBF=∠F.
所以DB=DF=5.
②如图2，连结CF，延长DE交 FC于点 G.
因为BE为⊙O的直径，
所以
所以∠ABE=∠CBE.
在△ABF和△CBF中，
所以△ABF≌△CBF(SAS).
所以FC=FA， ∠DFB=∠CFB.
因为AF=AD+DF=6，
所以FC=6.
因为∠DFB=∠CFB， ∠DFB=∠DBF，
所以∠DBF=∠BFC.
因为∠DEB=∠GEF，
所以∠EGF=∠BDE=90°.
所以DG⊥FC.
因为DB=DC， DB=DF，
所以DC=DF=5.
所以CG=FG=3.
所以
设DE=x，则EG=4-x.
因为∠DEB=∠GEF， ∠DBE=∠GFE，
所以△DBE∽△GFE.
所以
所以
解得
所以
所以
所以半径为
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据弧、弦及圆周角的关系进行证明即可；
(2)①连接DE，令 据此分别表示出 和 进一步得出 据此得出BD=DF即可解决问题；
②连接CF，延长DE交CF于点G，根据全等三角形的判定与性质得出CF的长，进一步求出DG的长，再根据相似三角形的判定与性质求出DE的长，最后利用勾股定理进行计算即可.
24． 如图1， △ABC内接于⊙O，作直径AD交边BC于点 G， OB平分∠ABC，连结CD， BD．
（1）若∠DAC=50°，求∠BAD 的度数．
（2）如图2，作CE⊥AB于点E，交AO于点 F，
①求证： ∠DCF=∠DFC．
②若OF=OG+1，且FG≥2，求的最小值．
【答案】（1）解：因为AD为直径，
所以∠ABD=90°，
因为∠DBC=∠DAC=50°，
所以∠ABC=90°-∠DBC=40°，
因为BO平分∠ABC，
所以∠ABO=∠OBC=20°，
因为OB=OA，
所以∠BAD=∠ABO=20°；
（2）解：①证明：设∠ABO=α，则∠EBC=2α，
因为OB=OA，所以∠BAO=∠ABO=α，
因为CE⊥AB，
所以∠AFE=90-α=∠DFC， ∠BCE=90-2α，
因为∠BCD=∠BAD=α，
所以∠DCF=∠BCD+∠BCE=α+90-2α=90-α，
即∠DFC=∠DCF；
② 由①得， DF=CD，
因为∠BAD=∠ABO=∠OBC，
又因为∠BAD=∠BCD，
所以∠OBC=∠BCD，
所以OB∥CD，
所以△BOG∽△CDG，
所以 ，
设OG为x， DG为y，则OF=x+1， DC=DF=y+2x+1， BO=DO=x+y，
所以 化简得 ，
因为FG=2x+1≥2，
所以 ，
所以 .
【知识点】二次函数的最值；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，即可得到，根据角平分线的定义求出，再根据等边对等角解答即可；
（2）①设，根据角平分线的定义得到，根据直角三角形的两锐角互余得到解答即可；
②根据两角相等得到，再根据对应边成比例得到，设，，代入比例式整理得，然后根据FG=2x+1≥2求得，进而根据二次函数的增减性求出最小值解答即可．
25．综合与实践
【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有．
（1）【猜想验证】请证明上述结论．
（2）【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________．
（3）【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标．
【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵，，
∴∽，
∴，
即；
（2）（0，2）
（3）解：设，，则OA=-x1，OB=x2，
令 中的x=0得出y=c，
∴C(0，c)，
∴OC=-c，
令 中的y=0得出
由韦达定理可得，，
∵，
∴，
，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴，，，
由（1）知，，
∴，
解得，
∴；
故答案为：（0，2）；
【分析】（1）连接AC、BD，由同弧所对的圆周角相等得出∠C=∠B，∠A=∠D，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得出△APC∽△DPB，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）由A、B、C三点坐标得出OA=1，OB=3，OC=1.5，结合（1）的结论可求出OD=2，从而即可得到点D的坐标；
（3）设A(x1，0)，B(x2，0)，则OA=-x1，OB=x2，根据抛物线与y轴交点的坐标特点求出点C的坐标，得出OC=-c；令抛物线解析式中的y=0可得，根据一元二次方程根与系数的关系得出，结合（1）的结论即可求出OD的长，从而即可得到点D的坐标.
（1）证明：如图1，连接，
∵，，
∴∽，
∴，
即；
（2）解：由（1）知，，
∵，
∴，，，
∴，
解得，
∴；
（3）解：设，，
∵，
即，
当时，由韦达定理可得，，
，
则．
1 / 1

展开更多......

收起↑