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6月上旬之图形的变换与解直角三角形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1． “斗”是中国古代重要的量米工具，形状是一个正四棱台.如图是其示意图，则它的俯视图为(　　)
A． B．
C． D．
2．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功.如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
3． 汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线OA会主动转至 OB，转动的角度∠AOB=α，若OA的长为m，则AB的长为(　　)
A．mtanα B． C．msinα D．
4．如图，在矩形ABCD中， AB=8， AD=6.点E为AD的中点，点F为AB边上的动点，连结EF，作点A关于EF的对称点G，连结CG，则点F从点A运动到点B 的过程中，CG的最大值与最小值之和为(　　)
A． B． C． D．
5．某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电.如图，长为2米的光伏板AB斜靠在竖直于地面的支架 BC上，倾斜角为α.为提高发电效率，将底端A 沿CA方向移动到点 A'，顶端 B向下滑动到点 B'，此时倾斜角为β，则顶端下降的垂直高度BB'为（　　)
A．（2sinβ-2sinα)米 B．（2sinα-2sinβ)米
C．（2cosβ-2cosα)米 D．（2cosα-2cosβ)米
6．已知：如图，D，E，F，G分别是△ABC边上的点，满足DE∥AB，FG∥AC，DE 交FG 于点M.若 其中 则四边形 AGME 面积的最小值为 (　　)
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，一卫星运行到地球表面 P 点的正上方A 点时，可观测到地球表面一个最远的点 Q.已知地球半径约为6400km，在Rt△AOQ中，测得 sinα=0.8，则卫星到地面高度AP 约为　 　km.
8．如图是笔直杠杆AB的示意图.已知AB=180cm，支点C离水平地面的高度为20cm.当杠杆的端点A落到地面时，端点B离地面的高度为30cm，则AC的长度为　 　cm.
9．某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表（高2.0米）和水平的圭组成．冬至日正午，测得太阳光线与圭的夹角，则冬至日正午表落在圭面的影长为　 　米．（精确到0.1米，参考数据：，，）
10．如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，停靠时汽车靠墙一侧OA与墙XY平行，小汽车车门宽OB为1.2米.当车门打开角度∠AOB至少为35°时，人方可顺利下车.为了车门不碰到墙且能顺利下车，车可以停靠离墙最近的距离是　 　米.(结果保留一位小数，参考数据：)
11．榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛。如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图(单位： mm)。根据三视图所提供的数据，主视图上线段AB 的长度为　 　。
12．直线A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D。设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且则m+n的最大值为　 　
13．2026年春晚《武BOT》节目中，机器人进行腾空弹射表演．如图，某台机器人从水平地面的B点弹射起跳，沿直线AB上升至最高点A 后下落，再沿直线AC精准落在地面C点，且AB=AC．测得最高点A 距地面高度为2.4米，起跳点B 与落地点C相距3.2米，机器人起跳路线AB 与地面BC的夹角为θ．则tanθ=　 　，机器人起跳路线AB的长度为　 　米．
14．某山区城市所辖的A，B两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在 A，B两城间建造一座特大型跨江大桥.如图，观测点C与小城B在江的同一侧，从小城A释放的一架无人机以1.5千米/分钟的速度径直飞往观测点C，2分钟后到达点C，同时测得∠BAC=30°，∠ACB=120°.则A，B两座小城相距　 　千米.
15．如图，正方形 OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，其位似中心为(-2，0).已知点 F的坐标为(1，1)，若点A 的坐标(2，0)，则点C的坐标为　 　.
16．如图①，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，AB=BC=50cm.如图②，当窗户推开角度∠B=α（sinα=0.8），则支撑窗扇的杆子AC长为　 　cm.
17．如图，在△ABC中， ∠ABC=135°， AB=4， BC=，过点 B作 BD⊥AB，垂足为点 B，交 AC于点E.若点 P为射线BD上一点(不与点B，E重合)，连结AP，点F为AP的中点，连结EF，且EF=2.5，则 tan∠PAB =　 　.
三、解答题
18．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线.
（1）用圆规和无刻度的直尺作图：以AB为对角线，作平行四边形AEBC （要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑)；
（2）连结CE交AB于点F，连结DF交AC于点G，求 的值.
19．小舟同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，已知大树与地面垂直，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡度（即）为（点E，C，B在同一水平线上）．
（1）求小刚同学从点到点的过程中上升的高度；
（2）求大树的高度．（参考数据：，，）
20．《圆锥曲线论》是最早统一圆锥曲线关系的著作．如图1，圆锥的截面三角形ABC中，AB=AC，点O为底面圆心，直径 BC 为6，高AO为 过点O作OD∥AB交AC于点D，沿OD 的方向切割圆锥会得形状为抛物线的截线，该截线交底面于EF，D 为抛物线顶点．
（1）求OD 的长．
（2）正方形GHMN 的顶点G，H 在该抛物线上，点M，N 在EF 上，在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式与正方形GHMN 的面积．
21．【阅读理解】如图1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，求 tan15°的值。
求解过程如下：在 CB上取点D，使得BD=AD，构造出等腰△ABD(如图2)。可得△ABD的外角∠ADC=30°，设 AC=a，则.
所以
（1）【类比尝试】如图3，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=22.5°，类比上述解题过程求tan22.5°的值。
（2）【拓展应用】
如图4，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=α，BC=a，AC=b，用含a，b的代数式表示 的值，并写出推理过程。
22．如图，P是在小区入口处安装的摄像头，∠APB 为摄像头监控视角，射线PA、PB为摄像头的两条边界光线，BH为水平地面，PH⊥BH．经测量∠APH=53°，AH=4米，BH=12米．
（1）求摄像头的安装高度 PH的长；
（2）一个身高为1.65米的居民(图中线段CD)，步行从右至左匀速进入小区，速度为1.2米/秒．求该居民进入监控区域(点C恰好在 PB上时)至离开监控区域(点C1恰好在 PA上时)的时间．
23．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目.电力部门在一处坡角为30°的坡地安装了一架风力发电机，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图.已知斜坡CD=16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P的仰角为45°，利用无人机在点A正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°.
（1）填空：∠APB=　 　°；
（2）求点D到地面AC的距离；
（3）求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）
24．某直五棱柱实心木质配件的立体图如图1所示，其底面是由边长为4cm的正方形裁去一个等腰三角形后得到的五边形，立体图标注尺寸为实际尺寸(单位： cm)，按1∶2 的比例绘制的三视图如图2所示.
（1）求该配件的表面积.
（2）如图3，若垂直于配件上下底面打磨出一个完整的圆柱体，该圆柱体上底面⊙O分别与俯视图中的AB， CD， EA相切于点M， N， F，求⊙O的半径.
25．探究角度与线段比例之间的关系
如图1，在△ABC中， AB=AC=1，点D在BC边上，且CD=2BD，连接AD并延长至点E，使得AE=AB，作CF∥AE交BE延长线于点F，连接AF交BC于点 G．记cos∠ABC=x，
（1）【图形认识】求证： CF=3DE．
（2）【引元关联】设DE=t，求y关于t的函数表达式．
（3）【特例计算】如图2，当AF⊥BC时，分别求出y和x的值．
（4）【规律研究】已知026．综合与实践
（1）【提出问题】
如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为_____；
（2）【类比探究】
如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．
①求的度数；
②当时，求的长；
（3）【迁移运用】
如图3，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的俯视图为：
，
故答案为：B.
【分析】根据从上面看到的几何图形是俯视图解答即可.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】几何体的俯视图为：
故答案为：A.
【分析】根据从上面看到的几何图形解答即可.
3．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据正切的定义解答即可.
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：连接EG，CE，以点E为圆心，EA为半径作⊙E，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，且AB=8，
∵点E是AD的中点，且.AD=6，
和 都是直角三角形，
在 中，由勾股定理得：AC=
在 中，由勾股定理得：CE=
∵点A关于EF的对称点为点G，
在 中，由勾股定理得：CE=
∵点A关于EF的对称点为点G，
∴点F从点A运动到点B的过程中，点G始终在矩形内部的⊙E上运动，
∴当点F与点A重合时，点G与点A重合，此时CG为最大，最大值为10，
根据“两点之间线段最短”得：
∴当点G在线段CE上时，CG为最小，最小值为
∴CG的最大值与最小值之和为：
故选： B.
【分析】连接EG， CE，以点E为圆心， EA为半径作⊙E，依题意得.EA=ED=3，先由勾股定理求出AC=10，CE= 根据对称的性质得EG=AD=3，由此得点F从点A运动到点B的过程中，点G始终在矩形内部的⊙E上运动，因此当点F与点A重合时，此时点G与点A重合，CG为最大，最大值为10，再根据“两点之间线段最短”得 即当点E，G，C共线时，CG为最小，最小值为 据此可得CG的最大值与最小值之和.
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；拥抱模型（交叉模型）
【解析】【解答】解：由题意得：AB=A'B'=2米，
在 中，
(米)，
在 中，
(米)，
米，
∴顶端下降的垂直高度BB'为 米，
故答案为：B.
【分析】根据题意可得：AB=A'B'=2米，然后分别在 C和 中，利用锐角三角函数的定义求出BC和B'C的长，从而进行计算即可解答.
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：
，即


，即
当时，随着a的增大而增大
当时有最小值，最小值
故答案为： B.
【分析】先由三角形相似的预备定理可得，再由面积比等于相似比的平方可得DF与BF的比值，同理可得DF与DC的比值，即DC与BC的比值可得，再由三角形相似的预备可得，再结合已知可得，再利用割补法可得是关于a的二次函数，且二次项系数为正，则在对称轴的右侧随着a的增大而增大，再利用二次函数图象上点的坐标特征结合已知a的取值范围求出的最小值即可.
7．【答案】1600
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在 中，
∴卫星到地面高度AP约为1600km，
故答案为： 1600.
【分析】在 中，利用锐角三角函数的定义求出OA的长，然后进行计算即可解答.
8．【答案】120
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】设AC=xcm，已知AB=180cm，
因此BC=(180-x)cm.
过点C作CE⊥地面于E，则CE=20cm；
过点B作BF⊥地面于F，则BF=30cm
因为CE⊥地面，BF⊥地面，
所以CE‖BF，
因此△ACE∽△ABF，
所以，
代入已知条件得：，
解得x=120.
因此，AC的长度为120cm。
故答案为：120.
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，通过作垂线构造两个相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例列方程，求解 AC 的长度。
9．【答案】2.1
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】∵，，
∴（米）．
∴冬至日正午表落在圭面的影长为2.1米．
故答案为：2.1．
【分析】根据正切的定义求解即可．
10．【答案】0.7
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A作 垂足为点C，
在Rt△ACO中，
∵∠AOC=35°， AO=1.2米，
∴AC=sin∠AOC·AO≈0.57×1.2=0.684≈0.7，
故答案为：0.7.
【分析】过点A作 垂足为点C，解三角形求出AC的长度，进而作出比较即可.
11．【答案】26
【知识点】已知三视图进行几何体的相关计算
12．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，
设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，
∵BD=4，
∴DM=y-4，DN=4-x，
∵∠ABC=∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠AND=90°
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
∴△ABE∽△BFC
∴，即
∴xy=mn，
∵∠ADN=∠CDM，
∴△CMD~△AND
∴，即
∴
∵
∴
∴
∴当m最大时，
∵
∴当时，
∴
∴m+n的最大值为
故答案为：.
【分析】过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，得到DM=y-4，DN=4-x，根据相似三角形的性质得到xy=mn，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可解答.
13．【答案】；
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由题意得：米，米，，，
∵，
∴米，
∴，米．
【分析】根据三线合一求出BD长，然后根据正切的定义和勾股定理解答即可．
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.
由题意可知， AC=1.5×2=3(千米).
∵∠ACB=120°，
∴∠DCB=60°.
在Rt△BCD中，
在Rt△DAB中，
∵AD-CD=AC=3，
(千米).
在Rt△DAB中，
∵∠DAB=30°，
(千米).
故答案为：
【分析】过点B作BD⊥AC，先在Rt△BCD中用含BD的代数式表示出CD，在Rt△BAD中用含BD的代数式表示出AD，再根据线段的和差关系得关于BD的方程，求出BD，最后利用特殊角的边角关系得结论.
15．【答案】(4，2)
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形中，，且点O为坐标原点，
∴，，
∵ 正方形与正方形是位似图形，位似中心为，
∴ 点O与点A为对应顶点，点F与点C为对应顶点，设位似中心为M，过M作射线，，由题意可知，，分别过D，C，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴ 点C的坐标为．
故答案为： .
【分析】根据位似的两个图形相似，然后求出相似比，求出DC长，即可求出点C的横、纵坐标解答即可．
16．【答案】20
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过A点作AD⊥BC于点D，
∵在Rt△ABD中， ∠ADB=90°， ∠B =α(sinα=0.8)， AB=50cm，
∴AD=AB·sinα=50×0.8=40(cm)，
，
∵BC=50cm，
∴CD=BC-BD=20(cm)，
m)，
故答案为：
【分析】根据题意，作AD⊥BC，在Rt△ABD中求出AD，利用勾股定理求BD，则得到CD长，利用勾股定理即可求出AC长.
17．【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；求正切值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，当点P在BE上时，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，连接CP，过点P作PH⊥CG于点H，则BGHP是矩形，
∵∠ABC=135°，
∴∠CBG=45°，
∴CG=BG=，
又∵BD⊥AB，
∴BE∥CG，
∴△ABE∽△AGC，
∴，
∴BE=2，AC=2AE，
又∵点F是AP的中点，
∴EF是△APC的中位线，
∴PC=5，
又∵PH=BG=4，
∴CH=，
∴BP=GH=CG-CH=4-3=1，
∴ tan∠PAB =；
当点P在BE的延长线上时，如图，过点P作PH⊥CG交GC的延长线于点H，则BGHP是矩形，
同样可得CH=3，
∴BE=GH=HC+CG=3+4=7，
∴ tan∠PAB =，
故答案为：或.
【分析】分为点P在BE上或在BE的延长线上时，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，连接CP，过点P作PH⊥CG于点H，则BGHP是矩形，根据勾股定理求出BG和CG长，然后得到△ABE∽△AGC，根据对应边成比例得到BE=2，AC=2AE，然后根据三角形的中位线定理得到PC=5，然后根据勾股定理求出CH长，得到BE长，根据正切的定义解答即可.
18．【答案】（1）解：如图所示（答案不唯一)；
图1
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD， AB=CD，
∵四边形AEBC是平行四边形 ，
∵AB∥CD，
∴△AFG∽△CDG，
，
图2
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）以A为圆心，BC长为半径作弧，再以B为圆心AC为半径作弧交于点E，则AEBC即为所作；
（2）根据平行四边形的性质得到△AFG∽△CDG，然后根据对应边成比例解答即可.
19．【答案】（1）解：过点作于点，如图所示：
在中，，
，
．
，
解得：或（舍去），
小刚同学从点到点的过程中上升的高度为1米；
（2）解：如图，延长交于点，
由题意得：，
在中，，
由（1）知，，
，
，
在中，，
，
在中，，
解得：，
即大树的高度为13米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1)过点D作 于点H，在 中， 则CH=3DH，利用勾股定理列方程求出DH的值；
(2)延长AD交CE于点G，由题意得 在 中， 进而求出GC长，易得到 是等腰直角三角形，在 中， 据此求解即可.
20．【答案】（1）根据题意可得
（2）解：以EF的中点O为原点，EF为x轴，垂直EF的直线DO为y轴，建立直角坐标系，
∴顶点D(0， 4)，
设抛物线的表达式为
将点E(-3，0)代入得，
解得
设MN=2m，则点G(-m，2m)，代入抛物线表达式中，得
解得m=1.5(舍去负值)，
∴正方形GHMN的面积为9.
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质-对应边；利用顶点式求二次函数解析式；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据题意可得 勾股定理求出AB=8=AC，证明. 根据对应边成比例解答即可.
(2)以EF的中点O为原点，EF为x轴，垂直EF的直线为y轴，建立直角坐标系，则顶点D(0，4)，求出抛物线的表达式，设MN=2m，则点G(-m，2m)，代入抛物线表达式中，求出/m=1.5，即可解答.
21．【答案】（1）如图，
在BC上取一点D，使得BD=AD，构造出等腰△ABD，可得△ABD的外角∠ADC=45°，设 AC=a，则. B
（2）如图，延长CB至点E，使得BE=BA，则
由题意得
【知识点】解直角三角形
22．【答案】（1）解：在Rt△APH中， ∠APH =53°，
(米)
答：摄像头的安装高度PH的长为3米；
（2）解：∵CD∥PH， △BCD∽△BPH
(米)；
∴AD=AB-BD=12-4-6.6=1.4 (米)；
在Rt△AC1D1中，∵C1D1∥PH，∴∠AC1D1=53°
(米)
∴行驶的路程： AD1+AD=2.2+1.4=3.6(米) ，时间： 3.6÷1.2=3 (秒)；
答：该居民进入监控区域(点C恰好在PB上时)至离开监控区域(点( 恰好在PA上时)的时间为3秒.
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)在Rt△APH中，根据正切的定义解答即可；
(2)先根据平行得到△BCD∽△BPH，根据对应边成比例求出BD长，即可得到AD长，再在Rt△AC1D1中根据正切的定义求出AD1的值，进而求出行驶路程，计算出时间解答即可.
23．【答案】（1）63
（2）解：延长PD交AC于点M，
则PM⊥AM，在Rt△DMC中，∠DCM=30°，
∴点D到地面AC的距离为8米.
（3）解：过点P作PE⊥AB于E，
则∠PEA=∠PEB=90°，PE∥BG，
∵∠PAC=45°，
∴∠PAE=45°，
∴∠APE=45°，
∴AE=PE，
设AE=PE=x，
∵PE∥BG，
∴∠BPE=∠PBG=18°，
在Rt△PEB中，∠BPE=18°，
∴BE=PE·tan18°=0.325x，
∵AB=53米，
∴0.325x+x=53，
∴x=40，
∴AE=40米，
∵∠PEA=∠EAM=∠AMP=90°，
∴四边形AMPE是矩形，
∴PM=AE=40米，
∴PD=PM-DM=40-8=32米，
答：该风力发电机塔杆PD的高度是32米.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）解：过点作，
由题意可得，，，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
【分析】（）过点作，即可得到，根据平行线的性质得到，，然后利用角的和差解答即可；
（）延长交于点，即可得到，根据30°的直角三角形的性质解答即可；
（）过点作于，根据等角对等边得到，设，在中根据正切的定义求出BE长，然后根据AB长列方程求出米，再推理得到是矩形，得到米，利用线段的和差解答即可.
24．【答案】（1）解：五边形底面积
（2）解：连接BE，过点D作DG⊥BE于点G，连接AN交BE于点H，连接OF，设圆的半径为r，
由图可知五边形关于AN对称，
∴点O在AN上，
∵AE=AB=4，
∴BE=，∠AEB=∠EAO=45°，
∴，
∴∠DEG=45°，
∴，
∴AN=AH+HN=AH+DG=，
又∵点F、N是切点，
∴HF=FA=r，
∴，
∴，
解得.
【知识点】切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【分析】（1）先求出五边形的底面积和侧面积，然后相加解答即可；
（2）连接BE，过点D作DG⊥BE于点G，连接AN交BE于点H，连接OF，设圆的半径为r，很具对称性可得点O在ON上，然后根据勾股定理和解直角三角形求出AH和DH长，即可求出AN长，然后根据切线的性质和勾股定理求出 ，根据AN列方程求出r的值解答即可.
25．【答案】（1）证明：因为CF∥AE，
所以△BDE∽△BCF，
所以
因为CD=2BD，
所以
所以CF=3DE．
（2）解：因为AE=AB=1， DE=t，
所以AD=1-t， CF=3t．
因为CF∥AE，
∴△ADG∽△FCG，
所以
（3）解：因为cos∠ABC=x， AF⊥BC，
所以
因为AB=AC，
所以BG=CG=x，
所以
所以
所以
所以 解得
在 Rt△ABG和Rt△ADG中，
所以
因为x>0，解得
（4）解：作AH⊥BC于点H，
则
在 Rt△ABH和Rt△ADH中，
所以
所以
记
因为0所以
所以 或 (舍)．
因为
所以当 时，y随t的增大而减小，所以
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据平行线可得△BDE∽△BCF，根据对应边成比例解答即可；
（2）根据平行线得到△ADG∽△FCG，根据对应边成比例得到函数关系式即可；
（3）设cos∠ABC=x，根据余弦的定义得到，根据三线合一得到BG=CG=x，进而求出DG长，代入（2）中函数关系式求出t的值，再根据勾股定理求出x的值即可.
（4）作AH⊥BC于点H，然后根据勾股定理得到根据x的取值范围即可求出t的取值范围，再根据函数y的增减性解答即可.
26．【答案】（1）
（2）①解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
②当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．

（3）或
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
（1）
解：∵菱形中，，
∴，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）
解：过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线．
过点作于点G，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上所述，的长为或．
【分析】
（1）根据菱形的性质，再根据旋转性质，可证明是等边三角形，再根据全等三角形的判定SAS即可证明，进而得到．
（2）连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，证明，得到，结合解答即可．
②根据正方形的性质，得到，继而得到，
解答即可．
（3）首先求出的度数，再通过作辅助线，利用三角形相似的判定和性质，特殊角三角函数值，分类思想解答即可．
（1）解：∵菱形中，，
∴，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）①解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
②当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线．
过点作于点G，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上所述，的长为或．
1 / 16月上旬之图形的变换与解直角三角形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1． “斗”是中国古代重要的量米工具，形状是一个正四棱台.如图是其示意图，则它的俯视图为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的俯视图为：
，
故答案为：B.
【分析】根据从上面看到的几何图形是俯视图解答即可.
2．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功.如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】几何体的俯视图为：
故答案为：A.
【分析】根据从上面看到的几何图形解答即可.
3． 汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线OA会主动转至 OB，转动的角度∠AOB=α，若OA的长为m，则AB的长为(　　)
A．mtanα B． C．msinα D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据正切的定义解答即可.
4．如图，在矩形ABCD中， AB=8， AD=6.点E为AD的中点，点F为AB边上的动点，连结EF，作点A关于EF的对称点G，连结CG，则点F从点A运动到点B 的过程中，CG的最大值与最小值之和为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：连接EG，CE，以点E为圆心，EA为半径作⊙E，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，且AB=8，
∵点E是AD的中点，且.AD=6，
和 都是直角三角形，
在 中，由勾股定理得：AC=
在 中，由勾股定理得：CE=
∵点A关于EF的对称点为点G，
在 中，由勾股定理得：CE=
∵点A关于EF的对称点为点G，
∴点F从点A运动到点B的过程中，点G始终在矩形内部的⊙E上运动，
∴当点F与点A重合时，点G与点A重合，此时CG为最大，最大值为10，
根据“两点之间线段最短”得：
∴当点G在线段CE上时，CG为最小，最小值为
∴CG的最大值与最小值之和为：
故选： B.
【分析】连接EG， CE，以点E为圆心， EA为半径作⊙E，依题意得.EA=ED=3，先由勾股定理求出AC=10，CE= 根据对称的性质得EG=AD=3，由此得点F从点A运动到点B的过程中，点G始终在矩形内部的⊙E上运动，因此当点F与点A重合时，此时点G与点A重合，CG为最大，最大值为10，再根据“两点之间线段最短”得 即当点E，G，C共线时，CG为最小，最小值为 据此可得CG的最大值与最小值之和.
5．某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电.如图，长为2米的光伏板AB斜靠在竖直于地面的支架 BC上，倾斜角为α.为提高发电效率，将底端A 沿CA方向移动到点 A'，顶端 B向下滑动到点 B'，此时倾斜角为β，则顶端下降的垂直高度BB'为（　　)
A．（2sinβ-2sinα)米 B．（2sinα-2sinβ)米
C．（2cosβ-2cosα)米 D．（2cosα-2cosβ)米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；拥抱模型（交叉模型）
【解析】【解答】解：由题意得：AB=A'B'=2米，
在 中，
(米)，
在 中，
(米)，
米，
∴顶端下降的垂直高度BB'为 米，
故答案为：B.
【分析】根据题意可得：AB=A'B'=2米，然后分别在 C和 中，利用锐角三角函数的定义求出BC和B'C的长，从而进行计算即可解答.
6．已知：如图，D，E，F，G分别是△ABC边上的点，满足DE∥AB，FG∥AC，DE 交FG 于点M.若 其中 则四边形 AGME 面积的最小值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：
，即


，即
当时，随着a的增大而增大
当时有最小值，最小值
故答案为： B.
【分析】先由三角形相似的预备定理可得，再由面积比等于相似比的平方可得DF与BF的比值，同理可得DF与DC的比值，即DC与BC的比值可得，再由三角形相似的预备可得，再结合已知可得，再利用割补法可得是关于a的二次函数，且二次项系数为正，则在对称轴的右侧随着a的增大而增大，再利用二次函数图象上点的坐标特征结合已知a的取值范围求出的最小值即可.
二、填空题
7．如图，一卫星运行到地球表面 P 点的正上方A 点时，可观测到地球表面一个最远的点 Q.已知地球半径约为6400km，在Rt△AOQ中，测得 sinα=0.8，则卫星到地面高度AP 约为　 　km.
【答案】1600
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在 中，
∴卫星到地面高度AP约为1600km，
故答案为： 1600.
【分析】在 中，利用锐角三角函数的定义求出OA的长，然后进行计算即可解答.
8．如图是笔直杠杆AB的示意图.已知AB=180cm，支点C离水平地面的高度为20cm.当杠杆的端点A落到地面时，端点B离地面的高度为30cm，则AC的长度为　 　cm.
【答案】120
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】设AC=xcm，已知AB=180cm，
因此BC=(180-x)cm.
过点C作CE⊥地面于E，则CE=20cm；
过点B作BF⊥地面于F，则BF=30cm
因为CE⊥地面，BF⊥地面，
所以CE‖BF，
因此△ACE∽△ABF，
所以，
代入已知条件得：，
解得x=120.
因此，AC的长度为120cm。
故答案为：120.
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，通过作垂线构造两个相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例列方程，求解 AC 的长度。
9．某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表（高2.0米）和水平的圭组成．冬至日正午，测得太阳光线与圭的夹角，则冬至日正午表落在圭面的影长为　 　米．（精确到0.1米，参考数据：，，）
【答案】2.1
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】∵，，
∴（米）．
∴冬至日正午表落在圭面的影长为2.1米．
故答案为：2.1．
【分析】根据正切的定义求解即可．
10．如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，停靠时汽车靠墙一侧OA与墙XY平行，小汽车车门宽OB为1.2米.当车门打开角度∠AOB至少为35°时，人方可顺利下车.为了车门不碰到墙且能顺利下车，车可以停靠离墙最近的距离是　 　米.(结果保留一位小数，参考数据：)
【答案】0.7
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A作 垂足为点C，
在Rt△ACO中，
∵∠AOC=35°， AO=1.2米，
∴AC=sin∠AOC·AO≈0.57×1.2=0.684≈0.7，
故答案为：0.7.
【分析】过点A作 垂足为点C，解三角形求出AC的长度，进而作出比较即可.
11．榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛。如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图(单位： mm)。根据三视图所提供的数据，主视图上线段AB 的长度为　 　。
【答案】26
【知识点】已知三视图进行几何体的相关计算
12．直线A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D。设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且则m+n的最大值为　 　
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，
设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，
∵BD=4，
∴DM=y-4，DN=4-x，
∵∠ABC=∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠AND=90°
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
∴△ABE∽△BFC
∴，即
∴xy=mn，
∵∠ADN=∠CDM，
∴△CMD~△AND
∴，即
∴
∵
∴
∴
∴当m最大时，
∵
∴当时，
∴
∴m+n的最大值为
故答案为：.
【分析】过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，得到DM=y-4，DN=4-x，根据相似三角形的性质得到xy=mn，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可解答.
13．2026年春晚《武BOT》节目中，机器人进行腾空弹射表演．如图，某台机器人从水平地面的B点弹射起跳，沿直线AB上升至最高点A 后下落，再沿直线AC精准落在地面C点，且AB=AC．测得最高点A 距地面高度为2.4米，起跳点B 与落地点C相距3.2米，机器人起跳路线AB 与地面BC的夹角为θ．则tanθ=　 　，机器人起跳路线AB的长度为　 　米．
【答案】；
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由题意得：米，米，，，
∵，
∴米，
∴，米．
【分析】根据三线合一求出BD长，然后根据正切的定义和勾股定理解答即可．
14．某山区城市所辖的A，B两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在 A，B两城间建造一座特大型跨江大桥.如图，观测点C与小城B在江的同一侧，从小城A释放的一架无人机以1.5千米/分钟的速度径直飞往观测点C，2分钟后到达点C，同时测得∠BAC=30°，∠ACB=120°.则A，B两座小城相距　 　千米.
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.
由题意可知， AC=1.5×2=3(千米).
∵∠ACB=120°，
∴∠DCB=60°.
在Rt△BCD中，
在Rt△DAB中，
∵AD-CD=AC=3，
(千米).
在Rt△DAB中，
∵∠DAB=30°，
(千米).
故答案为：
【分析】过点B作BD⊥AC，先在Rt△BCD中用含BD的代数式表示出CD，在Rt△BAD中用含BD的代数式表示出AD，再根据线段的和差关系得关于BD的方程，求出BD，最后利用特殊角的边角关系得结论.
15．如图，正方形 OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，其位似中心为(-2，0).已知点 F的坐标为(1，1)，若点A 的坐标(2，0)，则点C的坐标为　 　.
【答案】(4，2)
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形中，，且点O为坐标原点，
∴，，
∵ 正方形与正方形是位似图形，位似中心为，
∴ 点O与点A为对应顶点，点F与点C为对应顶点，设位似中心为M，过M作射线，，由题意可知，，分别过D，C，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴ 点C的坐标为．
故答案为： .
【分析】根据位似的两个图形相似，然后求出相似比，求出DC长，即可求出点C的横、纵坐标解答即可．
16．如图①，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，AB=BC=50cm.如图②，当窗户推开角度∠B=α（sinα=0.8），则支撑窗扇的杆子AC长为　 　cm.
【答案】20
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过A点作AD⊥BC于点D，
∵在Rt△ABD中， ∠ADB=90°， ∠B =α(sinα=0.8)， AB=50cm，
∴AD=AB·sinα=50×0.8=40(cm)，
，
∵BC=50cm，
∴CD=BC-BD=20(cm)，
m)，
故答案为：
【分析】根据题意，作AD⊥BC，在Rt△ABD中求出AD，利用勾股定理求BD，则得到CD长，利用勾股定理即可求出AC长.
17．如图，在△ABC中， ∠ABC=135°， AB=4， BC=，过点 B作 BD⊥AB，垂足为点 B，交 AC于点E.若点 P为射线BD上一点(不与点B，E重合)，连结AP，点F为AP的中点，连结EF，且EF=2.5，则 tan∠PAB =　 　.
【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；求正切值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，当点P在BE上时，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，连接CP，过点P作PH⊥CG于点H，则BGHP是矩形，
∵∠ABC=135°，
∴∠CBG=45°，
∴CG=BG=，
又∵BD⊥AB，
∴BE∥CG，
∴△ABE∽△AGC，
∴，
∴BE=2，AC=2AE，
又∵点F是AP的中点，
∴EF是△APC的中位线，
∴PC=5，
又∵PH=BG=4，
∴CH=，
∴BP=GH=CG-CH=4-3=1，
∴ tan∠PAB =；
当点P在BE的延长线上时，如图，过点P作PH⊥CG交GC的延长线于点H，则BGHP是矩形，
同样可得CH=3，
∴BE=GH=HC+CG=3+4=7，
∴ tan∠PAB =，
故答案为：或.
【分析】分为点P在BE上或在BE的延长线上时，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，连接CP，过点P作PH⊥CG于点H，则BGHP是矩形，根据勾股定理求出BG和CG长，然后得到△ABE∽△AGC，根据对应边成比例得到BE=2，AC=2AE，然后根据三角形的中位线定理得到PC=5，然后根据勾股定理求出CH长，得到BE长，根据正切的定义解答即可.
三、解答题
18．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线.
（1）用圆规和无刻度的直尺作图：以AB为对角线，作平行四边形AEBC （要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑)；
（2）连结CE交AB于点F，连结DF交AC于点G，求 的值.
【答案】（1）解：如图所示（答案不唯一)；
图1
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD， AB=CD，
∵四边形AEBC是平行四边形 ，
∵AB∥CD，
∴△AFG∽△CDG，
，
图2
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）以A为圆心，BC长为半径作弧，再以B为圆心AC为半径作弧交于点E，则AEBC即为所作；
（2）根据平行四边形的性质得到△AFG∽△CDG，然后根据对应边成比例解答即可.
19．小舟同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，已知大树与地面垂直，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡度（即）为（点E，C，B在同一水平线上）．
（1）求小刚同学从点到点的过程中上升的高度；
（2）求大树的高度．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：过点作于点，如图所示：
在中，，
，
．
，
解得：或（舍去），
小刚同学从点到点的过程中上升的高度为1米；
（2）解：如图，延长交于点，
由题意得：，
在中，，
由（1）知，，
，
，
在中，，
，
在中，，
解得：，
即大树的高度为13米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1)过点D作 于点H，在 中， 则CH=3DH，利用勾股定理列方程求出DH的值；
(2)延长AD交CE于点G，由题意得 在 中， 进而求出GC长，易得到 是等腰直角三角形，在 中， 据此求解即可.
20．《圆锥曲线论》是最早统一圆锥曲线关系的著作．如图1，圆锥的截面三角形ABC中，AB=AC，点O为底面圆心，直径 BC 为6，高AO为 过点O作OD∥AB交AC于点D，沿OD 的方向切割圆锥会得形状为抛物线的截线，该截线交底面于EF，D 为抛物线顶点．
（1）求OD 的长．
（2）正方形GHMN 的顶点G，H 在该抛物线上，点M，N 在EF 上，在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式与正方形GHMN 的面积．
【答案】（1）根据题意可得
（2）解：以EF的中点O为原点，EF为x轴，垂直EF的直线DO为y轴，建立直角坐标系，
∴顶点D(0， 4)，
设抛物线的表达式为
将点E(-3，0)代入得，
解得
设MN=2m，则点G(-m，2m)，代入抛物线表达式中，得
解得m=1.5(舍去负值)，
∴正方形GHMN的面积为9.
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质-对应边；利用顶点式求二次函数解析式；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据题意可得 勾股定理求出AB=8=AC，证明. 根据对应边成比例解答即可.
(2)以EF的中点O为原点，EF为x轴，垂直EF的直线为y轴，建立直角坐标系，则顶点D(0，4)，求出抛物线的表达式，设MN=2m，则点G(-m，2m)，代入抛物线表达式中，求出/m=1.5，即可解答.
21．【阅读理解】如图1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，求 tan15°的值。
求解过程如下：在 CB上取点D，使得BD=AD，构造出等腰△ABD(如图2)。可得△ABD的外角∠ADC=30°，设 AC=a，则.
所以
（1）【类比尝试】如图3，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=22.5°，类比上述解题过程求tan22.5°的值。
（2）【拓展应用】
如图4，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=α，BC=a，AC=b，用含a，b的代数式表示 的值，并写出推理过程。
【答案】（1）如图，
在BC上取一点D，使得BD=AD，构造出等腰△ABD，可得△ABD的外角∠ADC=45°，设 AC=a，则. B
（2）如图，延长CB至点E，使得BE=BA，则
由题意得
【知识点】解直角三角形
22．如图，P是在小区入口处安装的摄像头，∠APB 为摄像头监控视角，射线PA、PB为摄像头的两条边界光线，BH为水平地面，PH⊥BH．经测量∠APH=53°，AH=4米，BH=12米．
（1）求摄像头的安装高度 PH的长；
（2）一个身高为1.65米的居民(图中线段CD)，步行从右至左匀速进入小区，速度为1.2米/秒．求该居民进入监控区域(点C恰好在 PB上时)至离开监控区域(点C1恰好在 PA上时)的时间．
【答案】（1）解：在Rt△APH中， ∠APH =53°，
(米)
答：摄像头的安装高度PH的长为3米；
（2）解：∵CD∥PH， △BCD∽△BPH
(米)；
∴AD=AB-BD=12-4-6.6=1.4 (米)；
在Rt△AC1D1中，∵C1D1∥PH，∴∠AC1D1=53°
(米)
∴行驶的路程： AD1+AD=2.2+1.4=3.6(米) ，时间： 3.6÷1.2=3 (秒)；
答：该居民进入监控区域(点C恰好在PB上时)至离开监控区域(点( 恰好在PA上时)的时间为3秒.
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)在Rt△APH中，根据正切的定义解答即可；
(2)先根据平行得到△BCD∽△BPH，根据对应边成比例求出BD长，即可得到AD长，再在Rt△AC1D1中根据正切的定义求出AD1的值，进而求出行驶路程，计算出时间解答即可.
23．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目.电力部门在一处坡角为30°的坡地安装了一架风力发电机，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图.已知斜坡CD=16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P的仰角为45°，利用无人机在点A正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°.
（1）填空：∠APB=　 　°；
（2）求点D到地面AC的距离；
（3）求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）
【答案】（1）63
（2）解：延长PD交AC于点M，
则PM⊥AM，在Rt△DMC中，∠DCM=30°，
∴点D到地面AC的距离为8米.
（3）解：过点P作PE⊥AB于E，
则∠PEA=∠PEB=90°，PE∥BG，
∵∠PAC=45°，
∴∠PAE=45°，
∴∠APE=45°，
∴AE=PE，
设AE=PE=x，
∵PE∥BG，
∴∠BPE=∠PBG=18°，
在Rt△PEB中，∠BPE=18°，
∴BE=PE·tan18°=0.325x，
∵AB=53米，
∴0.325x+x=53，
∴x=40，
∴AE=40米，
∵∠PEA=∠EAM=∠AMP=90°，
∴四边形AMPE是矩形，
∴PM=AE=40米，
∴PD=PM-DM=40-8=32米，
答：该风力发电机塔杆PD的高度是32米.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）解：过点作，
由题意可得，，，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
【分析】（）过点作，即可得到，根据平行线的性质得到，，然后利用角的和差解答即可；
（）延长交于点，即可得到，根据30°的直角三角形的性质解答即可；
（）过点作于，根据等角对等边得到，设，在中根据正切的定义求出BE长，然后根据AB长列方程求出米，再推理得到是矩形，得到米，利用线段的和差解答即可.
24．某直五棱柱实心木质配件的立体图如图1所示，其底面是由边长为4cm的正方形裁去一个等腰三角形后得到的五边形，立体图标注尺寸为实际尺寸(单位： cm)，按1∶2 的比例绘制的三视图如图2所示.
（1）求该配件的表面积.
（2）如图3，若垂直于配件上下底面打磨出一个完整的圆柱体，该圆柱体上底面⊙O分别与俯视图中的AB， CD， EA相切于点M， N， F，求⊙O的半径.
【答案】（1）解：五边形底面积
（2）解：连接BE，过点D作DG⊥BE于点G，连接AN交BE于点H，连接OF，设圆的半径为r，
由图可知五边形关于AN对称，
∴点O在AN上，
∵AE=AB=4，
∴BE=，∠AEB=∠EAO=45°，
∴，
∴∠DEG=45°，
∴，
∴AN=AH+HN=AH+DG=，
又∵点F、N是切点，
∴HF=FA=r，
∴，
∴，
解得.
【知识点】切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【分析】（1）先求出五边形的底面积和侧面积，然后相加解答即可；
（2）连接BE，过点D作DG⊥BE于点G，连接AN交BE于点H，连接OF，设圆的半径为r，很具对称性可得点O在ON上，然后根据勾股定理和解直角三角形求出AH和DH长，即可求出AN长，然后根据切线的性质和勾股定理求出 ，根据AN列方程求出r的值解答即可.
25．探究角度与线段比例之间的关系
如图1，在△ABC中， AB=AC=1，点D在BC边上，且CD=2BD，连接AD并延长至点E，使得AE=AB，作CF∥AE交BE延长线于点F，连接AF交BC于点 G．记cos∠ABC=x，
（1）【图形认识】求证： CF=3DE．
（2）【引元关联】设DE=t，求y关于t的函数表达式．
（3）【特例计算】如图2，当AF⊥BC时，分别求出y和x的值．
（4）【规律研究】已知0【答案】（1）证明：因为CF∥AE，
所以△BDE∽△BCF，
所以
因为CD=2BD，
所以
所以CF=3DE．
（2）解：因为AE=AB=1， DE=t，
所以AD=1-t， CF=3t．
因为CF∥AE，
∴△ADG∽△FCG，
所以
（3）解：因为cos∠ABC=x， AF⊥BC，
所以
因为AB=AC，
所以BG=CG=x，
所以
所以
所以
所以 解得
在 Rt△ABG和Rt△ADG中，
所以
因为x>0，解得
（4）解：作AH⊥BC于点H，
则
在 Rt△ABH和Rt△ADH中，
所以
所以
记
因为0所以
所以 或 (舍)．
因为
所以当 时，y随t的增大而减小，所以
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据平行线可得△BDE∽△BCF，根据对应边成比例解答即可；
（2）根据平行线得到△ADG∽△FCG，根据对应边成比例得到函数关系式即可；
（3）设cos∠ABC=x，根据余弦的定义得到，根据三线合一得到BG=CG=x，进而求出DG长，代入（2）中函数关系式求出t的值，再根据勾股定理求出x的值即可.
（4）作AH⊥BC于点H，然后根据勾股定理得到根据x的取值范围即可求出t的取值范围，再根据函数y的增减性解答即可.
26．综合与实践
（1）【提出问题】
如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为_____；
（2）【类比探究】
如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．
①求的度数；
②当时，求的长；
（3）【迁移运用】
如图3，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2）①解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
②当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．

（3）或
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
（1）
解：∵菱形中，，
∴，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）
解：过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线．
过点作于点G，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上所述，的长为或．
【分析】
（1）根据菱形的性质，再根据旋转性质，可证明是等边三角形，再根据全等三角形的判定SAS即可证明，进而得到．
（2）连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，证明，得到，结合解答即可．
②根据正方形的性质，得到，继而得到，
解答即可．
（3）首先求出的度数，再通过作辅助线，利用三角形相似的判定和性质，特殊角三角函数值，分类思想解答即可．
（1）解：∵菱形中，，
∴，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）①解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
②当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线．
过点作于点G，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上所述，的长为或．
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