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高二自主检测练习
数学试题
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数是3与9的等比中项，则（ ）
A． B． C． D．6
3．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（ ）
A．0．4 B．0．5 C．0．6 D．0．7
4．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数在处取得极小值，则（ ）
A． B．1 C． D．3
6．某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（ ）
A．264种 B．288种 C．312种 D．336种
7．已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若函数有三个零点，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上单调递减
C．函数在处取得最小值
D．函数在处取得极大值
10．在的展开式中，则（ ）．
A．各项系数的和是64 B．各二项式系数的和是64
C．含的项的系数是15 D．第4项是系数最大的项
11．如图所示,边长为2的等边三角形为圆锥的轴截面,球O为圆锥的内切球,点为圆锥底面的圆心,C,D为母线PA,PB与内切球O相切的两个切点,MN为圆上异于AB的一条直径.下列说法正确的是（ ）
A． B．球O的体积为
C．圆锥的表面积为 D．三棱锥体积的最大值为
三、填空题
12．春节期间，甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《·重启未来》及《蛟龙行动》四部电影中任选一部，则不同的选法有________种．
13．数列的前项和为，且满足.则的通项公式为__________.
14．已知实数满足，则的取值范围是______．
四、解答题
15．已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)试判断函数的单调性并写出单调区间.
16．在数列中，，．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．
17．目前，我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新，加强回收循环利用能力建设是“两新”政策部署的重要内容.某校为了加快学生对这方面知识的了解，组织了知识问答活动，有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题，每位参加活动的同学随机选择一类问题进行回答，若回答错误，则活动结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，活动结束.“拯救海洋”类问题回答正确，每题得10分，“回收报废电力设备”类问题回答正确，每题得20分，答错均不得分.若某同学参加了此次活动，该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6，回答“回收报废电力设备”类问题时正确的概率为0.5，且第一题答题正确的情况下，第二题答题正确的概率会增大0.1.
(1)若该同学先回答“拯救海洋”类问题，记为该同学的累计得分，求的分布列；
(2)为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答哪类问题？
18．已知椭圆C的标准方程为，右焦点为F，离心率为，椭圆C上一点为．直线AB的方程为，交椭圆C于A，B两点，M为AB中点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F且与AB垂直的直线与直线OM交于P点，过O点作一条与AB平行的直线l，过F作与MO垂直的直线m，设，求证：直线轴．
19．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若不等式 在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，证明:．
参考答案
1．B
【详解】由，可得，解得，
所以.
2．A
【详解】已知是3与9的等比中项，
，解得．
3．C
【详解】方法一：在第一次取得红球后，口袋中还剩5个球，2个红球，3个白球，
所以第二次取得白球的概率为；
方法二：设第一次取得红球为事件，设第二次取得白球为事件，
则第一次取得红球第二次取得白球为事件，
则，，
所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率
.
故选：C
4．B
【详解】根据等差数列前n项和可知，
故.
5．B
【详解】因为，所以.
由或.
当时，.
由或；由.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
故满足题意；
当时，.
由或；由.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，
故不满足题意.
综上，.
6．B
【详解】将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列，共有种方法，
再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种.
7．A
【详解】设事件表示“从甲袋取出又放入乙袋中的球是红球”，则事件表示“从甲袋中取出又放入乙袋中的球是白球”，
事件表示“最后从乙袋中取出的球是红球”，
所以，故，，
故，故A正确.
8．C
【详解】解：当，恒成立，故在上单调递增，
当，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，有极小值为：，函数的图象如下图：
要使得函数有三个零点，
则，即，
解得：，
故选：C．
9．AD
【详解】由函数的导函数的图象可知，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故选项A正确，选项B和C错误，
对于D，因为，且根据上面分析得到的函数单调性，
由极值的定义知，函数在处取得极大值，所以D正确．
故选：AD．
10．BC
【详解】对于A：令有，所以各项系数的和是0，故A错误；
对于B：各二项式系数的和为，故B正确；
对于C：由，令，
所以的项的系数是，故C正确；
对于D：根据通项可知，，要使系数最大，则为偶数，故，，，，故时，系数最大，所以第3项和第5项的系数最大，故D错误.
故选：BC.
11．BC
【详解】对于A项，已知圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，底面圆半径 ，
圆锥的高为等边三角形的高：，故A错误；
对于B项，轴截面等边三角形的内切圆半径即为内切球的半径，
由 ，
得到；
所以球O的体积为，故B正确；
对于C项，设圆锥的母线长为，则 ,
故圆锥的表面积为：，故C正确；
对于D项，以为原点，建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 , ，
设 ,
则，
设平面 的法向量为，
则，即；
令，则；
由,
所以点到平面的距离为
；
又因为
;
所以，
因为，
;
所以,
所以 ，
因为，所以，
所以三棱锥体积的最大值为，故D错误.
12．
【详解】易知每个人都有种选法，故不同的选法有种．
故答案为：．
13．
【详解】由可得，两式作差得，即，
又，所以，，不满足，
所以
故答案为：
14．
【详解】，记，表示上的点到直线上的距离，
如下图所示，的最大值、最小值分别在点，处取得，原点到直线的距离为，
，，
．
15．(1)
(2)单调递增区间是，单调递减区间是.
【详解】（1）由函数，所以函数的定义域为，，
所以，，
所以函数在点处的切线方程为：，
即，所以函数在点处的切线方程为.
（2）因为函数的定义域为，且，
令，得；令，得，
因此函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，，，，，
所以， 又，
所以，
当时也成立，
所以．
（2）因为，
所以
．
17．(1)答案见解析
(2)同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题.
【详解】（1）依题意，的可能取值为，，，
则，，
，
所以的分布列为
0 10 30
0.4 0.24 0.36
（2）当该同学先回答“拯救海洋”类问题时，由（1），得；
当该同学先回答“回收报废电力设备”类问题时，记为该同学的累计得分，则的可能取值为，，，
，，
因此，
因为，所以，
所以为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题.
18．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意得，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）联立椭圆C的方程，与直线AB的方程，消去y得，
，设，，
得，，
设，所以，，
所以直线MO的斜率为，MO的方程为，
F的坐标为，
过F且与AB垂直的直线方程为，
由与联立消去y得，P点的横坐标为4，
直线m的方程为，直线l的方程为，
由与联立消去y得，Q点的横坐标也为4，所以直线轴．
19．(1)当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）根据题意，，
时，恒成立，在上单调递增，
时，由得；由得，
所以在上单调递增；在上单调递减.
综上，当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）解法1：在上恒成立，
又∵，∴等价于在上恒成立，
设 ， 在上恒成立，
∴ 在单调递增，
所以，即当，，
要使在上恒成立，只需在上递减，
由（1）得，解得．
解法2：设，，
设，则 ，
①当时在恒成立，所以在单调递增，
所以所以在单调递增，所以，满足题意，
②当时，使得，，所以在单调递减，
所以，，所以在单调递减，
所以，不符合题意，
综上得满足题意．
（3）证明：即
当，，故只需证
由（2）得在取等号，
，定义域为，，
当时；当时，
在处取得最小值，因此，即，
综上，两处取等条件不同时成立
所以，原命题成立．

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