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湖南省株洲市荷塘区2026年中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2026 的相反数是(　　)
A．-2026 B．2026 C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2026的相反数是，
故选：A．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
2． 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录. 下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
3． 株洲市2025年地区生产总值（GDP）达4063亿元，同比增长4%，其中4063亿用科学记数法表示为（　　）
A．0. 4063×1012 B．4. 063×1011
C．4063×108 D．4. 063×1012
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4063亿=4063×108=4.063×1011.
故答案为：B.
【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4． 下列运算结果正确的是（　　）
A．a3 a2=a5 B．a2+a2=a4 C．（a3）3=a6 D．a-3=-a3
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3·a2=a3+2=a5，正确，故符合题意；
B、a2+a2=2a2，错误，故不符合题意；
C、(a3)3=a3×3=a9，错误，故不符合题意；
D、，错误，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则，幂的乘方以及积的乘方的法则，对各项进行运算即可.
5．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　）
A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角相等 D．两点确定一条直线
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴a//b（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：A．
【分析】根据内错角相等，两直线平行进行求解．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x＞-2，
解②得x≤1，
∴不等式组的解集为-2＜x≤1，
∴在数轴上表示为，
故答案为：A
【分析】先分别解不等式①和②，进而得到不等式组的解集，再表示在数轴上即可求解。
7． 如图是某班级的一次数学测试成绩统计图（说明：图中的50～60表示50≤x＜60，其余类推），则下列说法不正确的是（　　）
A．参加测试的总人数为40人
B．人数最少的得分段的频数为2
C．得分在60～70分的人数最多
D．本次测试的及格（≥60分）率为90%
【答案】C
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：A、4+12+14+8+2=40(人)，故参加测试的总人数为40人，说法正确，故选项不符合题意；
B、人数最少的得分段90~100的频数为2，说法正确，故选项不符合题意；
C、得分在70~ 80分的人数最多为14人，原说法错误，故选项符合题意；
D、本次测试的及格率为：，说法正确，故选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先从图中读取各分数段人数，50~60分有4人，60~70分有12人，70~80分有14人，80~90分有8人，90~100分有2人；再依次对各选项进行验证，计算总人数、判断人数最少分段的频数、判断人数最多的分段、计算及格率.
8．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（　　）
A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形
C．可能是轴对称图形 D．当AC＝BD时，它为矩形
【答案】C
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】连接AC，在三角形ACD中，HG为三角形的中位线，AC=2HG；同理可得，在三角形ABC中，AC=2EF，∴HG=EF
同理可得，HE=CF。
∴四边形ABCD为平行四边形，A选项错误；
∵平行四边形为中心对称图形，∴B选项错误；
当AC=BD时，四边形GHEF的四条边均相等，四边形GHEF为菱形，是轴对称图形，∴C选项正确，D选项错误。
【分析】根据平行四边形，图形的中心对称，矩形以及图形的轴对称的知识即可进行作答。
9． 如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x，盘子摞在一起的厚度为y cm，则y与x之间的函数图象关系（不考虑自变量取值范围）大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：每增加一个盘子，厚度增加(9-6)÷(7-4)=1(cm)，
∴y=3+(2-1)=x+2，
∵k=1>0，b=2>0
∴图象是经过一二三象限，与y轴交于正半轴的一次函数
故答案为：D.
【分析】根据题意可得函数为y=x+2，再根据一次函数的性质判断图象即可.
10． 如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上，且∠DOE=90°，DE交OC于P，下列结论正确的共有（　　）
①图中的全等三角形共有3对；
②AD=CE；
③∠CDO=∠BEO；
④OC=DC+CE；
⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，
∴∠A=∠B=45°，CO=AO=BO，CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，
∴∠A=∠ECO，∠B=∠DCO，∠COA=∠COB=90°，
∵∠DOE=90°
∴∠AOD=∠COE=90°-∠COD，∠COD=∠BOE=90°-∠COE
在△COE和△AOD中
∴△COE≌△AOD (ASA)，
同理△COD≌△BOE，
∴S△COE=S△AOD，AD=CE，∠CDO=∠BEO，△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍，
在△AOC和△BOC中，
∴△AOC≌△BOC（SSS）
∵AD=CE，
∴CD+CE=AC，
∵∠COA=90°，
∴CO∴OC=DC+CE错误；
即①②③⑤正确，④错误.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质得出∠A=∠B=45°，CO=AO=BO，CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°， 根据ASA推出△COE≌△AOD，同理可得△COD≌△BOE，根据全等三角形的性质得出S△COE=S△AOD，AD=CE，∠CDO=∠BEO，再利用SSS推出△AOC≌△BOC，进而可得CO二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11． 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12． 已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）满足反比例函数，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为0. 5m，则k= 　 　 .
【答案】100
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意设
将x=0.5，y=200代入，
得
解得k=100
故答案为：100.
【分析】由于近视镜度数y(度)与镜片焦距x(m)之间成反比例关系可设，将x=0.5，y=200代入即可求得k的值.
13． 为培养学生运用AI的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光”“Kimi”“豆包”和“千问”四个主题. 若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是　 　 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：依题意，把“灵光”“Kimi”“豆包”和“千问"四个主题分别记为A，B，C，D，列表如下：
　 A B C D
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D)
共有16种等可能结果，其中这两个班选择同一主题的结果有4种
∴这两个班选择同一主题的概率是
故答案为：.
【分析】先求出所有可能的选择情况，再求出两个班选择同一主题的情况，最后根据概率公式计算出两个班选择同一主题的概率.
14． 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是　 　.
【答案】30°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=60°-30°=30°
故答案为：30°.
【分析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案.
15． 我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成m×n，其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称数A为“和九数”，并把数A分解成A=m×n的过程，称为“和九分解”. 例如：因为1188=33×36，33和36的十位数字相同，个位数字之和为9，所以1188是“和九数”，1188分解成1188=33×36的过程就是“和九分解”. 按照这个规定，最大的“和九数”是　 　 . 把一个“和九数”A进行“和九分解”，即A=m×n，若F（A）=m+n+1，G（A）=|m-n|，令，若H（A）能被3整除，则满足条件的自然数A的最大值为　 　 .
【答案】8928；5544
【知识点】二次函数的最值；数的整除性；质数与合数；绝对值的概念与意义；分类讨论
【解析】【解答】解：设m与n的十位数字为y，m的个位数字为x，其中1≤y≤9，1≤x≤8，x，y均为整数，
根据定义可得n的个位数字为9-x，因此m=10y+x，n=10y+9-x，
要使A=m×n最大，需y取最大值9，即y=9，
则A=(90+x)(99-x)=-x2+9x+8910=-(x-4.5)2+8930.25
当x=4或x=5时，A取得最大值8930，此时A的个位数字为0，不符合要求，
当x=3或=6时，A=93×96=8928，个位不为0，符合要求，因此最大的“和九数”为8928；
∵F(A)=m+n+1=(10y+x)+(10y+9-x)+1=20y+10=10(2y+1)
G(A)=|m-n|=|(10y+x)-(10y+9-x)|=|2x-9|
∴
∵H(A)能被3整除，10与3互质，
∴为整数
要使A最大，从最大的y开始验证：
当y=9时，不存在x使为整数，不符合；
当y=8时，不存在x使为整数，不符合；
当y=7时，此时要使该式为整数，则|2x-9|=1或|2x-9|=5，
若|2x-9|=1，得x=4或x=5，此时A=74×75=5550，个位为0，不符合要求，
若|2x-9|=5，得x=2或x=7，此时A=72×77=5544，个位不为0，符合要求.
故答案为：8928，5544.
【分析】根据“和九数”的定义，设m与n的十位数字为y，m的个位数字为x，列出A的表达式：A=-(x-4.5)2+8930.25，要使A最小，需十位数字x尽可能小，且个位数字乘积尽可能小；根据定义表示出 F(A)和G(A)，进而得到H(A)的表达式，利用H(A)能被3整除这一条件，结合整数的性质(奇偶性、整除性)对参数a，b进行分类讨论，求出A的最大值.
三、计算题：本大题共1小题，共3分。
16．解分式方程：＝．
【答案】解：由 得：
2(x-1)=3(x+1)
.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x+1)(x-1)化为整式方程，求出x值，再检验并作答即可.
四、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．计算：.
【答案】解：原式
=2
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先计算算术平方根，负整数指数幂，零指数幂，再代入特殊角的函数值算乘法，最后算加减即可.
18．先化简，再求值：，其中x=-4.
【答案】解：原式
，
当x=-4时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值.
19．某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM=3米，∠BOM=18. 17°. （参考数据：sin18. 17°≈0. 31，cos18. 17°≈0. 95，tan18. 17°≈0. 33，sin36°≈0. 59，cos36°≈0. 81，tan36°≈0. 73，结果精确到1米）
（1）求直吊臂OB的长；
（2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM=36°时，货物M上升了多少米？
【答案】（1）解：由题意得，BM⊥OM，
∵∠BOM=18. 17°，BM=3米，
∴在Rt△BOM中，（米），
答：直吊臂OB的长为10米；
（2）解：如图，设旋转后的点B，M的对应点为B'，M'，延长B'M'交OM于点F，过点B作BE⊥B'F于点E，
则∠BEF=90°，
由题意得B'M'=BM=3米，OB'=OB=10 米，
∴∠BEF=∠EFM=∠BMF=90°，
∴四边形EFMB为矩形，
∴BM=EF=3米，
在Rt△B'OF中，B'F=OB'×cos∠OB'M'=10×0. 81=8. 1（米），
∴M'F=B'F-B'M'=8. 1-3=5. 1≈5（米），
∴货物M上升了5米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)根据，即可解Rt△BOM，即可求解；
(2)记旋转后的点B，M的对应点为B'，M'，延长B'M'交OM于点F，过点B作BE⊥B'F于点E，可得四边形EFMB为矩形，则BM=EF=3米，在Rt△BOF中， B'F=OB'×cos∠OB'M， 求出B'F，再由M'F=B'F-B'M'，即可求解.
20．如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A，B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交BD的延长线于点E，连接AC，AD.
（1）若∠ABD=2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线.
（2）连接BC，若BC=4，，求⊙O的半径长.
【答案】（1）解：如图，连接OC，
∵
∴∠BOC=2∠BDC
∵∠ABD=2∠BDC
∴∠BOC=∠ABD
∴OC//BE，
∵CE⊥DB，
∴CE⊥OC
又∵OC是半径，
∴CE是⊙O的切线
（2）解：如图，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵∠BDC=∠BAC，
∴tan∠BDC=tan ∠BAC，
∵
∴
∵BC=4
∴AC=8
∴，
∴⊙O的半径长为
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；求正切值
【解析】【分析】(1)连接OC，根据圆周角定理，得到∠BOC=∠ABD，则OC//BE，由于CE⊥DB，所以CE⊥OC，再根据切线的判定即可证明结论；
(2)利用圆周角定理将已知角的正切值转化到直角三角形中，结合勾股定理或三角函数定义求解线段长度，进而求出直径和半径.
21．【问题情境】文园中学准备开展校庆活动，需选拔若干名身高相近的学生组成仪仗队进行方阵表演. 为此，要先开展一次调查研究来了解全校学生的身高分布情况.
【调查方案】选取100个人进行调查，现有三种调查方案：
方案A：在各个班级后两排中随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析；
方案B：在各个班级随机选取100名男学生的身高作为样本进行调查分析；
方案C：在各个班级随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析.
（1）其中抽取的样本具有代表性的方案是　 　（填“A”“B”或“C”）.
（2）【数据整理】学校根据样本数据，整理成表格（注：每组身高含最低值，不含最高值）；
身高段（单位：cm） 频数
①153 163 10
②163 173 50
③173 183 m
④183 193 10
【问题解决】请结合表中信息解答下列问题：
填空：m=　 　；
（3）估计该校学生身高的中位数落在身高段　 　（填“①”“②”“③”或“④”）；
（4）现需选拔身高达到183cm及以上的人组成仪仗队，若该校有1500名学生，请估计能参加选拔校园仪仗队的学生人数.
【答案】（1）C
（2）30
（3）②
（4）解：(人).
∴估计能参加选拔校园仪仗队的学生人数约为150人.
【知识点】抽样调查的可靠性；频数与频率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)依题意得，在各个班级随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析
故答案为：C.
(2)m=100-10-50-10=30，
故答案为：30.
(3)∵样本容量是100，
∴样本数据的中位数是按从小到大(或从大到小)的顺序排列第 50个和第51个数据的平均数，
∴估计该校学生身高的中位数落在身高段②，
故答案为：②.
【分析】(1)根据抽样调查的可靠性，即可作答；
(2)根据数据描述求频数，即可作答；
(3)根据中位数的概念即可求解；
(4)利用样本估计总体进行列式计算，即可作答.
22． 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作. 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率. 拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣. 若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元.
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价.
（2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1000万元. 最多能买A型机器人多少台？
【答案】（1）解：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为x万元，y万元，
由题意列二元一次方程组得，
解得
答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元
（2）解：设最多能买A型机器人a台，则最多能买B型机器人(15-a)台，
由题意列一元一次不等式得，80a+60(15-a)≤1000，
整理得，20a≤100，
解得a≤5，
答：最多能买A型机器人5台
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设A、B两种型号智能机器人的单价分别为x万元，y万元，根据单价乘以数量等于总价及“买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元”列出方程组，求解即可；
(2)设最多能买A型机器人a台，则最多能买B型机器人(15-a)台，根据总费用不超过1000万元列出不等式，即可得到答案.
23．综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB、BC上分别取点E、F，且AE=BF，AF交DE于点O.连接AC，过点F作FG⊥AC，垂足为G，连接GD、GE，DE交AC于点P，GE交AF于点Q.
（1）【活动猜想】
GD与GE的数量关系是　 　，位置关系是　 　.
（2）【探索发现】
证明（1）中的结论；
（3）【实践应用】
若AD=3，AE=1，求QF的长；
（4）【综合探究】
若AD=3，则当AP=　 　时，△DPG的面积最小.
【答案】（1）相等；垂直
（2）解：过点G分别作AB、BC、CD的垂线，垂足分别为点T、M、N.
可知四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正方形，
∴GN=GM=MC=CN=BT.
∴DC-CN=BC-CM，即DN=BM=GT.
∵FG⊥AC，∠ACB=∠CFG=45°，
∴CM=MF.
∵AE=BF，
∴AB-AE-BT=BC-BF-MF，即ET=NG.
∴Rt△DNG≌Rt△GTE（SAS），
∴DG=GE，∠NDG=∠EGT.
∵∠NDG+∠NGD=90°，
∴∠EGT+∠NGD=90°，
∴∠DGE=90°，所以DG⊥GE
（3）解：在正方形ABCD中，由AB=AD，AE=BF，
得Rt△DAE≌Rt△ABF，所以∠ADE=∠BAF，AF=DE.
所以∠ADE+∠DEA=∠BAF+∠DEA=90°，得∠AOE=90°，所以AF⊥DE.
在中，，，得，
由等面积法得，所以
在中，.
由(2)知，∠GED=45°，则△EOQ为等腰直角三角形，QO=EO=
所以
（4）
【知识点】正方形的性质；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）GD与GE的数量关系是相等；位置关系是垂直.
故答案为：相等；垂直.
（4）作△DPG的外接圆H，连接DH、PH、GH，过点H作HR⊥AC于点R，过点D作DT⊥AC于点T，
设圆H的半径为r，
由（2）可知DG=GE，DG⊥GE，
∴△DGE是等腰直角三角形，
∴∠GDE=45°，
∵，
∴∠PHG=2∠GDE=90°，
∵HP=HG，
∴△HPG是等腰直角三角形，
∴
∴；
∵正方形ABCD，AD=3，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∴当PG最小时，△DPG的面积最小，
∴当r最小时，△DGP的面积最小，
∵，
∴当DH+HR最小时，△DPG的面积最小，
∴当点D、H、R共线时，且DR⊥AC时，DH+HR最小即点T与点R重合，如图
∴
解之：，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】（1）观察图形，结合已知条件可得到GD与GE的数量关系和位置关系.
（2）过点G分别作AB、BC、CD的垂线，垂足分别为点T、M、N，易证四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正方形，利用矩形和正方形的性质可证得GN=GM=MC=CN=BT，由此可推出DN=BM=GT，再证明CM=MF，由AE=BF，可证得ET=NG，利用SAS可证得△DNG≌△GTE，利用全等三角形的性质可证得DG=GE，∠NDG=∠EGT，由∠NDG+∠NGD=90°，可推出∠DGE=90°，即可证得结论.
（3）利用正方形的性质可证得Rt△DAE≌Rt△ABF，利用全等三角形的性质可证得∠ADE=∠BAF，AF=DE，由此可推出AF⊥DE；利用勾股定理求出DE的长，再利用等面积法求出AO的长，再利用勾股定理求出OE的长；同时可证得△EOQ是等腰直角三角形，可得到OQ的长，然后求出QF的长即可.
（4）作△DPG的外接圆H，连接DH、PH、GH，过点H作HR⊥AC于点R，过点D作DT⊥AC于点T，设圆H的半径为r，由（2）可知△DGE是等腰直角三角形，可得到∠GDE=45°，利用圆周角定理可证得∠PHG=90°，可得到△HPG是等腰直角三角形，利用解直角三角形可表示出PR、HR的长，利用正方形的性质及解直角三角形可求出AC的长，即可得到DT的长；利用三角形的面积公式可表示出△DPG的面积，可知当PG最小时，△DPG的面积最小即当r最小时，△DGP的面积最小，同时可表示出DH+HR的长，当DH+HR最小时，△DPG的面积最小，由此可推出当点D、H、R共线时，且DR⊥AC时，DH+HR最小即点T与点R重合，可得到关于r的方程，解方程求出r的值，再求出PR的长，即可得到AP的长.
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-6的顶点坐标为（2，-8）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点E为线段BC上一点，过点E作EM∥y轴，交x轴于点M，当AE平分∠CEM时，求直线AE的解析式；
（3）如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线AF分别与y轴、直线BC交于点D，E. 若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标.
【答案】（1）解：抛物线y=ax2+bx-6的顶点坐标为(2，-8)，
设所求抛知线解析式为y=a(x-2)2-8，当x=0时，y=-6，
即：-6=a×(0-2)2-8.
解得
故所求抛物线解析式为
（2）解：
当y=0时，有，
解得x1=6，x2=2，
∴A(-2，0)，8(6，0).
由(1)可知：C(0，-6)，
OB=OC=6，
∠OCB=45°
设直线CB的解析式为y=kx+b，
将C(0，-6)，B(6，0)代入y=kx+b，
得，解得
∴直线CB的解析式为y=x-6.
设直线AE的解析式为y=mx+n，把A(-2，0)代入，得：n=2m.
∴直线AE的解析式为y=mx+2m，
当x=0时，y=2m，
∴D(0，2m).
∴CD=2m-6.
联立，得
∵AE平分∠CEM，
∴∠AEM=∠AEC
又EM//y轴.
∴∠AEM=∠EDC
∴∠EDC=∠AEC，
∴CD=CE.
过点E作EH⊥y轴，则：
∴∠OCB=45°
∴
∴
解得
∴直线AE的解折式为
（3）解：∵S1+S3=2S2，△CAD，△CDE，△CEF为同高三角形，
∴AD+EF=2DE，
∴AD+DE+EF=3DE=AF
∴
过点E作EM⊥y轴，过点F作FN⊥y轴，作AN⊥FN，
∴EM//FN，
∴∠DEM=∠AFN，
∵∠ANF=∠DME=90°
∴△DEM∽△AFN
∴
∴
∴xF=3xE-2，
同(2)设直线AF的解析式y=mx+2m
由，得，
由，
得
∴xA+xF=2m+4
∴xF=2m+6>0，即m>-3，
∴，解得m=-1或-5(舍)
∴xF=2×(-1)+6=4，
当x=4时，.
∴F(4，-6)
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
(2)求出直线BC的解析式，设出直线AE的解析式，求出D点坐标，联立两个解析式求出点E的横坐标，根据角平分线结合平行钱的性质，推出CD=CE，列出方程进行求解，即可；
(3)根据同高三角形的面积比等于底边比，推出AD+EF=2DE，进而推出，过点E作EM⊥y轴，过点F作FN⊥y轴，作AN⊥FN，证明△DEM∽△AFN，推出，同法(2)设出直线AF解折式，联立解析式求出E，F两点的横坐标，列出方程进行求解即可.
1 / 1湖南省株洲市荷塘区2026年中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2026 的相反数是(　　)
A．-2026 B．2026 C． D．
2． 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录. 下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3． 株洲市2025年地区生产总值（GDP）达4063亿元，同比增长4%，其中4063亿用科学记数法表示为（　　）
A．0. 4063×1012 B．4. 063×1011
C．4063×108 D．4. 063×1012
4． 下列运算结果正确的是（　　）
A．a3 a2=a5 B．a2+a2=a4 C．（a3）3=a6 D．a-3=-a3
5．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　）
A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角相等 D．两点确定一条直线
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7． 如图是某班级的一次数学测试成绩统计图（说明：图中的50～60表示50≤x＜60，其余类推），则下列说法不正确的是（　　）
A．参加测试的总人数为40人
B．人数最少的得分段的频数为2
C．得分在60～70分的人数最多
D．本次测试的及格（≥60分）率为90%
8．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（　　）
A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形
C．可能是轴对称图形 D．当AC＝BD时，它为矩形
9． 如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x，盘子摞在一起的厚度为y cm，则y与x之间的函数图象关系（不考虑自变量取值范围）大致为（　　）
A． B．
C． D．
10． 如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上，且∠DOE=90°，DE交OC于P，下列结论正确的共有（　　）
①图中的全等三角形共有3对；
②AD=CE；
③∠CDO=∠BEO；
④OC=DC+CE；
⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11． 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为　 　．
12． 已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）满足反比例函数，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为0. 5m，则k= 　 　 .
13． 为培养学生运用AI的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光”“Kimi”“豆包”和“千问”四个主题. 若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是　 　 .
14． 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是　 　.
15． 我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成m×n，其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称数A为“和九数”，并把数A分解成A=m×n的过程，称为“和九分解”. 例如：因为1188=33×36，33和36的十位数字相同，个位数字之和为9，所以1188是“和九数”，1188分解成1188=33×36的过程就是“和九分解”. 按照这个规定，最大的“和九数”是　 　 . 把一个“和九数”A进行“和九分解”，即A=m×n，若F（A）=m+n+1，G（A）=|m-n|，令，若H（A）能被3整除，则满足条件的自然数A的最大值为　 　 .
三、计算题：本大题共1小题，共3分。
16．解分式方程：＝．
四、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．计算：.
18．先化简，再求值：，其中x=-4.
19．某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM=3米，∠BOM=18. 17°. （参考数据：sin18. 17°≈0. 31，cos18. 17°≈0. 95，tan18. 17°≈0. 33，sin36°≈0. 59，cos36°≈0. 81，tan36°≈0. 73，结果精确到1米）
（1）求直吊臂OB的长；
（2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM=36°时，货物M上升了多少米？
20．如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A，B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交BD的延长线于点E，连接AC，AD.
（1）若∠ABD=2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线.
（2）连接BC，若BC=4，，求⊙O的半径长.
21．【问题情境】文园中学准备开展校庆活动，需选拔若干名身高相近的学生组成仪仗队进行方阵表演. 为此，要先开展一次调查研究来了解全校学生的身高分布情况.
【调查方案】选取100个人进行调查，现有三种调查方案：
方案A：在各个班级后两排中随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析；
方案B：在各个班级随机选取100名男学生的身高作为样本进行调查分析；
方案C：在各个班级随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析.
（1）其中抽取的样本具有代表性的方案是　 　（填“A”“B”或“C”）.
（2）【数据整理】学校根据样本数据，整理成表格（注：每组身高含最低值，不含最高值）；
身高段（单位：cm） 频数
①153 163 10
②163 173 50
③173 183 m
④183 193 10
【问题解决】请结合表中信息解答下列问题：
填空：m=　 　；
（3）估计该校学生身高的中位数落在身高段　 　（填“①”“②”“③”或“④”）；
（4）现需选拔身高达到183cm及以上的人组成仪仗队，若该校有1500名学生，请估计能参加选拔校园仪仗队的学生人数.
22． 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作. 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率. 拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣. 若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元.
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价.
（2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1000万元. 最多能买A型机器人多少台？
23．综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB、BC上分别取点E、F，且AE=BF，AF交DE于点O.连接AC，过点F作FG⊥AC，垂足为G，连接GD、GE，DE交AC于点P，GE交AF于点Q.
（1）【活动猜想】
GD与GE的数量关系是　 　，位置关系是　 　.
（2）【探索发现】
证明（1）中的结论；
（3）【实践应用】
若AD=3，AE=1，求QF的长；
（4）【综合探究】
若AD=3，则当AP=　 　时，△DPG的面积最小.
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-6的顶点坐标为（2，-8）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点E为线段BC上一点，过点E作EM∥y轴，交x轴于点M，当AE平分∠CEM时，求直线AE的解析式；
（3）如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线AF分别与y轴、直线BC交于点D，E. 若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2026的相反数是，
故选：A．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4063亿=4063×108=4.063×1011.
故答案为：B.
【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3·a2=a3+2=a5，正确，故符合题意；
B、a2+a2=2a2，错误，故不符合题意；
C、(a3)3=a3×3=a9，错误，故不符合题意；
D、，错误，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则，幂的乘方以及积的乘方的法则，对各项进行运算即可.
5．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴a//b（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：A．
【分析】根据内错角相等，两直线平行进行求解．
6．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x＞-2，
解②得x≤1，
∴不等式组的解集为-2＜x≤1，
∴在数轴上表示为，
故答案为：A
【分析】先分别解不等式①和②，进而得到不等式组的解集，再表示在数轴上即可求解。
7．【答案】C
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：A、4+12+14+8+2=40(人)，故参加测试的总人数为40人，说法正确，故选项不符合题意；
B、人数最少的得分段90~100的频数为2，说法正确，故选项不符合题意；
C、得分在70~ 80分的人数最多为14人，原说法错误，故选项符合题意；
D、本次测试的及格率为：，说法正确，故选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先从图中读取各分数段人数，50~60分有4人，60~70分有12人，70~80分有14人，80~90分有8人，90~100分有2人；再依次对各选项进行验证，计算总人数、判断人数最少分段的频数、判断人数最多的分段、计算及格率.
8．【答案】C
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】连接AC，在三角形ACD中，HG为三角形的中位线，AC=2HG；同理可得，在三角形ABC中，AC=2EF，∴HG=EF
同理可得，HE=CF。
∴四边形ABCD为平行四边形，A选项错误；
∵平行四边形为中心对称图形，∴B选项错误；
当AC=BD时，四边形GHEF的四条边均相等，四边形GHEF为菱形，是轴对称图形，∴C选项正确，D选项错误。
【分析】根据平行四边形，图形的中心对称，矩形以及图形的轴对称的知识即可进行作答。
9．【答案】D
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：每增加一个盘子，厚度增加(9-6)÷(7-4)=1(cm)，
∴y=3+(2-1)=x+2，
∵k=1>0，b=2>0
∴图象是经过一二三象限，与y轴交于正半轴的一次函数
故答案为：D.
【分析】根据题意可得函数为y=x+2，再根据一次函数的性质判断图象即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，
∴∠A=∠B=45°，CO=AO=BO，CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，
∴∠A=∠ECO，∠B=∠DCO，∠COA=∠COB=90°，
∵∠DOE=90°
∴∠AOD=∠COE=90°-∠COD，∠COD=∠BOE=90°-∠COE
在△COE和△AOD中
∴△COE≌△AOD (ASA)，
同理△COD≌△BOE，
∴S△COE=S△AOD，AD=CE，∠CDO=∠BEO，△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍，
在△AOC和△BOC中，
∴△AOC≌△BOC（SSS）
∵AD=CE，
∴CD+CE=AC，
∵∠COA=90°，
∴CO∴OC=DC+CE错误；
即①②③⑤正确，④错误.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质得出∠A=∠B=45°，CO=AO=BO，CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°， 根据ASA推出△COE≌△AOD，同理可得△COD≌△BOE，根据全等三角形的性质得出S△COE=S△AOD，AD=CE，∠CDO=∠BEO，再利用SSS推出△AOC≌△BOC，进而可得CO11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．【答案】100
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意设
将x=0.5，y=200代入，
得
解得k=100
故答案为：100.
【分析】由于近视镜度数y(度)与镜片焦距x(m)之间成反比例关系可设，将x=0.5，y=200代入即可求得k的值.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：依题意，把“灵光”“Kimi”“豆包”和“千问"四个主题分别记为A，B，C，D，列表如下：
　 A B C D
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D)
共有16种等可能结果，其中这两个班选择同一主题的结果有4种
∴这两个班选择同一主题的概率是
故答案为：.
【分析】先求出所有可能的选择情况，再求出两个班选择同一主题的情况，最后根据概率公式计算出两个班选择同一主题的概率.
14．【答案】30°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=60°-30°=30°
故答案为：30°.
【分析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案.
15．【答案】8928；5544
【知识点】二次函数的最值；数的整除性；质数与合数；绝对值的概念与意义；分类讨论
【解析】【解答】解：设m与n的十位数字为y，m的个位数字为x，其中1≤y≤9，1≤x≤8，x，y均为整数，
根据定义可得n的个位数字为9-x，因此m=10y+x，n=10y+9-x，
要使A=m×n最大，需y取最大值9，即y=9，
则A=(90+x)(99-x)=-x2+9x+8910=-(x-4.5)2+8930.25
当x=4或x=5时，A取得最大值8930，此时A的个位数字为0，不符合要求，
当x=3或=6时，A=93×96=8928，个位不为0，符合要求，因此最大的“和九数”为8928；
∵F(A)=m+n+1=(10y+x)+(10y+9-x)+1=20y+10=10(2y+1)
G(A)=|m-n|=|(10y+x)-(10y+9-x)|=|2x-9|
∴
∵H(A)能被3整除，10与3互质，
∴为整数
要使A最大，从最大的y开始验证：
当y=9时，不存在x使为整数，不符合；
当y=8时，不存在x使为整数，不符合；
当y=7时，此时要使该式为整数，则|2x-9|=1或|2x-9|=5，
若|2x-9|=1，得x=4或x=5，此时A=74×75=5550，个位为0，不符合要求，
若|2x-9|=5，得x=2或x=7，此时A=72×77=5544，个位不为0，符合要求.
故答案为：8928，5544.
【分析】根据“和九数”的定义，设m与n的十位数字为y，m的个位数字为x，列出A的表达式：A=-(x-4.5)2+8930.25，要使A最小，需十位数字x尽可能小，且个位数字乘积尽可能小；根据定义表示出 F(A)和G(A)，进而得到H(A)的表达式，利用H(A)能被3整除这一条件，结合整数的性质(奇偶性、整除性)对参数a，b进行分类讨论，求出A的最大值.
16．【答案】解：由 得：
2(x-1)=3(x+1)
.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x+1)(x-1)化为整式方程，求出x值，再检验并作答即可.
17．【答案】解：原式
=2
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先计算算术平方根，负整数指数幂，零指数幂，再代入特殊角的函数值算乘法，最后算加减即可.
18．【答案】解：原式
，
当x=-4时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值.
19．【答案】（1）解：由题意得，BM⊥OM，
∵∠BOM=18. 17°，BM=3米，
∴在Rt△BOM中，（米），
答：直吊臂OB的长为10米；
（2）解：如图，设旋转后的点B，M的对应点为B'，M'，延长B'M'交OM于点F，过点B作BE⊥B'F于点E，
则∠BEF=90°，
由题意得B'M'=BM=3米，OB'=OB=10 米，
∴∠BEF=∠EFM=∠BMF=90°，
∴四边形EFMB为矩形，
∴BM=EF=3米，
在Rt△B'OF中，B'F=OB'×cos∠OB'M'=10×0. 81=8. 1（米），
∴M'F=B'F-B'M'=8. 1-3=5. 1≈5（米），
∴货物M上升了5米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)根据，即可解Rt△BOM，即可求解；
(2)记旋转后的点B，M的对应点为B'，M'，延长B'M'交OM于点F，过点B作BE⊥B'F于点E，可得四边形EFMB为矩形，则BM=EF=3米，在Rt△BOF中， B'F=OB'×cos∠OB'M， 求出B'F，再由M'F=B'F-B'M'，即可求解.
20．【答案】（1）解：如图，连接OC，
∵
∴∠BOC=2∠BDC
∵∠ABD=2∠BDC
∴∠BOC=∠ABD
∴OC//BE，
∵CE⊥DB，
∴CE⊥OC
又∵OC是半径，
∴CE是⊙O的切线
（2）解：如图，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵∠BDC=∠BAC，
∴tan∠BDC=tan ∠BAC，
∵
∴
∵BC=4
∴AC=8
∴，
∴⊙O的半径长为
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；求正切值
【解析】【分析】(1)连接OC，根据圆周角定理，得到∠BOC=∠ABD，则OC//BE，由于CE⊥DB，所以CE⊥OC，再根据切线的判定即可证明结论；
(2)利用圆周角定理将已知角的正切值转化到直角三角形中，结合勾股定理或三角函数定义求解线段长度，进而求出直径和半径.
21．【答案】（1）C
（2）30
（3）②
（4）解：(人).
∴估计能参加选拔校园仪仗队的学生人数约为150人.
【知识点】抽样调查的可靠性；频数与频率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)依题意得，在各个班级随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析
故答案为：C.
(2)m=100-10-50-10=30，
故答案为：30.
(3)∵样本容量是100，
∴样本数据的中位数是按从小到大(或从大到小)的顺序排列第 50个和第51个数据的平均数，
∴估计该校学生身高的中位数落在身高段②，
故答案为：②.
【分析】(1)根据抽样调查的可靠性，即可作答；
(2)根据数据描述求频数，即可作答；
(3)根据中位数的概念即可求解；
(4)利用样本估计总体进行列式计算，即可作答.
22．【答案】（1）解：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为x万元，y万元，
由题意列二元一次方程组得，
解得
答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元
（2）解：设最多能买A型机器人a台，则最多能买B型机器人(15-a)台，
由题意列一元一次不等式得，80a+60(15-a)≤1000，
整理得，20a≤100，
解得a≤5，
答：最多能买A型机器人5台
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设A、B两种型号智能机器人的单价分别为x万元，y万元，根据单价乘以数量等于总价及“买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元”列出方程组，求解即可；
(2)设最多能买A型机器人a台，则最多能买B型机器人(15-a)台，根据总费用不超过1000万元列出不等式，即可得到答案.
23．【答案】（1）相等；垂直
（2）解：过点G分别作AB、BC、CD的垂线，垂足分别为点T、M、N.
可知四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正方形，
∴GN=GM=MC=CN=BT.
∴DC-CN=BC-CM，即DN=BM=GT.
∵FG⊥AC，∠ACB=∠CFG=45°，
∴CM=MF.
∵AE=BF，
∴AB-AE-BT=BC-BF-MF，即ET=NG.
∴Rt△DNG≌Rt△GTE（SAS），
∴DG=GE，∠NDG=∠EGT.
∵∠NDG+∠NGD=90°，
∴∠EGT+∠NGD=90°，
∴∠DGE=90°，所以DG⊥GE
（3）解：在正方形ABCD中，由AB=AD，AE=BF，
得Rt△DAE≌Rt△ABF，所以∠ADE=∠BAF，AF=DE.
所以∠ADE+∠DEA=∠BAF+∠DEA=90°，得∠AOE=90°，所以AF⊥DE.
在中，，，得，
由等面积法得，所以
在中，.
由(2)知，∠GED=45°，则△EOQ为等腰直角三角形，QO=EO=
所以
（4）
【知识点】正方形的性质；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）GD与GE的数量关系是相等；位置关系是垂直.
故答案为：相等；垂直.
（4）作△DPG的外接圆H，连接DH、PH、GH，过点H作HR⊥AC于点R，过点D作DT⊥AC于点T，
设圆H的半径为r，
由（2）可知DG=GE，DG⊥GE，
∴△DGE是等腰直角三角形，
∴∠GDE=45°，
∵，
∴∠PHG=2∠GDE=90°，
∵HP=HG，
∴△HPG是等腰直角三角形，
∴
∴；
∵正方形ABCD，AD=3，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∴当PG最小时，△DPG的面积最小，
∴当r最小时，△DGP的面积最小，
∵，
∴当DH+HR最小时，△DPG的面积最小，
∴当点D、H、R共线时，且DR⊥AC时，DH+HR最小即点T与点R重合，如图
∴
解之：，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】（1）观察图形，结合已知条件可得到GD与GE的数量关系和位置关系.
（2）过点G分别作AB、BC、CD的垂线，垂足分别为点T、M、N，易证四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正方形，利用矩形和正方形的性质可证得GN=GM=MC=CN=BT，由此可推出DN=BM=GT，再证明CM=MF，由AE=BF，可证得ET=NG，利用SAS可证得△DNG≌△GTE，利用全等三角形的性质可证得DG=GE，∠NDG=∠EGT，由∠NDG+∠NGD=90°，可推出∠DGE=90°，即可证得结论.
（3）利用正方形的性质可证得Rt△DAE≌Rt△ABF，利用全等三角形的性质可证得∠ADE=∠BAF，AF=DE，由此可推出AF⊥DE；利用勾股定理求出DE的长，再利用等面积法求出AO的长，再利用勾股定理求出OE的长；同时可证得△EOQ是等腰直角三角形，可得到OQ的长，然后求出QF的长即可.
（4）作△DPG的外接圆H，连接DH、PH、GH，过点H作HR⊥AC于点R，过点D作DT⊥AC于点T，设圆H的半径为r，由（2）可知△DGE是等腰直角三角形，可得到∠GDE=45°，利用圆周角定理可证得∠PHG=90°，可得到△HPG是等腰直角三角形，利用解直角三角形可表示出PR、HR的长，利用正方形的性质及解直角三角形可求出AC的长，即可得到DT的长；利用三角形的面积公式可表示出△DPG的面积，可知当PG最小时，△DPG的面积最小即当r最小时，△DGP的面积最小，同时可表示出DH+HR的长，当DH+HR最小时，△DPG的面积最小，由此可推出当点D、H、R共线时，且DR⊥AC时，DH+HR最小即点T与点R重合，可得到关于r的方程，解方程求出r的值，再求出PR的长，即可得到AP的长.
24．【答案】（1）解：抛物线y=ax2+bx-6的顶点坐标为(2，-8)，
设所求抛知线解析式为y=a(x-2)2-8，当x=0时，y=-6，
即：-6=a×(0-2)2-8.
解得
故所求抛物线解析式为
（2）解：
当y=0时，有，
解得x1=6，x2=2，
∴A(-2，0)，8(6，0).
由(1)可知：C(0，-6)，
OB=OC=6，
∠OCB=45°
设直线CB的解析式为y=kx+b，
将C(0，-6)，B(6，0)代入y=kx+b，
得，解得
∴直线CB的解析式为y=x-6.
设直线AE的解析式为y=mx+n，把A(-2，0)代入，得：n=2m.
∴直线AE的解析式为y=mx+2m，
当x=0时，y=2m，
∴D(0，2m).
∴CD=2m-6.
联立，得
∵AE平分∠CEM，
∴∠AEM=∠AEC
又EM//y轴.
∴∠AEM=∠EDC
∴∠EDC=∠AEC，
∴CD=CE.
过点E作EH⊥y轴，则：
∴∠OCB=45°
∴
∴
解得
∴直线AE的解折式为
（3）解：∵S1+S3=2S2，△CAD，△CDE，△CEF为同高三角形，
∴AD+EF=2DE，
∴AD+DE+EF=3DE=AF
∴
过点E作EM⊥y轴，过点F作FN⊥y轴，作AN⊥FN，
∴EM//FN，
∴∠DEM=∠AFN，
∵∠ANF=∠DME=90°
∴△DEM∽△AFN
∴
∴
∴xF=3xE-2，
同(2)设直线AF的解析式y=mx+2m
由，得，
由，
得
∴xA+xF=2m+4
∴xF=2m+6>0，即m>-3，
∴，解得m=-1或-5(舍)
∴xF=2×(-1)+6=4，
当x=4时，.
∴F(4，-6)
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
(2)求出直线BC的解析式，设出直线AE的解析式，求出D点坐标，联立两个解析式求出点E的横坐标，根据角平分线结合平行钱的性质，推出CD=CE，列出方程进行求解，即可；
(3)根据同高三角形的面积比等于底边比，推出AD+EF=2DE，进而推出，过点E作EM⊥y轴，过点F作FN⊥y轴，作AN⊥FN，证明△DEM∽△AFN，推出，同法(2)设出直线AF解折式，联立解析式求出E，F两点的横坐标，列出方程进行求解即可.
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