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湖南省永州市冷水滩区多校2025-2026学年七年级下学期数学期中质量监测卷
一、选择题（共10题；共30分）
1．下列运算正确的是（　　）．
A． B． C． D．
2．如图，数轴上点N表示的数可能是 (　　)
A． B． C． D．
3．下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（　　）
A．（-2a+b）（b-2a） B．（a-b）（a+b）
C．（2b+a）（2a-b） D．（-a-b）（b+a）
4．下列各数中是无理数的是（　　）
A．3.14 B．0 C． D．
5．若，则，的值分别为(　　)
A．， B．，
C．， D．，
6．计算的结果为（　　）
A．2 B． C．1 D．
7．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（　　）
A． B． C． D．
9．如果aA．-2+a<-2+b B．-2a<-2b C． D．
10．对问题“已知求x的值”，甲、乙两人的说法如下：
甲：x的值是1；乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值.
下列对甲、乙说法的判断正确的是（　　）
A．甲说得对，符合条件的x的值只有1
B．乙说得对，x还有另一个值2
C．乙说得对，x还有另一个值-1
D．两人说得都不对，x应有3个不同值
二、填空题（共6题；共18分）
11．49的平方根是　 　．
12．数学表达式中：①a2≥0 ②5p-6q<0 ③x-6=1 ④7x+8y ⑤-1<0 ⑥x≠3.不等式是　 　（填序号）
13．已知则=　 　.
14．不等式（m-2）x<3的解集是则m的取值范围是　 　.
15．已知关于x的多项式ax+b与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为2，则ab的值为　 　。
16．规定：若实数a，b，c满足（a>0且a≠1，b>0），则记作[a，b]=c.例如：则[3，9]=2.若[2，3]=m，[2，5]=n，[2，p]=t，且m+n=t，则P的值是　 　.
三、解答题（共8题；共72分）
17．
（1）计算：
（2）解不等式并把它的解集在数轴上表示出来：
18．计算：
（1）
（2）（a+2）（a-2）
19．已知272=a6=9b，求2a2+2ab的值.
20．先化简，再求值：，其中x=2，y=1.
21．已知2a-5的平方根是±3，a-2b+3的立方根是2，c是的整数部分，求a+6b+c的平方根.
22．一个正数x的两个不同的平方根分别是和.
（1）求a和x的值.
（2）求的平方根.
23．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记.
无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分. 例如： 即 的整数部分为2，小数部分为.
根据以上笔记内容，请完成如下任务.
（1）任务一：的整数数部分为　 　，小数部分为　 　；
（2）任务二：a为的小数部分，b为、的整数部分，请计算的值；
（3）任务三：，其中x是整数，且024．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形（（m>n）..附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形.
（1）观察图2，直接写出代数式，mn之间的关系：　 　；
（2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题：
①已知x+y=7，xy=6，则x-y的值为 ▲ ；
②已知（2024-x）（x-2025）=-6，求的值；
（3）两个正方形ABCD、AEFG如图3摆放.边长分别为x，y，若求图中阴影部分面积和.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误
C、与不是同类项，无法直接合并，C错误；
D、，D正确；
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项可判断A、C；根据同底数幂的乘法法则可判断B；根据幂的乘方可判断D．
2．【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【分析】先对四个选项中的无理数进行估算，再根据N点的位置即可求解。
【解答】∵≈3.16，≈2.24，≈1.73，≈1.41，
根据点N在数轴上的位置，知：3＜N＜4，
∴四个选项中只有3＜3.16＜4，即3＜＜4．
故选A．
【点评】本题考查了同学们估算无理数大小的能力，及能够根据点在数轴的位置确定数的大小。
3．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：选项A、(-2a+b)(b-2a)=(-2a+b)(-2a+b)，两项均为相同项，不存在相反项，不能用平方差公式计算，不符合要求；
选项B、(a-b)(a+b)中，相同项为a，相反项为b和-b，符合平方差公式的使用条件，能用平方差公式计算，符合要求；
选项C、(2b+a)(2a-b)中没有相同项，不能用平方差公式计算，不符合要求；
选项 D、(-a-b)(b+a)=-(a+b)(a+b)，两项均为相同项，不存在相反项，不能用平方差公式计算，不符合要求.
故答案为：B.
【分析】平方差公式为(a+b)(a-b)=a2-b2，使用公式需满足两个因式中有一组相同项和一组相反项，结果为相同项的平方减去相反项的平方，据此逐项判断即可.
4．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
5．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴，．
故答案为：A．
【分析】先计算，再根据得即可求出、的值．
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：D．
【分析】逆用积的乘方法则及同底数幂相乘法则计算即可．
7．【答案】C
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据求一个数的算术平方根，立方根，算术平方根的非负性，逐项分析判断即可求.
8．【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当时，算术平方根为，是有理数，
再取立方根，是有理数，
倒回再取的算术平方根为，是无理数，
∴输出的值为，
故选：B．
【分析】
根据运算程序的流程，依次对输入的x=64进行“取算术平方根”“判断是否为有理数”“取立方根”等操作，直到得到无理数时输出y，从而确定对应选项。
9．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由aB、由a-2b，原不等式不正确，不符合题意；
C、由aD、由ab2，例如1<2，但是12<22，原不等式不正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向.
10．【答案】D
【知识点】立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：根据题意，设t=x-1，则原方程变为，
∵一个数的立方根等于它本身的数是0、1、-1，
∴分三种情况讨论：
①当t=0时，x-1=0，解得：x=1，
②当t=1时，x-1=1，解得：x=2，
③当t=-1时，x-1=-1，解得：x=0，
∴x的值为 0、1、2，共3个不同值，
∴甲、乙两人的说法都不对，选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确.
11．【答案】±7
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：49的平方根是±7．
故答案为：±7．
【分析】根据平方根的定义解答．
12．【答案】①②⑤⑥
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：③是等式，④是式子.
故答案：①②⑤⑥.
【分析】根据不等式的定义进行判断：用“>，≥，<， ≤ ，≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式.
13．【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案为：6.
【分析】根据同底数幂乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的逆用将待求式子变形后整体代入计算可得答案.
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：∵不等式(m-2)x<3的解集是
∴m-2<0
解得m<2，即m的取值范围是m<2
故答案为：m<2.
【分析】把不等式两边除以(m-2)时不等号方向改变了，则m-2<0，然后解关于m的不等式即可.
15．【答案】-4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解驗蕎：(ax+b)(x2+x)
=ax3+ax2+bx2+b
=ax3+(a+b)x2+bx
∵关于x的多项式ax+b与x2+x的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为2
∴a+b=0，b=2
∴a=-2
∴ab=-2×2=-4
故答案为：-4.
【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则计算得出(ax+b)(x2+x)=ax3+(a+b)x2+bx，再结合题意求出a、b的值，代入所求代数式，计算即可得出结果.
16．【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵[2，3]=m，[2，5]=n，[2，p]=t
∴2m=3，2n=5，2t=p，
∴2m·2n=2m+n=15
∵m+n=t
∴2m+n=2t=15
∴p=15
故答案为：15.
【分析】根据新运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：
系数化为1得：．
数轴表示如下所示：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)根据实数的混合计算法则求解即可；
(2)按照去分母，去括号，移项，合并同类项系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示不等式的解集即可.
18．【答案】（1）解：

（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】(1)根据完全平方公式法则计算即可；
(2)根据平方差公式运算法则运算即可.
19．【答案】解：首先处理等式，对左侧变形可得，因此原式可改写为，
由此可得；
接下来处理等式，对右侧变形可得，结合左侧结果，可得，
根据指数相等可得，解得.
分情况计算代数式的值：当时，；
当时，
.
因此的值为36或0.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先将题目给出的等式都转化为以3为底数的幂的形式，据此求出a和b的取值，再将不同的a、b取值代入所求代数式计算即可得到最终结果.
20．【答案】解：原式=
当x=2，y=1时，原式=10+4+2=16
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式化简式子，将x=2，y=1代入化简后的式子计算即可.
21．【答案】解：∵2a-5的平方根是±3，a-2b+3的立方根是2
∴2a-5=9，a-2b+3=8
解得：a=7，b=1.
∵9< 15<6.
∴，
∴c=3
则a+6b+c=7+6+3=16，其平方根为±4
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据平方根及立方根的定义求得a，b的值，再利用无理数的估算求得c的值，然后计算a+6b+c后求得其平方根即可.
22．【答案】（1）解：∵一个正数x的两个不同的平方根分别是和，
，
解得，
；
（2）解：将，代入中，得.
∵25的平方根为，
的平方根为.
【知识点】开平方（求平方根）；平方根的性质
【解析】【分析】（1）由一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，进而再根据互为相反数的两个数的和为零，建立方程可求出a的值，进而再根据平方根的定义可求出x的值；
（2）将x、a的值代入x+12a算出结果，再根据根据平方根定义直接开平方即可求出答案.
23．【答案】（1）3；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：(1)∵，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，.
【分析】(1)结合算术平方根的意义可得答案；
(2)根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解；
(3)根据，，其中x是整数，且024．【答案】（1）
（2）解：①，②∵
∴
（3）解：∵，∴．
由图可知的底为x，高为2，
∴．
的底为2，高为，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴，
∴（舍去负值），
∴阴影部分面积和为8
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；三角形的面积
【解析】【解答】解：(1)依题意，(m+n)2=(m-n)2+4mn；
故答案为：(m+n)2=(m-n)2+4mn.
(2)①与(1)同理得(x+y)2=(x-y)2+4xy
∵x+y=7， y=6
∴49=(x-y)2+4×6
∴(x-y)2=25
∴x-y=±5
故答案为：±5.
【分析】(1)根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积，即可作答；
(2)①直接把数值代入(x+y)2=(x-y)2+4xy进行计算，即可作答；
②根据(2024-x)2+(x-2025)2=[(2024-x)+(x-2025)]2-2(2024-x)(x-2025)，然后代入数值化简计算，即可作答；
(3)由题意可知x-y=2，，，即可求出S阴影=x+y，结合x2+y2=34，可求出xy=15，最后根据(x+y)2=x2+y2+2xy求解即可.
1 / 1湖南省永州市冷水滩区多校2025-2026学年七年级下学期数学期中质量监测卷
一、选择题（共10题；共30分）
1．下列运算正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误
C、与不是同类项，无法直接合并，C错误；
D、，D正确；
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项可判断A、C；根据同底数幂的乘法法则可判断B；根据幂的乘方可判断D．
2．如图，数轴上点N表示的数可能是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【分析】先对四个选项中的无理数进行估算，再根据N点的位置即可求解。
【解答】∵≈3.16，≈2.24，≈1.73，≈1.41，
根据点N在数轴上的位置，知：3＜N＜4，
∴四个选项中只有3＜3.16＜4，即3＜＜4．
故选A．
【点评】本题考查了同学们估算无理数大小的能力，及能够根据点在数轴的位置确定数的大小。
3．下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（　　）
A．（-2a+b）（b-2a） B．（a-b）（a+b）
C．（2b+a）（2a-b） D．（-a-b）（b+a）
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：选项A、(-2a+b)(b-2a)=(-2a+b)(-2a+b)，两项均为相同项，不存在相反项，不能用平方差公式计算，不符合要求；
选项B、(a-b)(a+b)中，相同项为a，相反项为b和-b，符合平方差公式的使用条件，能用平方差公式计算，符合要求；
选项C、(2b+a)(2a-b)中没有相同项，不能用平方差公式计算，不符合要求；
选项 D、(-a-b)(b+a)=-(a+b)(a+b)，两项均为相同项，不存在相反项，不能用平方差公式计算，不符合要求.
故答案为：B.
【分析】平方差公式为(a+b)(a-b)=a2-b2，使用公式需满足两个因式中有一组相同项和一组相反项，结果为相同项的平方减去相反项的平方，据此逐项判断即可.
4．下列各数中是无理数的是（　　）
A．3.14 B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
5．若，则，的值分别为(　　)
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴，．
故答案为：A．
【分析】先计算，再根据得即可求出、的值．
6．计算的结果为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：D．
【分析】逆用积的乘方法则及同底数幂相乘法则计算即可．
7．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据求一个数的算术平方根，立方根，算术平方根的非负性，逐项分析判断即可求.
8．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当时，算术平方根为，是有理数，
再取立方根，是有理数，
倒回再取的算术平方根为，是无理数，
∴输出的值为，
故选：B．
【分析】
根据运算程序的流程，依次对输入的x=64进行“取算术平方根”“判断是否为有理数”“取立方根”等操作，直到得到无理数时输出y，从而确定对应选项。
9．如果aA．-2+a<-2+b B．-2a<-2b C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由aB、由a-2b，原不等式不正确，不符合题意；
C、由aD、由ab2，例如1<2，但是12<22，原不等式不正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向.
10．对问题“已知求x的值”，甲、乙两人的说法如下：
甲：x的值是1；乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值.
下列对甲、乙说法的判断正确的是（　　）
A．甲说得对，符合条件的x的值只有1
B．乙说得对，x还有另一个值2
C．乙说得对，x还有另一个值-1
D．两人说得都不对，x应有3个不同值
【答案】D
【知识点】立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：根据题意，设t=x-1，则原方程变为，
∵一个数的立方根等于它本身的数是0、1、-1，
∴分三种情况讨论：
①当t=0时，x-1=0，解得：x=1，
②当t=1时，x-1=1，解得：x=2，
③当t=-1时，x-1=-1，解得：x=0，
∴x的值为 0、1、2，共3个不同值，
∴甲、乙两人的说法都不对，选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确.
二、填空题（共6题；共18分）
11．49的平方根是　 　．
【答案】±7
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：49的平方根是±7．
故答案为：±7．
【分析】根据平方根的定义解答．
12．数学表达式中：①a2≥0 ②5p-6q<0 ③x-6=1 ④7x+8y ⑤-1<0 ⑥x≠3.不等式是　 　（填序号）
【答案】①②⑤⑥
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：③是等式，④是式子.
故答案：①②⑤⑥.
【分析】根据不等式的定义进行判断：用“>，≥，<， ≤ ，≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式.
13．已知则=　 　.
【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案为：6.
【分析】根据同底数幂乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的逆用将待求式子变形后整体代入计算可得答案.
14．不等式（m-2）x<3的解集是则m的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：∵不等式(m-2)x<3的解集是
∴m-2<0
解得m<2，即m的取值范围是m<2
故答案为：m<2.
【分析】把不等式两边除以(m-2)时不等号方向改变了，则m-2<0，然后解关于m的不等式即可.
15．已知关于x的多项式ax+b与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为2，则ab的值为　 　。
【答案】-4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解驗蕎：(ax+b)(x2+x)
=ax3+ax2+bx2+b
=ax3+(a+b)x2+bx
∵关于x的多项式ax+b与x2+x的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为2
∴a+b=0，b=2
∴a=-2
∴ab=-2×2=-4
故答案为：-4.
【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则计算得出(ax+b)(x2+x)=ax3+(a+b)x2+bx，再结合题意求出a、b的值，代入所求代数式，计算即可得出结果.
16．规定：若实数a，b，c满足（a>0且a≠1，b>0），则记作[a，b]=c.例如：则[3，9]=2.若[2，3]=m，[2，5]=n，[2，p]=t，且m+n=t，则P的值是　 　.
【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵[2，3]=m，[2，5]=n，[2，p]=t
∴2m=3，2n=5，2t=p，
∴2m·2n=2m+n=15
∵m+n=t
∴2m+n=2t=15
∴p=15
故答案为：15.
【分析】根据新运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可.
三、解答题（共8题；共72分）
17．
（1）计算：
（2）解不等式并把它的解集在数轴上表示出来：
【答案】（1）解：原式
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：
系数化为1得：．
数轴表示如下所示：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)根据实数的混合计算法则求解即可；
(2)按照去分母，去括号，移项，合并同类项系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示不等式的解集即可.
18．计算：
（1）
（2）（a+2）（a-2）
【答案】（1）解：

（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】(1)根据完全平方公式法则计算即可；
(2)根据平方差公式运算法则运算即可.
19．已知272=a6=9b，求2a2+2ab的值.
【答案】解：首先处理等式，对左侧变形可得，因此原式可改写为，
由此可得；
接下来处理等式，对右侧变形可得，结合左侧结果，可得，
根据指数相等可得，解得.
分情况计算代数式的值：当时，；
当时，
.
因此的值为36或0.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先将题目给出的等式都转化为以3为底数的幂的形式，据此求出a和b的取值，再将不同的a、b取值代入所求代数式计算即可得到最终结果.
20．先化简，再求值：，其中x=2，y=1.
【答案】解：原式=
当x=2，y=1时，原式=10+4+2=16
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式化简式子，将x=2，y=1代入化简后的式子计算即可.
21．已知2a-5的平方根是±3，a-2b+3的立方根是2，c是的整数部分，求a+6b+c的平方根.
【答案】解：∵2a-5的平方根是±3，a-2b+3的立方根是2
∴2a-5=9，a-2b+3=8
解得：a=7，b=1.
∵9< 15<6.
∴，
∴c=3
则a+6b+c=7+6+3=16，其平方根为±4
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据平方根及立方根的定义求得a，b的值，再利用无理数的估算求得c的值，然后计算a+6b+c后求得其平方根即可.
22．一个正数x的两个不同的平方根分别是和.
（1）求a和x的值.
（2）求的平方根.
【答案】（1）解：∵一个正数x的两个不同的平方根分别是和，
，
解得，
；
（2）解：将，代入中，得.
∵25的平方根为，
的平方根为.
【知识点】开平方（求平方根）；平方根的性质
【解析】【分析】（1）由一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，进而再根据互为相反数的两个数的和为零，建立方程可求出a的值，进而再根据平方根的定义可求出x的值；
（2）将x、a的值代入x+12a算出结果，再根据根据平方根定义直接开平方即可求出答案.
23．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记.
无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分. 例如： 即 的整数部分为2，小数部分为.
根据以上笔记内容，请完成如下任务.
（1）任务一：的整数数部分为　 　，小数部分为　 　；
（2）任务二：a为的小数部分，b为、的整数部分，请计算的值；
（3）任务三：，其中x是整数，且0【答案】（1）3；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：(1)∵，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，.
【分析】(1)结合算术平方根的意义可得答案；
(2)根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解；
(3)根据，，其中x是整数，且024．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形（（m>n）..附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形.
（1）观察图2，直接写出代数式，mn之间的关系：　 　；
（2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题：
①已知x+y=7，xy=6，则x-y的值为 ▲ ；
②已知（2024-x）（x-2025）=-6，求的值；
（3）两个正方形ABCD、AEFG如图3摆放.边长分别为x，y，若求图中阴影部分面积和.
【答案】（1）
（2）解：①，②∵
∴
（3）解：∵，∴．
由图可知的底为x，高为2，
∴．
的底为2，高为，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴，
∴（舍去负值），
∴阴影部分面积和为8
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；三角形的面积
【解析】【解答】解：(1)依题意，(m+n)2=(m-n)2+4mn；
故答案为：(m+n)2=(m-n)2+4mn.
(2)①与(1)同理得(x+y)2=(x-y)2+4xy
∵x+y=7， y=6
∴49=(x-y)2+4×6
∴(x-y)2=25
∴x-y=±5
故答案为：±5.
【分析】(1)根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积，即可作答；
(2)①直接把数值代入(x+y)2=(x-y)2+4xy进行计算，即可作答；
②根据(2024-x)2+(x-2025)2=[(2024-x)+(x-2025)]2-2(2024-x)(x-2025)，然后代入数值化简计算，即可作答；
(3)由题意可知x-y=2，，，即可求出S阴影=x+y，结合x2+y2=34，可求出xy=15，最后根据(x+y)2=x2+y2+2xy求解即可.
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