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四川绵阳市梓潼县2026年春七年级下学期阶段试卷数学试题
1．下列命题是假命题的是（　　）
A．平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
B．垂线段最短
C．同位角相等
D．两点之间，线段最短
2．在平面直角坐标系中，点P（-3，-7）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．化简后的结果是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．12
4．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，那么点C到直线AD的距离是指（　　）
A．线段CD的长 B．线段AD的长 C．线段DB的长 D．线段AC的长
5． 如图，下列条件中，能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠DAB+∠ABC=180° B．∠B=∠D
C．∠1=∠2 D．∠3=∠4
6．如图，在△ABC中，BC=9，把△ABC沿射线 AB方向平移4个单位至△EFG处，EG与 BC交于点 M.若 CM=3，则图中阴影部分的面积为（　　)
A．26 B．28 C．30 D．32
7．如果一个正方形的面积等于5，则这个正方形的边长为（　　）
A．2.5 B． C． D．
8．下列说法正确的是（　　）
A．4的算术平方根是±2 B．3的平方根是
C．27的立方根是±3 D．的平方根是±2
9．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点A（2，-1）平移后的对应点为A'（5，2），则点B（-3，6）平移后的对应点B'的坐标是（　　）
A．（0，9） B．（-6，3） C．（1，7） D．（-1，8）
10．小芳和小明在手工课上各自用铁丝制作楼梯模型（如图），他们用的铁丝材料（　　）
A．一样多 B．小明多 C．小芳多 D．不能确定
11．一副三角板如图所示，且∠1的度数比∠2的度数大20°，则∠1=（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
12．如图，显示了6名学生平均每周用于体育锻炼和用于上网的课余时间（单位：小时）．图中横轴表示上网时间，纵轴表示体育锻炼时间，下列说法中不正确的是（　　）
A．点D（4，2）表示该生每周用于上网时间4小时，用于体育锻炼时间2小时
B．图中实线上的点C表示该生用于上网时间与用于体育锻炼时间一样
C．对比6名学生用于体育锻炼和上网的课余时间，可以得到更爱体育锻炼的人数比更爱上网的人数多
D．6名学生平均每周用于上网总时长比用于体育锻炼总时长少
13． 已知+ =0，则4m-3n的值是 　 　．
14． a，b是连续的两个整数，若a，则a的值是　 　 ．
15．已知平面直角坐标系中有A（-3，a）和B（b，-2）两点，AB=4且直线AB∥x轴，则2a-b= 　 　．
16．当光从空气斜射入水中时，光的传播方向会发生变化，这种现象叫作光的折射．如图，一束光线沿AB方向斜射入水面，在点C处发生折射，沿CD方向射入水中．若EF∥GH，∠1=40°，∠2=55°，则∠BCD的度数是 　 　．
17．如图，∠A=66°，O是AB上一点，且直线OD与AB的夹角∠BOD=88°，则直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 　 　°，才能使OD∥BC．
18．如图，雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，若目标A的位置表示为（30°，5），则目标B的位置可以表示为 　 　．
19． 计算：
（1） - （）2+；
（2）-12026+2（ -1）+．
20．已知一个正数的两个平方根分别是2a-5与a+2，3b+4的算术平方根是5.
（1）求a，b的值；
（2）求3a+b-2的立方根.
21．已知点P（2a-2，a+5），解答下列各题．
（1）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴；求出点P的坐标．
（2）若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标．
22． 如图，在△ABC中，D在AB上，E在BC上，F，G在AC上，连接DE，DF，EG，已知DF∥BC，EG平分∠DEC，且∠AFD=∠DEB．
（1）请说明：DE∥AC；
（2）若∠C=40°，求∠GEC的度数．
23． 三角形ABC和三角形A'B'C'在平面直角坐标系的位置如图所示．
（1）写出下列各点的坐标：A'　 　，B'　 　．
（2）三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到？
（3）若点P'（x，y）是三角形A'B'C'内部一点，则三角形ABC内部的对应点P的坐标是 　 　．
24．综合与实践
2026年4月，在2026中关村论坛年会上，中国自主研制的“夸父”系列人形机器人首次规模化亮相，身高近一米六的白色引导机器人全天候在岗提供会场导航．在人形机器人的精密装配过程中，双臂协同作业是实现高精度操作的关键．如图，有两条平行的装配轨道AB与CD，即AB∥CD．左机械臂与轨道AB的接触点记为M，右机械臂与轨道CD的接触点记为N．为了实现复杂的装配任务，通过M、P、Q、N来调节三个机械臂PM、PQ和QN的位置．在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂PM、PQ和QN不共线．
（1）如图1所示，当机械臂PM∥QN时，
①若∠P=55°，求∠Q的度数；
②试说明：∠AMP=∠QND；
（2）如图2所示，当∠AMP=30°，∠QND=50°，∠MPQ=α时，求∠PQN= 　 　（用含α的式子表示）；
（3）当∠AMP=β（0°＜β＜90°），∠QND=θ（0°＜θ＜180°）时，直接写出∠MPQ与∠PQN的数量关系（用含β，θ的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A选项平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，符合平行线基本性质，是真命题；
B选项垂线段最短，符合垂线的性质，是真命题；
C选项只有两直线平行时，同位角才相等，原命题缺少前提条件，结论不成立，是假命题；
D选项两点之间，线段最短，符合线段的基本性质，是真命题；
故答案为：C .
【分析】根据平行公理、垂线段最短，平行线的性质、线段的性质判断命题的真假解答即可.
2．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：解： ∵ 3<0， 7<0，
∴点P(-3，-7)在第三象限.
故答案为：C .
【分析】根据第三象限内点的坐标特点解答即可.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
故答案为：B .
【分析】根据二次根式的性质化简解答即可.
4．【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：
∴点C到直线AD的距离是指线段CD的长.
故答案为：A .
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：
故A不符合题意；
由 不能推出
故B不符合题意；
故C符合题意；
故D不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可.
6．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，，
，，，
．
，，
，
又，
．
故答案为：C.
【分析】根据平移性质可得阴影部分面积等于梯形的面积；然后根据梯形的面积公式计算即可．
7．【答案】C
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：这个正方形的边长为
故答案为：C .
【分析】利用正方形面积公式计算即可得到结果.
8．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、4的算术平方根是 故该选项错误，不符合题意；
B、3的平方根是 故该选项错误，不符合题意；
则27的立方根是3，该选项错误，不符合题意；
则4的平方根为：±2，故该选项正确，符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据平方根、立方根的概念逐项判断即可.
9．【答案】A
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：由题知，
因为点A(2，-1))平移后的对应点为A'(5，2)，
所以5-2=3，2-(-1)=3.
又因为点B坐标为(-3，6)，
则-3+3=0，6+3=9，
所以点B平移后的对应点B'的坐标为(0，9).
故答案为：A .
【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可.
10．【答案】A
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：两个图形右侧边与左侧相等，上侧与下侧相等，
即两个图形都可以利用平移的方法变为长为8cm，宽为5cm的长方形，
所以两个图形的周长都为(8+5)×2=26(cm)，
所以他们两个的周长一样长.
故答案为：A .
【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的边，再判断形状不同的边的长度即可.
11．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；余角
【解析】【解答】解：由题意
解得
故答案为：C .
【分析】利用余角的定义，构建方程组即可解决问题.
12．【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由题意得：直线上的点表示每周用于体育锻炼的时间和用于上网的课余的时间相同，
直线左上方的点表示每周用于体育锻炼的时间大于用于上网的课余的时间，
直线右下方的点表示每周体育锻炼的时间小于用于上网的课余的时间，
A、点D(4，2)表示该生每周用于上网时间4小时，用于体育锻炼时间2小时，此说法正确，故A不符合题意；
B、图中实线上的点C表示该生用于上网时间与用于体育锻炼时间一样，此说法正确，故B不符合题意；
C、对比6名学生用于体育锻炼和上网的课余时间，可以得到更爱体育锻炼的人数比更爱上网的人数多，此说法正确，故C不符合题意；
D、6名学生平均每周用于上网总时长比用于体育锻炼总时长多，此说法不正确，故D符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据横轴和纵轴表示的意义对每个点进行分析即可.
13．【答案】21
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意得m-3=0，n+3=0，
解得m=3，n=-3，
故答案为：21.
【分析】先由平方的非负性与算术平方根的非负性求解m，n的值，再代入代数式求值即可.
14．【答案】8
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：
∵a，b是两个连续的整数，且
故答案为：8.
【分析】估算 的范围即可得出答案.
15．【答案】3或-5
【知识点】点的坐标；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：解： 和B(b，-2)，AB=4且直线AB∥x轴，
或b=-7，
当b=-7时，
当b=1时，
故答案为：3或-5.
【分析】由平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此可得a的值，再根据AB=4得到 据此求出b的值即可得到答案.
16．【答案】15°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
∵一束光线沿AB方向斜射入水面，在点C处发生折射，
∴A、C、B在同一直线，
故答案为：15° .
【分析】根据平行线的性质得到 由题意可知A、C、B在同一直线，即. 即可求出 的度数.
17．【答案】22
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：
∴若 则
故答案为：22.
【分析】根据平行线的判定定理解答即可.
18．【答案】（210°，-4）
【知识点】有序数对；用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：∵雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，目标A的位置表示为
∴目标B的位置可以表示为
故答案为：
【分析】按已知可得，表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解.
19．【答案】（1）解： - （）2+
=2-3+5=4
（2）解：-12026+2（ -1）+．
=-1+2 -2+3- =
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先运算立方根、二次根式的性质化简，算术平方根，然后加减解答即可；
（2）先运算乘方、乘法分配律、绝对值，然后合并同类二次根式即可.
20．【答案】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是2a-5与a+2
∴(2a-5)+(a+2)=0，
解得a=1
∵3b+4的算术平方根是5
∴3b+4=52=25，
解得b=7
∴a=1，b=7
（2）解：∵a=1，b=7
∴3a+b-2=8
∴3a+b-2的立方根为
【知识点】平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】(1)题根据一个正数的两个平方根互为相反数，可列出关于a的方程，求解得到a的值；再根据算术平方根的定义，列出关于b的方程，求解得到b的值；
(2)将a、b的值代入3a+b-2，求出其值，再根据立方根的定义求出该值的立方根.
21．【答案】（1）解：∵点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴，
∴2a-2=4，
解得a=3，
当a=3时，a+5=3+5=8，
∴P（4，8）；
（2）解：∵点P到x轴的距离为2，
∴|a+5|=2，
即a+5=2或a+5=-2，
解得a=-3或a=-7，
当a=-3，2a-2=2×（-3）-2=-8，
∴P（-8，2），
当a=-7，2a-2=2×（-7）-2=-16，
∴P（-16，-2），
综上所述，点P的坐标为（-8，2）或（-16，-2）．
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】(1)根据直线PQlly轴，可知点Q和点P的横坐标相同，可求出a=3，进而得出答案；
(2)根据点P到x轴的距离为2，可得|a+5|=2，再分两种情况求出a值，即可得出答案.
22．【答案】（1）证明：∵三角形ABC中，D、E分别是AB、BC边上的点，点F，G在AC边上，连接DE，DF，GE，DF∥BC，
∴∠C=∠AFD，
∵∠AFD=∠DEB，
∴∠C=∠DEB，
∴DE∥AC；
（2）解：∵DE∥AC，
∴∠C+∠DEC=180°，
∵∠C=40°，
∴∠DEC=180°-40°=140°，
∵EG平分∠DEC，
∴∠GEC=∠DEC=70°．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到∠C=∠AFD，利用等量代换得到∠C=∠DEB，即可根据同位角相等，两直线平行证明结论即可；
(2)根据两直线平行，同旁内角互补求出∠DEC的度数，然后根据角平分线的定义解答即可.
23．【答案】（1）（-3，1）；（-2，-2）
（2）解：由图可得：A（1，3），A'（-3，1），
故平移方式为先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度（或先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度）；
（3）（x+4，y+2）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：(1)由题意得：A'(-3，1)，B'(-2，-2)，
故答案为： (-3，1)，(-2，-2)；
(3)∵点P(x， y)是三角形A'B'C'内部一点，
∴三角形ABC内部的对应点P的坐标是(x+4，y+2).
故答案为：(x+4，y+2).
【分析】(1)根据平面直角坐标系直接写出坐标即可；
(2)根据点A和A'的坐标，即可得出平移方式；
(3)根据(2)所得平移方式作答即可.
24．【答案】（1）解：①∵PM∥QN，
∴∠PQN=∠P=55°，∠AMP=∠AHN；
②延长NQ交AB于点H，如图，
∵AB∥CD，
∴∠AHN=∠HND，
∴∠AMP=∠QND；
（2）α+20°
（3）解：过点P作PK∥AB，过点Q作QT∥CD，如图，
∵AB∥CD，QT∥CD，PK∥AB，∠AMP=β，∠QND=θ，
∴QT∥PK，∠AMP=∠MPK=β，∠TQN=∠QND=θ，
∴∠PQT=∠QPK，
∵∠PQN=∠PQT+∠TQN，∠MPQ=∠MPK+∠KPQ，
∴∠PQN=∠PQT+θ，∠MPQ=β+∠KPQ，
∵∠PQT=∠QPK，
∴∠MPQ-∠PQN=β-θ．
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：(2)过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图，
∵AB∥CD， QF∥CD， PE∥AB， ∠AMP=30°， ∠QND=50°，
∴QF∥PE， ∠AMP=∠MPE=30°， ∠FQN=∠QND=50°，∴∠PQF=∠QPE，
∵∠MPQ=α=∠MPE+∠EPQ， ∠PQN=∠PQF+∠FQN，
∴∠MPQ=α=30°+∠EPQ， ∠PQN=∠PQF+50°，
∴∠EPQ=α-30°， ∠PQF=∠PQN-50°，
∵∠PQF=∠QPE，
∴∠PQN-50°=α-30°，即∠PQN=α+20°，故答案为： α+20°；
【分析】(1)①根据两直线平行，内错角相等证明；②延长NQ交AB于点H，根据两直线平行，同位角相等，再结合①的结论证明；
(2)过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，多次运用两直线平行，内错角相等来解答即可；
(3)过点P作PK∥AB，过点Q作QT∥CD，多次运用两直线平行，内错角相等来解答即可
1 / 1四川绵阳市梓潼县2026年春七年级下学期阶段试卷数学试题
1．下列命题是假命题的是（　　）
A．平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
B．垂线段最短
C．同位角相等
D．两点之间，线段最短
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A选项平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，符合平行线基本性质，是真命题；
B选项垂线段最短，符合垂线的性质，是真命题；
C选项只有两直线平行时，同位角才相等，原命题缺少前提条件，结论不成立，是假命题；
D选项两点之间，线段最短，符合线段的基本性质，是真命题；
故答案为：C .
【分析】根据平行公理、垂线段最短，平行线的性质、线段的性质判断命题的真假解答即可.
2．在平面直角坐标系中，点P（-3，-7）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：解： ∵ 3<0， 7<0，
∴点P(-3，-7)在第三象限.
故答案为：C .
【分析】根据第三象限内点的坐标特点解答即可.
3．化简后的结果是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．12
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
故答案为：B .
【分析】根据二次根式的性质化简解答即可.
4．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，那么点C到直线AD的距离是指（　　）
A．线段CD的长 B．线段AD的长 C．线段DB的长 D．线段AC的长
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：
∴点C到直线AD的距离是指线段CD的长.
故答案为：A .
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断.
5． 如图，下列条件中，能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠DAB+∠ABC=180° B．∠B=∠D
C．∠1=∠2 D．∠3=∠4
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：
故A不符合题意；
由 不能推出
故B不符合题意；
故C符合题意；
故D不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可.
6．如图，在△ABC中，BC=9，把△ABC沿射线 AB方向平移4个单位至△EFG处，EG与 BC交于点 M.若 CM=3，则图中阴影部分的面积为（　　)
A．26 B．28 C．30 D．32
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，，
，，，
．
，，
，
又，
．
故答案为：C.
【分析】根据平移性质可得阴影部分面积等于梯形的面积；然后根据梯形的面积公式计算即可．
7．如果一个正方形的面积等于5，则这个正方形的边长为（　　）
A．2.5 B． C． D．
【答案】C
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：这个正方形的边长为
故答案为：C .
【分析】利用正方形面积公式计算即可得到结果.
8．下列说法正确的是（　　）
A．4的算术平方根是±2 B．3的平方根是
C．27的立方根是±3 D．的平方根是±2
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、4的算术平方根是 故该选项错误，不符合题意；
B、3的平方根是 故该选项错误，不符合题意；
则27的立方根是3，该选项错误，不符合题意；
则4的平方根为：±2，故该选项正确，符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据平方根、立方根的概念逐项判断即可.
9．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点A（2，-1）平移后的对应点为A'（5，2），则点B（-3，6）平移后的对应点B'的坐标是（　　）
A．（0，9） B．（-6，3） C．（1，7） D．（-1，8）
【答案】A
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：由题知，
因为点A(2，-1))平移后的对应点为A'(5，2)，
所以5-2=3，2-(-1)=3.
又因为点B坐标为(-3，6)，
则-3+3=0，6+3=9，
所以点B平移后的对应点B'的坐标为(0，9).
故答案为：A .
【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可.
10．小芳和小明在手工课上各自用铁丝制作楼梯模型（如图），他们用的铁丝材料（　　）
A．一样多 B．小明多 C．小芳多 D．不能确定
【答案】A
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：两个图形右侧边与左侧相等，上侧与下侧相等，
即两个图形都可以利用平移的方法变为长为8cm，宽为5cm的长方形，
所以两个图形的周长都为(8+5)×2=26(cm)，
所以他们两个的周长一样长.
故答案为：A .
【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的边，再判断形状不同的边的长度即可.
11．一副三角板如图所示，且∠1的度数比∠2的度数大20°，则∠1=（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；余角
【解析】【解答】解：由题意
解得
故答案为：C .
【分析】利用余角的定义，构建方程组即可解决问题.
12．如图，显示了6名学生平均每周用于体育锻炼和用于上网的课余时间（单位：小时）．图中横轴表示上网时间，纵轴表示体育锻炼时间，下列说法中不正确的是（　　）
A．点D（4，2）表示该生每周用于上网时间4小时，用于体育锻炼时间2小时
B．图中实线上的点C表示该生用于上网时间与用于体育锻炼时间一样
C．对比6名学生用于体育锻炼和上网的课余时间，可以得到更爱体育锻炼的人数比更爱上网的人数多
D．6名学生平均每周用于上网总时长比用于体育锻炼总时长少
【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由题意得：直线上的点表示每周用于体育锻炼的时间和用于上网的课余的时间相同，
直线左上方的点表示每周用于体育锻炼的时间大于用于上网的课余的时间，
直线右下方的点表示每周体育锻炼的时间小于用于上网的课余的时间，
A、点D(4，2)表示该生每周用于上网时间4小时，用于体育锻炼时间2小时，此说法正确，故A不符合题意；
B、图中实线上的点C表示该生用于上网时间与用于体育锻炼时间一样，此说法正确，故B不符合题意；
C、对比6名学生用于体育锻炼和上网的课余时间，可以得到更爱体育锻炼的人数比更爱上网的人数多，此说法正确，故C不符合题意；
D、6名学生平均每周用于上网总时长比用于体育锻炼总时长多，此说法不正确，故D符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据横轴和纵轴表示的意义对每个点进行分析即可.
13． 已知+ =0，则4m-3n的值是 　 　．
【答案】21
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意得m-3=0，n+3=0，
解得m=3，n=-3，
故答案为：21.
【分析】先由平方的非负性与算术平方根的非负性求解m，n的值，再代入代数式求值即可.
14． a，b是连续的两个整数，若a，则a的值是　 　 ．
【答案】8
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：
∵a，b是两个连续的整数，且
故答案为：8.
【分析】估算 的范围即可得出答案.
15．已知平面直角坐标系中有A（-3，a）和B（b，-2）两点，AB=4且直线AB∥x轴，则2a-b= 　 　．
【答案】3或-5
【知识点】点的坐标；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：解： 和B(b，-2)，AB=4且直线AB∥x轴，
或b=-7，
当b=-7时，
当b=1时，
故答案为：3或-5.
【分析】由平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此可得a的值，再根据AB=4得到 据此求出b的值即可得到答案.
16．当光从空气斜射入水中时，光的传播方向会发生变化，这种现象叫作光的折射．如图，一束光线沿AB方向斜射入水面，在点C处发生折射，沿CD方向射入水中．若EF∥GH，∠1=40°，∠2=55°，则∠BCD的度数是 　 　．
【答案】15°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
∵一束光线沿AB方向斜射入水面，在点C处发生折射，
∴A、C、B在同一直线，
故答案为：15° .
【分析】根据平行线的性质得到 由题意可知A、C、B在同一直线，即. 即可求出 的度数.
17．如图，∠A=66°，O是AB上一点，且直线OD与AB的夹角∠BOD=88°，则直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 　 　°，才能使OD∥BC．
【答案】22
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：
∴若 则
故答案为：22.
【分析】根据平行线的判定定理解答即可.
18．如图，雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，若目标A的位置表示为（30°，5），则目标B的位置可以表示为 　 　．
【答案】（210°，-4）
【知识点】有序数对；用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：∵雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，目标A的位置表示为
∴目标B的位置可以表示为
故答案为：
【分析】按已知可得，表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解.
19． 计算：
（1） - （）2+；
（2）-12026+2（ -1）+．
【答案】（1）解： - （）2+
=2-3+5=4
（2）解：-12026+2（ -1）+．
=-1+2 -2+3- =
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先运算立方根、二次根式的性质化简，算术平方根，然后加减解答即可；
（2）先运算乘方、乘法分配律、绝对值，然后合并同类二次根式即可.
20．已知一个正数的两个平方根分别是2a-5与a+2，3b+4的算术平方根是5.
（1）求a，b的值；
（2）求3a+b-2的立方根.
【答案】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是2a-5与a+2
∴(2a-5)+(a+2)=0，
解得a=1
∵3b+4的算术平方根是5
∴3b+4=52=25，
解得b=7
∴a=1，b=7
（2）解：∵a=1，b=7
∴3a+b-2=8
∴3a+b-2的立方根为
【知识点】平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】(1)题根据一个正数的两个平方根互为相反数，可列出关于a的方程，求解得到a的值；再根据算术平方根的定义，列出关于b的方程，求解得到b的值；
(2)将a、b的值代入3a+b-2，求出其值，再根据立方根的定义求出该值的立方根.
21．已知点P（2a-2，a+5），解答下列各题．
（1）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴；求出点P的坐标．
（2）若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴，
∴2a-2=4，
解得a=3，
当a=3时，a+5=3+5=8，
∴P（4，8）；
（2）解：∵点P到x轴的距离为2，
∴|a+5|=2，
即a+5=2或a+5=-2，
解得a=-3或a=-7，
当a=-3，2a-2=2×（-3）-2=-8，
∴P（-8，2），
当a=-7，2a-2=2×（-7）-2=-16，
∴P（-16，-2），
综上所述，点P的坐标为（-8，2）或（-16，-2）．
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】(1)根据直线PQlly轴，可知点Q和点P的横坐标相同，可求出a=3，进而得出答案；
(2)根据点P到x轴的距离为2，可得|a+5|=2，再分两种情况求出a值，即可得出答案.
22． 如图，在△ABC中，D在AB上，E在BC上，F，G在AC上，连接DE，DF，EG，已知DF∥BC，EG平分∠DEC，且∠AFD=∠DEB．
（1）请说明：DE∥AC；
（2）若∠C=40°，求∠GEC的度数．
【答案】（1）证明：∵三角形ABC中，D、E分别是AB、BC边上的点，点F，G在AC边上，连接DE，DF，GE，DF∥BC，
∴∠C=∠AFD，
∵∠AFD=∠DEB，
∴∠C=∠DEB，
∴DE∥AC；
（2）解：∵DE∥AC，
∴∠C+∠DEC=180°，
∵∠C=40°，
∴∠DEC=180°-40°=140°，
∵EG平分∠DEC，
∴∠GEC=∠DEC=70°．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到∠C=∠AFD，利用等量代换得到∠C=∠DEB，即可根据同位角相等，两直线平行证明结论即可；
(2)根据两直线平行，同旁内角互补求出∠DEC的度数，然后根据角平分线的定义解答即可.
23． 三角形ABC和三角形A'B'C'在平面直角坐标系的位置如图所示．
（1）写出下列各点的坐标：A'　 　，B'　 　．
（2）三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到？
（3）若点P'（x，y）是三角形A'B'C'内部一点，则三角形ABC内部的对应点P的坐标是 　 　．
【答案】（1）（-3，1）；（-2，-2）
（2）解：由图可得：A（1，3），A'（-3，1），
故平移方式为先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度（或先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度）；
（3）（x+4，y+2）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：(1)由题意得：A'(-3，1)，B'(-2，-2)，
故答案为： (-3，1)，(-2，-2)；
(3)∵点P(x， y)是三角形A'B'C'内部一点，
∴三角形ABC内部的对应点P的坐标是(x+4，y+2).
故答案为：(x+4，y+2).
【分析】(1)根据平面直角坐标系直接写出坐标即可；
(2)根据点A和A'的坐标，即可得出平移方式；
(3)根据(2)所得平移方式作答即可.
24．综合与实践
2026年4月，在2026中关村论坛年会上，中国自主研制的“夸父”系列人形机器人首次规模化亮相，身高近一米六的白色引导机器人全天候在岗提供会场导航．在人形机器人的精密装配过程中，双臂协同作业是实现高精度操作的关键．如图，有两条平行的装配轨道AB与CD，即AB∥CD．左机械臂与轨道AB的接触点记为M，右机械臂与轨道CD的接触点记为N．为了实现复杂的装配任务，通过M、P、Q、N来调节三个机械臂PM、PQ和QN的位置．在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂PM、PQ和QN不共线．
（1）如图1所示，当机械臂PM∥QN时，
①若∠P=55°，求∠Q的度数；
②试说明：∠AMP=∠QND；
（2）如图2所示，当∠AMP=30°，∠QND=50°，∠MPQ=α时，求∠PQN= 　 　（用含α的式子表示）；
（3）当∠AMP=β（0°＜β＜90°），∠QND=θ（0°＜θ＜180°）时，直接写出∠MPQ与∠PQN的数量关系（用含β，θ的式子表示）．
【答案】（1）解：①∵PM∥QN，
∴∠PQN=∠P=55°，∠AMP=∠AHN；
②延长NQ交AB于点H，如图，
∵AB∥CD，
∴∠AHN=∠HND，
∴∠AMP=∠QND；
（2）α+20°
（3）解：过点P作PK∥AB，过点Q作QT∥CD，如图，
∵AB∥CD，QT∥CD，PK∥AB，∠AMP=β，∠QND=θ，
∴QT∥PK，∠AMP=∠MPK=β，∠TQN=∠QND=θ，
∴∠PQT=∠QPK，
∵∠PQN=∠PQT+∠TQN，∠MPQ=∠MPK+∠KPQ，
∴∠PQN=∠PQT+θ，∠MPQ=β+∠KPQ，
∵∠PQT=∠QPK，
∴∠MPQ-∠PQN=β-θ．
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：(2)过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图，
∵AB∥CD， QF∥CD， PE∥AB， ∠AMP=30°， ∠QND=50°，
∴QF∥PE， ∠AMP=∠MPE=30°， ∠FQN=∠QND=50°，∴∠PQF=∠QPE，
∵∠MPQ=α=∠MPE+∠EPQ， ∠PQN=∠PQF+∠FQN，
∴∠MPQ=α=30°+∠EPQ， ∠PQN=∠PQF+50°，
∴∠EPQ=α-30°， ∠PQF=∠PQN-50°，
∵∠PQF=∠QPE，
∴∠PQN-50°=α-30°，即∠PQN=α+20°，故答案为： α+20°；
【分析】(1)①根据两直线平行，内错角相等证明；②延长NQ交AB于点H，根据两直线平行，同位角相等，再结合①的结论证明；
(2)过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，多次运用两直线平行，内错角相等来解答即可；
(3)过点P作PK∥AB，过点Q作QT∥CD，多次运用两直线平行，内错角相等来解答即可
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