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湖南永州市冷水滩区多校2025-2026学 年下学期七年级期中质量监测卷 数 学
1．下列运算正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误
C、与不是同类项，无法直接合并，C错误；
D、，D正确；
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项可判断A、C；根据同底数幂的乘法法则可判断B；根据幂的乘方可判断D．
2．如图，数轴上点表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∵，
∴，
∴点N表示的数可能是，
故答案为：A．
【分析】先根据数轴得到，再根据无理数的估算求解即可．
3．下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：选项A，整理得，两个因式中的两项全部相同，没有互为相反的项，不满足平方差公式的使用要求，不符合题意；
选项B，的两个因式中，存在相同项，相反项为和，完全符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算，符合题意；
选项C，的两个因式中不存在相同的项，因此不能用平方差公式计算，不符合题意；
选项D，整理得，两个因式中的两项全部相同，不存在相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意。
故选：B.
【分析】本题考查平方差公式的适用条件识别，平方差公式的形式为，只有两个相乘的因式中，同时存在一组相同项和一组相反项，才能使用平方差公式，计算结果为相同项的平方减去相反项的平方，按照这个规则逐个判断选项即可。
4．下列各数中是无理数的是（　　）
A．3.14 B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
5．若，则，的值分别为(　　)
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴，．
故答案为：A．
【分析】先计算，再根据得即可求出、的值．
6．计算的结果为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：D．
【分析】逆用积的乘方法则及同底数幂相乘法则计算即可．
7．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．，所以选项A错误；
B．，所以选项B错误；
C．，所以选项C正确；
D．，所以选项D错误；
故选：C．
【分析】
对于算术平方根，其结果是非负的；对于平方根，一个正数有两个互为相反数的平方根；对于立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。根据这些定义分别对每个选项中的根式进行计算，然后与选项给出的结果进行对比，从而判断选项的正确性。
8．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（　　）
A． B． C．2 D．8
【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：首先对输入的64取算术平方根，得到，8是有理数，继续按流程计算；
接下来对8取立方根，得到，2是有理数，仍然继续按流程计算；
再对2取算术平方根，得到， 是无理数，满足输出要求，输出结果，
因此输出的y值是.
故选：B.
【分析】按照给定的程序流程逐步计算判断即可.
9．如果，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由可得，原不等式正确，符合题意；
B、由可得，原不等式不正确，不符合题意；
C、由可得，原不等式不正确，不符合题意；
D、由不一定得到，例如，但是，原不等式不正确，不符合题意；
故选：A
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
10．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下：
甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值．
下列对甲、乙说法的判断正确的是（　　）
A．甲说得对，符合条件的x的值只有1
B．乙说得对，还有另一个值2
C．乙说得对，还有另一个值
D．两人说得都不对，应有个不同值
【答案】D
【知识点】立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：令，代入原方程后可将原方程转化为．
立方根等于自身的数只有、、这三个，因此分三种情况分别计算：
①当时，即，解得．
②当时，即，解得．
③当时，即，解得．
因此方程的解为为、、，一共有3个不同的解.
所以甲和乙的说法都是错误的.
故选：D．
【分析】本题考查立方根的定义，通过换元法简化方程，结合立方根等于自身的数的性质求解方程，再根据解的个数判断甲、乙两人的说法是否正确．
11．49的平方根是　 　．
【答案】±7
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：49的平方根是±7．
故答案为：±7．
【分析】根据平方根的定义解答．
12．数学表达式中：①a2≥0 ②5p-6q<0 ③x-6=1 ④7x+8y ⑤-1<0 ⑥x≠3.不等式是　 　（填序号）
【答案】①②⑤⑥
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：③是等式，④是式子.
故答案：①②⑤⑥.
【分析】根据不等式的定义进行判断：用“>，≥，<， ≤ ，≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式.
13．已知则=　 　.
【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案为：6.
【分析】根据同底数幂乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的逆用将待求式子变形后整体代入计算可得答案.
14．不等式的解集是，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵不等式的解集是，
∴，
解得，即的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
给不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号改变方向．
15．已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为2，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：先计算两个多项式的乘积：
，
根据题意，多项式与的乘积展开后没有x的二次项，且一次项的系数为2，因此可得：
，，
解得，
因此计算ab可得：．
故填：-4.
【分析】本题先按照多项式乘多项式的运算法则展开乘积，得到，再结合题目给出的“不含二次项、一次项系数为2”的条件，列出等式求出a和b的值，最后将a、b代入ab计算即可得到最终结果．
16．规定：若实数满足（且），则记作．例如：，则．若，且，则的值是　 　．
【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
根据同底数幂的乘法运算法则，可得，
又因为已知条件给出，
因此，
故填：15．
【分析】本题考查同底数幂的乘法运算规则，解题的关键是正确理解题目给出的新定义规则；
先按照题目规定推导出关系，再结合同底数幂相乘，底数不变指数相加的法则计算即可得到结果．
17．（1）计算：；
（2）解不等式并把它的解集在数轴上表示出来：．
【答案】解：（1）解：计算原式
；
（2）解：解不等式：
两边同乘分母去分母得：，
展开括号去括号得：，
将含未知数的项移到左侧，常数项移到右侧得：，
合并同类项化简得：
不等式两边同时除以9，将系数化为1得：．
将该不等式的解集在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）按照实数的混合运算法则计算即可得到结果；
（2）依次按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，得到解集后在数轴上表示出解集即可.
18．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：对原式展开计算：
（2）解：利用平方差公式计算：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先运用完全平方公式将原式展开，再合并同类项化简即可得到结果；（2）利用平方差公式计算，两个数的和乘这两个数的差，结果等于这两个数的平方差，即可得到最终结果.
（1）解：
；
（2）解：．
19．已知272=a6=9b，求2a2+2ab的值.
【答案】解：首先处理等式，对左侧变形可得，因此原式可改写为，
由此可得；
接下来处理等式，对右侧变形可得，结合左侧结果，可得，
根据指数相等可得，解得.
分情况计算代数式的值：当时，；
当时，
.
因此的值为36或0.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先将题目给出的等式都转化为以3为底数的幂的形式，据此求出a和b的取值，再将不同的a、b取值代入所求代数式计算即可得到最终结果.
20．先化简，再求值：，其中x=2，y=1.
【答案】解：原式=
当x=2，y=1时，原式=10+4+2=16
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式化简式子，将x=2，y=1代入化简后的式子计算即可.
21．已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根．
【答案】解：∵的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，∴，，，
解得：，
即，则16的平方根是，
∴的平方根是．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查平方根、立方根的定义及无理数的整数部分估算，解题关键是根据平方根和立方根的定义列方程求出、，再估算出的值。解题时由的平方根是得，解方程求；由的立方根是2得，代入求；再估算介于和之间，得，最后代入求出的值，再求其平方根。
22．一个正数的两个不同的平方根分别是和．
（1）求和的值．
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和，
∴，
解得，
∴；
（2）解：将代入中，得，
∵的平方根为，
∴的平方根为．
【知识点】平方根的概念与表示；利用开平方求未知数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据平方根的定义，得到，解方程求解即可；
（2）代入x和a的值，利用平方根定义解答即可．
23．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．
无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： 即， 的整数部分为2，小数部分为．
根据以上笔记内容，请完成如下任务．
（1）任务一：的整数数部分为_____，小数部分为_______；
（2）任务二：为的小数部分，为的整数部分，请计算的值；
（3）任务三：，其中是整数，且，求的值．
【答案】（1）3，
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴.
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴的相反数．
【知识点】无理数的估值；求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，.
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出的整数部分和小数部分即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出a、b的值，再将其代入计算即可；
（3）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出x、y的值，再将其代入计算即可.
（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴的相反数．
24．如图1是一个长为、宽为的长方形．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：___________
（2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题：
①已知，则的值为___________；
②已知，求的值；
（3）两个正方形、如图3摆放．边长分别为，若、，求图中阴影部分面积和．
【答案】（1）
（2）①，
②∵
∴
，
（3）解：∵，∴．
由图可知的底为x，高为2，
∴．
的底为2，高为，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴，
∴（舍去负值），
∴阴影部分面积和为8．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：依题意，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积
则；
故答案为：；
（2）解：①与（1）同理得，
∵，
∴，
∴
∴；
故答案为：；
【分析】本题考查完全平方公式的几何意义和公式变形应用，几何意义可通过图形的面积关系推导公式，再利用公式变形求解代数问题和几何面积问题。
(1)图2中大正方形的边长为，面积为，大正方形由边长为的小正方形和4个长为m、宽为n的小长方形组成，小正方形面积为，4个小长方形面积和为，因此可得；
(2)①将，代入(1)的结论，解关于的方程即可；②将变形为，再代入已知条件计算；
(3)由得，将阴影部分拆分为两个三角形，分别表示出面积并求和得阴影面积为，再利用完全平方公式求出，最后用求出的值，即为阴影部分面积和。
（1）解：依题意，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积
则；
故答案为：；
（2）解：①与（1）同理得，
∵，
∴，
∴
∴；
②∵
∴
，
故答案为：，13；
（3）解：∵，
∴．
由图可知的底为x，高为2，
∴．
的底为2，高为，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴，
∴（舍去负值），
∴阴影部分面积和为8．
1 / 1湖南永州市冷水滩区多校2025-2026学 年下学期七年级期中质量监测卷 数 学
1．下列运算正确的是（　　）．
A． B． C． D．
2．如图，数轴上点表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各数中是无理数的是（　　）
A．3.14 B．0 C． D．
5．若，则，的值分别为(　　)
A．， B．，
C．， D．，
6．计算的结果为（　　）
A．2 B． C．1 D．
7．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（　　）
A． B． C．2 D．8
9．如果，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下：
甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值．
下列对甲、乙说法的判断正确的是（　　）
A．甲说得对，符合条件的x的值只有1
B．乙说得对，还有另一个值2
C．乙说得对，还有另一个值
D．两人说得都不对，应有个不同值
11．49的平方根是　 　．
12．数学表达式中：①a2≥0 ②5p-6q<0 ③x-6=1 ④7x+8y ⑤-1<0 ⑥x≠3.不等式是　 　（填序号）
13．已知则=　 　.
14．不等式的解集是，则的取值范围是　 　．
15．已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为2，则的值为　 　．
16．规定：若实数满足（且），则记作．例如：，则．若，且，则的值是　 　．
17．（1）计算：；
（2）解不等式并把它的解集在数轴上表示出来：．
18．计算：
（1）；
（2）．
19．已知272=a6=9b，求2a2+2ab的值.
20．先化简，再求值：，其中x=2，y=1.
21．已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根．
22．一个正数的两个不同的平方根分别是和．
（1）求和的值．
（2）求的平方根．
23．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．
无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： 即， 的整数部分为2，小数部分为．
根据以上笔记内容，请完成如下任务．
（1）任务一：的整数数部分为_____，小数部分为_______；
（2）任务二：为的小数部分，为的整数部分，请计算的值；
（3）任务三：，其中是整数，且，求的值．
24．如图1是一个长为、宽为的长方形．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：___________
（2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题：
①已知，则的值为___________；
②已知，求的值；
（3）两个正方形、如图3摆放．边长分别为，若、，求图中阴影部分面积和．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误
C、与不是同类项，无法直接合并，C错误；
D、，D正确；
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项可判断A、C；根据同底数幂的乘法法则可判断B；根据幂的乘方可判断D．
2．【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∵，
∴，
∴点N表示的数可能是，
故答案为：A．
【分析】先根据数轴得到，再根据无理数的估算求解即可．
3．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：选项A，整理得，两个因式中的两项全部相同，没有互为相反的项，不满足平方差公式的使用要求，不符合题意；
选项B，的两个因式中，存在相同项，相反项为和，完全符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算，符合题意；
选项C，的两个因式中不存在相同的项，因此不能用平方差公式计算，不符合题意；
选项D，整理得，两个因式中的两项全部相同，不存在相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意。
故选：B.
【分析】本题考查平方差公式的适用条件识别，平方差公式的形式为，只有两个相乘的因式中，同时存在一组相同项和一组相反项，才能使用平方差公式，计算结果为相同项的平方减去相反项的平方，按照这个规则逐个判断选项即可。
4．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
5．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴，．
故答案为：A．
【分析】先计算，再根据得即可求出、的值．
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：D．
【分析】逆用积的乘方法则及同底数幂相乘法则计算即可．
7．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．，所以选项A错误；
B．，所以选项B错误；
C．，所以选项C正确；
D．，所以选项D错误；
故选：C．
【分析】
对于算术平方根，其结果是非负的；对于平方根，一个正数有两个互为相反数的平方根；对于立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。根据这些定义分别对每个选项中的根式进行计算，然后与选项给出的结果进行对比，从而判断选项的正确性。
8．【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：首先对输入的64取算术平方根，得到，8是有理数，继续按流程计算；
接下来对8取立方根，得到，2是有理数，仍然继续按流程计算；
再对2取算术平方根，得到， 是无理数，满足输出要求，输出结果，
因此输出的y值是.
故选：B.
【分析】按照给定的程序流程逐步计算判断即可.
9．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由可得，原不等式正确，符合题意；
B、由可得，原不等式不正确，不符合题意；
C、由可得，原不等式不正确，不符合题意；
D、由不一定得到，例如，但是，原不等式不正确，不符合题意；
故选：A
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：令，代入原方程后可将原方程转化为．
立方根等于自身的数只有、、这三个，因此分三种情况分别计算：
①当时，即，解得．
②当时，即，解得．
③当时，即，解得．
因此方程的解为为、、，一共有3个不同的解.
所以甲和乙的说法都是错误的.
故选：D．
【分析】本题考查立方根的定义，通过换元法简化方程，结合立方根等于自身的数的性质求解方程，再根据解的个数判断甲、乙两人的说法是否正确．
11．【答案】±7
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：49的平方根是±7．
故答案为：±7．
【分析】根据平方根的定义解答．
12．【答案】①②⑤⑥
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：③是等式，④是式子.
故答案：①②⑤⑥.
【分析】根据不等式的定义进行判断：用“>，≥，<， ≤ ，≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式.
13．【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案为：6.
【分析】根据同底数幂乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的逆用将待求式子变形后整体代入计算可得答案.
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵不等式的解集是，
∴，
解得，即的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
给不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号改变方向．
15．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：先计算两个多项式的乘积：
，
根据题意，多项式与的乘积展开后没有x的二次项，且一次项的系数为2，因此可得：
，，
解得，
因此计算ab可得：．
故填：-4.
【分析】本题先按照多项式乘多项式的运算法则展开乘积，得到，再结合题目给出的“不含二次项、一次项系数为2”的条件，列出等式求出a和b的值，最后将a、b代入ab计算即可得到最终结果．
16．【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
根据同底数幂的乘法运算法则，可得，
又因为已知条件给出，
因此，
故填：15．
【分析】本题考查同底数幂的乘法运算规则，解题的关键是正确理解题目给出的新定义规则；
先按照题目规定推导出关系，再结合同底数幂相乘，底数不变指数相加的法则计算即可得到结果．
17．【答案】解：（1）解：计算原式
；
（2）解：解不等式：
两边同乘分母去分母得：，
展开括号去括号得：，
将含未知数的项移到左侧，常数项移到右侧得：，
合并同类项化简得：
不等式两边同时除以9，将系数化为1得：．
将该不等式的解集在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）按照实数的混合运算法则计算即可得到结果；
（2）依次按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，得到解集后在数轴上表示出解集即可.
18．【答案】（1）解：对原式展开计算：
（2）解：利用平方差公式计算：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先运用完全平方公式将原式展开，再合并同类项化简即可得到结果；（2）利用平方差公式计算，两个数的和乘这两个数的差，结果等于这两个数的平方差，即可得到最终结果.
（1）解：
；
（2）解：．
19．【答案】解：首先处理等式，对左侧变形可得，因此原式可改写为，
由此可得；
接下来处理等式，对右侧变形可得，结合左侧结果，可得，
根据指数相等可得，解得.
分情况计算代数式的值：当时，；
当时，
.
因此的值为36或0.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先将题目给出的等式都转化为以3为底数的幂的形式，据此求出a和b的取值，再将不同的a、b取值代入所求代数式计算即可得到最终结果.
20．【答案】解：原式=
当x=2，y=1时，原式=10+4+2=16
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式化简式子，将x=2，y=1代入化简后的式子计算即可.
21．【答案】解：∵的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，∴，，，
解得：，
即，则16的平方根是，
∴的平方根是．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查平方根、立方根的定义及无理数的整数部分估算，解题关键是根据平方根和立方根的定义列方程求出、，再估算出的值。解题时由的平方根是得，解方程求；由的立方根是2得，代入求；再估算介于和之间，得，最后代入求出的值，再求其平方根。
22．【答案】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和，
∴，
解得，
∴；
（2）解：将代入中，得，
∵的平方根为，
∴的平方根为．
【知识点】平方根的概念与表示；利用开平方求未知数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据平方根的定义，得到，解方程求解即可；
（2）代入x和a的值，利用平方根定义解答即可．
23．【答案】（1）3，
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴.
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴的相反数．
【知识点】无理数的估值；求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，.
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出的整数部分和小数部分即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出a、b的值，再将其代入计算即可；
（3）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出x、y的值，再将其代入计算即可.
（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴的相反数．
24．【答案】（1）
（2）①，
②∵
∴
，
（3）解：∵，∴．
由图可知的底为x，高为2，
∴．
的底为2，高为，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴，
∴（舍去负值），
∴阴影部分面积和为8．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：依题意，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积
则；
故答案为：；
（2）解：①与（1）同理得，
∵，
∴，
∴
∴；
故答案为：；
【分析】本题考查完全平方公式的几何意义和公式变形应用，几何意义可通过图形的面积关系推导公式，再利用公式变形求解代数问题和几何面积问题。
(1)图2中大正方形的边长为，面积为，大正方形由边长为的小正方形和4个长为m、宽为n的小长方形组成，小正方形面积为，4个小长方形面积和为，因此可得；
(2)①将，代入(1)的结论，解关于的方程即可；②将变形为，再代入已知条件计算；
(3)由得，将阴影部分拆分为两个三角形，分别表示出面积并求和得阴影面积为，再利用完全平方公式求出，最后用求出的值，即为阴影部分面积和。
（1）解：依题意，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积
则；
故答案为：；
（2）解：①与（1）同理得，
∵，
∴，
∴
∴；
②∵
∴
，
故答案为：，13；
（3）解：∵，
∴．
由图可知的底为x，高为2，
∴．
的底为2，高为，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴，
∴（舍去负值），
∴阴影部分面积和为8．
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