资源简介

四川省南充市营山县2026年初中学业水平第二次模拟考试数学试卷
1．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　)
A． B．
C． D．
2．“神威·太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，全系统合计约有1065万计算核心，将1065万用科学记数法表示为（　　)
A． B． C． D．
3．若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为(　　)
A．5或 B．1 C．7 D．25
4．某学校组织了一场体育测试，抽出60个人的分数进行统计，如图所示.关于这60人的分数，下列说法正确的是（　　)
A．中位数是 12 B．中位数是 75
C．众数是 21 D．众数是 85
5．我国宋代数学大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何 ”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……问这些物体共有多少个 设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（　　)
A．3x-2=5y-3 B．5x+2=3y+3 C．3x+2=5y+3 D．5x-2=3y-3
6．如图，用尺规作出了∠NCB=∠AOD，其作图依据是（　　)
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
7．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象.图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示. 已知AC与BD交于点O， AB∥CD. 若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是 （　　)
A．2cm B．cm C．3cm D．4cm
8． 已知 ab=1， 则 的值为（　　)
A．2027 B．2026 C． D．
9． 如图，在△ABC中AB=AC， AO⊥BC于O， OE⊥AB于E，以点O为圆心， OE为半径作半圆，交AO于点F，若点F为OA的中点， OE=3，点 P是BC边上的动点，则PE+PF的最小值为（　　)
A． B． C． D．
10．一辆货车从A地开往B地，一辆小汽车从B地开往A地，同时出发，都匀速行驶（小汽车速度大于货车速度)，各自到达终点后停止.设货车、小汽车之间的距离为S （千米)，货车行驶的时间为t（小时)，s与t之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是 （　　)
①两车相遇时，货车离B地90千米； ②两车相距80千米时， 或
③小汽车比货车提前0.9h到达目的地；④小汽车到达目的地时，货车离A地50千米.
A．①②④ B．①② C．②③④ D．①④
11． 如果|-a|=|-5|， 那么a=　 　.
12．如图，某城市人民广场，甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入环岛，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出，则甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是　 　.
13． 如图， AB是⊙O的直径， 点C， D在⊙O上， ∠ABC=25°， 则∠BDC的度数为　 　.
14．若不等式组 的解集是-115． 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A)与电阻R （单位：Ω)成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流从8A 增加到10A时，电阻减小了　 　Ω.
16． 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E 的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有　 　.
17．计算：
18．如图，点B，E，C，F在直线l上（C，F之间有一水坑)， 点A，D在l异侧， 测得AC=DF，AC∥DF， ∠A=∠D.
（1）求证： △ABC≌△DEF；
（2）若BE=20m， BF=6m， 求CF的长.
19．某学校为了解学生对DeepSeek的了解程度，随机调查了部分学生，并根据收集到的信息绘制了图1和图2两幅不完整的统计图.根据图中信息，回答下列问题：
（1）接受随机调查的学生人数是多少人 条形统计图中m的值为多少
（2）如果该校共有学生2000人，根据上述调查结果，求该校学生中对DeepSeek达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是多少
（3）达到“非常了解”程度的学生是2名男生和2名女生，若从这4名学生中随机抽取2人调查具体的使用情况，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1 名女生的概率.
20．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且 求k的值.
21．如图，一次函数y= mx+n与反比例函数 的图象相交于A（-1，3)，B（a，-1)两点，与y轴相交于点C.
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积.
22．如图， AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， 点D在BC上，连接AD，过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点E.
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若 求DE的长.
23．根据以下素材，探索完成任务.如何选择合适的种植方案
素材1： 某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中100m2的土地全部种植甲、乙两种蔬菜.
素材2： 甲种蔬菜种植总成本y（单位：元)与其种植面积x（单位：m2)的函数关系如图所示，其中20≤x≤80； 乙种蔬菜的每平方米种植成本为 36元.
问题解决：
（1）任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式；
（2）任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小 并求出W的最小值；
（3）任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且4≤a≤8)，问此时x取何值时总费用最少 最少总费用是多少 （用含a的代数式表示)
24．【原题再现】人教（2013年版)八年级数学下册教科书69页14题如下：如图1，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF=90°且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE=EF.（提示：取AB的中点H，连接HE.)
（1）请写出证明过程；
（2）【类比探究】将图1中的“四边形ABCD是正方形”换成“四边形ABCD是矩形，且 其它条件不变（如图2所示).猜想AE与EF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【综合应用】将图2中 换成 其它条件不变，增加条件“P为边CD上一点， （如图3所示).请你求出BC的长.
25．如图，已知抛物线 与x轴交于点A（-3， 0)、B（1， 0)两点，与y轴交于点C（0，3)，点 P是抛物线上的一个动点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP， BP交AC于点D，若 求k的取值范围；
（3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请求出点M的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的概念判断，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1065万=1065×104=1.065×103×104=1.065×107，
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示多式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
情况一：当3和4为直角边时，根据勾股定理a2+b2=c2(其中a、b为直角边，c为斜边），可得第三边（斜边）的长度为5；情况二：当4为斜边，3为直角边时同样根据勾股定理，可得第三边（另一条直角
边）的长度为，因此，第三边长为5或。
故答案为： A.
【分析】
分情况讨论，因为直角三角形的两边长为3和4，但不确定这两条边是直角边还是一条直角边一条斜边，所以要根据勾股定理分别计算第三边的长度.
4．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；
把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，
故中位数是；
故答案为：D.
【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个(奇数个数据)或两个(偶数个数据)数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可.
5．【答案】C
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：3x+2=5y+3.
故答案为：C.
【分析】根据“有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个”，结合这些物体的总数量不变，即可列出关于x，y的二元一次方程，此题得解.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作法可知：OM=OD=CB=CN，MD=NB，
∴△DOM≌△ECN(SSS)
∴∠NCB=∠AOD.
故答案为：B.
【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵AB//CD
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴△AOB∽△COD，
∵点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，
∴根据相似三角形对应高的比等于相似比可得
∵AB=2cm，
∴CD=3cm，
故答案为：C.
【分析】由AB//CD，可得△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质即可得到结论.
8．【答案】B
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵ab=1，
∴原式
=2026×1
=2026.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件ab=1，通过分式通分化简求解，用到分式的基本运算性质，将已知条件代入化简即可得到结果.
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作E点关于直线BO的对称点D，连接FD，交BO于点P，连接EP，DO，ED，ED交BO于点N，过D点作DM⊥AO，交AO的延长线于点M，如图，
∵E点关于直线BO的对称点为点D，
∴BO垂直平分线段DE
∴，PE=PD，EO=DO
∴PE+PF=PD+PF
即当点D、P、F三点共线时，PD+PF最短，最短为线段DF的长，如上图所示，
∵OE=OF，点F为OA的中点
∴
∵OE⊥AB
∴在Rt△AEO中，
∴∠EAO=30°，即∠EOA=60°，
∵在△ABC中， AO⊥BC，
∴∠AOB=90°，即∠EOB=30°
∵DE⊥BO
∴∠ENO=90°，即∠NEO=60°
∵EO=DO
∴△EDO是等边三角形，
∴EO=DO=DE=3
∴
∴
∵AM⊥DM，ND⊥NO，BO⊥AO，
∴四边形NDMO是矩形，
∴，
∴
∴在Rt△FMD中，
故答案为：A.
【分析】作E点关于直线BO的对称点D，连接FD，交BO于点P，连接EP，DO，ED，ED交BO于点N，过D点作DM⊥AO，交AO的延长线于点M，根据垂直平分线的性质可得，PE=PD，EO=DO，进而可知当点D、P、F三点共线时，PD+PF最短，最短为线段DF的长，利用直角三角形的性质，与等边三角形的判定与性质可推出四边形NDMO是矩形，进而利用勾股定理即可求解.
10．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设货车速度为v1千米/小时，小汽车速度为v2千米/小时，
∵两车在t=1.2小时相遇
∴150=1.2(v1+v2)
∴v1+v2=125，
∵小汽车从B到A用时2小时，
∴千米/小时，
∴v1=125-75=50千米/小时
两车相遇时，货车行驶路程：50×1.2=60千米，
货车离B地距离：150-60=90千米，故①正确.
相遇前相距80千米：150-125t=80，
解得
相遇后相距80千米：125(t-1.2)=80，
解得，故②正确.
货车到达A地用时：小时，
小汽车到达用时2小时，
3-2=1小时，即小汽车比货车提前1小时到达，故③错误.
小汽车到达日的地时(t=2)，货车行驶路程：50×2=100千米，
货车离A地100千米，故④错误；
故答案为：B.
【分析】先根据函数图象与行程问题的关系，求出A、B两地全程距离、货车与小汽车的行驶速度，再结合速度、时间、路程的关系，逐一验证题目中的四个说法是否正确，最终确定正确选项.
11．【答案】±5
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵|-a|=-5，
∴|a|=5
∴a=±5；
故答案为：±5.
【分析】根据绝对值的含义，即可求解.
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意得，可画树状图为：
甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种，
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，
∴甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是.
故答案为：.
【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
13．【答案】65°
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AB是圆的直径
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠A=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠A=65°
故答案为：65°.
【分析】由圆周角定理推出∠ACB=90°，∠BDC=∠A，求出∠A=90°-25°=65°，即可得到∠BDC的度数.
14．【答案】1
【知识点】解一元一次不等式组；已知不等式的解（集）求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由不等式得x>a+2，，
∵-1∴a+2=-1，
∴a=-3，b=2，
∴(a+b)2026=(-1)2026=1.
故答案为：1.
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再根据已知的解集确定a和b的值，最后代入计算(a+b)2026.
15．【答案】1.2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
把(12，4)代入得：U=48，
∴反比例函数的解析式为
当I=8A时，R=6Ω
当I=10A时，R=4.8Ω
当电流I从8A增加到10A时，电阻R减小了6-48=1.2Ω
故答案为：1.2.
【分析】根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得
到答案.
16．【答案】①②④
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN=90°
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM=EN，
∵∠DEF=90°
∴∠DEN=∠MEF，
∵∠DNE=∠FME=90°
在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM (ASA)
∴EF=DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形，故②正确；
∴DE=DG，∠EDG=∠ADC=90°
∴ ∠ADE=∠CDG，
∵AD=CD
∴△ ADE≌△CDG(SAS)，故①正确；
∴∠DAE=∠DCG=45°
∵∠ACD=45°
∴∠ACG=90°是定值，故③错误；
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE=DG，AD=DC，
∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°
∴∠CDG=∠ADE，
在△ ADE和△ CDG中，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE=CG，
∴是定值.故④正确；
故答案为：①②④.
【分析】如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到∠MEN=90°，求得EM=EN，根据全等三角形的性质得到EF=DE，根据正方形的判定定理得到矩形DEFG是正方形，故②正确；根据正方形的性质得到DE=DG，∠EDG=∠ADC=90°，根据全等三角形的性质得到∠DAE=∠DCG=45°，得到∠ACG=90°是定值，故③错误；根据正方形的性质得到DE=DG，AD=DC，根据全等三角形的性质得到AE=CG，求得是定值，故④正确.
17．【答案】解：原式
=4+1+3-1-3
=4.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分别计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂和立方根，再进行加减运算即可.
18．【答案】（1）证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，
即BF+CF=CE+CF，∴BF=CE，
∵BE=20m，BF=6m，
∴CF=BE-CE-BF=BE-BF-BF=20-6-6=8(m).
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】】(1)根据平行线的性质得∠ACB=∠DFE，再根据ASA即可证得结论；
(2)结合(1)利用线段的和差即可解决问题.
19．【答案】（1）解：根据题意，得29÷58%=50(人)，m=50-10-29-4=7(人)
（2）解：达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是(人)
答：该校学生中对DeepSeek达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是1320人.
（3）解：根据题意，有女生2名，男生2名.
画树状图如图，共有12种等可能情况，一男一女的可能性有8种，
故一男一女的概率是
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)根据频数除以所占百分比等于样本容量，各频数之和等于样本容量计算即可；
(2)利用样本估计总体的思想，计算解答即可；
(3)画树状图，求解即可.
20．【答案】（1）证明：，
∴方程总有两个实数根
（2）解：由题意可得：
∴，
解得k=1或k=-1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)只需要证明的Δ=[-(k+3)]2-4×1×3k≥0即可；
(2)由根与系数的关系可得的值，再由完全平方公式的变形，建立关于k的方程，解方程即可得到答案.
21．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象过点A(-1，3)
∴
解得k=-3，
∴反比例函数的表达式为
∵点B(a，-1)在反比例函数的图象上，
∴
解得a=3，
∴B(3，-1)，
将A(-1，3)和B(3，-1)代入y=mx+n得，
解得
∴一次函数的表达式为y=-x+2
（2）解：当x=0时，y=2，
∴C(0，2)，
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D(0，-2)，
∴CD=2-(-2)=4，

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】(1)先将点A的坐标代入反比例函数求出k，得到反比例函数表达式，再将点B的纵坐标代入反比例函数求出a，最后将A、B两点坐标代入一次函数求出m、n即可；
(2)先求出点C的坐标，根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点D的坐标，进而求出CD的长度，最后根据三角形面积公式求出△ABD的面积.
22．【答案】（1）证明：连接OC，
OC为半径，
∴∠AOC=90°即OC⊥AB，
∵CE∥AB，∴∠OCE=∠AOC=90°，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：连接BD，过点E作ET⊥AB交AB延长线于点T，
∵AB∥CE，OC⊥AB，ET⊥AB，
∴∠T=∠TOC=∠OCE=90°，
∴四边形OCET是矩形，
∴ET=OC=OA=3，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴tan∠BAD=ET=BD=
∴AT=9，
∴AE=
设BD=x，AD=3x，而AB=2OA=6，
∵∠ADB=90°，
∴由勾股定理得，
解得(舍负)，

【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据垂径定理的推论得到OC⊥AB，再由平行线的性质得到∠OCE=∠AOC=90°，即可证明；
(2)连接BD，过点E作ET⊥AB交AB延长线于点T，可得ET=OC=OA=3，再分别解Rt△AET，Rt△ABD求出AE，AD，即可求解DE.
23．【答案】（1）解：设甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为y=kx+b，
根据函数图象可得：
解得：
∴甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为y=35x+300(20≤x≤80).
（2）解：根据题意得：W=35x+300+36(100-x)=-x+3900，
∵-1<0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x=80时，W取最小值，最小值为-1×80+3900=3820(元)，
∴种植甲种蔬菜80m2，乙种蔬菜20m2，W最小，W的最小值为3820元.
（3）解：根据题意得：W=35x+300+(36-a)(100-x)=(a-1)x-100a+3900，
∵4≤a≤8，∴a-1>0，∵20≤x≤80，∴当x=20时，W最小，
最小值为：20(a-1)-100a+3900=20a-20-100a+3900=-80a+3880，
∴当x=20时，总费用最少，最少费用(3880-80a)元.
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法可得甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式；
(2)依据题意，求出W=-x+3900，再根据一次函数性质可得答案；
(3)依据题意，求出W=(a-1)x-100a+3900，再根据a的范围结合一次函数性质可得答案.
24．【答案】（1）证明：取AB的中点H，连接HE，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=90°，
∵E是BC的中点，在Rt△BEH中， B=90°，BE=BH，则∠BHE=45°，
∵CF是正方形ABCD外角的平分线，∴∠DCF=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，
∵ B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，
在△AHE和△ECF中，
∴△AHE≌△ECF(ASA)，∴AE=EF；
（2）解：AE=3EF，
证明如下：
在AB上截取BH=CE，连接EH，如图2所示：
∵E是BC的中点，∴BE=CE，设BH=BE=CE=a，则BC=2a，则AH=3a，
由(1)，同理可得∠BAE=∠CEF，∠AHE=ECF=135°，
∴△AHE∽△ECF，
即AE与EF的数量关系是AE=3EF
（3）解：延长EF，AP，交于点R，作RH⊥AD，交AD延长线于H，交BC的延长线与G，作FT⊥CD于T，如图所示：
∵
设AB=6x，BC=4x，则BE=CE=2x，
∵∠AEF=90°，∠PAE=45°，
∴△AER是等腰直角三角形，
∴AE=ER，由(1)，同理可得∠BAE=∠CEF，
在△ABE和△EGR中，
∴△ABE≌△EGR(AAS)，
∴EG=AB=6x，GR=BE=2x，
∴DH=CG=EG-EC=6x-2x=4x，HR=GH-GR=6x-2x=4x，
由(2)，同理可得△AQE∽△ECF，
则
在Rt△PFT中，由勾股定理可得则
解得x=1或x=-1(舍去)，
∴BC=4x=4.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)取AB的中点H，连接HE，如图1所示，由正方形性质、中点定义、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线定义得到相关角度与线段关系，再由两个三角形全等的判定与性质即可得证；
(2)在AB上截取BH=CE，连接EH，如图2所示，设BH=BE=CE=1，则BC=2，由得AB=4，AH=3，同(1)得到∠BAE=∠CEF，∠AHE=∠ECF=135°，再由三角形相似的判定与性质即可得证AE=3EF；
(3)延长EF，AP，交于点R，作RH⊥AD，交AD延长线于H，交BC的延长线与G，作FT⊥CD于T，如图所示，可设AB=6x，BC=4x，则BE=CE=2x，可证得△ABE≌△EGR(AAS)，从而EG=AB=6x，GR=BE=2x，DH=4x，可证得△APD~△ARH，从而得出，CP=4x，由(2)，同理可得△AQE~△ECF，则，从而得出，从而CT=FT=x，PT=CP-CT=3x，根据勾股定理得到PT2+FT2=PF2，解方程即可得到答案.
25．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为
将点C的坐标代入上式得：3=a(0+3)(0-1)，解得a=-1，
故抛物线的函数表达式为
（2）解：如图，过点B作BE∥y轴交AC于E，过点P作PF∥y轴交AC于F，设直线AC的解析式为y=kx+n，把A(-3，0)，C(0，3)代入，
得解得：
∴直线AC的解析式为y=x+3，
设且-3∵B(1，0)，∴E(1，4)，
∵BE∥y轴，PF∥y轴，∴BE∥PF，∴△BDE∽△PDF，
∵-3取得最大值∴k的最大值为
（3）解：如图，过点Q作QT⊥y轴于点T，过点M作MK⊥x轴于点K，则∠MKO=∠QTO=90°，当点M绕着点O顺时针旋转90°得到点Q时，∴OM=OQ，∠MOQ=90°，
∴∠MOK+∠QOK=90°，∵∠QOT+∠QOK=90°，∴∠MOK=∠QOT，
∴△OMK≌△OQT(AAS)，∴OK=OT，MK=QT，
设点M(x，x+3)，则OK=-x，MK=-x-3，
∴OT=-x，QT=-x-3，∴Q(x+3，-x)，
∵点Q在抛物线上，
解得：x1=-3，x2=-4，
∴M(-3，0)或(-4，-1)；
当点M绕着点O逆时针旋转90°得到点Q时，则Q(-x-3，x)，
∵点Q在抛物线上，
解得：x1=-5，x2=0(舍去)，∴M(-5，-2)；
当点M(0，3)绕O逆时针旋转90°时，对应点Q(-3，0)刚好落在抛物线上；
综上所述，点M的坐标为(-3，0)或(-4，-1)或(0，3)或(-5，-2).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质；二次函数-动态几何问题；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)运用交点式法即可求得答案；
(2)过点B作BE//y轴交AC于E，过点P作PF//y轴交AC于F，利用待定系数法可得直线AC的解析式为y=x+3，设P(t，-t2-2t+3)，且-3(3)过点Q作QT⊥y轴于点T，过点M作MK⊥x轴于点K，可证得△OMK≌△OQT(AAS)，得出OK=OT，MK=QT，设点M (a，a+3)，则OK=-x，MK=-x-3，可得Q(x+3，-x)，代入抛物线解析式即可求得答案.
1 / 1四川省南充市营山县2026年初中学业水平第二次模拟考试数学试卷
1．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的概念判断，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．“神威·太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，全系统合计约有1065万计算核心，将1065万用科学记数法表示为（　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1065万=1065×104=1.065×103×104=1.065×107，
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示多式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为(　　)
A．5或 B．1 C．7 D．25
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
情况一：当3和4为直角边时，根据勾股定理a2+b2=c2(其中a、b为直角边，c为斜边），可得第三边（斜边）的长度为5；情况二：当4为斜边，3为直角边时同样根据勾股定理，可得第三边（另一条直角
边）的长度为，因此，第三边长为5或。
故答案为： A.
【分析】
分情况讨论，因为直角三角形的两边长为3和4，但不确定这两条边是直角边还是一条直角边一条斜边，所以要根据勾股定理分别计算第三边的长度.
4．某学校组织了一场体育测试，抽出60个人的分数进行统计，如图所示.关于这60人的分数，下列说法正确的是（　　)
A．中位数是 12 B．中位数是 75
C．众数是 21 D．众数是 85
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；
把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，
故中位数是；
故答案为：D.
【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个(奇数个数据)或两个(偶数个数据)数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可.
5．我国宋代数学大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何 ”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……问这些物体共有多少个 设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（　　)
A．3x-2=5y-3 B．5x+2=3y+3 C．3x+2=5y+3 D．5x-2=3y-3
【答案】C
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：3x+2=5y+3.
故答案为：C.
【分析】根据“有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个”，结合这些物体的总数量不变，即可列出关于x，y的二元一次方程，此题得解.
6．如图，用尺规作出了∠NCB=∠AOD，其作图依据是（　　)
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作法可知：OM=OD=CB=CN，MD=NB，
∴△DOM≌△ECN(SSS)
∴∠NCB=∠AOD.
故答案为：B.
【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案.
7．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象.图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示. 已知AC与BD交于点O， AB∥CD. 若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是 （　　)
A．2cm B．cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵AB//CD
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴△AOB∽△COD，
∵点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，
∴根据相似三角形对应高的比等于相似比可得
∵AB=2cm，
∴CD=3cm，
故答案为：C.
【分析】由AB//CD，可得△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质即可得到结论.
8． 已知 ab=1， 则 的值为（　　)
A．2027 B．2026 C． D．
【答案】B
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵ab=1，
∴原式
=2026×1
=2026.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件ab=1，通过分式通分化简求解，用到分式的基本运算性质，将已知条件代入化简即可得到结果.
9． 如图，在△ABC中AB=AC， AO⊥BC于O， OE⊥AB于E，以点O为圆心， OE为半径作半圆，交AO于点F，若点F为OA的中点， OE=3，点 P是BC边上的动点，则PE+PF的最小值为（　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作E点关于直线BO的对称点D，连接FD，交BO于点P，连接EP，DO，ED，ED交BO于点N，过D点作DM⊥AO，交AO的延长线于点M，如图，
∵E点关于直线BO的对称点为点D，
∴BO垂直平分线段DE
∴，PE=PD，EO=DO
∴PE+PF=PD+PF
即当点D、P、F三点共线时，PD+PF最短，最短为线段DF的长，如上图所示，
∵OE=OF，点F为OA的中点
∴
∵OE⊥AB
∴在Rt△AEO中，
∴∠EAO=30°，即∠EOA=60°，
∵在△ABC中， AO⊥BC，
∴∠AOB=90°，即∠EOB=30°
∵DE⊥BO
∴∠ENO=90°，即∠NEO=60°
∵EO=DO
∴△EDO是等边三角形，
∴EO=DO=DE=3
∴
∴
∵AM⊥DM，ND⊥NO，BO⊥AO，
∴四边形NDMO是矩形，
∴，
∴
∴在Rt△FMD中，
故答案为：A.
【分析】作E点关于直线BO的对称点D，连接FD，交BO于点P，连接EP，DO，ED，ED交BO于点N，过D点作DM⊥AO，交AO的延长线于点M，根据垂直平分线的性质可得，PE=PD，EO=DO，进而可知当点D、P、F三点共线时，PD+PF最短，最短为线段DF的长，利用直角三角形的性质，与等边三角形的判定与性质可推出四边形NDMO是矩形，进而利用勾股定理即可求解.
10．一辆货车从A地开往B地，一辆小汽车从B地开往A地，同时出发，都匀速行驶（小汽车速度大于货车速度)，各自到达终点后停止.设货车、小汽车之间的距离为S （千米)，货车行驶的时间为t（小时)，s与t之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是 （　　)
①两车相遇时，货车离B地90千米； ②两车相距80千米时， 或
③小汽车比货车提前0.9h到达目的地；④小汽车到达目的地时，货车离A地50千米.
A．①②④ B．①② C．②③④ D．①④
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设货车速度为v1千米/小时，小汽车速度为v2千米/小时，
∵两车在t=1.2小时相遇
∴150=1.2(v1+v2)
∴v1+v2=125，
∵小汽车从B到A用时2小时，
∴千米/小时，
∴v1=125-75=50千米/小时
两车相遇时，货车行驶路程：50×1.2=60千米，
货车离B地距离：150-60=90千米，故①正确.
相遇前相距80千米：150-125t=80，
解得
相遇后相距80千米：125(t-1.2)=80，
解得，故②正确.
货车到达A地用时：小时，
小汽车到达用时2小时，
3-2=1小时，即小汽车比货车提前1小时到达，故③错误.
小汽车到达日的地时(t=2)，货车行驶路程：50×2=100千米，
货车离A地100千米，故④错误；
故答案为：B.
【分析】先根据函数图象与行程问题的关系，求出A、B两地全程距离、货车与小汽车的行驶速度，再结合速度、时间、路程的关系，逐一验证题目中的四个说法是否正确，最终确定正确选项.
11． 如果|-a|=|-5|， 那么a=　 　.
【答案】±5
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵|-a|=-5，
∴|a|=5
∴a=±5；
故答案为：±5.
【分析】根据绝对值的含义，即可求解.
12．如图，某城市人民广场，甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入环岛，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出，则甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意得，可画树状图为：
甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种，
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，
∴甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是.
故答案为：.
【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
13． 如图， AB是⊙O的直径， 点C， D在⊙O上， ∠ABC=25°， 则∠BDC的度数为　 　.
【答案】65°
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AB是圆的直径
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠A=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠A=65°
故答案为：65°.
【分析】由圆周角定理推出∠ACB=90°，∠BDC=∠A，求出∠A=90°-25°=65°，即可得到∠BDC的度数.
14．若不等式组 的解集是-1【答案】1
【知识点】解一元一次不等式组；已知不等式的解（集）求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由不等式得x>a+2，，
∵-1∴a+2=-1，
∴a=-3，b=2，
∴(a+b)2026=(-1)2026=1.
故答案为：1.
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再根据已知的解集确定a和b的值，最后代入计算(a+b)2026.
15． 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A)与电阻R （单位：Ω)成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流从8A 增加到10A时，电阻减小了　 　Ω.
【答案】1.2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
把(12，4)代入得：U=48，
∴反比例函数的解析式为
当I=8A时，R=6Ω
当I=10A时，R=4.8Ω
当电流I从8A增加到10A时，电阻R减小了6-48=1.2Ω
故答案为：1.2.
【分析】根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得
到答案.
16． 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E 的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有　 　.
【答案】①②④
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN=90°
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM=EN，
∵∠DEF=90°
∴∠DEN=∠MEF，
∵∠DNE=∠FME=90°
在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM (ASA)
∴EF=DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形，故②正确；
∴DE=DG，∠EDG=∠ADC=90°
∴ ∠ADE=∠CDG，
∵AD=CD
∴△ ADE≌△CDG(SAS)，故①正确；
∴∠DAE=∠DCG=45°
∵∠ACD=45°
∴∠ACG=90°是定值，故③错误；
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE=DG，AD=DC，
∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°
∴∠CDG=∠ADE，
在△ ADE和△ CDG中，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE=CG，
∴是定值.故④正确；
故答案为：①②④.
【分析】如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到∠MEN=90°，求得EM=EN，根据全等三角形的性质得到EF=DE，根据正方形的判定定理得到矩形DEFG是正方形，故②正确；根据正方形的性质得到DE=DG，∠EDG=∠ADC=90°，根据全等三角形的性质得到∠DAE=∠DCG=45°，得到∠ACG=90°是定值，故③错误；根据正方形的性质得到DE=DG，AD=DC，根据全等三角形的性质得到AE=CG，求得是定值，故④正确.
17．计算：
【答案】解：原式
=4+1+3-1-3
=4.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分别计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂和立方根，再进行加减运算即可.
18．如图，点B，E，C，F在直线l上（C，F之间有一水坑)， 点A，D在l异侧， 测得AC=DF，AC∥DF， ∠A=∠D.
（1）求证： △ABC≌△DEF；
（2）若BE=20m， BF=6m， 求CF的长.
【答案】（1）证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，
即BF+CF=CE+CF，∴BF=CE，
∵BE=20m，BF=6m，
∴CF=BE-CE-BF=BE-BF-BF=20-6-6=8(m).
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】】(1)根据平行线的性质得∠ACB=∠DFE，再根据ASA即可证得结论；
(2)结合(1)利用线段的和差即可解决问题.
19．某学校为了解学生对DeepSeek的了解程度，随机调查了部分学生，并根据收集到的信息绘制了图1和图2两幅不完整的统计图.根据图中信息，回答下列问题：
（1）接受随机调查的学生人数是多少人 条形统计图中m的值为多少
（2）如果该校共有学生2000人，根据上述调查结果，求该校学生中对DeepSeek达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是多少
（3）达到“非常了解”程度的学生是2名男生和2名女生，若从这4名学生中随机抽取2人调查具体的使用情况，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1 名女生的概率.
【答案】（1）解：根据题意，得29÷58%=50(人)，m=50-10-29-4=7(人)
（2）解：达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是(人)
答：该校学生中对DeepSeek达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是1320人.
（3）解：根据题意，有女生2名，男生2名.
画树状图如图，共有12种等可能情况，一男一女的可能性有8种，
故一男一女的概率是
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)根据频数除以所占百分比等于样本容量，各频数之和等于样本容量计算即可；
(2)利用样本估计总体的思想，计算解答即可；
(3)画树状图，求解即可.
20．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且 求k的值.
【答案】（1）证明：，
∴方程总有两个实数根
（2）解：由题意可得：
∴，
解得k=1或k=-1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)只需要证明的Δ=[-(k+3)]2-4×1×3k≥0即可；
(2)由根与系数的关系可得的值，再由完全平方公式的变形，建立关于k的方程，解方程即可得到答案.
21．如图，一次函数y= mx+n与反比例函数 的图象相交于A（-1，3)，B（a，-1)两点，与y轴相交于点C.
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积.
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象过点A(-1，3)
∴
解得k=-3，
∴反比例函数的表达式为
∵点B(a，-1)在反比例函数的图象上，
∴
解得a=3，
∴B(3，-1)，
将A(-1，3)和B(3，-1)代入y=mx+n得，
解得
∴一次函数的表达式为y=-x+2
（2）解：当x=0时，y=2，
∴C(0，2)，
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D(0，-2)，
∴CD=2-(-2)=4，

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】(1)先将点A的坐标代入反比例函数求出k，得到反比例函数表达式，再将点B的纵坐标代入反比例函数求出a，最后将A、B两点坐标代入一次函数求出m、n即可；
(2)先求出点C的坐标，根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点D的坐标，进而求出CD的长度，最后根据三角形面积公式求出△ABD的面积.
22．如图， AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， 点D在BC上，连接AD，过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点E.
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若 求DE的长.
【答案】（1）证明：连接OC，
OC为半径，
∴∠AOC=90°即OC⊥AB，
∵CE∥AB，∴∠OCE=∠AOC=90°，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：连接BD，过点E作ET⊥AB交AB延长线于点T，
∵AB∥CE，OC⊥AB，ET⊥AB，
∴∠T=∠TOC=∠OCE=90°，
∴四边形OCET是矩形，
∴ET=OC=OA=3，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴tan∠BAD=ET=BD=
∴AT=9，
∴AE=
设BD=x，AD=3x，而AB=2OA=6，
∵∠ADB=90°，
∴由勾股定理得，
解得(舍负)，

【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据垂径定理的推论得到OC⊥AB，再由平行线的性质得到∠OCE=∠AOC=90°，即可证明；
(2)连接BD，过点E作ET⊥AB交AB延长线于点T，可得ET=OC=OA=3，再分别解Rt△AET，Rt△ABD求出AE，AD，即可求解DE.
23．根据以下素材，探索完成任务.如何选择合适的种植方案
素材1： 某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中100m2的土地全部种植甲、乙两种蔬菜.
素材2： 甲种蔬菜种植总成本y（单位：元)与其种植面积x（单位：m2)的函数关系如图所示，其中20≤x≤80； 乙种蔬菜的每平方米种植成本为 36元.
问题解决：
（1）任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式；
（2）任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小 并求出W的最小值；
（3）任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且4≤a≤8)，问此时x取何值时总费用最少 最少总费用是多少 （用含a的代数式表示)
【答案】（1）解：设甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为y=kx+b，
根据函数图象可得：
解得：
∴甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为y=35x+300(20≤x≤80).
（2）解：根据题意得：W=35x+300+36(100-x)=-x+3900，
∵-1<0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x=80时，W取最小值，最小值为-1×80+3900=3820(元)，
∴种植甲种蔬菜80m2，乙种蔬菜20m2，W最小，W的最小值为3820元.
（3）解：根据题意得：W=35x+300+(36-a)(100-x)=(a-1)x-100a+3900，
∵4≤a≤8，∴a-1>0，∵20≤x≤80，∴当x=20时，W最小，
最小值为：20(a-1)-100a+3900=20a-20-100a+3900=-80a+3880，
∴当x=20时，总费用最少，最少费用(3880-80a)元.
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法可得甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式；
(2)依据题意，求出W=-x+3900，再根据一次函数性质可得答案；
(3)依据题意，求出W=(a-1)x-100a+3900，再根据a的范围结合一次函数性质可得答案.
24．【原题再现】人教（2013年版)八年级数学下册教科书69页14题如下：如图1，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF=90°且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE=EF.（提示：取AB的中点H，连接HE.)
（1）请写出证明过程；
（2）【类比探究】将图1中的“四边形ABCD是正方形”换成“四边形ABCD是矩形，且 其它条件不变（如图2所示).猜想AE与EF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【综合应用】将图2中 换成 其它条件不变，增加条件“P为边CD上一点， （如图3所示).请你求出BC的长.
【答案】（1）证明：取AB的中点H，连接HE，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=90°，
∵E是BC的中点，在Rt△BEH中， B=90°，BE=BH，则∠BHE=45°，
∵CF是正方形ABCD外角的平分线，∴∠DCF=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，
∵ B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，
在△AHE和△ECF中，
∴△AHE≌△ECF(ASA)，∴AE=EF；
（2）解：AE=3EF，
证明如下：
在AB上截取BH=CE，连接EH，如图2所示：
∵E是BC的中点，∴BE=CE，设BH=BE=CE=a，则BC=2a，则AH=3a，
由(1)，同理可得∠BAE=∠CEF，∠AHE=ECF=135°，
∴△AHE∽△ECF，
即AE与EF的数量关系是AE=3EF
（3）解：延长EF，AP，交于点R，作RH⊥AD，交AD延长线于H，交BC的延长线与G，作FT⊥CD于T，如图所示：
∵
设AB=6x，BC=4x，则BE=CE=2x，
∵∠AEF=90°，∠PAE=45°，
∴△AER是等腰直角三角形，
∴AE=ER，由(1)，同理可得∠BAE=∠CEF，
在△ABE和△EGR中，
∴△ABE≌△EGR(AAS)，
∴EG=AB=6x，GR=BE=2x，
∴DH=CG=EG-EC=6x-2x=4x，HR=GH-GR=6x-2x=4x，
由(2)，同理可得△AQE∽△ECF，
则
在Rt△PFT中，由勾股定理可得则
解得x=1或x=-1(舍去)，
∴BC=4x=4.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)取AB的中点H，连接HE，如图1所示，由正方形性质、中点定义、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线定义得到相关角度与线段关系，再由两个三角形全等的判定与性质即可得证；
(2)在AB上截取BH=CE，连接EH，如图2所示，设BH=BE=CE=1，则BC=2，由得AB=4，AH=3，同(1)得到∠BAE=∠CEF，∠AHE=∠ECF=135°，再由三角形相似的判定与性质即可得证AE=3EF；
(3)延长EF，AP，交于点R，作RH⊥AD，交AD延长线于H，交BC的延长线与G，作FT⊥CD于T，如图所示，可设AB=6x，BC=4x，则BE=CE=2x，可证得△ABE≌△EGR(AAS)，从而EG=AB=6x，GR=BE=2x，DH=4x，可证得△APD~△ARH，从而得出，CP=4x，由(2)，同理可得△AQE~△ECF，则，从而得出，从而CT=FT=x，PT=CP-CT=3x，根据勾股定理得到PT2+FT2=PF2，解方程即可得到答案.
25．如图，已知抛物线 与x轴交于点A（-3， 0)、B（1， 0)两点，与y轴交于点C（0，3)，点 P是抛物线上的一个动点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP， BP交AC于点D，若 求k的取值范围；
（3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请求出点M的坐标.
【答案】（1）解：设抛物线的表达式为
将点C的坐标代入上式得：3=a(0+3)(0-1)，解得a=-1，
故抛物线的函数表达式为
（2）解：如图，过点B作BE∥y轴交AC于E，过点P作PF∥y轴交AC于F，设直线AC的解析式为y=kx+n，把A(-3，0)，C(0，3)代入，
得解得：
∴直线AC的解析式为y=x+3，
设且-3∵B(1，0)，∴E(1，4)，
∵BE∥y轴，PF∥y轴，∴BE∥PF，∴△BDE∽△PDF，
∵-3取得最大值∴k的最大值为
（3）解：如图，过点Q作QT⊥y轴于点T，过点M作MK⊥x轴于点K，则∠MKO=∠QTO=90°，当点M绕着点O顺时针旋转90°得到点Q时，∴OM=OQ，∠MOQ=90°，
∴∠MOK+∠QOK=90°，∵∠QOT+∠QOK=90°，∴∠MOK=∠QOT，
∴△OMK≌△OQT(AAS)，∴OK=OT，MK=QT，
设点M(x，x+3)，则OK=-x，MK=-x-3，
∴OT=-x，QT=-x-3，∴Q(x+3，-x)，
∵点Q在抛物线上，
解得：x1=-3，x2=-4，
∴M(-3，0)或(-4，-1)；
当点M绕着点O逆时针旋转90°得到点Q时，则Q(-x-3，x)，
∵点Q在抛物线上，
解得：x1=-5，x2=0(舍去)，∴M(-5，-2)；
当点M(0，3)绕O逆时针旋转90°时，对应点Q(-3，0)刚好落在抛物线上；
综上所述，点M的坐标为(-3，0)或(-4，-1)或(0，3)或(-5，-2).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质；二次函数-动态几何问题；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)运用交点式法即可求得答案；
(2)过点B作BE//y轴交AC于E，过点P作PF//y轴交AC于F，利用待定系数法可得直线AC的解析式为y=x+3，设P(t，-t2-2t+3)，且-3(3)过点Q作QT⊥y轴于点T，过点M作MK⊥x轴于点K，可证得△OMK≌△OQT(AAS)，得出OK=OT，MK=QT，设点M (a，a+3)，则OK=-x，MK=-x-3，可得Q(x+3，-x)，代入抛物线解析式即可求得答案.
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