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解答题中情境题 重点考点预测练 2026年初中数学中考复习备考
1．生活现象与“二十四节气”相关的成语、谚语蕴含了丰富的自然规律，如：“冰雪融化”“镜花水月”“寒露草枯雁南飞”“清明断雪，谷雨断霜”等．某校跨学科兴趣小组为了解学生对生活现象及谚语中蕴含的自然规律的掌握情况，从甲、乙两个校区的学生中各随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道题，根据测试结果绘制出如下统计表和如图所示的统计图．
甲校区学生测试结果统计表：
答对题数 5 6 8 10
人数 3 7 6 4
(1)通过计算判断抽取的样本中哪个校区的学生答对题数的平均数更大；
(2)该小组随后又从乙校区随机抽取了几名其他的学生进行相同的测试，得知最少的答对了8道题，将其与之前乙校区20名学生的成绩数据合并后，发现答对题数的中位数变大了，则最少又测试了 人．
(3)其中的一道题目如下：先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用“．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（A，B为物理现象，C，D 主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽．这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．
2．2026年政府工作报告明确提出，要培育发展具身智能、脑机接口等未来产业，其中，人形机器人作为典型代表，正从“会表演”加速向“能干活”的实用阶段迈进．某校举行了以人形机器人为主题的知识竞赛，每人5道题，参加竞赛的每位学生至少答对1道题，校团委随机抽查了50名学生答对题数的情况，绘制出如下尚不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：
(1)补全条形统计图并填空：所抽取学生答对题数的中位数为 道；
(2)求所抽取学生答对题数的平均数；
(3)学校决定对本次竞赛答对5道题的学生进行奖励，若该校共有1000名学生参加此次知识竞赛，估计获得奖励的学生人数．
3．数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．问题情境：在平行四边形中，点P是边上一点，将沿直线折叠，点D的对应点为E．
数学思考：
(1)“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形．请你证明“兴趣小组”提出的问题；
拓展探究：
(2)“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由；
问题解决：
(3)“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，，求的长．
4．【问题情境】如图①，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由；
【问题探究】在“问题情境”的基础上，如图②，若垂足P恰好为的中点，连接，交于点Q，连接，并延长交边于点F．则的大小为 度．
5．综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境：
在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D，E的对应点分别是点B，C．
【初探感知】（1）如图1，____________；
【深入领悟】（2）如图2，当线段经过点C时，求证：；
【融会贯通】（3）如图3，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由．
6．问题情境：
“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动．
第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；
第2步：再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．
翻折后的纸片如图1所示
（1）的度数为____________；
（2）若，求的最大值；
拓展应用：
（3）一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，求该矩形纸片的面积．
7．【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在梯形中，，为的中点，若用，，分别表示，，的面积，求证：．”经过小组合作交流，找到了解决方法：“遇平行线＋中点，延长构造全等”．
（1）请按照如下的思维框图，完成问题情境中的证明．
【探究应用】（2）如图2，，，且，，是的中点，求的长．
【拓展延伸】（3）如图3，在平行四边形中，于点，，求与的数量关系．
8．【问题情境】
绕点A逆时针旋转得，连接、，恰好点落在线段上．
【数学思考】
(1)如图1，求证：；
【探究实践】
(2)如图1，已知，，求的长；
【拓展提升】
(3)如图2，当时，过点作交于点，连接，求的面积的最大值．
9．综合与实践：
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在中，点P是边上一点．将沿直线折叠，点D的对应点为E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形．
(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；
(2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
(3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，，，．则的长为___________．（直接写出结果）
10．（1）[问题情境]
小春在数学活动课上借助几何画板按照下面的画法画出了一个图形：
如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC、AB为底边在线段AB的同侧作等腰三角形ACP、等腰三角形ABQ，PC、AQ相交于点D．当P、Q、B在同一直线上时，他发现：．请帮他解释其中的道理；
（2）[问题探究]
如图2，在上述情境下中的条件下，过点C作交PB于点E，若，，求CE的长．
（3）[类比应用]
如图3，是某村的一个三角形鱼塘，点D、E分别在边AB、BC上，AE、CD的交点F为鱼塘的钓鱼台，测量知道，，，且．直接写出CF的长为_______m．
11．[问题情境]
（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图，在中，，为边上的任一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为．求证：．
小明的证明思路是：
如图，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．
小颖的证明思路是：
如图，过点作，垂足为，可以证得：，，则．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．
[变式探究]
（2）如图，当点在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：．

[结论运用]
（3）如图，将矩形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任一点，过点作，，垂足分别为，，若，，求的值．
[迁移拓展]
（4）图是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，为边上的一点，，，垂足分别为，，且，，，，、分别为，的中点，连接，，请直接写出与的周长之和．
12．【问题情境】（1）如图1，在矩形ABCD中，将矩形沿AC折叠，点B落在点E处，设AD与CE相交于点F，那么AC与DE的位置关系为　 　．
【类比探究】（2）如图2，若四边形ABCD为平行四边形，上述“问题情境”中的条件不变，
①猜想AC与DE的位置关系，并证明你的结论；
②当∠B与∠ACB满足什么数量关系时，△ABC∽△FEA？请说明理由；
【拓展应用】（3）如图3， ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，上述“问题情境”中的条件不变，当△AEC是直角三角形时，请直接写出DE的长为　 　．
参考答案
1．(1)抽取的样本中乙校区的学生答对题数的平均数更大
(2)2
(3)这个活动规则对他们双方公平，理由见解析，表格见解析
【分析】（1）根据平均数的定义分别求出两个校区的平均数，比较即可得到答案；
（2）先求出原来乙校区抽取的20名学生的答对题数中位数，再根据重新测试的学生中最少的答对了8道题判断需要重新测试后所有学生的中位数变大的情况即可得到答案；
（3）列表求出两人分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率，比较即可得到答案．
【详解】（1）解：甲校区的学生答对题数的平均数为题，
乙校区的学生答对题数的平均数为题，
∵，
∴抽取的样本中乙校区的学生答对题数的平均数更大；
（2）解：将乙校区原来抽取的20名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第10个数据，第11个数据分别为7题，7题，即中位数为7题，
∵再次抽取的学生中，最少的答对了8道题，
∴若再次抽取了1名学生，那么将乙校区抽取的21名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第11个数据为7题，即中位数为7题，此时中位数保持不变，
若再次抽取了2名学生，那么将乙校区抽取的22名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第11个数据为7题，第12个数据为8题，即中位数为题，此时中位数变大了，
∴最少又测试了2人；
（3）解：这个活动规则对他们双方公平，理由如下：
列表如下：
小宇小辉
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们抽取的两张卡片上都是物理现象的结果数有4种，他们抽取的两张卡片上都是化学变化的结果数有4种，
∴由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率为，由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率为，
∴两人能分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率相同，
∴这个活动规则对他们双方公平．
2．(1)见解析；3.5
(2)3.34道
(3)200人
【分析】（1）先求得答对5道题的人数，即可补全条形统计图；根据中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数的计算方法求解即可；
（3）利用样本估计总体即可求解．
【详解】（1）解：答对题数为5的人数是：，
条形图如图所示：
，
排序后，第25个数据是3，第25个数据是4，
故抽取学生答对题数的中位数为道；
（2）解：（道）．
答：所抽取学生答对题数的平均数是3.34道．
（3）（人）．
答：获得奖励的学生人数是200人．
3．(1)见解析
(2)，见解析
(3)5
【分析】（1）由折叠的性质可知，，再根据平行线的性质推出，则，进而推出，即可证明四边形是菱形；
（2）连接．由折叠的性质可知，，由，，得到；由点P是的中点，得到，则，进一步证明，得到，证明，得到，再根据平角的定义得到，则；
（3）延长交的延长线于点T．设．由折叠的性质可知，，再证明，得到，证明，得到，即可求出．
【详解】（1）证明：由折叠的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：结论：．
理由：连接．由折叠的性质可知，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长交的延长线于点T．设．
由折叠的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
4．问题情境：，理由见解析；问题探究：45
【分析】问题情境：过点B作分别交于点G、F，证出四边形为平行四边形，得出，证明得出，即可得出结论；
问题探究：连接，过点Q作，分别交于点H、I，证出是等腰直角三角形，，证明得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出结论．
【详解】问题情境：
线段之间的数量关系为．
理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，AB∥CD，
过点B作分别交于点G、F．
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴；
问题探究：
解：连接，过点Q作，分别交于点H、I，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即．
故答案为：45．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
5．（1）67.5；（2）见解析；（3），理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理．
（1）根据旋转的性质得到，由是等腰三角形，利用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据旋转的性质得到，进而得到，由平角的定义即可计算出，即可得出结论；
（3）延长交于点 H，由旋转的性质得，，，进而得到，推出，根据，推出，得到，即可证明结论．
【详解】解：（1）根据旋转的性质得到，
，，
；
（2）证明：由旋转的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3），
理由：如图3，延长交于点 H，
由旋转的性质得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由折叠性质得出，结合平角定义，化简得，即可作答．
（2）设则设，由矩形、折叠性质得，证明，即，代入数值进行计算，得，结合二次函数的图象性质，即可作答．
（3）分两种情况补充图形，当以为矩形的一边，补充矩形如下图，将折叠到的位置，折叠到的位置，连接，易得,由勾股定理可知,解得：,
设,则,代入相似得到的比例式即可求解，从而得到面积；当以为矩形的一边，补充矩形如下图，将折叠到的位置，折叠到的位置，连接，同理可求解.
【详解】解：（1）如图：
∵点沿翻折，使点落在矩形内部处，与所在直线重合，点落在直线上的点处，
∴，
∵，
∴，
即的度数为；
（2）设则设，
∵折叠
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴开口向下，在时，有最大值，
把代入，得出；
∴的最大值为
（3）分两种情况：
当以为矩形的一边，补充矩形如下图，将折叠到的位置，折叠到的位置，连接
由折叠情景，得出，
易得,
则有,
由勾股定理可知,
∴,
解得：,
设,则,
∴，
解得：
∴
当以为矩形的一边，补充矩形如下图，将折叠到的位置，折叠到的位置，连接，
由折叠情景，得出，
易得,
则有,
同（1）可得：,
设设，则,
，
解得：
∴
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，二次函数的实际应用，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
7．（1）证明见解析；（2）；（3），证明见解析
【分析】（1）如图，延长交的延长线于，证明，，，可得，可得；
（2）如图，延长交于，证明，可得，，求解，可得；
（3）如图，延长交于，连接，证明，可得，设，证明，，可得，设，可得，，再进一步求解可得结论．
【详解】解：（1）如图，延长交的延长线于，
∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，延长交于，
∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（3），理由如下：
如图，延长交于，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴设，
∵，，
∴，，
∴，设，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
8．(1)证明过程见解析；
(2)；
(3)的面积的最大值是．
【分析】（1）由旋转可得，，，可得，，可得，即可证得结论；
（2）由旋转可得，，，，可得，证明，可得，解直角三角形，可得，，根据勾股定理可得，可得，，即可得的长；
（3）由旋转可得，，，，解直角三角形可得，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，证明，可得，，设，则，，可得，即可得的面积的最大值．
【详解】（1）证明：由旋转可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由旋转可得，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
（3）解：由旋转可得，，，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
设，则，，
∴（当时取等号），
∴的面积的最大值是．
9．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）先证明，得到两组对边分别平行，再用邻边相等的平行四边形是菱形判定，也可以用四条边相等的四边形是菱形进行判断；
（2）证明△PAF≌△PEF，得到∠APF=∠FPE，再由折叠得到∠DPC=∠EPC，从而证明∠FPC=90°；
（3）延长BA、CP相交于点F，得△AFP∽△DCP，再证EF=CE即可求出结果．
【详解】（1）证法一：由折叠得，，，
∵
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形．
证法二：
证明：由折叠得，，，
∵
∴
∴
∴
∴
∴四边形是菱形．
（2）解： ．
连接
由折叠可得，，
∵四边形是平行四边形
∴
又∵
∴
∵点P是的中点
∴
∴
∴
∴
∴
∴（SSS）
∴
又∵，即
∴
∴．
（3）解：延长BA、CP相交于点F，
由题意，△AFP∽△DCP
∴ 即
∴
∵∠DCP=∠ECP，∠DCP=∠F
∴∠F=∠ECP
∴EF=EC=DC=10
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查折叠、平行四边形、相似、菱形的判定等，属于综合性题目，解题关键在于灵活运用几何知识，构造常见的模型．
10．（1）见解析；（2）6；（3）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，，由三角形外角的性质可得，根据，即可得证；
（2）在[问题情境]的条件下，有，证明，即可求解；
（3）过点D作，垂足为，过点D作交BC于点G，由，可得，设，则，，．勾股定理求得，则，证明，可得由[问题探究]可得，即可求解；
【详解】（1）[问题情境]∵，，
∴，，
∵，，
∴；
（2）[问题探究]在[问题情境]的条件下，有，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，，，
∴，
∴，即CE的长为6；
（3）[类比应用]CF的长为．
过点D作，垂足为H．
∵，
∴，．
在中，，
∴．
设，则，，．
在中，，
则，
解得，
∴，
过点D作交BC于点G，
∴，
∴，
∴，
∴．
由[问题探究]可得，
∴，即CF的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形的内角的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
11．（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）
【分析】（1）根据小明的证明思路：连接，根据三角形的面积公式结合题意即可证明；根据小颖的证明思路：过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明．
（2）根据小明的证明思路：连接，根据三角形的面积公式结合题意即可证明；根据小颖的证明思路：过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明．
（3）过点作，垂足为，根据矩形的性质可得，，，，推得，根据折叠的性质可得，，根据平行线的性质可得，推得，根据等角对等边可得，推得，根据勾股定理求得，推得，根据矩形的判定和性质可得，由问题情景中的结论即可求得：．
（4）延长，交于点，过点作，垂足为，根据题意可得，，根据相似三角形的判定和性质可得，根据等角对等边可得，由问题情景中的结论可得：，设，则，根据勾股定理可得，即可求得，，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，，根据三角形的周长公式即可求得与的周长之和．
【详解】（1）证明：
小明的证明：
连接，如图，

∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
小颖的证明：
过点作，垂足为，如图，

∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：
小明的证明：
连接，如图，

∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
小颖的证明：
过点作，垂足为，如图，

∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过点作，垂足为，如图，

∵四边形是矩形，
∴，，，，
又∵，
∴，
由折叠有，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
由问题情景中的结论可得：，
∴．
∴的值为．
（4）解：延长，交于点，过点作，垂足为，如图⑤，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由问题情景中的结论可得：，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：∴，
∴，
∴，
∴，
∵，、分别为，的中点，
∴，，
∴与的周长之和为
，
∴与的周长之和．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
12．（1）AC//DE；（2）①AC//DE；②∠B+3∠ACB＝180°，理由见解析；（3）或．
【分析】【问题情境】AC//DE，根据矩形的性质和折叠的性质得出∠EDA＝∠3即可；
【类比探究】①AC//DE，根据平行四边形的性质和折叠的性质得出∠EDA＝∠3即可；②由①得∠DAC＝∠ACB＝∠ACE，根据三角形外角的性质可得∠AFE＝2∠ACB，若△ABC∽△FEA，根据相似三角形的性质可得∠BAC＝∠EFA＝2∠ACB，∠B＝∠AEC，根据平行线的性质可得∠B+∠BAD＝180°，即∠B+∠BAC+∠DAC＝180°，可得出∠B+3∠ACB＝180°；
【拓展应用】分两种情形：①∠EAC＝90°时，如图3﹣1．②如图2，当∠ACE＝90°时，分别求解即可．
【详解】【问题情境】如图①中，
∵矩形ABCD沿AC折叠，
∴∠1＝∠2，
∵AD//BC，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AF＝CF，
∵AD＝BC，BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴AD﹣AF＝CE﹣CF，
即 EF＝DF，
∴∠FED＝∠FDE，
∵∠AFC＝∠EFD，
∴∠3＝∠ADE，
∴AC//DE．
故答案为：AC//DE；
【类比探究】①如图②中，
∵沿AC折叠，
∴∠ACB＝∠ACE，BC＝CE，
∵AD//BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠ACE，
∴FA＝FC，
∵AD＝BC，BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴AD﹣FA＝CE﹣FC，
即EF＝DF，
∴∠FED＝∠FDE，
∵∠AFC＝∠EFD，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴AC//DE，
②由①得∠DAC＝∠ACB＝∠ACE，
∴∠AFE＝∠DAC+∠ACE＝2∠ACB，
若△ABC∽△FEA，
则∠BAC＝∠EFA＝2∠ACB，∠B＝∠AEC，
∵AD//BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，即∠B+∠BAC+∠DAC＝180°，
∵∠BAC＝2∠ACB，∠DAC＝∠ACB，
∴∠B+3∠ACB＝180°，
∴当∠B+3∠ACB＝180°时，
△ABC∽△FEA；
【拓展应用】①∠EAC＝90°时，如图，
∵沿AC折叠，
∴AE＝AB＝6，∠AEC＝∠ABC＝60°，∠BAC＝∠EAC＝90°，
∴B、A、E三点共线，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，即AE//CD，AB＝CD，
∴AE//CD，AE＝CD，
∴四边形ACDE为平行四边形，
∴DE＝AC，
在Rt△BAC中，AC＝AB tan∠B＝，
②如图，当∠ACE＝90°时，
∵沿AC折叠，
∴AE＝AB＝6，∠ACE＝∠ABC＝60°，∠BCA＝∠ECA＝90°，
∴B、C、E三点共线，
∵BC＝CE＝AD，
∵AD//BE，∠ECA＝90°，
∴四边形ACED为矩形，
∴DE＝AC，
在Rt△ABC中，AC＝AB sin∠B＝，
综上可知，当△AEC是直角三角形时，DE的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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