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解答题中有关新定义题型（二次函数） 重点考点预测练
2026年初中数学中考复习备考
1．已知函数与函数，定义新函数．
(1)若，则新函数_______；
(2)若新函数y的表达式为，则_______，_______；
(3)设新函数y顶点为．
①当k为何值时，n有大值，并求出最大值；
②求n与m的函数表达式．
2．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，那么称这个点为“商二点”．已知二次函数的图象上的“商二点”有且只有一个．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当时，随的增大而增大，求的取值范围；
(3)若二次函数的顶点为，连接，在坐标轴上找一点，使得为以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
3．已知点是抛物线上一点，若，则我们把点P称为该抛物线的“二倍点”．
(1)【定义理解】
①若点P是抛物线上的“二倍点”，则点P的坐标为________；
②下列抛物线，没有“二倍点”的是________．
A． B． C．
(2)【深入探究】
已知抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点．
①求该抛物线的解析式；
②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该“二倍点”的坐标．
4．定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是，函数的“特征数”是
（1）将“特征数”是的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是____________________；
（2）在（1）中，平移前后两个函数分别与y轴交于A、B两点，与直线分别交于D、C两点，判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形的形状，说明理由并计算其周长．
5．新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若，请直接写出的解集；
(3)已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标．
6．已知抛物线（a，b，c是常数，且），自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x 0 1 2 3 …
y m 1 …
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______．
(2)求抛物线的解析式和m的值．
(3)新定义：将抛物线（）的图象记为，并将绕点O旋转后得到的图象记为，，合起来得到的图象记为G，图象G对应的函数称为“联动函数”．完成以下问题：
①在图中所示的坐标系中画出“联动函数”G的图象．
②若直线与“联动函数”G有且只有两个交点，直接写出n的取值范围为______．
7．新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点Ｔ是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的“合作点”．
(1)已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标；
(2)若点是抛物线上一动点，点，点是点A，B的“合作点”，试求出T中y关于x的函数表达式；
(3)把（2）中y关于x的函数表达式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的y轴交于点C，点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m．过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以，为边作矩形，设矩形的周长为l，请求l与m的函数解析式．
8．新定义
【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上．
【理解与运用】
(1)若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______；
【思考与探究】
(2)设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求的值；
②如图，在①的条件下，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，为抛物线上任意一点，当 时，求点的坐标．
9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点和点．
(1)求的值；
(2)定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2倍，我们称这个点为“倍值点”．求抛物线上的“倍值点”的坐标；
(3)如图1，将此抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新函数的图象（如图2）记为．
①直接写出新函数图象对应的函数解析式；
②当时，图象上函数的最小值是，最大值是，求的取值范围．
10．新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E．
(1)若点E的坐标为，求的解析式；
(2)设的顶点为F，若是以为底的等腰三角形，求点E的坐标；
(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N．
①当时，求点P的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求a的值．
11．定义：在平面直角坐标系中，点的“神秘点”为，当时，点的坐标为，当时，点N的坐标为．
例如：点的“神秘点”坐标为，点的“神秘点”坐标为．
(1)点的“神秘点”坐标为 ；
(2)点的“神秘点”在的图象上，求的值；
(3)如图，直线与坐标轴分别交于点，，记直线上的所有点的“神秘点”组成一个新图形为．
①点在直线上，求当时点对应的“神秘点”的坐标；
②当抛物线 与图形有2个交点时，求的取值范围．
12．新定义：我们把抛物线与抛物线（其中）称为“伴随抛物线”．例如：抛物线的“伴随抛物线”为．已知抛物线的“伴随抛物线”为．
(1)求出的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
(2)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，于点M，N．当时，求点P的坐标；
(3)当时，的最大值与最小值的差为，求a的值．
13．【问题背景】新定义：若二次函数的图象上存在点，满足（为抛物线顶点的横坐标），则称该点为这个函数图象的聚合点．例如：函数图象的顶点的横坐标为，取一点，满足，即点为函数图象的一个聚合点．
【探究】
(1)判断下列二次函数的图象是否存在聚合点，若存在，求出所有聚合点的坐标；若不存在，请说明理由．
①；
②．
(2)已知二次函数图象的顶点坐标为，请用含，，的式子表示出聚合点存在时，应满足的方程．
(3)已知二次函数，若该函数图象的聚合点中有一个点的纵坐标为，求的值及此时函数图象所有聚合点的坐标．
14．新定义：抛物线与x轴交于点、，，与轴交于点．若为直角三角形，则称此抛物线为“直角型抛物线”．
(1)抛物线是“直角型抛物线”吗？请说明理由．
(2)若抛物线是“直角型抛物线”，且，求的值．
(3)若抛物线是“直角型抛物线”，的面积为，且函数，当时，的最小值为1，求的值及抛物线的解析式．
15．定义：将函数位于直线右侧部分的图象，以轴为对称轴进行翻折，得到新函数的图象，我们称函数是函数的关联函数，函数和函数合起来记作函数．例如：函数的表达式为，当时，它的关联函数的表达式为．
(1)已知函数的表达式为，在函数上，当时，图象上的点所对应的函数值为，求的值．
(2)当时，如图所示．
已知函数的表达式为，写出它的关联函数；
在的条件下，直线与函数的图象有交点，求的取值范围．
(3)已知函数的表达式为，函数在的范围内的最大值为，求的值．
16．新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点为函数图象上的“美点”，例如：直线上存在的“美点”是．
(1)求抛物线上存在的“美点”；
(2)若抛物线上存在两个“美点”，两个“美点”之间的距离为，求k的值；
(3)若关于x的二次函数的图象上存在唯一的“美点”，且，连接，构成．是边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转（）角度得到点，若点落在中位线所在直线上，直接写出点到的距离．
参考答案
1．(1)
(2)5，
(3)①当时，；②
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题：
（1）将代入函数，得，即可求出结果；
（2）根据定义求出新函数得，和题目所给的对比，从而求出k和b的值；
（3）①利用配方法将（2）中的新函数解析式写成顶点式，得到顶点坐标的表达式，即可求出n的最大值；
②根据①中的关系式，将代入即可求出结果．
【详解】（1）解：当时，，
∵函数，定义新函数，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵函数与函数，定义新函数，
∴新函数的解析式为，
∵新函数的解析式为，
∴，，
∴，，
故答案为：5，；
（3）解：①由（2）知，新函数解析式为，
∵新函数顶点为，
∴，
∴，
∵，
当时，；
②由①知，，
将代入得：
∴．
2．(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）根据“商二点”的定义把代入二次函数中，得到，再由函数图象上的“商二点”有且只有一个，得到，求解即可解答；
（2）由二次函数解析式可得图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，因此根据增减性得到，求解即可；
（3）由二次函数解析式得到，根据为以为直角边的直角三角形，且点C在坐标轴上，得到只能，因此，由得到．分两种情况讨论：①点C在x轴上，②点C在y轴上，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：把代入二次函数中，得，
整理得，
∵二次函数的图象上的“商二点”有且只有一个，
∴方程有两个相同的解，
∴，
∴，
∴该二次函数的解析式为．
（2）解：∵二次函数，
∴该函数图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
∵当时，随的增大而增大，
∴，解得，
即m的取值范围为．
（3）解：若二次函数的顶点为P，则，
∵为以为直角边的直角三角形，且点C在坐标轴上，
∴只能，
由勾股定理得，
∵，
∴．
若点C在x轴上，
设，则，，
∴，
解得，
∴；
若点C在y轴上，
设，则，，
∴，
解得，
∴；
综上所述，点C的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程，勾股定理，解不等式组，综合运用相关知识是解题的关键．
3．(1)①或，②C
(2)①；②，“二倍点”的坐标为
【分析】（1）①根据“二倍点”的定义可得，且，据此解方程即可得到答案；②根据题意可得当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点，故联立对应的抛物线的解析式和直线的解析式，看方程是否有解即可得到答案；
（2）①抛物线与x轴只有1个公共点可得判别式的值为0，再结合点B和点C的坐标列式求解即可；②求出平移后的抛物线解析式，根据新抛物线恰好只存在1个“二倍点”可得新抛物线与直线只有一个交点，据此求解即可．
【详解】（1）解：①由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”，
∵点P是抛物线上的“二倍点”，
∴，且，
∴，
解得或，
当时，；当时，；
综上所述，点P的坐标为或；
②由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”，
∴所有的抛物线的“二倍点”都在直线上，
∴当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点；
联立得，即，
∴，
∴二次函数与直线有两个不同的交点，
∴二次函数上有“二倍点”；
联立得，即，
解得，
∴二次函数与直线只有一个交点，
∴二次函数上有“二倍点”；
联立得，即，
∴，
∴二次函数与直线没有交点，
∴二次函数上没有“二倍点”；
（2）解：①∵抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
②由题意得，平移后的抛物线的解析式为，
联立得，即
∵平移后的抛物线上恰好只存在1个“二倍点”，
∴，
，
∴，
解得．
∴“二倍点”的坐标为．
4．（1）；（2）菱形，理由见解析，周长8
【分析】（1）先根据“特征数”的定义得到，“特征数”是的函数的函数解析式为，从而得到平移后的解析式为；
（2）根据（1）所求，先分别求出A、B、C、D的坐标，从而得到CD=AB=2，即可证明四边形ABCD是平行四边形，再利用勾股定理求出BC=CD=2，即可证明四边形ABCD是菱形，由此求解即可．
【详解】解：（1）∵为函数的“特征数”，
∴“特征数”是的函数的函数解析式为，
∴将函数向下平移两个单位得到的函数解析式为，
故答案为：；
（2）四边形ABCD是菱形，周长为8，理由如下：
∵A、B分别是函数、与y轴的交点，
∴，，
∴AB=2，OB=1，
∵函数、与直线分别交于D、C两点，
∴，，
∴，，
∴CD=2，OC=，
∴AB=CD，
∵A、B分别在y轴上，C、D分别在直线上，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CD=BC=2，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=8．
【点睛】本题主要考查了一次函数的平移问题，一次函数与坐标轴的交点问题，菱形的性质与判定，平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识机进行求解．
5．(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键．
（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）根据函数图象找到反比例函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可；
（3）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点距离计算公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
．
反比例函数的解析式为．
设反比例函数上的“和六点”为．
．
解得，
经检验，都是原方程的解，
反比例函数图象上的“和六点”为．
二次函数的图象经过，．
解得
二次函数的解析式为．
（2）解：由函数图象可知，当时，的解集为或．
（3）解：由（1）可知，抛物线解析式为．
抛物线对称轴为．
点在抛物线对称轴上，
∴可设．
点的横坐标小于点的横坐标，
．
是以为顶点的等腰三角形，
．
，
，
．
解得．
点的坐标为或．
6．(1)上，
(2)，
(3)①见解析；②或或．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，正确求出函数解析式，准确的画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
（）由表格数据和图象的性质即可求解；
（）用待定系数法即可求解；
（）①根据解析式，运用描点法画出函数图象；
②求出直线分别与图象，只有1个交点时n的值，结合函数图象即可求解．
【详解】（1）解：根据表格数据有，抛物线过点，，
∴抛物线对称轴为直线，
∵由表格数据可知，在对称轴的右侧随的增大而增大，
∴抛物线开口向上，
故答案为：上，；
（2）解：由（）得，对称轴为直线，根据表格数据可知顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：由（2）得，抛物线的解析式为（）；
∴顶点坐标为，
则绕点旋转后的图象为（），
列表为：
x … 0 1 2 3 …
… 1 …
… 2 3 2 …
描点并连线，得到函数图象为：
当直线与抛物线只有一个交点时，与抛物线也只有一个交点，
联立得，
整理，得，
∴，
∴．
当直线与抛物线只有一个交点时，与抛物线也只有一个交点，
联立得，
整理，得，
∴，
∴．
当直线过点时，；
当直线过点时，；
∴根据图象可得，直线与“联动函数”G有且只有两个交点， n的取值范围为或或．
故答案为：或或．
7．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，根据“合作点”的定义计算即可得解；
（2）由题意可得，即，由“合作点”的定义可得，由①可得，代入②计算即可得解；
（3）分三种情况：当点在轴左侧时，即；当点在轴右侧，且在直线上方时，即；当点在轴右侧，且在直线下方，即时；分别利用矩形的性质求解即可．
【详解】（1）解：设，
，
由题意，，
；
（2）解：是上一点，
，
即，，
是A，B的“合作点”，
由①得，代入②得；
（3）解：由题意可得：，
当时，，即，
点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m，
∴，
∵轴，
∴，
如图，当点在轴左侧时，即，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴；
如图，当点在轴右侧，且在直线上方时，即时，
同理可得：，，
∴；
如图，当点在轴右侧，且在直线下方，即时，
同理可得：，，
∴；
综上所述，．
8．(1)，
(2)①，；②或
【分析】（）根据伴随抛物线的定义解答即可求解；
（）①求出抛物线的顶点坐标，再根据伴随抛物线的定义解答即可求解；②先求出点的坐标，设，过点作于点，则，，由正切的定义得 ，求出的值即可求解；
本题考查了二次函数的新定义，二次函数的几何应用，正切的定义，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：∵二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点和 在抛物线上，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：①∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，
整理得，，
∴，；
②由①得，函数的图象为抛物线，
令，即，
解得或，
∴，，
把代入，得，
∴，
当时，，
解得或，
∵轴，
∴，
设，
如图，过点作于点，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴ 或，
解得或，
∴或．
9．(1)
(2)和
(3)①；②
【分析】（1）把代入，即可求解；
（2）设这个“倍值点”的坐标为，将代入，求出m的值，即可求解；
（3）①根据折叠的性质，即可求解；②根据二次函数的图象和性质解答即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
．
（2）解：由（1）得该抛物线的解析式为，
设这个“倍值点”的坐标为，
将代入，得．
解得．
∴抛物线上的“倍值点”的坐标是和．
（3）解：①对于，
当时，，
解得：，
∴点，
∵，
∴原函数图象的顶点坐标为，
∴折叠后的抛物线的顶点坐标为，
∵将此抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，
∴当或时，该部分函数解析式为，
当时，该部分函数解析式为，
综上所述，新函数图象对应的函数解析式为；
②由①得，，
如图所示，
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大，且当时，取得最小值为0．
∵当时，图象上函数的最小值是，
，
，
此时，图象上函数的最大值是，
在中，令，得，
解得，，（舍去）．
的取值范围是．
10．(1)
(2)
(3)①或；②a的值为或
【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标；
（2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论；
（3）①设点的横坐标为，则可表达点和点的坐标，根据两点间距离公式可表达的长，列出方程，可求出点的坐标；
②当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值．
【详解】（1）解：∵与y轴交点的坐标为，
∴，解得．
∴的解析式为 ；
（2）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为，
∵，
∴的顶点的坐标为
易得点，
过点作轴于点，连接．

∴，，，
∵，
∴，即．
解得，
∴点E的坐标为；
（3）解：①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得或，
∴或；
②∵的解析式为，
∴当时，，
当时，；
当时，．
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
Ⅰ．当时，，且当时，函数的最大值为；函数的最小值为．
∴，解得或（舍）或（舍）；
当时，函数的最大值为，函数的最小值为．
∴，解得或（舍）或（舍）；
Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为，
∴，解得（舍）或（舍）；
Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去．
综上，a的值为或．
【点睛】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
11．(1)
(2)
(3)①当时点对应的“神秘点”的坐标为；②
【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了“神秘点”的定义，一元二次方程根的判别式，求得的函数关系式是解题的关键．
（1）由“神秘点”的定义解答即可；
（2）由“神秘点”的定义可求得的“神秘点”，代入函数解析式可求得的值；
（3）①先求出直线的解析式，再根据，求出得坐标，进而求出点对应的“神秘点”的坐标；
②先求出点对应的“神秘点”的坐标，点对应的“神秘点”的坐标，进而可得当时和当时，“神秘点”所形成图象的解析式，即新的图形的解析式，联立抛物线和图形成一元二次方程，结合图象位置分别讨论一元二次方程解的数量，即可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意，，
∴点的“神秘点”坐标为，
故答案为：．
（2）解：当时，点的“神秘点”为，
把代入，得，
解得：；
当时，点的“神秘点”为，
把代入，得，
解得：；
∴综上，．
（3）解：①设直线的解析式为，
将点，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
点在直线上，当时，，
解得：，即，
∴点的坐标为，
∵，
∴点对应的“神秘点”的坐标为；
②点对应的“神秘点”的坐标为，
点对应的“神秘点”的坐标为，
当时，所有“神秘点”组成的图形是以为端点，过点的一条射线，即：，
当时，所有“神秘点”组成的图形是以为端点，过点的一条射线，即：，
∴新的图形是以为端点的两条射线组成的图形，
由和，
得：和，
如图，当抛物线 与图形有1个交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
如图2，当抛物线 与有1个交点时，方程有两个相等的实数根，
∴
解得：，
此时，过点，
由图像可知：
当时，此时当抛物线 与射线有2个交点，
当时，此时当抛物线 与射线有1个交点，射线有1个公共点，
综上所述，当抛物线 与图形有2个交点时，的取值范围为．
12．(1)；
(2)或
(3)的值为或
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及新定义，二次函数的图象及性质；
（1）根据“伴随抛物线”定义求抛物线的函数表达式和顶点坐标即可；
（2）设点，则，，根据列方程求解即可；
（3）分别求出顶点、、时函数值，再根据对称轴与的位置分类讨论，确定最大值和最小值，最后列方程求解即可．
【详解】（1）根据“伴随抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；
，
顶点坐标为；
（2）设点，因为，，
，，，
，
或，
当时，判别式，
方程无解；
当时，解得，，
或；
（3），
对称轴为，当时，．
当时，；
当时，；
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
I．当，即时，
若，即，
则；，
，
解得或（舍）或（舍）；
若，即时，
；，
，
解得或（舍）或（舍）；
II．当，即时，
；．
，
解得（舍）或（舍）；
III．当，即时，，
，
解得（舍去）或（舍去），
综上所述，的值为或．
13．(1)①存在，聚合点坐标为，；
②不存在聚合点，
的顶点的横坐标为，
∵是聚合点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴函数的图象上不存在聚合点；
(2)
(3)，所有聚合点坐标为，
【分析】（1）①先求出h的值，然后根据聚合点的定义可得出，然后代入，求出x的值，即可求解；
②先求出h的值，然后根据聚合点的定义可得出，然后代入，再判断方程无解，即可求解；
（2）根据聚合点的定义可得出，然后代入，化简即可得出结果；
（3）根据聚合点的定义可得出，结合聚合点的纵坐标为，求出，然后把，代入，求出，则，设满足条件的聚合点的坐标为，根据聚合点的定义可得出，然后代入，求出m的值，即可求解．
【详解】（1）解：①的顶点的横坐标为，
∵是聚合点，
∴，
∴，
∴，
解得，，
当时，；
当时，，
∴函数的图象上存在聚合点，坐标为和；
②略；
（2）解：∵二次函数图象的顶点坐标为，聚合点为，
∴，，
∴，
代入，得，
化简得；
（3）解：的顶点的横坐标为，
∵聚合点的纵坐标为，
∴，
∴，
把，代入，
得，
解得，
∴，
设满足条件的聚合点的坐标为，
则，
∴
代入，得，
解得，，
当时，；
当时，，
∴聚合点的坐标为，．
14．(1)是，理由见解析
(2)或
(3)，抛物线的解析式为
【分析】（1）利用抛物线的解析式求出点的坐标，得出的长，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案；
（2）利用抛物线的解析式得出，令得到，利用一元二次方程根与系数的关系得出，根据“直角型抛物线”的定义得到，利用勾股定理整理得到，进而推出，，在中利用正切的定义得到，代入数据整理得到，，则有或，再分2种情况求出对应的值即可；
（3）利用三角形的面积公式表示出，则有，整理得到，结合当时，的最小值为1，利用二次函数的性质求出和对应的值，即可求出抛物线的解析式．
【详解】（1）解：抛物线是“直角型抛物线”，理由如下：
令，则，
解得：，，
，，
，
令，则，
，
，，
，
为直角三角形，
抛物线是“直角型抛物线”．
（2）解：令，则，
，
令，则，
，，
，
抛物线是“直角型抛物线”，
为直角三角形，且，
，
，
整理得：，
，
整理得：，，
在中，，
，
，
，即，
解得：或（不符合题意，舍去），
，，
或，
，即，
，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，的值为或．
（3）解：抛物线是“直角型抛物线”，
为直角三角形，且，
由（2）得，，，，
，
，
，
，
，
，
函数的对称轴为，
由题意得，，
①当，即，
当时，取最小值1，
此时，
解得：（舍去）；
②当时，即，
当时，取最小值1，
此时，
解得：（舍去）；
③当，即，
当时，取最小值1，
此时，
解得：，
，，
解得：，
抛物线的解析式为；
综上所述，，抛物线的解析式为．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、抛物线与坐标轴的交点、勾股定理及其逆定理、一元二次方程根与系数的关系、解直角三角形，理解“直角型抛物线”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生．
15．(1)
(2)；或
(3)的值为或
【分析】（1）由关联函数的定义可得的表达式，再结合图象上的点所对应的函数值为，列方程求解即可；
（2）由关联函数的定义可得的表达式；分别求出直线与函数的图象有交点和无交点时对应的的值，即可得解；
（3）先得到函数的关联函数为，确定对称轴为直线，分情况讨论：I．当时；II．当时；Ⅲ．当时；IV．当时；分别根据二次函数的图象性质确定最值，然后列方程求解即可．
【详解】（1）解：函数的表达式为，
它的关联函数的表达式为，
根据题意得，，
即，
解得，（不合题意，舍去），
；
（2）解：函数的表达式为，，
它的关联函数的表达式为；
如图，设函数的图象与直线交于点，与轴交于点，直线与轴交于点．
根据题意，得恒过点，
点．
对于，当时，，
点．
当直线经过点时与函数的图象有交点，此时；
当直线与平行时刚好与函数的图象无交点，此时．
当或时，直线与函数的图象有交点．
（3）解：函数的关联函数为，对称轴为直线，
当时，，
I．当时，即．
在范围内，对于函数，随的增大而增大，
当时，取最大值，即，
解得．
II．当时，即．
在范围内，对于函数，
当时，取最大值，即，
整理得，
解得（不合题意，舍去）；
Ⅲ．当时，即．
在范围内，对于函数，
当时取最大值，由II知（不合题意，舍去），
对于函数，随的增大而增大，
当时，取最大值，即，
解得（不合题意，舍去）；
IV．当时，即．
在范围内，对于函数，
当时取最大值，即，
解得（不合题意，舍去）；
对于函数，随的增大而增大，
当时，取最大值，由Ⅲ知；
综上所述，的值为或．
16．(1)或
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了“美点”的定义，一元二次方程根的判别式，二次函数与几何综合，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据题意得 ，即，解得或，即可得到答案；
（2）根据题意得方程有两个根，即方程有两个根，推出两个“美点”的坐标分别为，得到，求出；
（3）根据题意求出，，求出分三种情况讨论，计算即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得 ，即，
解得：或，
抛物线上存在的“美点”是或；
（2）解：根据题意得方程有两个根，即方程有两个根，
，
，，
两个“美点”的坐标分别为，
两个“美点”之间的距离为，
；
解得；
（3）解：根据题意得方程，即方程只有一个根，
，
解得，
，
，即
解得：，
，
，，
，，，
，，
是直角三角形，
，
为的中点，
，
，
如图，点在中位线上时，作
，，
，
根据旋转的性质得，
，
点到的距离为；
当点在中位线上时，
点到的距离为；
如图，当点在中位线上时，
点到的距离为，
综上所述，点到的距离为或或．
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