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解答题中综合与实践题 重点考点预测练 2026年初中数学中考复习备考
1．综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
(1)操作一：
如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．
根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段，，之间的数量关系为 ．
(2)【深入探究】
操作二：
如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．
①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由．
②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长．
2．综合与实践．
在数学综合与实践课上，老师组织同学们进行以“图形折叠”为主题的探究活动，素材是矩形和正方形纸片．
环节一：矩形纸片的折叠操作
（1）现有矩形纸片，执行以下操作：
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，随后将纸片展平；
操作二：在边上选取一点，沿着折叠纸片，使得点落在矩形内部的点处，展平后连接和．
如图①，当点刚好落在折痕上时，探究与之间的数量关系，并说明理由．
环节二：正方形纸片的折叠延伸探究
（2）如图②，小慧将矩形纸片替换为正方形纸片，重复上述环节一中的操作步骤，并且延长与相交于点，连接．探究与的数量关系，并说明理由．
环节三：折叠问题的拓展应用
（3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
3．综合与实践
在综合与实践课上，赵老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．连接并延长交于点Q，连接．
(1)数学思考：
如图1，当点M在上时，与的数量关系是_______．
(2)拓展再探：
如图2，当改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），使点M不在上时，判断（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)迁移应用：
在（2）的探究中，连接，已知正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，的长为多少？
4．综合与实践
【问题情境】
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G，试判断四边形的形状，并说明理由．
【数学思考】
（1）请你解答以上老师提出的问题；
【深入探究】
（2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题．
“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．证明：．
【拓展提升】
（3）如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长．
5．综合与实践
把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究．
已知是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在同侧增加特殊图形．
特例研究
(1)如图1，当四边形是正方形时，点A在对角线上，，则相似比为________；
(2)如图2，当四边形是矩形时，经过的中点F，与是否相似？如果相似，求出它们的相似比；
类比探究
(3)如图3，当四边形是菱形时，以为直角边，点E为直角顶点，在边右侧再作一个等腰直角三角形，连接，，求，所在直线的夹角（锐角）的度数．
6．综合与实践
把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究．
已知是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在同侧增加特殊图形．
特例研究
(1)如图1，当四边形是正方形时，点A在对角线上，，则相似比为________．
(2)如图2，当四边形是矩形时，经过的中点F，与是否相似？如果相似，求出它们的相似比．
类比探究
(3)如图3，当四边形是菱形时，以为直角边，点E为直角顶点，在边右侧再作一个等腰直角三角形，连接，，求，所在直线的夹角（锐角）的度数．
(4)若（3）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究与之间的数量关系．
7．综合与实践
问题背景：
景点检票时游客排队是常见的现象．智慧学案（讲义）智慧课堂（作业）某校数学兴趣小组对该景区每天开园100分钟内“排队检票人数与开园时间、开放检票窗口之间的关系”开展了综合与实践活动．
调研数据：
信息1：景区开园时，检票窗口同时开始检票．已知每个检票窗口每分钟可检票20人．
信息2：景区开园后，到达景区的总人数（单位：人）与开园时间（单位：分钟）满足二次函数．
信息3：开园后不断有新的游客到达检票窗口，任意时刻满足：排队检票人数w（单位：人）到达景区的总人数已检票人数．
建立模型：
开园时景区同时开放14个检票窗口（该景区共有24个检票窗口）．
(1)①开园10分钟，14个检票窗口已检票的人数为________；
②排队检票人数w（单位：人）与开园时间x（单位：分钟）之间的函数关系式为________．
问题解决：
(2)求开园多少分钟不再有游客排队检票．
(3)检票到第10分钟时，除正常游客外，又新增一单位团体游客200人，为了减少排队等候时间，决定当即临时增开个检票窗口．若景区检票口期望在开园40分钟以内不再出现排队的情况，求的最小值．
8．综合与实践．
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，为斜边的中点，与所在的直线重合，将绕点旋转得到．
操作发现：
(1)如图1，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点，当时，猜想和的数量关系为__________，并证明你的猜想；
(2)如图2，继续旋转一定角度，当线段经过点时，连接，若时，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(3)实践探究：
在整个旋转过程中，当边在下方，时，设线段与直线交于点，直线交射线于点，连接．
①如图3，若的直角边恰好与垂直，请求出的长；
②若的直角边恰好与垂直，请直接写出的长．
9．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)【操作判断】
操作一：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，把纸片展平，连接；
操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点与点重合，得到折痕为，把纸片展平；
操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接．
根据以上操作，直接写出图3中的值：______；
(2)【问题解决】
请判断图3中四边形的形状，并说明理由．
(3)【拓展应用】
我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点叫做线段的黄金分割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点是线段的黄金分割点时，线段的长度是______．
10．综合与实践
综合与实践课上，数学活动小组的同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动．如图（1），在直角三角形纸片中，．
(1)操作判断
操作一：对折直角三角形纸片， 使点B 与点C 重合，得到折痕，把纸片展平．
问题1：如图（2），当直角边时，折痕的长为 ；
操作二：如图（3），将 绕点E 逆时针旋转得到， 点B，D的对应点分别是M，N，直线与边交于点P(不与点B，C重合)．
问题2：在绕点E 旋转的过程中，与的数量关系为
(2)探究迁移
若，．在绕点E旋转的过程中，当直线经过点A时，如图（4），求 的长．
(3)拓展应用
若，．在绕点E旋转的过程中，当与的边平行时，直接写出与重叠部分的面积(面积为0时忽略不计)．
11．综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”活动课上，老师给出了一张如图1所示的正方形纸片，点在线段上，点在线段上，且满足，连接．
数学思考：
(1)线段与的数量关系为___________，位置关系为___________．
猜想证明：
(2)如图2，连接交于点，将绕点顺时针旋转，取线段的中点并记为，连接，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
拓展探究：
(3)在（2）的基础上继续将绕点顺时针旋转，若，当三点共线时，直接写出线段的长．
12．综合与实践：某校数学兴趣小组到一家生产平行四边形的薄塑料模板厂开展综合与实践活动，他们有机分成甲队、乙队、丙队，分别选取矩形、菱形和平行四边形的模板，并将其各顶点按逆时针方向分别标记为点，开展以下命题的探究活动．请聪明的你解答甲、乙、丙队所命制的命题
(1)甲队：如图1，在矩形中，取边上的一点，过作于点．若测得时，则______．
(2)乙队：如图2，在菱形中，过作交的延长线于点，过作于点．若测得，，求的值．
(3)丙队：如图3，在中，测得．在边上取一点，使得．探究：边上是否存在两个点，使得，且？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．(1)①45；②
(2)①成立，见解析；②
【分析】（1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解；
②由折叠的性质即可求解；
（2）①根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可；
②证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解．
【详解】（1）解：①∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，即；
②由折叠的性质可得：，，
∵，
∴；
（2）①结论：成立，理由如下：
将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为，
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得：，，，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵点落在折痕上，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
2．（1）（2）（3）
【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）利用翻折的性质得出，然后利用全等三角形的性质得出相等的边和角，求出，利用含角的直角三角形的性质即可求解；
（2）利用翻折的性质得出全等三角形，得出对应边相等，然后证明即可得出结论；
（3）设，则，，利用全等三角形表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：（1）如图，假设与的交点为,
在矩形中，由折叠的性质和可知，，点为线段中点
则点为中点，，
在直角三角形中，，
，
∵，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）得
∴，
在正方形中，
,
由题意可知，在和中，
∴，
；
（3），理由如下：
假设，则，，
，点为线段中点，
，
，
，，
由勾股定理得
即
解得，
∴．
3．(1)；
(2)解：成立，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠得，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
(3)当的周长最小时，的长为
【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识：
（1）由折叠得，证明，得到，再根据平角定义和三角形内角和定理可得结论；
（2）方法同（1）；
（3）的周长表示为，，当取最小值时，的周长最小，设，则，由勾股定理列方程求解即可
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠得，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）略
（3）解：由折叠得，，
∴的周长为，
当取最小值时，的周长最小，
∵点的轨迹是以点为圆心，的长为半径的圆弧；
以点为圆心，的长为半径画圆，当点D，M，B共线时，最小，
设，则，
由折叠得，，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴
4．（1）正方形，见解析；（2）见解析；（3）
【分析】对于（1），先根据“三个角是直角的四边形是矩形”证明四边形为矩形，再根据得，即可得出答案；
对于（2），先根据“等角对等边”得，进而确定，再根据三角形面积相等得，然后由（1）得出答案；
对于（3），设，的交点为，并作，根据得出，再根据“等角对等边”得，再根据勾股定理求，
进而求出，然后由，求出，可得，再证明，根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案．
【详解】（1）结论：四边形为正方形．
理由如下：
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形．
，
．
矩形为正方形；
（2）证明：，
，
，
．
，即，
，
，
．
由（1）得，
；
（3）解：如图，设，的交点为，过作于点，
，
，，，，，
．
，
，
．
，
点G是的中点，
由勾股定理得，
．
，
，
即，
．
，，，
，
，
，
即的长为．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，余弦等，勾股定理是求线段的长的常用方法．
5．(1)
(2)相似，相似比为
(3)
【分析】（1）由正方形的性质可得，，结合勾股定理得出，最后再由相似三角形的性质即可得出结果；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，，由矩形的性质可得，求出，得到为等腰直角三角形，设，则，结合题意求出，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果；
（3）延长交于点，交的延长线于点，证明，得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵点A在对角线上，，
∴，即相似比为；
（2）解：∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
设，则，
∵经过的中点F，
∴，
∵，，
∴，
∴，即相似比为；
（3）解：如图，延长交于点，交的延长线于点，
∵、为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
即，所在直线的夹角（锐角）的度数为．
6．(1)
(2)相似，相似比为
(3)
(4)或
【分析】（1）由正方形的性质可得，，结合勾股定理得出，最后再由相似三角形的性质即可得出结果；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，，由矩形的性质可得，求出，得到为等腰直角三角形，设，则，结合题意求出，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果；
（3）延长交于点，交的延长线于点，证明，得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果；
（4）由（1）可得，由相似三角形的性质可得，分两种情况：当在直线右侧时；在直线左侧时，分别计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵点A在对角线上，，
∴，即相似比为；
（2）解：∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
设，则，
∵经过的中点F，
∴，
∵，，
∴，
∴，即相似比为；
（3）解：如图，延长交于点，交的延长线于点，
∵、为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
即，所在直线的夹角（锐角）的度数为；
（4）解：由（1）可得：，
∴，
∴，
∵A，D，E三点在同一条直线上，
∴分两种情况：如图，当在直线右侧时，
设，则，，
作于，于，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当在直线左侧时，作于，
则，
设，则，
∴，
作于，
同理可得：四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
7．(1)①2800人；②
(2)70分钟
(3)的最小值为
【分析】（1）①根据每个窗口每分钟检票20人，景区同时开放14个检票窗口求解即可；
②先表示出已检票总人数，再根据排队人数公式：到达总人数已检票人数，即可求出；
（2）不再排队即排队人数，解方程：，即可解答．
（3）要求开园40分钟以内不再排队，即时排队人数，开园40分钟时，先求出总游客数（含新增200人团体），再求出总已检票人数，列不等式求解即可．
【详解】（1）解：①每个窗口每分钟检票20人，14个窗口10分钟检票总人数为：（人）；
②已检票总人数为，
根据排队人数公式：到达总人数已检票人数，
则；
（2）解：不再排队即排队人数，
解方程：，
整理得，因式分解为，
解得（舍去负根）．
即开园70分钟后不再有游客排队．
（3）解：要求开园40分钟以内不再排队，即时排队人数，
开园40分钟时，总游客数（含新增200人团体）为：（人），
总已检票人数为：，
则，
解得．
因为是正整数，且景区总窗口最多24个，
所以的最小值为．
8．(1)，证明见详解
(2)四边形是菱形，理由见详解
(3)①；②
【分析】（1）根据旋转的性质可知，再根据“等角对等边”得出答案；
（2）结合已知可得，再根据旋转的性质及全等三角形的对应角相等可得，可得结论；
（3）①当时，根据勾股定理，得，再根据中点定义得，结合，得，即可求出，进而求出，然后证明，可知，可求，最后根据得出答案；
②当时，设交于点，可得，再说明，结合中点的定义求出，然后证明，可得，即可求出，最后根据勾股定理得出答案．
【详解】（1）解：；
证明：∵，
，
，
，，
根据旋转的性质，得，
∴，
，
，
．
（2）解：四边形是菱形．
证明：在中，∵是边的中点，，
，
，
∴是等边三角形，
∴，
，
，，
根据旋转的性质，得，，
，，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（3）解：①当时，
，
根据勾股定理，得．
∵是的中点，
，
在中，，
，
，
由旋转的性质得，
，
，
，
，
，
，
．
②当时，如图，设交于点I，点G与点C重合，
，
，
，
，
∵为的中点，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
．
9．(1)
(2)菱形，见解析
(3)或
【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可；
（2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论；
（3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长，进而问题可求解．
【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知，
，
在矩形中，，
，
，
故答案为：；
（2）解：四边形是菱形，
理由：如图3，由折叠知：，，
在矩形中，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（3）解：，
由（1）可知，，，
四边形是菱形，
，
，
，
点是线段的黄金分割点，
或，
即或，
或，
，或，
综上可知，的长度是或．
故答案为：或
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键．
10．(1)问题1：；问题2：
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的键．
（1）问题1：根据折叠的性质得到，，得到，可证明，得出，即可得到答案；
问题2：连接，可证明，即可得到结论；
（2）根据题意得，，得到，得出，根据勾股定理求出，计算即可取出的长；
（3）根据题意得到，分两种情况讨论即可.
【详解】（1）解：问题1：对折直角三角形纸片， 使点与点重合，得到折痕，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
问题2：如图，连接，

根据题意得，，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：由折叠可知，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
（3）解：或；
在中，，
，
由折叠可知，，
，
，
，
，，
当时如图（1），设分别与边交于点，连接，
由题意得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，即，
解得：，
；
当时，如图（2）设分别与边交于点，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
综上，重叠部分的面积为或.
11．(1)；
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】连接，则， ，，根据题意得，判定，有，，即可得到；
连接，由（1）知，和都是等腰直角三角形．可证得，有，进一步证得，得到．在中，即可；
当点在线段上时，由题意得，得到．利用勾股定理得，即可求得，利用（2）的结论即可求得；当点在线段上时，同上求得，利用（2）的结论即可求得．
【详解】（1）解： ．理由如下：
连接，如图，
∵四边形为正方形纸片，
∴， ，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
则
（2）．
理由：如图1，连接．
图1
由（1）知，和都是等腰直角三角形．
是的中点，
，
，
，
，
，
，
．
在中，，
，
．
（3）线段的长为或．
情况1：如图2，当点在线段上时，
图2
，
．
在中，．
是的中点，
．
，且点在同一条直线上，
，
在中，，
．
，
．
情况2：如图3，当点在线段上时，
图3
，
，
在中，．
是的中点，
．
，且点在同一条直线上，
．
在中，，
．
，
．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、平行线的判定和性质、解直角三角形、勾股定理和二次根式的混合运算，解题的关键是熟悉旋转的性质和相似三角形的性质，以及作辅助线．
12．(1)30
(2)175
(3)边上不存在满足条件的点，见解析
【分析】（1）连结，由矩形中，点在边上，，可得，由于点，可得．
（2）由菱形性质，可得，，
由，的延长线于点于点，用锐角三角函数和勾股定理可得，，；设，可推算，，，，；由，可得，进而求得．
（3）用反证法说明理由：假设边上存在满足条件的点．由，，可得；由点在边上，可得；过点作于点，连结．由和的性质，可得；由点在边上，，可得．从而得到与互相矛盾，假设不成立，进而得出结论．
【详解】（1）解：如图，连结．
在矩形中，点在边上，，
，
于点，
，
；
故答案为：30；
（2）解：如图，四边形是菱形，
，，
．
的延长线于点，于，
，，
设．
，
．
，解得：．
；
（3）解：边上不存在满足条件的点．
如图，假设边上存在满足条件的点．
在中，，
．
点在边上，
．
过点作于点，连结．
在中，，
．
在中，．
点在边上，，
．
．
与矛盾，假设不成立．
边上不存在满足条件的点．
【点睛】本题主要考查了矩形、菱形、平行四边形的性质，应用相似三角形的性质与判定，解直角三角形，三角函数法、面积法、反证法等知识与技能达成解题目标．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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