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期末复习模拟试题（2） 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．如图是运动员在冰面上表演的图案，下列四个选项中，能由原图通过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．以下问题，不适合用全面调查的是（ ）
A．飞机起飞前对零部件的检查
B．学校招聘语文教师，对应聘人员面试
C．鞋厂检查生产的鞋底能承受的弯折次数
D．了解全班同学每周体育锻炼的时间
5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
6．如图，若数轴上的点，分别与实数，对应，用圆规在数轴上画点，则与点对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．若，则
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．直线在同一平面内，，则
8．如图，已知，F为上一点，，若，则的度数可能为（ ）．
A． B． C． D．
9．定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点，，，三角形的内部比边上多个格点，求三角形内部格点的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．计算：_________．
11．一个样本数据中，最大值是，最小值是，若组距为，则至少应分______组才能包含所有数据．
12．若点是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点的坐标是_______．
13．如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值______．
14．如图，，…，按照这样的规律下去，点的坐标为_____________.
15．关于的不等式组，下列五个结论：
①若不等式的解集是，则不等式的解集是；
②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，则的取值范围是；
③若不等式组仅有5个整数解，则；
④若不等式组无解，则；
⑤当时，不等式组有解．
其中正确的结论是______（填写序号）
三、解答题
16．计算：
(1)计算：；
(2)求下列的值：．
17．（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
18．如图，在三角形中，，分别是边，上的点，连接，，是上一点，连接．已知，．
(1)求证：；
(2)若，平分，，求的度数．
19．某小学体育教师随机抽取了四年级部分学生，统计了他们60秒跳绳的次数，并按次数划分为，，，，，六个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图表．请根据以上信息回答下列问题：
次数段（次） 频数（人） 频率
4
20
11
5
1
(1)这次抽样调查的样本容量为________．
(2)其中频数分布表中________，________，并补全频数分布直方图；
(3)若该校四年级共有1200名同学，跳绳次数在140个以上（包括140个）的为“优秀”，估计全校四年级跳绳成绩为“优秀”的学生有多少人．
20．已知点，解答下列各题：
(1)若点在轴上，求出点的坐标；
(2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标；
(3)若点到轴、轴的距离相等，求出点的坐标．
21．环球飞车是一种特技表演，其中多辆摩托车在一个球形的金属笼子里高速骑行．表演者会垂直、倒置或倾斜骑行，而不会相撞．
(1)物理学原理：摩托车手能在球型铁笼内骑行而不下落需满足旋转产生的离心力重力G．已知离心力，重力（其中m为车手及摩托车总质量，v为骑行速度，r为半径，g为重力加速度且），摩托车手以6米/秒的速度在半径为3米的铁笼内表演，则___（填“有”或“无”）掉落的危险．
(2)如图1，两位摩托车手在周长为16米的水平圆形轨道上匀速顺时针进行骑行表演（最低安全速度为5米/秒），开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），已知位于点A处的摩托车手速度为6米/秒，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为________．
(3)如图2，甲、乙两位摩托车手分别在周长均为16米的水平和竖直圆形轨道上逆时针进行骑行表演，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒，两个表演轨道的交点分别为，开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，求最多可以安全表演多少秒．
22．如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的．
例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的．
(1)下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）；
①，②，③
(2)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围；
(3)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，直接写出a的取值范围
23．如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，．
(1)若，则________；
(2)若，射线在内交直线于点O，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且时，求α的度数；
(3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含α的式子表示）．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C D C C D A D B A
1．C
【分析】平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，据此选出正确答案即可．
【详解】解：根据平移性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，
选项C符合题意，
故选：C ．
2．D
【分析】 根据古秤的物理特性，提绳和秤砣绳均处于竖直方向，因此． 观察图形可知与互为内错角，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出，再根据邻补角的定义，即可求解．
【详解】解：如图，
古秤的提绳与秤砣绳均为竖直方向，
．
与是直线被秤杆所截形成的内错角， ，
．
．
3．C
【分析】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，根据点横纵坐标的正负即可判断点所在象限．
【详解】解：∵点的坐标为，，，
又∵平面直角坐标系中，第三象限内点的横纵坐标均为负数，
∴点在第三象限．
4．C
【分析】当调查具有破坏性 或调查范围较大时，不适合采用全面调查，结合选项判断即可.
【详解】解：全面调查适用于范围小，对结果准确性要求高，不具有破坏性的调查；
A选项：飞机起飞前零部件检查要求结果绝对准确，适合全面调查；
B选项：学校招聘语文教师对应聘人员面试，范围小，需要逐个考察 适合全面调查；
C选项：检查鞋底弯折次数的调查具有破坏性，会损毁产品，不适合全面调查；
D选项：了解全班同学每周锻炼时间，调查范围小，适合全面调查.
5．D
【分析】先将原不等式进行移项、合并同类项、系数化为1以及不等式性质求出一元一次不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解：，
，
，
，
在数轴上表示如下：
6．A
【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数与数轴上的点一一对应，先求出，再根据半径相等得到，即可求出与点对应的实数．
【详解】解：数轴上的点，分别与实数，对应，
，
，
与点对应的实数是：，
故选：．
7．D
【分析】本题主要考查了真假命题的判定，对顶角的定义，平行线的判定以及性质等知识，根据对顶角的性质、平行线的判定以及性质判断即可．
【详解】解：．相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
．若，则或，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
．直线，，在同一平面内，，，则是真命题，故该选项符合题意；
故选：D．
8．B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
先过E作，根据平行线的性质可得，再设，则，根据，即可得到，解得，即可求解．
【详解】解：如图，过E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得，
即，
∴的度数可能为．
故选：B．
9．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，先由，，，在平面直角坐标系描点，求出面积，然后列出方程组，再解方程组即可，熟练掌握格点三角形的面积公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：由，，，在平面直角坐标系描点，
∴
，
∴，
解得，
∴三角形内部格点的个数为，
故选：．
10．1
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根．先计算和，再求它们的和，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：1
11．
【详解】解：样本数据的极差为，组距为，
则组数为，向上取整得，
故至少应分组才能包含所有数据．
12．
【分析】本题考查了点的坐标．根据点A和B在与x轴平行的直线上，可知它们的纵坐标相等；根据到y轴的距离相等，可知它们的横坐标的绝对值相等，且由于两点不同，横坐标不能相同，据此进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵点是与x轴平行的直线上不同的两点，
∴，
又∵它们到y轴的距离相等，
∴，
即，
∴或，
但两点不同，当时，点与点重合，不符合题意，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，
据题意可知，根据折叠得，可得，再根据平行线的性质和折叠的性质得，接下来求出，然后根据“两直线平行同旁内角互补”得，则答案可得．
【详解】解：根据题意可知，根据折叠得.
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标规律，分别从横坐标、纵坐标进行探究是解题的关键．从横坐标、纵坐标两方面探究即可求解．
【详解】解：从开始，坐标依次为：
，
横坐标为，
横坐标为，
横坐标为，
横坐标为，
纵坐标为1，
.纵坐标为2，
纵坐标为3，
纵坐标为，
的坐标：
横坐标：，
纵坐标：2026，
的坐标为．
故答案为：．
15．①③④
【分析】本题考查了根据不等式组的解集的情况，求参数．根据各项中的条件，逐一计算后，判断即可．
【详解】解：对于的不等式组，
解得，
①若不等式的解集是，
∴，解得，
则不等式的解集是，①符合题意；
②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，
∴，解得，②不符合题意；
③若不等式组仅有5个整数解，
∴，解得，③符合题意；
④若不等式组无解，则，解得，④符合题意；
⑤当时，不等式组为，
∴不等式组无解，⑤不符合题意．
故答案为：①③④．
16．(1)
(2)或
【分析】（1）利用立方根、算术平方根的定义及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；
（2）利用平方根定义开方即可求出解．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：，
，
或，
解得或．
17．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟知解二元一次方程组和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
得，解得：．
将代入②得：．
原方程组的解为：
（2）
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集为：．
18．(1)证明：，，
，
，
．
，
．
．
(2)
【分析】（1）根据等量代换得出，确定，得出，再由等量代换得出，结合平行线的判定即可证明；
（2）根据平行线的性质得出，确定，再由角平分线及平行线的性质求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：，
．
，
∴，
．
，
，
，
解得．
，
．
平分，
．
，
．
．
，
．
19．(1)50
(2)9，，补全条形统计图见解析
(3)360
【分析】本题主要考查了样本容量、频数分布表、频数分布直方图、用样本估计整体等知识点，读懂频数分布表成为解题的关键．
（1）用A组的人数除以对应的频率即可求得样本容量；
（2）用样本容量乘以D组所占的百分比可求得a，用B组的人数除以样本容量即可求得b的值，然后补全条形统计图即可；
（3）用总学生数乘以D、E、F三组的频率之和即可．
【详解】（1）解：这次抽样调查的样本容量为．
故答案为：50．
（2）解：，．
补全条形统计图如下：
．
故答案为：9，
（3）解：人．
答：估计全校四年级跳绳成绩为“优秀”的学生有360人．
20．(1)
(2)
(3)或
【分析】此题考查了平面直角坐标系中的点的坐标特征，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特征是解题的关键．
（1）根据点在轴上得到，求出a的值即可得到答案；
（2）根据点的坐标为，直线轴，得到，求出a的值即可得到答案；
（3）根据到轴、轴的距离相等得到，分两种情况分别进行解答即可．
【详解】（1）解：点在轴上，
，
，
，
点的坐标为；
（2）∵点的坐标为，直线轴，
，
，
，
点的坐标为；
（3）点到轴、轴的距离相等，
，
①
∴，
∴点P的坐标为，
②
∴
∴点P的坐标为，
综上可知，点的坐标为或．
21．(1)无
(2)
(3)最多可以安全表演14秒．
【分析】（1）将，分别代入和求解比较判断即可；
（2）根据题意得到当两车相遇时，表演时间超过16秒，然后分两种情况讨论，分别根据题意列出不等式求解即可；
（3）首先根据题意得到当甲乙相遇时，甲乙同时到达点P或Q，然后求出甲第一次到达P，Q的时间，乙第一次到达P，Q的时间，然后得到甲第n（n为正整数）次到达点P的时间为秒，乙第m（m为正整数）次到达点P的时间为秒，然后根据题意得到，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵
∴
∴无掉落的危险；
（2）解：∵要使安全表演时间超过16秒
∴当两车相遇时，表演时间超过16秒
当时，此时位于点A处的摩托车手速度大于位于点B处的摩托车手速度，
∵开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），周长为16米
∴当两车相遇时，位于点A处的摩托车手比位于点B处的摩托车手多走了8米
∴
解得
∴；
当时，同理可得，
解得
∴
综上所述，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为；
（3）解：要求最多可以安全表演多少秒，即求相遇时最多可以安全表演多少秒
∵两个表演轨道的交点分别为，
∴当甲乙相遇时，甲乙同时到达点P或Q
∵开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒，
∴甲第一次到达P的时间为（秒），乙第一次到达P的时间为（秒）
∴甲第一次到达Q的时间为（秒），乙第一次到达Q的时间为（秒）
∵周长均为16米
∴甲转一圈的时间为（秒），乙转一圈的时间为（秒），
∴设甲第n（n为正整数）次到达点P的时间为（秒），乙第m（m为正整数）次到达点P的时间为（秒），
∴当甲乙相遇于点P时，
∴整理得，
∵m，n都为正整数
∴当，时，等式成立
∴此时甲到达P点的时间为（秒）
∴最多可以安全表演14秒．
【点睛】此题考查了求代数式的值，不等式的应用，二元一次方程的解等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
22．(1)③
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义解答，即可求解；
（2）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a的不等式组，即可求解；
（3）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a的不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：，解得：，
∴不等式的所有整数解为大于等于2的全体整数，
①，解得：，其所有整数解为大于等于5的全体整数，不符合题意；
②，解得：，其所有整数解为大于等于3的全体整数，不符合题意；
③，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意；
故答案为：③
（2）解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为，
∴其所有整数解为，
，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为，
∵不等式组与是“整数同解”的，
∴不等式组的所有整数解为，
∴，
解得：；
（3）解：，解得：，
，解得：，
∵不等式组与是“整数同解”的，
设“整数同解”解集中的最大整数为，且为非负整数，
则有，
解得：，
，
，
为非负整数，
．
将代入得：
．
23．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查平行线，角平分线．解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的有关计算，分类讨论，是解题关键．
（1）过P作直线，根据平行公理，有，再根据平行线的性质，即可得解；
（2）延长交于点K，根据，，得，根据平行线的性质，得，再根据，求出，最后再根据平行线的性质，等量代换，即可得解；
（3）根据平移三角形分类讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当N，M分别在点G，H的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可作答．
【详解】（1）过点P作直线，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）延长交于点K，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）①当N，M分别在点G，H的右侧，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴；
②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴，
综上所述，或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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