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期末复习模拟试题（3）
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．在下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.18156
2．同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在什么位置就胜了．（ ）
A． B． C． D．
3．已知，下列结论中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图是某超市2017~2021年的销售额及其增长率的统计图，下面说法中正确的是（ ）
A．这5年中，销售额先增后减再增 B．这5年中，增长率先变大后变小
C．这5年中，2021年的增长率最大 D．这5年中，2021年销售额最大
5．如图，入射光线平行于主光轴，经凸透镜折射后，其折射光线为，光线经过光心，其折射光线为（此时，，三点共线），与光线交于点，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．我国明代数学著作《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出1间客房．设该店有客房x间、房客y人，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．若一元一次不等式组的整数解有个，则“”表示的不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a=1时，方程组的解也是方程x+y=2﹣a的解；②当a=﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④是方程组的解．其中说法错误的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．②③
10．长方形 内有一点，、分别为边、 上两点，连 ，过点作折痕，交 于点，交 于点，沿折痕将 折叠，使得点落在线段 上 处（如图1），再过点作折痕，交 于点，沿折痕将 折叠，点落在直线上 处（如图2），连 和 ，若 ， （如图3），则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．化简：______．
12．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于________．
13．立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，，，则的度数为______．
14．为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到一组卖出冷饮杯数与当天的最高气温的数据，为了更加清楚地看出冷饮杯数与最高气温之间的关系，用横轴表示最高气温，用纵轴表示冷饮杯数，描出各组数据对应的点，如图所示．利用趋势图可以估计当一天的最高气温为时，饮品店一天可卖出的冷饮杯数约为______杯．
15．写出关于x，y的二元一次方程的所有正整数解______．
16．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，如图2，，，且，当与三角板的一条直角边（边或）平行时，则满足条件的t的值为__________ ．
三、解答题
17．（1）计算：
（2）解方程：
18．解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来．
19．为增强学生网络安全意识，某校举行了网络安全知识竞赛，并从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩不低于60分）分成4组（A：，B：，C：，D：），并根据分析结果绘制了如下尚不完整的频数分布直方图和扇形统计图，请根据图中信息，回答下列问题：
(1)随机抽取了 名学生的竞赛成绩进行分析， ；
(2)请补全频数分布直方图，扇形的圆心角的度数为 °；
(3)若竞赛成绩在分及分以上的学生获奖，该校共有名学生参加竞赛，请你估计获奖的学生大约有多少人？
20．如图，点E、F分别在线段和上，且于G，于H，．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的大小．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点A，B，C的坐标分别为．将平移到内部任意一点经过平移后对应点为．
(1)画出平移后的；
(2)直接写出平移过程中扫过的面积为__________；
(3)在x轴上找到一个点D，使；
(4)将直线以每秒1个单位的速度向右平移，则平移__________秒时该直线恰好经过点B（直接写结果）．
22．随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某企业使用A、B两种型号的机器人搬运货物．相关信息如下：若买3台A型机器人、4台B型机器人，共需480万元；若买4台A型机器人、3台B型机器人，共需500万元．A型机器人每天可以搬运货物75吨；B型机器人每天可以搬运货物50吨．
(1)求A、B两种型号机器人的单价；
(2)该企业计划用不超过1000万元购买A、B两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案；
(3)购买时发现，A型机器人价格不变，B型机器人价格每台上涨了n万元，在（2）的采购方案中，若最低费用为972万元，求n的值．
23．【基本图形】（1）如图1，，求证：．
【图形运用】（2）如图2，，交于点分别平分，并交于点N，求的度数．
【思维拓展】（3）如图3，已知，在（2）的条件下，有一动点P在射线上（异于点H），并满足，直接写出的度数．
24．在平面直角坐标系中，点，平移线段到，点B的对应点为．其中a，b满足．
(1)直接写出_____，____；
(2)如图1，若，点D在第三象限，三角形的面积为13，求点C的坐标；
(3)若，点M从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴负半轴方向运动，同时点N从B出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动（到达点O即停止运动），在点运动过程中，四边形的面积始终保持不变，求m的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B D B B A C A B
1．B
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．
【详解】解：A．是分数，属于有理数；
B．是无理数；
C．是整数，属于有理数；
D． 0.18156是小数，属于有理数；
故选B．
2．D
【分析】根据题意白①的位置是，黑②，题意建立坐标系可确定原点的位置，依据题目所给规则进行判定即可得出答案．
【详解】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图，
由图可知，黑棋放在或位置就胜利了．
故选： D．
【点睛】本题主要考查了用坐标系确定位置，根据题意建立适当平面直角坐标系坐标系进行求解是解决本题的关键．
3．B
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断选项即可得出结论．
【详解】解：A、不等式两边加同一个数，不等号方向不变，∵，∴，故A错误，不符合题意；
B、不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，∵，∴，故B正确，符合题意；
C、不等式两边乘正数再加同一个数，不等号方向不变，∵，∴，故，故C错误，不符合题意；
D、由于未给出的符号，当时，不等式两边除以后不等号方向改变，得，故D不恒成立，不符合题意．
4．D
【分析】根据统计图中增长率及销售额的变化逐一判断即可得答案．
【详解】解：A．这5年中，销售额连续增长，故该选项错误，
B．这5年中，增长率先变大后变小再变大，故该选项错误，
C．这5年中，2018年的增长率最大，故该选项错误，
D．这5年中，2021年销售额最大，故该选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查折线统计图与条形统计图，从统计图中，正确得出需要信息是解题关键．
5．B
【分析】过点作，则，利用平行线的性质求出，即可解答．
【详解】解：过点作，则，
∴，
∵，，
∴，
∴．
6．B
【分析】找出题目中的两个等量关系，再据此列出方程．
【详解】解：设该店有客房间、房客人
∵ 每间客房住7人时，有7人无房可住，总人数等于住满房间的人数加无房的7人，
∴
∵ 每间客房住9人时，空出1间客房，即实际住了间房，总人数等于9乘实际使用的房间数，
∴ ，整理得 ．
∴可得方程组．
7．A
【分析】由，得，因为不等式组有5个整数解，可得“”表示的不等式可以是，对照各选项选择即可．
【详解】解：由，得：，
一元一次不等式组的整数解有个，
整数解为、、、、，
不等式组的解集为，
则“”表示的不等式可以是，
的解集为，
的解集为，
的解集为，
的解集为，
∴选项符合．
8．C
【分析】本题考查数轴与实数，数轴上两点间的距离，解题的关键是会用数轴上的数表示两点间的距离．
由已知易得点与点之间的距离，用点对应的数减去即可．
【详解】解：∵在数轴上表示、的对应点分别为、，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵点表示的数是，点在点左边，
∴点表示的数是，
故选：．
9．A
【分析】根据题目中的方程组可以判断各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】当a=1时，，解得，
∴x+y=0≠2﹣1，故①错误，
当a=﹣2时，，解得，，则x+y=6，此时x与y不是互为相反数，故②错误，
∵，解得，，
∵x≤1，则≤1，得a≥0，
∴0≤a≤1，则1≤≤，即1≤y≤，故③错误，
∵，解得，当x==4时，得a=，y=，故④错误，
故选A．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程（组）的解，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程和不等式的性质解答．
10．B
【分析】由折叠得， ，则，过点 作 ，则，则 ， ，根据平行线的性质推出 ，最后利用三角形内角和求出答案．
【详解】解：由折叠得 ，，
， ，
过点 作 ，
∴，
∴，，
，
，
．
11．3
【分析】根据算术平方根的概念求解即可．
【详解】解：因为32=9，
所以=3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方．
12．2
【分析】本题考查了点的坐标，正确掌握点的坐标特点是解题关键．
直接利用点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即可得出答案．
【详解】解：点到x轴的距离为
故答案为：．
13．/30度
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，则有，，，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．130
【分析】本题考查了折线统计图，认真观察折线统计图，从不同的图中得到必要的信息是解决问题的关键．
根据统计图，分析变化趋势，即可求出答案．
【详解】解：由图可知：当气温从开始，卖出的冷饮杯数随着气温的升高而增加，
当最高气温时，卖出的冷饮杯数约为90杯，
当最高气温时，卖出的冷饮杯数约为110杯，
当最高气温时，卖出的冷饮杯数约为120杯，
∴当最高气温为时，饮品店一天可卖出的冷饮杯数约为130杯．
故答案为：130．
15．或
【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意分别将代入求得的值，结合都是正整数，即可求解．
【详解】解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
其它更小，不是整数，
故正整数解为或
故答案为：或
16．15或60
【分析】当时，延长交于点P，分两种情况讨论：①在上方时，②在下方时，，列式求解即可；当时，延长交于点I，①在上方时，，②在下方时，，列式求解即可．
【详解】解：由题意得，，，如图1，
当时，延长交于点P，
①在上方时，
，，，
，
，
，
，
，
即
解得；
②在下方时，，
，，，
，
，
，
，
，即，
；
，
（舍去，不符合题意）
当时，延长交于点I，
在上方时，，
，，
，
，
，
，
，即，
；
②在下方时，，
，，，
，
，
，
，
，即，
（不符合题意，舍去），
综上，所有满足条件的t的值为15或60，
故答案为：15或60．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
17．（1）；（2）
【分析】（1）先计算立方根、平方根、绝对值，再进行加减计算即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2），
由得，，
由得，，
解得，
把代入②得，，
解得，
∴是原方程的解．
【点睛】本题考查实数的混合运算、立方根、平方根、绝对值、解二元一次方程组，熟练掌握运算方法是解题的关键．
18．，数轴表示见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解集的确定口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”成为解题的关键．
先分别求出各不等式的解集，再确定其公共解集，然后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
在数轴上表示如下：
19．(1)200；36
(2)见解析，
(3)人
【分析】（1）根据等级的频数和所占的百分比，可以求得抽取的人数；再根据B等级的人数求出B等级的百分比可得的值；
（2）求出等级的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整，再求扇形统计图的圆心角度数即可；
（3）利用乘以、等级人数所占比例即可．
【详解】（1）解：随机抽取的学生的竞赛人数为：人，
，
；
（2）解：C等级学生有：人，
补全的频数分布直方图，如图所示：
扇形的圆心角的度数为，
（3）解：人，
答：估计获奖的学生大约有人．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）先证明得出，从而可证得，即可由平行线的判定定理得出结论；
（2）设，根据，得出，结合，，得出，，根据，得出，求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．
21．(1)见解答．
(2)38．
(3)见解答．
(4)．
【分析】本题考查作图—平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）利用割补法求出四边形的面积即可．
（3）取与轴的交点，由平移得，可得，则点即为所求．
（4）在点左侧的上取点，设，由图可列方程为，可得，即，从而可得平移(秒)时该直线恰好经过点．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：平移过程中扫过的面积为四边形．
故答案为∶．
（3）解：取与轴的交点，
由平移得，，
即，
则点即为所求．
（4）解：在点左侧的上取点，设，
可得，
解得，
，
平移(秒)时该直线恰好经过点．
故答案为∶．
22．(1)型号智能机器人每台分别为80万元，B型号智能机器人每台为60万元
(2)有3种采购方案．方案一：购买A型机器人3台，购买B型机器人12台；方案二：购买A型机器人4台，购买B型机器人11台；方案三：购买A型机器人5台，购买B型机器人10台
(3)1
【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是关键．
（1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．根据台数和总费用列方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购进A型台，B型台，根据需要费用不超过1000万元，每天搬运货物不低于825吨列出不等式，解不等式即可得到答案；
（3）根据总费用，最低费用为972万元求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设A型号智能机器人每台为x万元，B型号智能机器人每台为y万元．
由题意得，解得；
型号智能机器人每台分别为80万元，B型号智能机器人每台为60万元．
（2）设A型号智能机器人购买m台，则B型号智能机器人购买台．
，
解得：．
为正整数，
可以为3，4，5，共有3种采购方案．
方案一：购买A型机器人3台，购买B型机器人12台；
方案二：购买A型机器人4台，购买B型机器人11台；
方案三：购买A型机器人5台，购买B型机器人10台；
（3）费用，，
，即涨价后每台A型智能机器人的费用大于B型智能机器人的费用．
为了降低购买费用，尽可能少购买A型智能机器人．
，此时购买A型智能机器人3台，B型智能机器人12台．
，解得：，
的值为1．
23．（1）见解析；（2）；（3）的度数为或 ．
【分析】（1）利用平行线的性质，找到与和都相关的角，通过等量代换证明两角相等．
（2）先根据平行线和推出角的关系，再结合角平分线、垂直的条件，作辅助线构造平行关系，利用平行线性质求的度数．
（3）设为未知数，结合（2）的结论与平行线性质，分点的不同位置列方程求解的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴ ．
又∵，
∴．
∴ ．
（2）过点作，延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．，
设，
∵，
∴，
∴ ．
又∵平分，
∴ ．
∵平分，，
∴ ．
∵，
；
同理，， ．
∴，
（3）设，则，过点作，
当在内部时，
∵，
∴ ．
由（2）可得，
∵，
，
解得，
∴ ．
当在外部时，
同理可得：，
∵，
∴，
解得，此时 ．
综上，的度数为或 ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质（内错角、同位角、同旁内角的关系）、角平分线的定义、角的和差运算，熟练掌握通过作辅助线构造平行关系，利用平行线性质进行角的等量代换与计算是解题关键，同时要结合分类讨论思想解决动态点引发的角的度数问题．
24．(1)2，4
(2)
(3)5
【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，解一元一次不等式组，平移的性质，平行线的性质，整式的乘法，三角形的面积公式，坐标与平面等知识点．
（1）根据算术平方根的非负性得到，解一元一次不等式组求出，即可求解；
（2）连接，由平移可得，则，而，再由即可列方程计算；
（3）设运动的时间为，则，，分别由三角形面积公式表示出，，，则由表示出，再消去时间，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：2，4；
（2）解：连接，
∵平移，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：如图，设运动的时间为，则，，
∵，
∴，
∵，，
，
∴，
∴，
∴当时，四边形的面积始终保持不变，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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