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期末复习模拟试题（4）
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．已知方程组的解满足，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．如图，下列“月亮”可以由图案平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且c为有理数，则下列关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．“冰雹猜想”是一个至今未被完全解决的数学问题．截至2023年，通过计算机验证，“冰雹猜想”对于小于的所有正整数都成立，其内容为：对于任意的正整数n，若n为奇数，则下一步计算；若n为偶数，则下一步计算．重复以上操作，这组数字最终会进入循环．在平面直角坐标系中，将点中的横坐标和纵坐标分别按照“冰雹猜想”的要求进行2025次运算，得到的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．某超市用元购进某种水果千克，运输和销售的过程中有的正常损耗，要使销售利润不低于，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为元，由题意列不等式，得（ ）
A． B．
C． D．
6．小龙在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的社区里1500户居民的家庭收入情况，他从社区的A，B，C，D四个小区中按各小区实际户数的随机调查了若干户居民家庭的收入情况，结果显示该社区中等收入的家庭达到．图①、图②反映的是根据本次抽样中的具体数据所制作的各小区被调查家庭数占调查总数比率的扇形统计图、各小区中等收入家庭数的条形统计图（单位：户）．根据以上信息，有下列判断：①A区中等收入家庭的比率最高；②B区中等收入家庭的比率低于；③按抽样估计C区中等收入家庭约120户； ④D区实际家庭数为450户．其中正确的是（　　）
A．只有①② B．只有②④ C．只有①④ D．只有②③④
7． 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个
8．如果是关于的二元一次方程的解，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
9．若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ）
A．3 B． C．16 D．9
10．如图，，点E在的上方，G，F分别为，上的点，，的角平分线交于点H，的角平分线与的延长线交于点M．下列结论：
①；②；③；④若，则．其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．比大小：___________3（填“”、“”或“”）．
12．已知命题：“对于任何实数，”是假命题，请举一个反例，的值可以是_________．
13．在平面直角坐标系中，把点向左平移3个单位得到点，则________．
14．已知关于的方程组，有下列四个结论：
①当时，；
②若，则；
③无论取何值，的值都不可能互为相反数；
④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能在第三象限．
其中所有正确结论的序号是___________．
15．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当°时，．则其余符合条件的度数为_____．
三、解答题
16．计算：．
17．解方程组：．
18．解不等式组：，并将解集表示在数轴上．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形，将三角形先向上平移个单位，再向右平移个单位后，得到三角形，其中点的对应点为原点，点的对应点为点，点的对应点为点．三角形内任意一点的坐标为．
(1)画出平移后得到的三角形；
(2)点的坐标是______，点的坐标是______；
(3)经过平移，点对应点的坐标是______用含、的代数式表示．
20．如图：已知
(1)求证：；
(2)若图中，求证：
21．某校在课后服务中开设了“人工智能小创客”社团，下设四个兴趣小组：
A组：小小机器人；B组：趣味生物；C组：电脑编程；D组：无人机
为调查学生参与偏好，学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将结果整理成统计图图表内容不完整如下：请你根据图中提供的信息，完成下列问题：
(1)本次调查的学生人数为______人；
(2)在扇形统计图中，“B组（趣味生物组）”部分所对应的圆心角的度数为______度；
(3)补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
(4)若该校共有学生780人，请估计该校想参加C组（电脑编程）的学生人数．
22．近年来，中国低空经济发展迅速，成为经济增长的新动能．2024年某外卖公司在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供应急救援等商品货物配送服务．某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元．
(1)求该商店在无促销活动时A，B商品的销售单价分别是多少元？
(2)为鼓励游客使用无人机配送服务，该商店现开展促销活动，有两种方案．
方案一：若消费者用250元购买无人机配送服务卡，凡购买店内任何商品，一律按标价的七五折出售；
方案二：若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售．
某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（）．求当a在什么范围内时，选用无人机配送服务更合算？
23．在平面直角坐标系中，点，点，点满足．
(1)点A、B坐标分别是__________、__________；
(2)若点为第四象限内一点，若，求t的取值范围；
(3)将点B向右平移2个单位得点E，若点F为y轴负半轴上的一个动点，连接交x轴于点G，若，求点F的坐标．
24．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图③入射光线经过镜子两次镜面反射，分别反射两条反射光线，且．设镜子与的夹角．
【问题初探】
（）图①是一种由两面镜子、组成的反光镜，当两面镜子，的夹角___________．时，与平行，请说明理由；
【拓展应用】
（）图②是一种由三面镜子组成的反光镜，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜子的夹角，已知入射光线从镜子开始反射，经过次反射后，反射光线与入射光线平行，请直接写出与的等量关系：___________．
【深入探究】
（）如图③，若，，入射光线与反射光线的夹角．若三角形为锐角三角形，请求出的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D B B D C A D D
1．D
【分析】本题主要考查了根据方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程的左右两边分别相加可得，进而得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：
得，
∴，
∵方程组的解满足，
∴，
解得，
故选：D．
2．C
【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置，对各选项进行判断即可．
【详解】解：A．图案方向发生了改变，是由原图旋转得到的，故本选项错误；
B．图案方向发生了改变，是由原图旋转或翻折得到的，故本选项错误；
C．图案形状、大小、方向均未改变，是由原图平移得到的，故本选项正确；
D．图案方向发生了改变，是由原图旋转得到的，故本选项错误．
3．D
【分析】本题考查不等式性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握不等式的性质，是解题的关键．
【详解】解：A、，当时，，故原不等式不一定成立，不符合题意；
B、，则，故，故原不等式不成立，不符合题意；
C、，当时，则，故原不等式不一定成立，不符合题意；
D、，则，故原不等式成立，符合题意．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查数字的变化规律，图形与坐标．通过运算找到输出结果的循环规律是解题的关键．
【详解】解：横坐标2的运算过程如下：
初始值2（偶数），第1次运算得1；第2次运算1（奇数），得4；第3次运算4（偶数），得2；
可知该计算以1，4，2循环，
则2025次运算中，的余数为0，
∴横坐标2的运算结果为2，
纵坐标5的运算过程：
同理可知，前5次运算依次得16→8→4→2→1；
第6次运算1（奇数），得4，可知该计算以4，2，1循环；
后续运算次数为次，的余数为1，对应循环第1步结果4，
∴纵坐标5的运算结果为4，
综上，最终坐标为，
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出不等关系，列出不等式．根据题意可得，这批水果可卖元，根据“这批水果至少获得的利润”即可列出不等式．
【详解】解：设该水果每千克的售价为元，
根据题意所列不等式为，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，熟练掌握条形统计图、扇形统计图信息的互补性，用样本估计总体，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
根据扇形统计图和条形统计图提供的信息对每一项分别进行计算即可求出正确的结论．
【详解】解：该社区中等收入的家庭数是：，
C区抽查的中等收入家庭数是：，
A区抽查的家庭数是：（户），
中等收入家庭的比率是：，
B区抽查的家庭数是：（户），
中等收入家庭的比率是：，
C区抽查的家庭数是：（户），
中等收入家庭的比率是：，
D区抽查的家庭数是：（户），
中等收入家庭的比率是：，
C区中等收入家庭的比率最高，
∴①错误；
B区中等收入家庭的比率低于，
∴②正确；
C区中等收入家庭约户，
∴③正确；
D区实际家庭数为户，
∴④正确．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐项判断即可得出答案．
【详解】解：①∵，
∴，故①符合题意；
②∵，
∴，故②不符合题意；
③∵，
∴，故③符合题意；
④∵，，
∴，
∴，故④符合题意；
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
将代入二元一次方程中，可得，解方程即可．
【详解】解：∵是关于的二元一次方程的解，
∴将代入二元一次方程中，
即，
解得，
故选：A．
9．D
【分析】本题考查平方根，由平方根的定义可知同一个数的两个不相等的平方根互为相反数，由此列方程求出m的值，进而求出或的平方即可．
【详解】解：与是同一个数的两个不相等的平方根，
，
解得，
，
，即这个数是9．
故选D．
10．D
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合角平分线以及平角的定义进行列式化简得；过点作，运用两直线平行，内错角相等，以及角之间的关系，得；过点作，运用两直线平行，内错角相等，以及角之间的关系，得，再结合进行分析化简得，结合前面的结论以及进行分析，即可作答．
【详解】解：∵，的角平分线交于点H，的角平分线与的延长线交于点M．
∴，
∵，
∴，
即，
故①符合题意；
过点作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故②是符合题意；
过点作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
故③符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
由②得，
∴，
即，
由③得，
∴，
由③得，
∴，
∴，
故④是符合题意；
故选：D．
11．
【分析】比较两个正实数的大小，可采用平方法，将两数分别平方后，比较平方结果的大小，平方结果更大的原数更大，据此即可求解.
【详解】解：，，且，，
又，
.
12．（答案不唯一）
【分析】根据绝对值的性质，取一个负数，验证即可，例如取，此时，可证明命题为假．
【详解】解：根据绝对值的性质，当时，，
取（答案不唯一，任意负数均可），
此时，而，与矛盾．
13．6
【分析】平移中点的变化规律为横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，根据平移规律列方程求解即可．
【详解】解：点向左平移个单位得到点，
，
解得．
14．①③④
【分析】先利用加减消元法求出，，将代入计算即可得①正确；将两个方程相加可得，则可得，解方程即可得②错误；求出的值即可得③正确；根据建立不等式组即可得④正确．
【详解】解：，
由⑥⑤得：，解得，
将代入⑤得：，解得，
当时，，则，结论①正确；
由⑤⑥得：，
若，则，解得，结论②错误；
∵，
∴无论取何值，、的值都不可能互为相反数，结论③正确；
∵第三象限的点的横、纵坐标均小于0，
∴令，则，
解得，这个不等式组无解，
∴若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能在第三象限，结论④正确；
综上，所有正确结论的序号是①③④．
15．或或
【分析】本题考查了平行线的性质，；熟练掌握平行的性质是解题的关键；
分，，三种情况，分别利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图3，当时，；
如图4，当（或）时，，
∴，
∴；
如图5，当时，，
∴．
综上所述，其他可能符合条件的度数为或或．
故答案为：或或．
16．
【分析】本题考查实数混合运算，先求立方根，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
17．
【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，消除y，求出x再代入其中一个方程求出y即可得到答案．
【详解】解：得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
所以原方程组的解是．
18．不等式组的解集为，见解析
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解．
本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示：
19．(1)见解析
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟知点的平移变化规律是解题的关键．
（1）根据点A坐标和原点坐标可得平移方式，进而可得点的坐标，描出，并顺次连接O、即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）根据平移方式即可得到答案．
【详解】（1）解：∵将三角形先向上平移个单位，再向右平移个单位后，得到三角形，点的对应点为原点，
∴三角形先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到三角形，
如图，三角形即为所求．
（2）解：由图可得，点的坐标是，点的坐标是．
故答案为：；．
（3）解：由题意得，点对应点的坐标是．
故答案为：．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）由题意，得到，证得；
（2）由（1）的结论，得到，结合已知条件，求出的度数，证得结论．
【详解】（1）证明：，
，
；
（2）证明：由（1）得，
，
，
，
，
，
21．(1)40
(2)144
(3)见解析
(4)156人
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，用样本估计总体等知识点，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）由组人数除以占比即可求解调查的学生数；
（2）用乘以“B组（趣味生物组）”的占比即可求解圆心角度数；
（3）先由总人数减去组人数求出组人数，即可补全条形统计图；
（4）用样本估计总体的方法求解即可．
【详解】（1）解：本次调查的学生人数为：人，
故答案为：40；
（2）解：在扇形统计图中，“B组趣味生物组”部分所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：144；
（3）解：组人数为人，
补全条形统计图如下：
（4）解：（人），
答：估计该校想参加C组电脑编程的学生人数约为156人．
22．(1)该商店在无促销活动时A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元；
(2)当时，选用无人机配送服务更合算
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设该商店在无促销活动时A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元，根据“某商店在无促销活动时，买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；买8件A商品，5件B商品，共需2280元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据选用无人机配送服务更合算，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再结合，即可确定结论．
【详解】（1）解：设该商店在无促销活动时A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：该商店在无促销活动时A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
又∵，
∴．
答：当时，选用无人机配送服务更合算．
23．(1)点，点
(2)
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质求解的值即可；
（2）根据点为第四象限内一点，可得：，如图，过作轴的平行线，过作轴的平行线，交点分别为，可得，，，，，利用，再建立不等式解题即可；
（3）如图，连接，将点B向右平移2个单位得点E，则，设，，由，可得①，由，可得：②，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，，
解得：，，，
∴点，点，点；
（2）解：∵点为第四象限内一点，
∴，
解得：，
如图，过作轴的平行线，过作轴的平行线，交点分别为，
∵点，点，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
解得：，
综上：；
（3）解：如图，连接，将点B向右平移2个单位得点E，则，而，
设，，
∴，
∵，
∴，
整理得：，即①，
∵，
∴，
整理得：②，
①②得：，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查的是坐标与图形面积，算术平方根的非负性的应用，不等式组的解法，整式的乘法运算，方程组的解法，本题的难度较大，作出图形与辅助线是解本题的关键．
24．（）；（）；（）
【分析】（）由平行线的性质可得，即得，得到，进而即可求解；
（）过点作，可得，由平行线的性质得，利用三角形内角和定理可得，即得，同理得，进而由平行线的性质得到，化简即可求解；
（）由图可得，，即得，再根据锐角三角形的定义列出不等式组解答即可求解；
本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角的性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：（）当时，与平行，理由如下：
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即两面镜子，的夹角时，与平行，
故答案为：；
（）如图，、、为反射光线，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（）解：由图可得，，
∵，
∴，
同理可得，，
∴，
∵三角形为锐角三角形，
∴，
解得．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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