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期末复习专题--二次根式专题练（重点知识点） 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．下列各式，，，中是二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
3．设，，则可以表示为()
A． B． C． D．
4．在下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
5．若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知为实数，则代数式的值为（ ）
A．0 B． C． D．无法确定
8．在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（ ）
甲：原式；
乙：原式
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误
C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误
9．当时，二次根式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
10．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
12．比较大小：_________（用或填空）
13．与最简二次根式是同类二次根式，则a＝_____．
14．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：______．
15．如图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），．若一台座钟的摆针的摆长为，则该座钟摆针摆动的周期为______．
16．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，所以与互为“对偶式”．则的“对偶式”是________．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)
18．小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的：
，
.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出 ；
(2)化简；
(3)若，请按照小明的方法求出 的值．
19．【再读教材】我们八年级下册数学课本第17页介绍了“海伦-秦九韶公式”；如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．
【解决问题】已知如图在中，，，．
(1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积．
(2)设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B C B B A C A
1．B
【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可．
【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个；
故选B．
2．C
【分析】本题主要考查同类二次根式的定义，根据同类二次根式需化简后根号内的被开方数相同，将各选项化为最简二次根式后比较被开方数即可．
【详解】解：A、，被开方数为 ，与的被开方数不同，不符合题意；
B、，被开方数为，与不同，不符合题意；
C、，被开方数为，相同，符合题意；
D、，被开方数为，与不同，不符合题意；
故选： C．
3．C
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：
，
又，
．
故选：C．
4．B
【分析】最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，根据最简二次根式的概念逐项判断即可；本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
【详解】解：A：，含平方因子9，非最简，不符合题意；
B：被开方数为多项式，无平方因子且不含分母，为最简二次根式，符合题意；
C：，含平方因子，非最简，不符合题意；
D：含分母，非最简，不符合题意；
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了长方形面积公式和二次根式的乘法运算，解题关键是利用长方形面积公式建立等式，通过二次根式运算验证选项．
根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，已知面积和一条边长，可求相邻边长．
【详解】解：长方形面积长宽，已知面积为，一条边长为，则相邻边长面积已知边长，即计算：
．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了平方根和立方根的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：依题意，，故①是不符合题意的，
则，故②是符合题意的，
则，故③是符合题意的，
则，故④是不符合题意的，
综上，正确的个数为2，
故选：B
7．B
【分析】根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入代数式计算．
【详解】解：要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，则
由，得：．
将代入代数式：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件（被开方数非负），解题关键是通过的非负性确定的唯一值，再代入计算．
8．A
【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的性质．
利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可．
【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确；
∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确；
∴ 甲、乙两种方法均正确，
故选：A．
9．C
【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可．
【详解】当时，
．
故选：C．
10．A
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，关键在于审清题意，看懂图形，找到各部分面积的关系．先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论．
【详解】因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形．
因为三个小正方形的面积分别为，
所以三个小正方形的边长分别为：，，．
由图知大正方形的边长为：，
所以．
故选：A．
11．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数这一条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，二次根式中被开方数须大于等于，
∴，
解不等式得：．
故答案为： ．
12．<
【分析】先把两个式子分母有理化，再比较化简后的结果的大小，从而得到原式的大小关系．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
∴．
故答案是：<．
【点睛】本题考查二次根式的化简和大小比较，解题的关键是掌握二次根式的化简方法和比较大小的方法．
13．3
【分析】首先化简二次根式，再根据同类二次根式定义可得2a﹣3＝3，再解即可．
【详解】，
∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴2a﹣3＝3，
解得：a＝3，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
14．/
【分析】本题主要考查二次根式的化简，实数与数轴．由数轴可得，，从而得，，再结合二次根式的性质化简进行求解即可．
【详解】解：由数轴得：，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据公式计算即可；
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
16．
【详解】解：根据定义，与称为一对“对偶式”，
已知所求式子为，其中，，
可得它的“对偶式”为．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先化简，根据二次根式的加减混合运算计算即可；
（2）运用平方差公式，完全平方公式，根据二次根式混合运算计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化．
（1）根据例题可得：对式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解；
（3）根据小明的分析过程，得得，，再整体代入，即可求出代数式的值．
【详解】（1）解：
；
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，即，
，，
．
19．(1)
(2)
【分析】（1）直接代入公式计算即可；
（2）用底乘高除以2的面积公式与用海伦秦九韶公式计算而得的结果相等，利用（1）中所求的面积，分别求出三角形三条边上的高，再求和即可．
【详解】（1）三角形三边长分别为4、5、7，
，
；
（2），
，
解得，，．
．
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