资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
期末复习专题--勾股定理专题练（重点知识点）
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．下列几组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11
2．中，，，所对的边分别是a，b，c，下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1，以点A为圆心，AB为半径画弧交网格线于点D，则ED的长为（　　）
A． B．3 C．2 D．
5．如图，一木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处，则木杆折断之前的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱的高度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度为0.4米，将踏板往前推送，使秋千绳索到达的位置，测得推送的水平距离为3米，此时秋千踏板离地面的垂直高度为1.4米，则立柱的高度为（ ）
A．3米 B．4米 C．米 D．米
7．如图，将一支筷子放入杯中（杯子厚度忽略不计），已知筷子的长度为，杯子底部直径为，杯子高为，则筷子露出杯口部分长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，直角中，，，则内部五个小直角三角形的周长和为______．
9．如图．一台笔记本电脑平放在桌上，屏幕宽为，当电脑张角为时，顶部边缘处离桌面的距离为，调整电脑的张角，当张角为（点与点为笔记本顶部边缘同一点）时，顶部边缘处到桌面的距离为，则处与处之间的距离长为____．
10．长方体的长、宽、高分别为8cm、4cm、5cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径的长是__________
11．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是______尺．
12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使落在斜边上，折痕为，则的长为__．
三、解答题
13．如图，在中,，点为边上的动点，点从点出发，沿边向点运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当时，= ，= ；
（2）求当为何值时，是直角三角形，说明理由;
（3）求当为何值时，，并说明理由．
14．某公司把一块形状为直角三角形的废地开辟为植物园，如图，米，米，若线段是一条水渠，点在边上，且水渠的造价为元/米，则点在距点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少元？
15．如图，在中，分别为边的中线，分别交于点D、E．
(1)若，求证：；
(2)若，，，求的长．
16．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，通过对图形的拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它代表了我国古人对数学的钻研精神和聪明智慧．如图是“赵爽弦图”的示意图，它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为．
(1)小正方形的面积是多少？（用含有，的代数式表示）
(2)请你运用此图形证明勾股定理：．
17．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染．
(1)求点C到铁路的距离；
(2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长．
18．综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．
(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．
(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．
(3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C B A C D D
1．B
【分析】本题考查了勾股数“能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数”，熟记勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项不是勾股数，不符合题意；
B、，则此项是勾股数，符合题意；
C、，则此项不是勾股数，不符合题意；
D、，则此项不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了直角三角形的判定．可用勾股定理的逆定理和有一角为90°的三角形是直角三角形判定．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理和有一角为90°的三角形是直角三角形逐个进行分析判断，从而得出正确答案．
【详解】A. ，
由得，，
∴，是直角三角形；
B. ，
设，，，
则，
∴，是直角三角形；
C. ，
由得，是最大角，
∵，
∴，
∴不是直角三角形；
D. ，
由得，，
∵，
∴，
∴，是直角三角形．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理在图形面积中的应用，熟记定理内容是解题关键．
【详解】解：正方形的面积,
正方形的面积，
∵，
∴
故选：B
4．A
【分析】连接AD，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：连接AD，
由题意得AD=AB=3，
在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，
∴DE=，
故选A．
【点睛】此题考查了勾股定理，正确理解题意连出辅助线，从而根据勾股定理计算是解题的关键．
5．C
【分析】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出木杆折断之前的高度．
【详解】解：一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，
折断的部分长为：，
折断前高度为．
故选：C
6．D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，勾股定理，求出绳索的长是解题关键．设绳索的长度为，则，，进而得出，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到立柱的高度．
【详解】解：设绳索的长度为，
则，，
∴，
由题意得：，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
即立柱的高度为，
故选：D．
7．D
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，结合图象先求出筷子在杯子里面的部分，即可计算得出结论．
【详解】解：如下图，当筷子斜放在杯中时，筷子露出杯口部分长度最小，
由题意得：，
，
则筷子露出杯口部分长度的最小值为，
故选：D．
8．
【分析】由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长，通过勾股定理求出的长度，然后计算周长即可．
【详解】解：直角中，,
五个小直角三角形的周长为：，
故答案为：．
【点睛】主要考查了平移的性质、勾股定理，弄清楚内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长是解题关键．
9．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理分别求出、的长，即可得出结果．
【详解】解：由题意得：，，，，
在中，，
在中，，
，
故答案为：．
10．cm
【分析】将长方体按不同方式展开，构造直角三角形，利用勾股定理求出AB长．
【详解】解：如图所示，
路径一：AB＝；
路径二：AB＝；
路径三：AB＝
∵ ，
∴cm为最短路径．
【点睛】本题考查了平面展开 最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答．
11．12
【分析】本题考查勾股定理的应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．
将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知尺，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：设水深x尺，则芦苇长尺，
在中，，
即，
解得：，
∴，
故水深12尺，芦苇长13尺，
故答案为：12．
12．6
【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理．根据勾股定理可求得，由折叠的性质可得，，，进而得到，，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：在直角三角形中，，，
，
根据折叠的性质可得，，，，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
故答案为：6．
13．（1）CD=4，AD=16；（2）当t=3.6或10秒时，是直角三角形，理由见解析；（3）当t=7.2秒时，，理由见解析
【分析】（1）根据CD=速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解；
（2）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；
（3）过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答．
【详解】解：（1）t=2时，CD=2×2=4，
∵∠ABC=90°，AB=16，BC=12，
∴AD=AC-CD=20-4=16；
（2）①∠CDB=90°时，
∴解得BD=9.6，
∴
t=7.2÷2=3.6秒；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
t=20÷2=10秒，
综上所述，当t=3.6或10秒时，是直角三角形；
（3）如图，过点B作BF⊥AC于F，

由（2）①得：CF=7.2，
∵BD=BC，
∴CD=2CF=7.2×2=14.4，
∴t=14.4÷2=7.2，
∴当t=7.2秒时，，
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相关的知识是解题的关键
14．点在距点为米处时，造价最低，最低造价为元．
【分析】容易判断当时，最短．在中，使用勾股定理计算出米，再使用面积法计算出米，同时得到最低造价元，最后在中，使用勾股定理计算出米．
【详解】解：∵垂线段最短，
∴当时，最短，
如图，此时，
在中，（米），
∵，
∴（米），
在中，（米），
最低造价：（元）．
答：点在距点为米处时，造价最低，最低造价为元．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据中线的定义和勾股定理即可求证明．
（2）根据中线的定义，得到，，利用勾股定理求得AB．
【详解】（1）证明：∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD＝4，CE＝3．
∴AC＝6，BC＝8．
∵．
∴．
∴△ABC是直角三角形．
∴．
（2）解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，
∴，．
∵AD、BE分别为边BC、AC的中线．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了中线和勾股定理的知识，解题的关键在于明确中线的定义、掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
16．(1)
(2)见解析
【分析】（1）先求出小正方形的边长，再根据正方形的面积公式即可解答；
（2）根据中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积结合（1）中结论列出等式，利用完全平方公式变形即可证明．
【详解】（1）解：由图知小正方形的边长为，
即小正方形的面积是；
（2）解：由图知小正方形的面积可以用表示，也可以用表示，
，
．
17．(1)48米
(2)会造成噪声污染，污染的时间为10秒
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识．
（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题．
（2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题．
【详解】（1）解：过点C作于点D，如图．
由题意，得．
，
．
是直角三角形，，
，
．
答：点C到铁路的距离为．
（2）解：，
∴会对鸟类巢穴造成噪声污染．
如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则．
，
．
在中，由勾股定理，得，
，
∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为．
答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为．
18．(1)A，C
(2)建造绿化地的费用为11400元
(3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答．
（2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答；
（3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论．
【详解】（1）解：连接，
施工人员测量的是A，C两点之间的距离，
∵
∴，
∴，
即当测量A，C两点之间的距离为
∴满足勾股逆定理得；
∴，
故答案为：A，C；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴四边形的面积，
∴建造绿化地的费用（元）；
（3）解：∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元），
方案二：铺设管道所花的费用（元），
∵
∴铺设管道所需的最少费用为700元．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑