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期末复习专题--实数专题练（重点知识点） 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．36的平方根是（ ）
A．6 B． C．18 D．
2．4的算术平方根是（　　）
A． B． C． D．2
3．若实数有算术平方根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列算式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
6．若a，b满足，则的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
7．9的立方根是（ ）
A．3 B． C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是9
B．立方根等于它本身的数有两个，0和1
C．是49的算术平方根
D．4是16的一个平方根
9．下列4个数中，最大的数是( )
A． B． C．0 D．2
二、填空题
10．的算术平方根是____________．
11．计算：__________．
12．某正数的两个不相等的平方根分别是和，则a的立方根为______．
13．计算：______．
三、解答题
14．已知的立方根为，是的一个平方根，求的平方根．
15．计算
(1)
(2)
16．已知，的平方根是，是的整数部分，求代数式的平方根．
17．已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4．
(1)直接写出a，b，m的值；
(2)求的平方根．
18．如图，小丽有一块长方形硬纸片，周长是，假设长为，宽为．
(1)请用含x的式子表示y，则__________；
(2)小丽沿虚线剪下一个面积为的正方形，请求出y的值．
19．某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”．
(1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由．
(2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值．
(3)写出两组含有的“组合平方数”．
20．某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发现的结果，内容如下：“我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”
(1)若，则的值是 ．
(2)若，求的立方根．
21．如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点．
(1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数；
(2)在（1）的条件下，若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数；
(3)在（2）的条件下，若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B D D D D C B D B
1．B
【分析】本题考查平方根的定义，为易错题，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键．
根据平方根的定义：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中每一个数都叫这个正数的平方根，即可求得结果．
【详解】解：36的平方根是．
故选：B
2．D
【分析】本题主要考查算术平方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键，
根据算术平方根的定义，非负数x的算术平方根是非负数a，满足．4的算术平方根需满足且，由此确定答案．
【详解】解：4的算术平方根是2，用式子表示为，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查算术平方根的性质，算术平方根的被开方数是非负的，即，求不等式解集即可．
【详解】解：若实数 有算术平方根，则被开方数 必须满足非负性，
即：
因此， 的取值范围是 ．
故选： D．
4．D
【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念及运算，需根据定义逐一判断各选项的正确性，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、， 故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
5．D
【分析】使用夹逼法，找到与31相邻的两个完全平方数，即可确定的范围．
【详解】解：∵，，且．
∴，即 ．
故的值在5和6之间．
6．C
【分析】本题考查了代数式求值，非负数的应用，算术平方根，根据偶次幂，算术平方根均为非负数，它们的和为0时，由此解出a和b的值，再代入计算，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴， ，
∴，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查的是立方根的意义，根据立方根的意义可得答案.
【详解】解：的立方根是，
故选：B
8．D
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，立方根和算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可．
【详解】解：A、的平方根是，原说法错误，不符合题意；
B、立方根等于它本身的数有三个，0和，原说法错误，不符合题意；
C、是49的平方根，原说法错误，不符合题意；
D、4是16的一个平方根，原说法正确，符合题意；
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了实数的大小比较，估算，即可求解．
【详解】解：
∴最大的数是，
故选：B．
10．
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．
【详解】解：∵
∴的算术平方根是，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据，则，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了平方根的定义，求一个数的立方根，列一元一次方程解决问题，解题的关键是熟练掌握平方根的定义．
根据平方根的定义列出，然后求解，再求立方根即可．
【详解】解：根据平方根的性质得，
解得，
∴a的立方根为：，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查实数的运算，利用算术平方根及立方根的定义计算后再算减法即可．
【详解】解：
故答案为：．
14．
【分析】本题考查平方根以及立方根，根据立方根、平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：的立方根为，是的一个平方根，
，
解得，
，
的平方根为：．
15．(1)
(2)
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
16．
【分析】本题综合考查了实数的内容，熟知平方根的概念以及估算是解题的关键．根据平方根的概念，结合，的平方根是，得出，，求出a，b的值，利用实数的估算方法求出的整数部分，再代入代数式求出代数式的值，最后即可求出平方根．
【详解】解：由，得，
；
的平方根是，
，
，
解得；
，是的整数部分，
，
则，
∵25的平方根为，
的平方根为．
17．(1)，，，
(2)
【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的概念是解题的关键．
（1）根据平方根的性质求出的值，根据立方根的定义求出的值，根据算术平方根的定义求出的值即可；
（2）把a、b、 m值代入求值，然后根据平方根的定义计算即可．
【详解】（1）解：∵a的平方根是它本身，
∴，
∵的立方根是3，
∴，
∴，
∵的算术平方根是4，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴
∴的平方根．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，求一个数的算术平方根．
（1）根据长方形周长公式计算即可；
（2）根据正方形面积公式求出x的值，代入计算即可．
【详解】（1）∵小丽有一块长方形硬纸片，周长是，假设长为，宽为，
∴，
即，
故答案为：；
（2）∵小丽沿虚线剪下一个面积为的正方形，
∴，
即，
∴．
19．(1)，，这三个数是“组合平方数”，理由见解析
(2)m的值为
(3)，，；，，（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了新定义，解题关键是能够熟练理解新定义的含义．
（1）先分别求出这三个数两两乘积的算术平方根，然后根据已知条件中的新定义，进行判断即可；
（2）根据两个数乘积的算术平方根为，求出这两个数的乘积，列出关于m的方程，解之可得；
（3）根据“组合平方数”的定义，写出一组“组合平方数”．
【详解】（1）解：，，这三个数是“组合平方数”．理由如下．
∵，，，
∴，，这三个数是“组合平方数”．
（2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，
∴，，都是整数．
∴或．
∴或（不合题意，舍去）．
当时，这三个数，，是“组合平方数”．
综上所述，m的值为．
（3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一）
故答案为：，，或，，（答案不唯一）．
20．(1)
(2)或或
【分析】（）由已知可得，再根据立方根的定义解答即可；
（）由已知可得，即得的立方根等于它本身，得到或或，又由，可得，进而求出的值再代入到代数式求出的值，最后根据立方根的定义解答即可求解；
本题考查考查了立方根的定义和性质，掌握立方根的定义和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴的立方根等于它本身，
∴或或，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
∵，
∴，
∴，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
∴的立方根是或或．
21．(1)
(2)
(3)在点的左侧，理由见解析
【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，实数的加减运算，数形结合是解题的关键．
（1）根据数轴上两点距离即可求解；
（2）根据相反数的定义即可求解；
（3）根据题意，得出运动 2026秒时，在点左侧 2 个单位长度，即表示的数为，进而判断所表示的数的大小，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，把点向左平移 4 个单位长度得到点，
∴B点表示的数为；
（2）解：∵C点表示的数是所表示数的相反数，
∴C点表示的数为；
（3）解：，
，
∴P运动 2026秒时，在点左侧个单位长度，即表示的数为．
因为表示的数是，
，
，
，即，
∴ P在点的左侧．
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