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2026年四川省南充市营山县中考名校联考数学试题
1．计算，结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：．
故答案为：D.
【分析】根据负整数指数幂法则“”及零指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别计算后再计算有理数加法得出答案.
2．如图，是实数a，b在数轴上对应点的大致位置．下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则；不等式的性质；绝对值的概念与意义；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：从数轴上表示数a、b的位置可以得到，，
A、，不等式两边同时加2，不等号方向不变，，因此该选项错误，不符合要求；
B、由，根据绝对值的定义可得；又∵1＜b＜2，，因此该选项正确，符合要求；
C、∵，，∴将两个不等式相加可得，∴不等式两边同时加1得到，结果包含正、负、0，不能确定a+b=1的符号，因此该选项错误，不符合要求；
D、∵，∴不等式两边同时加1可得；∵，∴不等式两边同时加1可得；∴由异号两数相乘结果为，因此该选项错误，不符合要求.
故答案为：B.
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点可得-3＜a＜-2，1＜b＜2，然后根据在不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不改变可判断A选项；根据一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点离开原点的位置可判断B选项；将关于a、b两数取值范围的式子相加后，再根据在不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不改变可判断C选项；根据a、b的取值范围，结合在不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不改变得出a+1与b+1的正负，进而根据有理数乘法法则可判断D选项.
3．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（　　）
A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克
C．两张不同的卡片 D．一枚图钉
【答案】D
【知识点】模拟实验；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等．
A、均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物；
B、两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物；
C、两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物；
D、抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物．
故答案为：D.
【分析】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，故替代物需满足两种结果发生概率相等，从而逐一判断得出答案.
4．如图，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上， ．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过A作，
∵，
∴，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】过A作AQ∥BE，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AQ∥BE∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠BAQ=∠ABE=21°，∠ACD=∠CAQ，由等边三角形的每一个内角都是60°得∠BAC=60°，最后根据角的构成，由∠ACD=∠CAQ=∠BAC-∠BAQ可算出答案.
5．如图，，是的弦，P为半径上的动点（不与端点重合），连接．若，则的度数不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵P为半径上的动点（不与端点重合），
∴
∵
∴，
故的度数不可能为，选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】连接OC、BC，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠BOC=140°，由等边对等角及三角形的内角和定理得出∠OCB=∠OBC=20°，由三角形外角相等得∠BPC=140°+∠OCP，由P为半径OB上的动点（不与端点重合）可得0°＜∠OCP＜20°，然后根据不等式性质即可求出∠BPC的取值范围，从而逐一判断得出答案.
6．若m，n互为倒数，且满足，则n的值为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】有理数的倒数；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵互为倒数，
∴，
∵，
∴，
把代入得，
∴，
又∵互为倒数，
∴．
故答案为：A.
【分析】由互为倒数的两个数的乘积等于1可得mn=1，然后将已知方程左边按单项式乘以多项式法则计算后整体代入可求出m的值，进而再根据1除以一个不为零的数等于这个数的倒数求解即可.
7．设方程的两根为，，则的值为（　　）
A． B． C．10 D．12
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵的两根为，，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则，，据此结合题意求出x1+x2与x1x2的值，最后将待求式子利用多项式乘以多项式法则展开后整体代入计算可得答案.
8．如图，四边形和都是矩形，点B在边上．若，，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
在中，，，
∴由勾股定理得：．
．
四边形是矩形，
，．
，
的长即为平行线与之间的距离．
点在边上，
点到的距离等于．
．
即 ．
．
故答案为：B.
【分析】由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理算出BC，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积；由矩形性质得∠ACF=90°，AC∥EF，由平行线间的距离处处相等得点B到AC的距离等于CF，再根据三角形面积公式结合△ABC的面积建立方程可求出CF的长.
9．如图，在中，，P是边上一动点（不与端点重合）．由旋转得到．下列说法：①的大小是变化的；②平分；③有最小值；④与成一次函数关系；⑤四边形的面积为定值．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】一次函数的概念；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得，，，
∴，
∴，
∵是定角，
∴是定角，故①说法错误；
∵，
∴，
∴，
∴平分，故②正确；
∵，且垂线段最短，
∴当时，有最小值，即此时有最小值，故③正确；
∵，
∴，
∵的长是定值，
∴与成一次函数关系，故④正确；
∵，
∴四边形的面积为定值，故⑤正确；
∴正确的有4个．
【分析】由旋转得AQ=AP，∠ACQ=∠B，∠BAP=∠CAQ，CQ=BP，S△ABP=S△ACQ，由角的构成及等式性质推出∠PAQ=∠BAC，据此可判断①；根据等边对等角得∠ACB=∠B=∠ACQ，从而根据角平分线的定义可判断②；根据AQ=AP及垂线段最短可判断③；根据及一次函数的定义可判断④；根据图形，由可判断⑤．
10．在直角坐标系中，当时，抛物线的图象总在直线的下方，则t的最大值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：首先对抛物线配方：，
抛物线在直线下方，即对任意，满足，
整理得，
令，
解得，其中
∴的解集为
要使得任意，恒成立，
则，且，
∴为求的最大值，则
，
令，则
∴
，
则，
∴，
∵
∴．
故答案为：D.
【分析】先将含参数的抛物线解析式配成顶点式，根据抛物线在直线y=x下方的条件得到一元二次不等式，求解得出x的取值范围；要使得任意，恒成立，则，且，故为求的最大值，则，再由换元法求解即可．
11．实数a，b同号，可用一个式子表示为　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：根据实数除法法则，两个实数同号时商为正，可得．
故答案为：.
【分析】开放性命题，答案不唯一；根据两个实数相除，同号得正，异号得负，解答即可.
12．抛掷一枚硬币20次．恰好10次正面朝上，10次背面朝上，这样的结果是　 　事件．
【答案】随机
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：抛掷一枚硬币20次，恰好10次正面朝上，10次背面朝上，该结果可能发生，也可能不发生，符合随机事件的定义，即该事件是随机事件．
故答案为：随机.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，据此结合题意判断即可.
13．如图，正五边形的边长为5，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为　 　（结果保留．）
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，且边长为5，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】根据正多边形每一个内角都相等可得正n边形的一个内角为，据此求出∠A的度数，然后根据扇形面积公式“”计算即可.
14．如图，正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，若反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），则的整数值有　 　个．
【答案】9
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的顶点都在正方形网格的格点处，且点，
∴，
∵反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），
∴将代入中得：，将代入中得：，
∴的取值范围为，其中共有9个的整数值，
故答案为：9．
【分析】根据点的坐标与图形性质及正方形性质求出B点坐标，后将B和D的坐标分别代入中求出k的值，从而即可得出k的取值范围，进而找出取值范围内的整数个数即可.
15．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围为　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：，
，
解得，，
检验，将代入，解得，，
∵分式方程的解为非负数，
∴，
解得，，
∴m的取值范围为或，
故答案为：或．
【分析】本题以分式方程的解为非负数为背景，考查了分式方程的解法、增根的概念及一元一次不等式的求解。先将分式方程化为整式方程，用含m的式子表示x，根据解为非负数列出不等式，同时排除使分母为零的增根情况，确定m的取值范围。
16．如图，为边上一点，，则　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：作的中垂线交于点F，交于点E，连接DE，

∴DE=CE，∠EFC=90°，CF=DF=CD=1.5
∴∠C=∠EDC，
，
又，
，
，
，
∵ ∠EFC= ∠B=90°，
，
∴△EFC∽△ABC，
，
设，则
根据勾股定理，得，
解得
故
故答案为：．
【分析】作DC的中垂线交BC于点F，交AC于点E，连接DE，由线段垂直平分线的性质得DE=CE，∠EFC=90°，CF=DF=CD=1.5，由等边对等角得∠C=∠EDC，由三角形外角相等及已知可推出∠DEA=∠DAE，由等角对等边得AD=DE=EC，由同位角相等两直线平行得出EF∥AB，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△EFC∽△ABC，由相似三角形对应边成比例求出EF∶AB=3∶8，设AB=8x，则EF=3x，在Rt△ABD与Rt△DEF中，利用勾股定理分别表示出AD2与DE2，即可列出关于字母x的方程，求解得出x的值，从而即可求出AB的长.
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【分析】将第一个分式的分母利用提取公因式法分解因式，将第二个分式的分母利用平方差公式分解因式，然后通分计算异分母分式的加法，进而将计算结果所得分子利用完全平方公式分解因式，最后约分化简即可.
18．如图，的边恰是等腰直角三角形的斜边，的延长线与交于，且．求证：．
【答案】证明：∵BF⊥AE，
∴∠EFC=∠AFC=90°，
∵是等腰直角三角形，为斜边，
∴，，
∴，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，且，即，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∵
∴．
【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由等腰直角三角形性质得DE=CE，∠DEC=90°，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出∠DAE=∠ECF，由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DAE=∠BFA=∠EFC=90°，从而利用“AAS”判断出△ADE≌△FEC，由全等三角形的对应边相等得AD=EF，从而等量代换可得结论.
19．组织者为了解参与服务的志愿者队伍身高情况，随机抽取了部分志愿者进行调查，将身高（单位：）数据分A，B，C，D，E五组，制作了如下的统计图表（待完善）．
组别 身高分组 人数
A 3
B 2
C m
D 5
E 4
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有________人，表中的________，扇形统计图中a的度数是________；
（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求结果是性别相同的概率大还是不同的概率大．
【答案】（1）20，6，
（2）解：画树状图为：
或者列表为：
男1 男2 女1 女2
男1
（男1男2） （男1女1） （男1女2）
男2 （男2男1）
（男2女1） （男2女2）
女1 （女1男1） （女1男2）
（女1女2）
女2 （女2男1） （女2男2） （女2女1）
共有12种等可能结果，其中性别相同的结果有4种，性别不同的结果有8种，
∴性别相同的概率为，性别不同的概率为，
∴性别不同的概率大．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：∵
∴
∴
；
故答案为：20，6，54°；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，根据C组的人数除以本次调查的总人数可得C所占的百分比出方程，求解即可得到m的值，进而根据各组人数之和等于本次调查的总人数求出这次被调查身高的志愿者人数；用360°乘以D组所占的比，即可求出扇形统计图中a的度数 ；
（2）此题是抽取不放回类型，用树状图或表格列举出所有等可能的情况数，由表可知共有12种等可能结果，其中性别相同的结果有4种，性别不同的结果有8种， 从而利用概率公式计算出性别相同与性别不相同的概率，再比较大小即可.
（1）解：∵
∴
∴
；
（2）解：画树状图为：
或者列表为：
男1 男2 女1 女2
男1
（男1男2） （男1女1） （男1女2）
男2 （男2男1）
（男2女1） （男2女2）
女1 （女1男1） （女1男2）
（女1女2）
女2 （女2男1） （女2男2） （女2女1）
共有12种等可能结果，其中性别相同的结果有4种，性别不同的结果有8种，
∴性别相同的概率为，性别不同的概率为，
∴性别不同的概率大．
20．已知实数k使一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程的两根是符号相同的整数，试求实数k的值．
【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根．
∴
解得；
（2）解：设该方程的两根为，
∵方程的两根是符号相同的整数，且，
∴或或，
∴=3或=4，
∴或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母k的不等式，求解即可得出k的取值范围；
（2）设方程的两根为x1与x2，由一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”根与系数的关系x1+x2=，求出x1+x2=4，结合方程的两根是符号相同的整数得或或，然后代入，求解即可.
（1）解：∵一元二次方程有两个实数根．
∴
解得；
（2）解：设该方程的两根为，
∵方程的两根是符号相同的整数，
∴，
∴，
∴，
则或或，
∴或，
∴或．
21．如图，直线与双曲线交于，两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）点P在线段上，过P作轴，与双曲线交于D，若的面积为3，求点P的坐标．
【答案】（1）解：把点B的坐标代入得，
∴，
∴双曲线的解析式为，
把点A的坐标代入得，
∴，
∴，
把点A和点B的坐标代入得，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：设，
∵轴，即轴，且点D在双曲线上，
∴，，
∴，
∴，
解得或，
当时，，
当时，，
∴点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出双曲线的解析式，再求出点A的坐标，最后利用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）由点的坐标与图形性质，可设，由反比例函数k的几何意义得，由S△COP=S△COD+S△POD并结合三角形面积公式建立方程求解即可．
（1）解：把点B的坐标代入得，
∴，
∴双曲线的解析式为，
把点A的坐标代入得，
∴，
∴，
把点A和点B的坐标代入得，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：设，
∵轴，即轴，且点D在双曲线上，
∴，，
∴，
∴，
解得或，
当时，，
当时，，
∴点P的坐标为或．
22．在中，是的外接圆，过点作的切线，在上截取，连接交于点．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）连接，若的半径为5，，求的长．
【答案】（1）解：四边形为平行四边形，理由如下：
如图：连接并延长交于点，连接，
，
点在的中垂线上，
，
点在的中垂线上，
，
是的切线，点在圆上，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形是内接四边形，
，
，
，
，
，
设，
，，，
，
．
解得，即，
，
∴，
，即的长为8．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；切线的性质；线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：连接AO并延长交BC于点E，连接OB、OC，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可证明点O在BC的中垂线上，点A在BC的中垂线上，由两点确定一条直线推出AE⊥BC，由圆的切线垂直经过切点的半径得AM⊥AE，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出AM∥BC，结合AD=BC，由一组对边偏心切相等的四边形是平行四边形即可证明四边形ABCD为平行四边形；
（2）根据平行四边形的对角相等得∠ABC=∠ADC，由圆内接四边形的对角互、邻补角及同角的补角相等推出AFD=∠ABC=∠ADC，由等角对等边得出AF=AD=BC，设OE=x，利用勾股定理在Rt△ABE与Rt△BEO中，分别表示出BE2，从而可建立方程，求解得出OE的长进而再求出BE的长，最后根据等腰三角形的三线合一得出BC=2BE即可得到BC，即可得解．
（1）解：四边形为平行四边形，理由如下：
如图：连接并延长交于点，连接，
，
点在的中垂线上，
，
点在的中垂线上，
，
是的切线，点在圆上，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形是内接四边形，
，
，
，
，
，
设，
，，，
，
．
解得，即，
，
∴，
，即的长为8．
23．某超市购进一种时令商品，每件进价40元，规划每件售价不少于50元，日销量不低于350件．根据以往销售经验发现，当每件售价为50元时，日销量为500件；每件售价每提高1元，日销量减少10件．
（1）求此商品每件售价x（元）的取值范围；
（2）求此商品日销售利润w（元）最大时的日销量p（件）；
（3）求此商品日销售额y（元）最大时的日销售利润w（元）．
【答案】（1）解：由题意得，
解得；
（2）解：由题意得，
，
∵，且，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，
∴此时，
答：此商品日销售利润w（元）最大时的日销量为350件；
（3）解：由题意得，
，
∵，
∴当时，y有最大值，
∴此时，
答：此商品日销售额y（元）最大时的日销售利润为5000元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意可得当x＞50时每天的销售数量为[500-10(x-50)]件，然后根据每件售价不少于50元，日销量不低于350件建立不等式组求解即可；
（2）根据日销售利润等于单价商品的利润乘每天销售量表示出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据日销售额等于每件商品的单价乘每天销售量表示出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可．
（1）解：由题意得，
解得；
（2）解：由题意得，
，
∵，且，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，
∴此时，
答：此商品日销售利润w（元）最大时的日销量为350件；
（3）解：由题意得，
，
∵，
∴当时，y有最大值，
∴此时，
答：此商品日销售额y（元）最大时的日销售利润为5000元．
24．如图，O为正方形内一点，连接并延长交边于E，过点O的直线与边分别交于F，G．
（1）如图1，若，求证：．
（2）如图2，将所在直线绕点O顺时针旋转使得，若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图所示，过点C作分别交于点H，点M，
∵四边形为正方形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点D作交于点Q，
∴；
同理可证明四边形是平行四边形，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
如图所示，延长到点P，使得，连接，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）过点C作CH∥FG分别交AD、DE于点H，点M，由正方形对边平行得AD∥BC，从而由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形CGFH是平行四边形，由平行四边形的对边相等得到CH=FG，则CH=DE；从而可用“HL”证Rt△ADE≌Rt△DCH，由全等三角形的对应角相等得∠ADE=∠DCH，由角的构成及等量代换可推出∠DCH+∠CDE=90°，由三角形内角和定理得出∠CMD=90°，从而由二直线平行，同位角相等得出∠COD=90°，根据垂直定义可得结论；
（2）过点D作DQ∥FG交BC于点Q，由二直线平行，内错角相等得；同（1）证明四边形DFGQ是平行四边形，得到，由勾股定理可求出CQ=1，由线段和差算出CQ=2；延长BC到点P，使得CP=AE，连接DP、EQ，用“SAS”证明△ADE≌△CDP，由全等三角形性质得到DE=DP，∠ADE=∠CDP，由角的构成可推出∠PDQ=∠EDQ=45°，用“SAS”证△DEQ≌△DPQ，由全等三角形的对应边相等得到；设，则，在Rt△BEQ中，由勾股定理建立方程求出x的值，得到AE的长，进而再根据勾股定理算出DE.
（1）证明：如图所示，过点C作分别交于点H，点M，
∵四边形为正方形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点D作交于点Q，
∴；
同理可证明四边形是平行四边形，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
如图所示，延长到点P，使得，连接，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
25．如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标；
（3）四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，
由题意得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴；
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为；
设，则，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
此时，
∴；
（3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H，
设直线AB的解析式为y=gx+h，则
解得
∴直线的解析式为，
由（2）得直线的解析式为，
∴，
∴点F到的距离为定值，
∴为定值，
∵，
∴当有最大值时，有最大值；
设，则，
∴
，
∴
，
∵
∴当时，有最大值，即此时有最大值，
由（2）可知，此时，
∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值可得点D的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，根据点的坐标与图形性质，设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，再由平面内两点间距离公式表示出EF的长，利用二次函数的性质求解即可；
（3）连接AB，过点E作EH∥y轴交AB于点H，利用待定系数法求出直线AB的解析式，由直线CD与AB的斜率相同可得AB∥CD，由平行线间的距离相等及同底等高三角形面积相等得△ABF的面积为定值，则当S△ABE有最大值时，S四边形AEBF有最大值；由点的坐标与图形性质设出点E的坐标，则可表示出点H的坐标，再由平面内两点间距离公式表示出EH的长，根据，推出，仿照（2）求出EH取得最大值时点E的坐标即可得到答案．
（1）解：设抛物线的解析式为，
由题意得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴；
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为；
设，则，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
此时，
∴；
（3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H，
同理可得直线的解析式为，
由（2）得直线的解析式为，
∴，
∴点F到的距离为定值，
∴为定值，
∵，
∴当有最大值时，有最大值；
设，则，
∴
，
∴
，
∵
∴当时，有最大值，即此时有最大值，
由（2）可知，此时，
∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点．
1 / 12026年四川省南充市营山县中考名校联考数学试题
1．计算，结果是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，是实数a，b在数轴上对应点的大致位置．下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（　　）
A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克
C．两张不同的卡片 D．一枚图钉
4．如图，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上， ．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，，是的弦，P为半径上的动点（不与端点重合），连接．若，则的度数不可能是（　　）
A． B． C． D．
6．若m，n互为倒数，且满足，则n的值为（　　）
A． B． C． D．2
7．设方程的两根为，，则的值为（　　）
A． B． C．10 D．12
8．如图，四边形和都是矩形，点B在边上．若，，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．
9．如图，在中，，P是边上一动点（不与端点重合）．由旋转得到．下列说法：①的大小是变化的；②平分；③有最小值；④与成一次函数关系；⑤四边形的面积为定值．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．在直角坐标系中，当时，抛物线的图象总在直线的下方，则t的最大值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
11．实数a，b同号，可用一个式子表示为　 　．
12．抛掷一枚硬币20次．恰好10次正面朝上，10次背面朝上，这样的结果是　 　事件．
13．如图，正五边形的边长为5，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为　 　（结果保留．）
14．如图，正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，若反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），则的整数值有　 　个．
15．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围为　 　．
16．如图，为边上一点，，则　 　．
17．计算：．
18．如图，的边恰是等腰直角三角形的斜边，的延长线与交于，且．求证：．
19．组织者为了解参与服务的志愿者队伍身高情况，随机抽取了部分志愿者进行调查，将身高（单位：）数据分A，B，C，D，E五组，制作了如下的统计图表（待完善）．
组别 身高分组 人数
A 3
B 2
C m
D 5
E 4
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有________人，表中的________，扇形统计图中a的度数是________；
（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求结果是性别相同的概率大还是不同的概率大．
20．已知实数k使一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程的两根是符号相同的整数，试求实数k的值．
21．如图，直线与双曲线交于，两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）点P在线段上，过P作轴，与双曲线交于D，若的面积为3，求点P的坐标．
22．在中，是的外接圆，过点作的切线，在上截取，连接交于点．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）连接，若的半径为5，，求的长．
23．某超市购进一种时令商品，每件进价40元，规划每件售价不少于50元，日销量不低于350件．根据以往销售经验发现，当每件售价为50元时，日销量为500件；每件售价每提高1元，日销量减少10件．
（1）求此商品每件售价x（元）的取值范围；
（2）求此商品日销售利润w（元）最大时的日销量p（件）；
（3）求此商品日销售额y（元）最大时的日销售利润w（元）．
24．如图，O为正方形内一点，连接并延长交边于E，过点O的直线与边分别交于F，G．
（1）如图1，若，求证：．
（2）如图2，将所在直线绕点O顺时针旋转使得，若，，求的长．
25．如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标；
（3）四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：．
故答案为：D.
【分析】根据负整数指数幂法则“”及零指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别计算后再计算有理数加法得出答案.
2．【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则；不等式的性质；绝对值的概念与意义；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：从数轴上表示数a、b的位置可以得到，，
A、，不等式两边同时加2，不等号方向不变，，因此该选项错误，不符合要求；
B、由，根据绝对值的定义可得；又∵1＜b＜2，，因此该选项正确，符合要求；
C、∵，，∴将两个不等式相加可得，∴不等式两边同时加1得到，结果包含正、负、0，不能确定a+b=1的符号，因此该选项错误，不符合要求；
D、∵，∴不等式两边同时加1可得；∵，∴不等式两边同时加1可得；∴由异号两数相乘结果为，因此该选项错误，不符合要求.
故答案为：B.
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点可得-3＜a＜-2，1＜b＜2，然后根据在不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不改变可判断A选项；根据一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点离开原点的位置可判断B选项；将关于a、b两数取值范围的式子相加后，再根据在不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不改变可判断C选项；根据a、b的取值范围，结合在不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不改变得出a+1与b+1的正负，进而根据有理数乘法法则可判断D选项.
3．【答案】D
【知识点】模拟实验；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等．
A、均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物；
B、两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物；
C、两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物；
D、抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物．
故答案为：D.
【分析】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，故替代物需满足两种结果发生概率相等，从而逐一判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过A作，
∵，
∴，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】过A作AQ∥BE，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AQ∥BE∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠BAQ=∠ABE=21°，∠ACD=∠CAQ，由等边三角形的每一个内角都是60°得∠BAC=60°，最后根据角的构成，由∠ACD=∠CAQ=∠BAC-∠BAQ可算出答案.
5．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵P为半径上的动点（不与端点重合），
∴
∵
∴，
故的度数不可能为，选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】连接OC、BC，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠BOC=140°，由等边对等角及三角形的内角和定理得出∠OCB=∠OBC=20°，由三角形外角相等得∠BPC=140°+∠OCP，由P为半径OB上的动点（不与端点重合）可得0°＜∠OCP＜20°，然后根据不等式性质即可求出∠BPC的取值范围，从而逐一判断得出答案.
6．【答案】A
【知识点】有理数的倒数；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵互为倒数，
∴，
∵，
∴，
把代入得，
∴，
又∵互为倒数，
∴．
故答案为：A.
【分析】由互为倒数的两个数的乘积等于1可得mn=1，然后将已知方程左边按单项式乘以多项式法则计算后整体代入可求出m的值，进而再根据1除以一个不为零的数等于这个数的倒数求解即可.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵的两根为，，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则，，据此结合题意求出x1+x2与x1x2的值，最后将待求式子利用多项式乘以多项式法则展开后整体代入计算可得答案.
8．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
在中，，，
∴由勾股定理得：．
．
四边形是矩形，
，．
，
的长即为平行线与之间的距离．
点在边上，
点到的距离等于．
．
即 ．
．
故答案为：B.
【分析】由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理算出BC，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积；由矩形性质得∠ACF=90°，AC∥EF，由平行线间的距离处处相等得点B到AC的距离等于CF，再根据三角形面积公式结合△ABC的面积建立方程可求出CF的长.
9．【答案】D
【知识点】一次函数的概念；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得，，，
∴，
∴，
∵是定角，
∴是定角，故①说法错误；
∵，
∴，
∴，
∴平分，故②正确；
∵，且垂线段最短，
∴当时，有最小值，即此时有最小值，故③正确；
∵，
∴，
∵的长是定值，
∴与成一次函数关系，故④正确；
∵，
∴四边形的面积为定值，故⑤正确；
∴正确的有4个．
【分析】由旋转得AQ=AP，∠ACQ=∠B，∠BAP=∠CAQ，CQ=BP，S△ABP=S△ACQ，由角的构成及等式性质推出∠PAQ=∠BAC，据此可判断①；根据等边对等角得∠ACB=∠B=∠ACQ，从而根据角平分线的定义可判断②；根据AQ=AP及垂线段最短可判断③；根据及一次函数的定义可判断④；根据图形，由可判断⑤．
10．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：首先对抛物线配方：，
抛物线在直线下方，即对任意，满足，
整理得，
令，
解得，其中
∴的解集为
要使得任意，恒成立，
则，且，
∴为求的最大值，则
，
令，则
∴
，
则，
∴，
∵
∴．
故答案为：D.
【分析】先将含参数的抛物线解析式配成顶点式，根据抛物线在直线y=x下方的条件得到一元二次不等式，求解得出x的取值范围；要使得任意，恒成立，则，且，故为求的最大值，则，再由换元法求解即可．
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：根据实数除法法则，两个实数同号时商为正，可得．
故答案为：.
【分析】开放性命题，答案不唯一；根据两个实数相除，同号得正，异号得负，解答即可.
12．【答案】随机
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：抛掷一枚硬币20次，恰好10次正面朝上，10次背面朝上，该结果可能发生，也可能不发生，符合随机事件的定义，即该事件是随机事件．
故答案为：随机.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，据此结合题意判断即可.
13．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，且边长为5，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】根据正多边形每一个内角都相等可得正n边形的一个内角为，据此求出∠A的度数，然后根据扇形面积公式“”计算即可.
14．【答案】9
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的顶点都在正方形网格的格点处，且点，
∴，
∵反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），
∴将代入中得：，将代入中得：，
∴的取值范围为，其中共有9个的整数值，
故答案为：9．
【分析】根据点的坐标与图形性质及正方形性质求出B点坐标，后将B和D的坐标分别代入中求出k的值，从而即可得出k的取值范围，进而找出取值范围内的整数个数即可.
15．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：，
，
解得，，
检验，将代入，解得，，
∵分式方程的解为非负数，
∴，
解得，，
∴m的取值范围为或，
故答案为：或．
【分析】本题以分式方程的解为非负数为背景，考查了分式方程的解法、增根的概念及一元一次不等式的求解。先将分式方程化为整式方程，用含m的式子表示x，根据解为非负数列出不等式，同时排除使分母为零的增根情况，确定m的取值范围。
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：作的中垂线交于点F，交于点E，连接DE，

∴DE=CE，∠EFC=90°，CF=DF=CD=1.5
∴∠C=∠EDC，
，
又，
，
，
，
∵ ∠EFC= ∠B=90°，
，
∴△EFC∽△ABC，
，
设，则
根据勾股定理，得，
解得
故
故答案为：．
【分析】作DC的中垂线交BC于点F，交AC于点E，连接DE，由线段垂直平分线的性质得DE=CE，∠EFC=90°，CF=DF=CD=1.5，由等边对等角得∠C=∠EDC，由三角形外角相等及已知可推出∠DEA=∠DAE，由等角对等边得AD=DE=EC，由同位角相等两直线平行得出EF∥AB，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△EFC∽△ABC，由相似三角形对应边成比例求出EF∶AB=3∶8，设AB=8x，则EF=3x，在Rt△ABD与Rt△DEF中，利用勾股定理分别表示出AD2与DE2，即可列出关于字母x的方程，求解得出x的值，从而即可求出AB的长.
17．【答案】解：
．
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【分析】将第一个分式的分母利用提取公因式法分解因式，将第二个分式的分母利用平方差公式分解因式，然后通分计算异分母分式的加法，进而将计算结果所得分子利用完全平方公式分解因式，最后约分化简即可.
18．【答案】证明：∵BF⊥AE，
∴∠EFC=∠AFC=90°，
∵是等腰直角三角形，为斜边，
∴，，
∴，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，且，即，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∵
∴．
【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由等腰直角三角形性质得DE=CE，∠DEC=90°，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出∠DAE=∠ECF，由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DAE=∠BFA=∠EFC=90°，从而利用“AAS”判断出△ADE≌△FEC，由全等三角形的对应边相等得AD=EF，从而等量代换可得结论.
19．【答案】（1）20，6，
（2）解：画树状图为：
或者列表为：
男1 男2 女1 女2
男1
（男1男2） （男1女1） （男1女2）
男2 （男2男1）
（男2女1） （男2女2）
女1 （女1男1） （女1男2）
（女1女2）
女2 （女2男1） （女2男2） （女2女1）
共有12种等可能结果，其中性别相同的结果有4种，性别不同的结果有8种，
∴性别相同的概率为，性别不同的概率为，
∴性别不同的概率大．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：∵
∴
∴
；
故答案为：20，6，54°；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，根据C组的人数除以本次调查的总人数可得C所占的百分比出方程，求解即可得到m的值，进而根据各组人数之和等于本次调查的总人数求出这次被调查身高的志愿者人数；用360°乘以D组所占的比，即可求出扇形统计图中a的度数 ；
（2）此题是抽取不放回类型，用树状图或表格列举出所有等可能的情况数，由表可知共有12种等可能结果，其中性别相同的结果有4种，性别不同的结果有8种， 从而利用概率公式计算出性别相同与性别不相同的概率，再比较大小即可.
（1）解：∵
∴
∴
；
（2）解：画树状图为：
或者列表为：
男1 男2 女1 女2
男1
（男1男2） （男1女1） （男1女2）
男2 （男2男1）
（男2女1） （男2女2）
女1 （女1男1） （女1男2）
（女1女2）
女2 （女2男1） （女2男2） （女2女1）
共有12种等可能结果，其中性别相同的结果有4种，性别不同的结果有8种，
∴性别相同的概率为，性别不同的概率为，
∴性别不同的概率大．
20．【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根．
∴
解得；
（2）解：设该方程的两根为，
∵方程的两根是符号相同的整数，且，
∴或或，
∴=3或=4，
∴或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母k的不等式，求解即可得出k的取值范围；
（2）设方程的两根为x1与x2，由一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”根与系数的关系x1+x2=，求出x1+x2=4，结合方程的两根是符号相同的整数得或或，然后代入，求解即可.
（1）解：∵一元二次方程有两个实数根．
∴
解得；
（2）解：设该方程的两根为，
∵方程的两根是符号相同的整数，
∴，
∴，
∴，
则或或，
∴或，
∴或．
21．【答案】（1）解：把点B的坐标代入得，
∴，
∴双曲线的解析式为，
把点A的坐标代入得，
∴，
∴，
把点A和点B的坐标代入得，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：设，
∵轴，即轴，且点D在双曲线上，
∴，，
∴，
∴，
解得或，
当时，，
当时，，
∴点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出双曲线的解析式，再求出点A的坐标，最后利用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）由点的坐标与图形性质，可设，由反比例函数k的几何意义得，由S△COP=S△COD+S△POD并结合三角形面积公式建立方程求解即可．
（1）解：把点B的坐标代入得，
∴，
∴双曲线的解析式为，
把点A的坐标代入得，
∴，
∴，
把点A和点B的坐标代入得，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：设，
∵轴，即轴，且点D在双曲线上，
∴，，
∴，
∴，
解得或，
当时，，
当时，，
∴点P的坐标为或．
22．【答案】（1）解：四边形为平行四边形，理由如下：
如图：连接并延长交于点，连接，
，
点在的中垂线上，
，
点在的中垂线上，
，
是的切线，点在圆上，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形是内接四边形，
，
，
，
，
，
设，
，，，
，
．
解得，即，
，
∴，
，即的长为8．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；切线的性质；线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：连接AO并延长交BC于点E，连接OB、OC，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可证明点O在BC的中垂线上，点A在BC的中垂线上，由两点确定一条直线推出AE⊥BC，由圆的切线垂直经过切点的半径得AM⊥AE，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出AM∥BC，结合AD=BC，由一组对边偏心切相等的四边形是平行四边形即可证明四边形ABCD为平行四边形；
（2）根据平行四边形的对角相等得∠ABC=∠ADC，由圆内接四边形的对角互、邻补角及同角的补角相等推出AFD=∠ABC=∠ADC，由等角对等边得出AF=AD=BC，设OE=x，利用勾股定理在Rt△ABE与Rt△BEO中，分别表示出BE2，从而可建立方程，求解得出OE的长进而再求出BE的长，最后根据等腰三角形的三线合一得出BC=2BE即可得到BC，即可得解．
（1）解：四边形为平行四边形，理由如下：
如图：连接并延长交于点，连接，
，
点在的中垂线上，
，
点在的中垂线上，
，
是的切线，点在圆上，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形是内接四边形，
，
，
，
，
，
设，
，，，
，
．
解得，即，
，
∴，
，即的长为8．
23．【答案】（1）解：由题意得，
解得；
（2）解：由题意得，
，
∵，且，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，
∴此时，
答：此商品日销售利润w（元）最大时的日销量为350件；
（3）解：由题意得，
，
∵，
∴当时，y有最大值，
∴此时，
答：此商品日销售额y（元）最大时的日销售利润为5000元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意可得当x＞50时每天的销售数量为[500-10(x-50)]件，然后根据每件售价不少于50元，日销量不低于350件建立不等式组求解即可；
（2）根据日销售利润等于单价商品的利润乘每天销售量表示出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据日销售额等于每件商品的单价乘每天销售量表示出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可．
（1）解：由题意得，
解得；
（2）解：由题意得，
，
∵，且，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，
∴此时，
答：此商品日销售利润w（元）最大时的日销量为350件；
（3）解：由题意得，
，
∵，
∴当时，y有最大值，
∴此时，
答：此商品日销售额y（元）最大时的日销售利润为5000元．
24．【答案】（1）证明：如图所示，过点C作分别交于点H，点M，
∵四边形为正方形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点D作交于点Q，
∴；
同理可证明四边形是平行四边形，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
如图所示，延长到点P，使得，连接，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）过点C作CH∥FG分别交AD、DE于点H，点M，由正方形对边平行得AD∥BC，从而由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形CGFH是平行四边形，由平行四边形的对边相等得到CH=FG，则CH=DE；从而可用“HL”证Rt△ADE≌Rt△DCH，由全等三角形的对应角相等得∠ADE=∠DCH，由角的构成及等量代换可推出∠DCH+∠CDE=90°，由三角形内角和定理得出∠CMD=90°，从而由二直线平行，同位角相等得出∠COD=90°，根据垂直定义可得结论；
（2）过点D作DQ∥FG交BC于点Q，由二直线平行，内错角相等得；同（1）证明四边形DFGQ是平行四边形，得到，由勾股定理可求出CQ=1，由线段和差算出CQ=2；延长BC到点P，使得CP=AE，连接DP、EQ，用“SAS”证明△ADE≌△CDP，由全等三角形性质得到DE=DP，∠ADE=∠CDP，由角的构成可推出∠PDQ=∠EDQ=45°，用“SAS”证△DEQ≌△DPQ，由全等三角形的对应边相等得到；设，则，在Rt△BEQ中，由勾股定理建立方程求出x的值，得到AE的长，进而再根据勾股定理算出DE.
（1）证明：如图所示，过点C作分别交于点H，点M，
∵四边形为正方形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点D作交于点Q，
∴；
同理可证明四边形是平行四边形，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
如图所示，延长到点P，使得，连接，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
25．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，
由题意得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴；
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为；
设，则，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
此时，
∴；
（3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H，
设直线AB的解析式为y=gx+h，则
解得
∴直线的解析式为，
由（2）得直线的解析式为，
∴，
∴点F到的距离为定值，
∴为定值，
∵，
∴当有最大值时，有最大值；
设，则，
∴
，
∴
，
∵
∴当时，有最大值，即此时有最大值，
由（2）可知，此时，
∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值可得点D的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，根据点的坐标与图形性质，设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，再由平面内两点间距离公式表示出EF的长，利用二次函数的性质求解即可；
（3）连接AB，过点E作EH∥y轴交AB于点H，利用待定系数法求出直线AB的解析式，由直线CD与AB的斜率相同可得AB∥CD，由平行线间的距离相等及同底等高三角形面积相等得△ABF的面积为定值，则当S△ABE有最大值时，S四边形AEBF有最大值；由点的坐标与图形性质设出点E的坐标，则可表示出点H的坐标，再由平面内两点间距离公式表示出EH的长，根据，推出，仿照（2）求出EH取得最大值时点E的坐标即可得到答案．
（1）解：设抛物线的解析式为，
由题意得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴；
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为；
设，则，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
此时，
∴；
（3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H，
同理可得直线的解析式为，
由（2）得直线的解析式为，
∴，
∴点F到的距离为定值，
∴为定值，
∵，
∴当有最大值时，有最大值；
设，则，
∴
，
∴
，
∵
∴当时，有最大值，即此时有最大值，
由（2）可知，此时，
∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点．
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