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5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
一、单选题
1．下列不等式中成立的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．下列函数中，在区间 上为增函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知函数 ，则 的解析式是（　　）
A． B． C． D．
5．函数 在 上是减函数．则（　　）
A． B． C． D．
6．若函数 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．斜率为2，且过直线 和直线 交点的直线方程为（　　）
A． B． C． D．
8．设 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．下列命题正确的是（　　）
A．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
C．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直
D．若两条直线与第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行
10．已知实数，则下列不等式一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．函数 的图象大致为
A． B．
C． D．
12．定义运算，则函数的部分图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为　 　．
14．关于x的方程 的两个根为 ， ，则 　 　．
15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为　 　．
16．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的切始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面距离为，则　 　
三、解答题
17．如图，在三棱锥 中，底面 是边长为2的等边三角形， ， ，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求三棱锥 的体积.
18．已知函数 .
（Ⅰ）求满足 的实数 的值；
（Ⅱ）求 时函数 的值域．
19．如图所示，画出下列组合体的三视图．
20．已知函数，.
(1)当时，求函数的最大值；
(2)如果对于区间上的任意一个，都有成立，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】不等式的基本性质
2．【答案】B
【知识点】函数的图象
3．【答案】A
【知识点】空间中的点的坐标
4．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
5．【答案】B
【知识点】一次函数的性质与图象
6．【答案】B
【知识点】二次函数的性质
7．【答案】A
【知识点】直线的斜截式方程；两条直线的交点坐标
8．【答案】D
【知识点】不等式的基本性质
9．【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
10．【答案】B
【知识点】不等式的基本性质
11．【答案】A
【知识点】函数的图象
12．【答案】B
【知识点】函数的图象
13．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
14．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
15．【答案】
【知识点】三角函数模型的应用-匀速圆周运动
16．【答案】
【知识点】三角函数模型的应用-匀速圆周运动
17．【答案】解：（Ⅰ）证明： 为 的中点，且 ， ，
， ，
又 ， 平面 ，
， 分别为 ， 的中点， ，
可得 平面 ；
（Ⅱ）解：由 ， ，
可得 ， ，
， ，又 ，
平面 ．
在等边三角形 中，由边长为2，得 ．
．
为 的中点， 三棱锥 的体积 ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
18．【答案】解：（Ⅰ） ，
， ，
或 （舍） ，
.
（Ⅱ） 令 ， .
则
当 时， ；当 时， ，
所以 的值域为
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；一元二次方程的根与系数的关系
19．【答案】解：三视图如图①②所示．
【知识点】空间几何体的三视图
20．【答案】（1）；（2）
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
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