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5.7 三角函数的应用
一、单选题
1．如图所示，扇形 的半径为 ，圆心角为 ， 是扇形弧上的动点，四边形 是扇形的内接矩形，则 的最大值是（　　）
A． B． C． D．
2．下列不等式中成立的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．斜率为2，且过直线 和直线 交点的直线方程为（　　）
A． B． C． D．
4．在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
5．已知函数 ，则 的解析式是（　　）
A． B． C． D．
6．函数 在 上是减函数．则（　　）
A． B． C． D．
7．下列函数中，在区间 上为增函数的是（　　）
A． B． C． D．
8．若函数 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．已知函数，，的图象的3个交点可以构成一个等腰直角三角形，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（　　）
A． B．
C． D．
11．一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点Po离地面2m，风车翼片的一个端点P从Po开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，摩天轮上一点在时刻距离地面的高度满足，，，，已知某摩天轮的半径为50米，点距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点，则（米）关于（分钟）的解析式为（　　）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
二、填空题
13．一个单摆作简谐振动位移-时间图象如图所示，S表示离开O的位移（单位：cm），t表示振动的时间（单位：s），则该简谐振动的振幅为　 　cm，振动的最小正周期为　 　s．
14．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为　 　．
15．已知某地区某天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系，，且这天的最大温差为，则　 　；若温度不低于30℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为　 　h.
16．在平面直角坐标系中，半径为1的圆与轴相切于原点，圆上有一定点，坐标是．假设圆以（单位长度）/秒的速度沿轴正方向匀速滚动，那么当圆滚动秒时，点的横坐标　 　．（用表示）
三、解答题
17．如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 是 的中点， 在 上且 ， 是 的中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）证明： 平面 ；
（Ⅲ）若 ， ，求三棱锥 的体积.
18．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
19．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“工”字图形，“工”字图形由横、竖、横三个等宽的矩形组成，两个横距形全等且成是竖矩形长的倍，设O为圆心，∠AOB=2α，“工”字图形的面积记为S．
将S表示为α的函数.
20．如图，摩天轮的半径为 ， 点距地面的高度为 ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每 转一圈，摩天轮上点 的起始位置在最高点.
（Ⅰ）试确定点 距离地面的高度 （单位： ）关于转动时间（单位： ）的函数关系式；
（Ⅱ）摩天轮转动一圈内，有多长时间点 距离地面超过 ？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角函数模型的简单应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
2．【答案】B
【知识点】不等式的基本性质
3．【答案】A
【知识点】直线的斜截式方程；两条直线的交点坐标
4．【答案】A
【知识点】空间中的点的坐标
5．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
6．【答案】B
【知识点】一次函数的性质与图象
7．【答案】B
【知识点】函数的图象
8．【答案】B
【知识点】二次函数的性质
9．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
10．【答案】A
【知识点】三角函数模型的其他应用
11．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
12．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
13．【答案】6；4
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；三角函数模型的简单应用
14．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
15．【答案】；
【知识点】三角函数模型的其他应用
16．【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
17．【答案】解：（Ⅰ）因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
因为 ， 是 的中点，所以 .
又因为 ，所以 平面 ；
（Ⅱ）如图，设 的中点为 ，连接 ， ，
因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 ，且 ，
由条件得 ，且 .
所以 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（Ⅲ）由题意得 ，所以三棱锥 的高为1.
.
所以 ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
18．【答案】解：如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，在Rt△OAD中，=tan60°=，所以OA=DA=BC=sinα．所以AB=OB﹣OA=cosα-sinα．设矩形ABCD的面积为S，则S=AB BC=（cosα-sinα）sinα=sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α﹣=（sin2α+cos2α）﹣=sin（2α+）-．由于0＜α＜，所以当2α+=，即α=时，S最大=﹣=．因此，当α=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．
【知识点】三角函数模型的简单应用
19．【答案】解：连接CD，取AB的中点M，连接OM，交CD于N，
由∠AOB=2α，可得∠BOM=α，α∈（0，），
且BM=Rsinα，OM=Rcosα，由题意可得ON=BM=Rsinα，
BC=MN=OM﹣ON=R（cosα﹣sinα），
由BC＞0，可得α∈（0，），
则S=2AB BC+AB BC=（4+）R2（sinαcosα﹣sin2α），（α∈（0，））
【知识点】三角函数模型的简单应用
20．【答案】解：（Ⅰ）建立如图所示的平面直角坐标系，
设 是以 轴正半轴为始边， （ 表示点 的起始位置）为终边的角，
由题点 的起始位置在最高点知， ，
又由题知 在 内转过的角为 ，即 ，
所以以 轴正半轴为始边， 为终边的角为 ，
即 点纵坐标为 ，
所以点 距离地面的高度 关于旋转时间 的函数关系式是 ，
化简得 .
（Ⅱ）当 时，解得 ，
又 ，所以符合题意的时间段为 或 ，即在摩天轮转动一圈内，有 点距离地面超过 .
【知识点】三角函数模型的简单应用
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