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5.1 任意角和弧度制
一、单选题
1．现有两个相互啮合的齿轮，大轮有64齿，小轮有24齿，当小轮转一周时，大轮转动的弧度是（　　）
A． B． C． D．
2．与-2022°终边相同的最小正角是（　　）
A．138° B．132° C．58° D．42°
3．把表示成，的形式，则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
4．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为（　　）
A．5 B． C．1 D．
5．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（　　）.
A． B． C． D．
6．半径为1的圆中，的圆心角所对的弧的长度是（　　）
A． B． C．60 D．30
7．已知某扇形的弧长和面积数值均为，则该扇形的圆心角（正角）为（　　）
A． B． C． D．3
8．半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（　　）
A．1 B．2 C． D．
9．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，小小的折扇传承千年的制扇工艺与书画艺术，折扇可以看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设折扇的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当时，折扇的圆心角的弧度数为（　　）
A． B． C． D．
10．我国古代的粮仓的顶部常设计为由圆弧和弦围成的弧田形状（如下图阴影部分），其中“弦”是圆弧所对的弦长，“矢”是圆的半径与圆心到弦的距离之差.现有一粮仓顶部为弧田，其对应的圆心角为，矢为2，则该弧田的面积（其中π≈3）是（　　）
A． B． C． D．
11．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（　　）
A． B． C． D．
12．折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为（　　）
A． B． C． D．3
二、填空题
13．已知扇形的圆心角为，半径为3，则扇形的面积是　 　
14．一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为　 　.
15．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，圆锥底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为　 　.
16．如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环ABCD的面积　 　．
三、解答题
17．已知半径为 的扇形的圆心角为 ， 则扇形的弧长为 .
18．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；
（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？
19．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在 型槽上的横截面图，已知图中 为等腰梯形（ ∥ ），支点 与 相距8 ，罐底最低点到地面 距离为1 ，设油罐横截面圆心为 ，半径为5 ， ，求： 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据： ， ， ，结果保留整数）
20．如图，已知OPQ是半径为 圆心角为 的扇形，C是该扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠BOC为α．
（Ⅰ）若Rt△CBO的周长为 ，求 的值．
（Ⅱ）求 的最大值，并求此时α的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
2．【答案】A
【知识点】终边相同的角
3．【答案】B
【知识点】终边相同的角；弧度制、角度制及其之间的换算
4．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
5．【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
6．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
7．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
8．【答案】B
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算；扇形的弧长与面积
9．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
10．【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
11．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
12．【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
13．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
14．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
15．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；扇形的弧长与面积
16．【答案】3
【知识点】扇形的弧长与面积
17．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
18．【答案】（1）；（2）.
【知识点】扇形的弧长与面积
19．【答案】解：连接 ，过 作 交 于 ，交劣弧 于 .过 作 交 于 ，过 作 交 于 .由于 ，
，所以 ，所以 ，在直角三角形 中， ，同理求得 ，所以 ，故梯形 的面积为 .在直角三角形 中 ，故 ，所以扇形 的面积为 ，而三角形 的面积为 ，所以弓形 的面积为 ，故阴影部分面积为 .
【知识点】扇形的弧长与面积；三角形中的几何计算
20．【答案】解：（Ⅰ）BC=OCsinα= sinα，OB=OCcosα= cosα，
则若Rt△CBO的周长为 ，
则 + sinα+ cosα= ，
sinα+cosα= ，
平方得2sinαcosα= ，
即 = = ，
解得tanα=3（舍）或tanα= ．
则 = = = = ．
（Ⅱ）在Rt△OBC中，BC=OCsinα= sinα，OB=OCcosα= cosα，
在Rt△ODA中，
OA=DAtan = BC= sinα，
∴AB=OB﹣OA= （cosα﹣ cosα），
则 =| | |= （cosα﹣ cosα） sinα
=
∵ ，
∴ ，
∴当 ，
即 时， 有最大值 ．
【知识点】平面向量的数量积运算；扇形的弧长与面积
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