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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
一、单选题
1．已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（　　）
A． B．2 C． D．3
2．如图，在正方体中，点在线段上，点在线段上，且，则与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
3．在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到的距离为（　　）
A． B． C．3 D．
4．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（　　）
A． B． C． D．
5．在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为θ，则（　　）
A． B． C． D．
8．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在正四棱柱 ，中，底面边长为2，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，则正四棱柱的高为（　　）．
A．2 B．3 C．4 D．5
10．在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（）
A． B． C．2 D．
11．如图，直三棱柱底面是直角三角形，且，E，F，G分别为，，的中点，则EF与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在直三棱柱中，，，，M为AB的中点.则A1到平面的距离为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知点，平面经过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为　 　．
14．已知//面，平面的一个法向量，平面内一点的坐标为，点的坐标为，则直线到平面的距离为　 　．
15．平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面所成二面角的大小为　 　.
16．在正方体 中，若棱长 ，则点 到平面 的距离等于　 　.
三、解答题
17．如图，在四面体 中， ， 平面 ，点M为棱 的中点， ， .
（Ⅰ）求直线 与 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求平面 和平面 的夹角的余弦值.
18．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．
（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．
19．如图，在直三棱柱中，，，，，为的中点，为的中点，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
2．【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
3．【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
4．【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
5．【答案】D
【知识点】用空间向量研究二面角
6．【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
7．【答案】C
【知识点】用空间向量研究二面角
8．【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
9．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；用空间向量研究直线与平面所成的角
10．【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
11．【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
12．【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
13．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
14．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
15．【答案】或
【知识点】用空间向量研究二面角
16．【答案】
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
17．【答案】解：依题意，可以建立以A为原点，分别以 ， ， 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得 ， ， ， ，
（Ⅰ）依题意 ， ．
，
所以直线 与 所成角的余弦值为 .
（Ⅱ）易知， 为平面 的一个法向量，
依题意，可得 ， ．
设 为平面 的法向量，则 即 ，
不妨令 ，可得 ．
因此有 ，
由图可知平面 和平面 的夹角为锐角，
所以平面 和平面 的夹角的余弦值为 ．
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
18．【答案】解：（1） 因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD 平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直，
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)，
又因为M为PC的中点，所以M(1，1，2)，，，
则，
即异面直线AP，BM所成角的余弦值为；
（2） 因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，
则，，，
设平面PBC的法向量为，则，即令x＝2，解得y＝0，z＝1，
所以 是平面PBC的一个法向量，
因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，
所以|cos〈，〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0，4]，
则λ的值为1.
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
19．【答案】（1）证明：取的中点，分别连接，.又∵为的中点，
∴，且.又∵为的中点，据三棱柱性质知，，，∴，且，
∴四边形为平行四边形，∴.又∵平面，平面，∴平面.
（2）如图，过点作直线的垂线，且交于点.以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则有，，，，，，
∴，，.
设平面的一个法向量，有，
取，，，∴.
∴，
∴直线与平面所成角的余弦值为.

【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
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