资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第一章空间向量与立体几何
一、单选题
1．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间另一个基底的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．已知向量，，且，则的值为（）
A． B． C．或 D．或
3．如图，在空间直角坐标系中，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．点关于轴的对称点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
5．直线的一个方向向量是（　　）
A． B． C． D．
6．已知空间向量，，则在的投影向量（　　）
A． B．
C． D．
7．在三棱锥中，，，，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．在空间直角坐标系中，点关于平面yoz对称点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
9．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
10．如图，在正四棱柱 ，中，底面边长为2，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，则正四棱柱的高为（　　）．
A．2 B．3 C．4 D．5
11．在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，点 在棱 上，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
12．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，点E是棱PC的中点，作，交PB于F.下面结论正确的个数为（　　）
①∥平面EDB；②平面EFD；③直线DE与PA所成角为60°；④点B到平面PAC的距离为.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．已知点，平面经过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为　 　．
14．已知 ， ，若 ，则实数 的值为　 　.
15．已知，，，点，若平面ABC，则点的坐标为　 　．
16．已知在四面体ABCD中，，，则　 　．
三、解答题
17．如图，在空间平移到，连接对应顶点，设，，，M是的中点，N是的中点，用基底表示向量，.
18．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．
（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．
19．如图，在直三棱柱中，，，，，为的中点，为的中点，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
20．如图所示，四棱锥中，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若点在线段上，且，若平面与平面所成锐二面角大小为60°，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间向量的概念
2．【答案】C
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示
3．【答案】A
【知识点】空间直角坐标系
4．【答案】C
【知识点】空间直角坐标系
5．【答案】B
【知识点】直线的方向向量
6．【答案】C
【知识点】空间向量的投影向量
7．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
8．【答案】A
【知识点】空间中的点的坐标
9．【答案】D
【知识点】共面向量定理
10．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；用空间向量研究直线与平面所成的角
11．【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
12．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
13．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
14．【答案】-6
【知识点】共面向量定理
15．【答案】
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
16．【答案】24
【知识点】空间向量的数量积运算
17．【答案】解：如图，由已知得是三棱柱，所以各侧面均为平行四边形，
因为M是的中点，
所以，
因为N是的中点，
所以．
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数乘运算
18．【答案】解：（1） 因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD 平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直，
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)，
又因为M为PC的中点，所以M(1，1，2)，，，
则，
即异面直线AP，BM所成角的余弦值为；
（2） 因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，
则，，，
设平面PBC的法向量为，则，即令x＝2，解得y＝0，z＝1，
所以 是平面PBC的一个法向量，
因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，
所以|cos〈，〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0，4]，
则λ的值为1.
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
19．【答案】（1）证明：取的中点，分别连接，.又∵为的中点，
∴，且.又∵为的中点，据三棱柱性质知，，，∴，且，
∴四边形为平行四边形，∴.又∵平面，平面，∴平面.
（2）如图，过点作直线的垂线，且交于点.以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则有，，，，，，
∴，，.
设平面的一个法向量，有，
取，，，∴.
∴，
∴直线与平面所成角的余弦值为.

【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
20．【答案】（1）证明：因为，
所以，
则，
又因为，，
所以平面，
因为平面，
所以，平面平面.
（2）解：由（1）可得，平面平面，
设为的中点，连结，
因为，
所以，
则平面，
如图，以为原点分别以，和平行于的方向为，，轴正方向，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，所以，
易得平面的一个法向量为，
设为平面的一个法向量，
则，，
由，
得，
不妨取.
因为平面与平面所成角为60°，
所以，
解得或（不合题意舍去）.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2 / 9

展开更多......

收起↑