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1.1 空间向量及其运算
一、单选题
1．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
2．已知四棱锥的底面是平行四边形，，交于点，则（　　）
A． B． C． D．
3．在边长为2的等边三角形 中，若 ，则 （　　）
A． B． C． D．-2
4．3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（　　）
A．576 B．432 C．388 D．216
5．已知幂函数 为奇函数，则实数 的值为（　　）
A．4或3 B．2或3 C．3 D．2
6．设全集 ， ， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
7．已知直线AB是平面 的斜线，则下列结论成立的是（　　）
A． 内的所有直线都与直线AB异面
B． 内的任意一条直线都与直线AB垂直
C．过直线AB存在一个平面与 垂直
D．过直线AB存在一个平面与 平行
8．已知命题，，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
9．在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．正方体的棱长为2，是棱的中点，是棱上一点（含端点），且，则三棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．1
11．在四棱锥中，若，则实数组可能是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，正方体 中， 是 的中点，则（　　）
A．直线 与直线 相交，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 //平面
C．直线 与直线 垂直，直线 //平面
D．直线 与直线 异面，直线 平面
二、填空题
13．已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数　 　．
14．已知函数，若，则　 　．
15．已知平面平面与平面所成的角为，且，两点在平面的同一侧，，则　 　．
16．若向量共面，则　 　．
三、解答题
17．已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ， ， .若数列 的前 项和为 ， ，求数列 的前 项和 .
18．在如图所示的多面体中， 平面 ， ， ， ， ， ， ， 是 的中点．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
19．已知直角梯形ABCD中， 是边长为2的等边三角形，AB=5．沿CE将 折起，使B至 处，且 ；然后再将 沿DE折起，使A至 处，且面 面CDE， 和 在面CDE的同侧．
(Ⅰ) 求证： 平面CDE；
(Ⅱ) 求平面 与平面CDE所构成的锐二面角的余弦值．
20．已知 ，命题 不等式 的解集为 ；命题 是定义在 上的减函数.若“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题，求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间向量的数乘运算
2．【答案】D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
3．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；空间向量的加减法
4．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
5．【答案】D
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
6．【答案】D
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
7．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
8．【答案】A
【知识点】命题的否定
9．【答案】A
【知识点】基本不等式；平面向量的基本定理；共面向量定理
10．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；锥体的体积公式及应用
11．【答案】A
【知识点】共面向量定理
12．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；直线与平面平行的判定；空间向量的数量积运算
13．【答案】
【知识点】共面向量定理
14．【答案】3
【知识点】函数的对应法则；函数的值
15．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；直线与平面所成的角
16．【答案】
【知识点】共面向量定理
17．【答案】解： ， ， ， 或 ，
， ， .
， ，
， ，
，即 ，
.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比关系的确定；数列的求和
18．【答案】解：（Ⅰ）∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴ ， ．又 ，
∴ ， ， 两两垂直．
以点 为坐标原点， ， ， 分别为 轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得， ， ， ， ， ， ，
∴ ， ．
∴ ，∴ ．
（Ⅱ）由已知得 是平面 的法向量，
设平面 的法向量为 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，令 ，得 ，
设平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ，
则 ．
∴平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
【知识点】空间向量的数量积运算
19．【答案】解：(Ⅰ)证明：在直角梯形ABCD中，可算得
根据勾股定理可得 ，即： ，又 ， 平面CDE；
(Ⅱ) 以C为原点，CE为y轴，CB为z轴建立空间直角坐标系，如图，则 ， ， ， ，作 ，因为面 面CDE，易知， ，且 ，
从平面图形中可知： ，易知面CDE的法向量为
设面PAD的法向量为 ，且 ．
解得
故所求平面 与平面CDE所构成的锐二面角的余弦值为 ．
【知识点】平面与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算
20．【答案】解：因为 ，当且仅当 时取“=”，因为不等式 的解集为R，所以 ，即命题 为真时， .
因为函数 是定义在R上的减函数，
所以 解得 ，
即命题 为真时，实数 的取值范围为 .
因为“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题，所以 ， 一真一假.
若 真 假，可得 或 = ，
若 假 真，可得 .
故实数 的取值范围是
【知识点】复合命题的真假
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